Matematyka 0 WCh, 2020/2021 ćwiczenia 4. – rozwiązania lub wskazówki

Matematyka 0 WCh, 2020/2021 ćwiczenia 4. – rozwiązania lub wskazówki

23 października 2020

Zadania pochodzą z list M. Chałupnika i M. Krycha.

1. Przyjmując, że log 2 ≃ 0, 301, log 3 ≃ 0, 477, oblicz log 4, log 6, log 8 oraz log 5.

log 4 = 2 log 2 ≃ 0, 602.

log 8 = 3 log 2 ≃ 0, 902.

log 6 = log(2 ⋅ 3) = log 2 + log 3 ≃ 0, 778.

log 5 = log(1/2 ⋅ 10) = log 1 − log 2 + log 10 = 0 − log 2 + 1 ≃ 0, 699.

2. Wykaż nierówność a) log 2 > 0, 3,

Jest to prawdą wtedy i tylko wtedy, gdy 2 > 10^3/10= ¹⁰

√

1000. A rzeczywiście 2¹⁰=1048 > 1000.

b) 2 log 7 < 2 − log 2.

Jest to prawda wtedy i tylko wtedy, gdy 10^{2 log 7}<¹⁰⁰

2 . I rzeczywiście 49 < 50.

3. Uprość wyrażenie:

a) (

√

√5

5) ⋅ ⁷

√ 5

√3

25 ,

(

√

√5

5) ⋅√⁷ 5

√3

25 =

5^1/10⋅5^1/7

5^2/3 =51/10+1/7−2/3

=5^−89/210. b) 10 ⋅ 100¹²log 9−log 2,

10 ⋅ 100¹²log 9−log 2

=10 ⋅ 100^{12log 9}/2 = 10 ⋅ 10^{log 9}/2 = 45.

c) 125^log2516.

125^log2516=25^32⋅log2516=16^3/2=4³=64.

4. Rozwiąż równanie:

a) log(3x + 4) + log(x − 8) = 2,

10^log(3x+4)⋅10^log(x−8)=100 (3x + 4)(x − 8) = 100 x = ^10±4

√ 31 3

b) 7 ⋅ 3^x+1−5^x+2=3^x+4−5^x+3,

7 ⋅ 3^x+1−3^x+4=5^x+2−5^x+3 3^x+1(7 − 27) = 5^x+1(5 − 25)

(3/5)^x+1=1, czyli x + 1 = 0, zatem x = −1.

1

c) log_x7 + log_x27 = 6.

log_x7 + log_x7 2 =6, 7 ⋅ 7^1/2=x⁶,

x = ⁴

√ 7.

d) log₁₅(log₄(log₃x)) = 0,

log₄(log₃x) = 1 log₃x = 4 x = 3⁴=81 e) log(x²−3x + 2) = 1 − log(x + 2),

log(x²−3x + 2) + log(x + 2) = 1 (x²−3x + 2)(x + 2) = 10,

po rozwiązaniu tego równania dostajemy, że jedyny pierwiastek to x = 3.

f) (²₃)

x

= ⁴

√1, 5,

(2/3)^x= (3/2)^1/4 (2/3)^x= (2/3)^−1/4

x = −1/4 g) 5^x−5^3−x=20,

5^x−125/5^x=20 (5^x)²−20 ⋅ 5^x−125 = 0

Po rozwiązaniu tego równania dostajemy, że 5^x=25 (drugie rozwiązanie jest ujemne, więc niemożliwe).

Zatem x = 2.

h) 5^2x−7^x−35 ⋅ 5^2x+35 ⋅ 7^x=0,

Niech y = 5^2x−7^x. Wtedy mamy y − 35y = 0, zatem y = 0, czyli 10^x=7^x. x = log 7^x, zatem x = x log 7, zatem x = 0.

i) log(x³+8) − log(x + 2) = 1.

x³+8 x + 2 =10, x³+8 = 10x + 20 x³−10x − 12 = 0,

a pierwiastki tego wielomianu to −2 (który odpada, bo wtedy argument jest poza dziedziną) oraz 1±

√ 7.

5. Dla jakich m ∈ R równanie (1 − m)9^x+4 ⋅ 3^x=m + 2 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste?

Niech y = 3^x. Wtedy (1 − m)y²+4 ⋅ y − (m + 2) = 0 ma dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy 16 − 4(1 − m)(m + 2) = (2m + 1)²+7 > 0, co zachodzi zawsze. Co więcej oba te rozwiązania muszą być dodatnie, więc

−4 −

√

(2m + 1)²+7 2(1 − m) >0,

co skoro licznik jest ujemny zachodzi tylko dla ujemnego mianownika, czyli gdy m > 1.

2

6. Rozwiąż układ równań:

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

3^x−2^y=77, 3^x/2−2^y/2=7.

Niech w = 3^x/2, z = 2^y/2. Więc mamy:

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

w²−z²=77, w − z = 7.

Zatem w + z = 11, więc w = 9 i z = 2. Zatem x/2 = 2 i x = 4 oraz y/2 = 1, czyli y = 2.

7. Rozwiąż układ równań:

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

log_xy(x − y) = 1, log_xy(x + y) = 0.

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

x − y = xy, x + y = 1.

x − (1 − x) = x(1 − x), zatem 2x − 1 = x − x², czyli x²+x − 1 = 0, zatem x = −1/2 ±√

5/2 i do kompletu y = 3/2 ∓√

5/2. Sprawdzamy jeszcze dziedzinę: iloczyn jest dodatni tylko w pierwszym przypadku, zatem x = −1/2 +√

5/2 i do kompletu y = 3/2 −√

5/2. Suma i różnica jest wtedy też dodatnia.

3