Matematyka 0 WCh, 2020/2021 ćwiczenia 38. – rozwiązania

Matematyka 0 WCh, 2020/2021 ćwiczenia 38. – rozwiązania

26. stycznia 2021

1. Korzystając z definicji całki oznaczonej Riemanna oblicz:

∫

2 1

dx x².

Ta całka istnieje, bo funkcja jest ciągła. Więc możemy wziąć dowolny ciąg przedziałów, np. {(1 + k/n, 1 + (k+1)/n)∶ k ∈ {0, . . . n−1}}. W przedziale (1+k/n, 1+(k+1)/n) wybieram punkt

√

(1 + k/n)(1 + (k + 1)/n).

∫

2 1

dx x² = lim

n→∞

n−1

∑

k=0

1 n⋅

1

(1 + k/n)(1 + (k + 1)/n)= lim

n→∞

n−1

∑

k=0

1 1 + k/n−

n−1

∑

k=0

1

1 + (k + 1)/n = lim

n→∞1 −1 2 =

1 2. 2. Oblicz:

a) ∫

π

0 sin x dx.

∫

π 0

sin x dx = − cos x∣^π₀ = −cos π − (− cos 0) = 1 + 1 = 2.

b) ∫

5

0 ∣x²−4∣ dx,

∫

5 0

∣x²−4∣ dx = −∫

2 0

(x²−4) dx +∫

5 2

(x²−4) dx = − (x³

3 −4x) ∣²₀+ ( x³

3 −4x) ∣⁵₂=

= − 8

3+8 +125

3 −20 −8

3+8 = 97 3 . c) ∫

e²

e⁻²∣ln x∣ dx.

∫

e² e⁻²

∣ln x∣ dx = −∫

1 e⁻²

ln x dx +∫

e² 1

∣ln x∣ dx =

= −x ln x∣¹_e−2+ ∫

1 e⁻²

dx + x ln x∣^e₁²− ∫

e² 1

dx = −(0 + 2e⁻²) + (1 − e⁻²) + (2e²−0) − (e²−1) = 2 − 3e⁻²+e². 3. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi opisanymi równaniami:

a) y = x², y =^x₂² +2,

Te dwie krzywe przecinają się dla x = −2 oraz x = 2 i na przedziale (−2, 2), ^x₂²+2 > x². Zatem liczymy:

∫

2

−2( x²

2 +2 − x²)dx = (−x³ 6 +2x)∣

2

−2

= 16

3 b) y = x², y = 1 − x², y = 2,

Pierwsze dwie krzywe przecinają się dla x = ±√¹

2. Mamy 2 > √¹

2, zatem interesuje nas przedział (1/

√

2, 2) i na tym przedziale x²>1 − x². Zatem liczymy:

∫

2 1/√

2

(x²− (1 − x²))dx = (2x³ 3 −x)∣

2

1/√ 2

= 1 3(10 +

√ 2) .

1

4. Oblicz

∫

6 1

∣x²−7x + 10∣ dx.

Wskazówka: x²−7x + 10 dla x = 2 i x = 5, zatem

∫

6 1

∣x²−7x + 10∣ dx =∫

2 1

(x²−7x + 10) dx −∫

5 2

(x²−7x + 10) dx +∫

6 5

(x²−7x + 10) dx.

5. Oblicz pochodną funkcji F (x) =∫

√3

x 1 e^t2dt.

Niech G(t) będzie funkcją pierwotną dla e^t2. Wtedy F^′(x) = (G(√³

x) − G(1))^′= ¹

3√³ x²e³

√x².

6. Czy zachodzi nierówność (nie liczymy całek!)

∫

1 0

e^−xdx ≥∫

1 0

e^−x2dx?

Zauważmy, że dla x ∈ (0, 1), x > x², zatem e^x>e^x2, czyli e^−x<e^−x2, zatem badana nierówność nie zachodzi.

7. Oblicz (o ile istnieją) całki niewłaściwe:

a) ∫

1 0

x 1 − xdx,

∫

1 0

x

1 − x =lim

β→1∫

β 0

− (1 + 1

1 − x)dx = lim

β→1−(x + ln ∣1 − x∣)∣^β₀=lim

β→1−β − ln ∣1 − β∣ + 0 = −∞

b) ∫

∞ 0

dx 1 + x².

∫

∞ 0

dx

1 + x² = lim

β→∞∫

β 0

dx

1 + x² = lim

β→∞arctgx∣^β₀ = lim

β→∞arctgβ = π 2. 8. Obliczyć pole obszaru ograniczonego osią X, krzywą y =_x¹2 oraz prostymi x = 1 i x = 2.

P =∫

2 1

1

x²dx = − 1 x∣

2

1

= 1 2. 9. Obliczyć pole obszaru pomiędzy krzywymi y = x² i y = x³.

Przecinają się one dla x = 0 i x = 1 oraz ta druga krzywa jest na tym odcinku [0, 1] poniżej, a zatem:

P =∫

1 0

(x²−x³)dx = (x³ 3 −

x⁴ 4 )∣

1

0

= 1 12.

10. W chwili t = 0 [s] tancerz poruszający się po osi X jest w punkcie 0. Wiadomo, że porusza się z prędkością v = 2t sin t²π [m/s]. W jakim punkcie znajdzie się po 1s?

Prędkość to pochodna położenia, więc położenie to całka z prędkości:

x =∫

1 0

2t sin t²π dt podstawiam u = t²π, du/dt = 2tπ, u(0) = 0, u(1) = 1 a zatem:

x =∫

1 0

sin uπ du = −1

πcos uπ∣¹₀= 2 π.

2