Sur la courbure des lignes de niveau et de leurs trajectoires orthogonales dans la classe Icak des fonctions sigme convexes d’ordre a et /c-symétriques

ANNALES SOCIETATIS MATHEMATICAE TOLONAE Series I: COMMENTATIONES MATHEMATICAE XXV (1985) ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO

Séria I: PRACE MATEMATYCZNE XXV (1985)

Z

B

(Radom) et J

Z

(Lublin)

Sur la courbure des lignes de niveau et de leurs trajectoires orthogonales dans la classe I cak des fonctions sigme convexes

d’ordre a et /c-symétriques

1. Introduction. Soit Sk, к — 1, 2, la classe des fonctions de la forme

analytiques et univalentes dans le cercle E = \z: \z\ < 1}. Par Zk, к = 1, 2, désignons la famille des fonctions de la forme

méromorphes et univalentes dans le cercle E. On sait que si / ESk (F e Z k) on a / ( £ ) (F(E)) est un ensemble de symétrie /c-uple.

Le nombre oc, 0 ^ a < 1, étant fixé, posons:

Dans ce travail nous nous proposons de trouver des limitations exactes de la courbure des lignes de niveau de la fonction F e Z cak et de leurs trajectoires orthogonales. Dans le cas de la famille Z c0k = Z ck des fonctions sigme- convexes et /с-symétriques ce problème a été résolu par Korickii f 31.

00

/( z ) = z + £

2 Z. Bo g u c k i et J. Zd e r k i e w i c z

2. Théorème auxiliaire. Les auteurs des travaux [1] et [2] ont détermina' les ensembles des valeurs des fonctionnelles

/ i ( / ) = ln |/(z )| + /R e

h ( f ) = ln |/ ( z ) |+ i Im

2

f'(z ) /(z ) ’ z/'(z)

/(* ) *

où z est un point fixé du cercle E et / varie dans la classe S**. Ces résulta ont permis de résoudre le problème de la courbure des lignes de niveau et c leurs trajectoires orthogonales dans la classe Scak. Profitant de la relation

( / s S £ ) H F = ie X ;U on obtient

(2.1) Us(/)}/eSak = * = 1>2.

En tenant ensuite compte de (2.1) et de la relation (ТеГ£к) (zF’e l * k) et enf de [1] (corollaire 3) et [2] (corollaire 1), on obtient

T

1. Si F e X ca k, z e E , \z\ = r > 0, on a les limitations exacte:

zF"(z)

(

2

2

(2.3) où

A 1 ^ — Re 1 +

E' (z) < B lt Im zF" (z)

E' (z) ^ ^ 2,

= a + (l — a)

A x = a + (l —a)(l — r2k) |r2 F '(z)\Ща~ 1},

1 - rk 2krk ln [r2 1F' (z) | ( 1 + r*)2(a - 1 )/k]

1+r* 1 — т2к ln [ ( l + r * ) / ( l - r k)]

B 2 = 2( 1 — a) rk(a +1 )/(a~ 1]\F' (z)|k/(*' 1 > • sin в, 1 + r 2k — \r2F'(z)\k,(1' cc) cos в =

2rk

3. Résultat principal. Désignons par K{z, F) la courbure de la ligne d<

niveau F(C r), Cr — {z: \z\ = r } , au point w = F(z), où F e l cak. On sait qu«

K(z, F) = — Re [ 1 4- zF" (z)/F' (z)]

\zF'(z)\

T

2. Si F e Z caki on a, pour tout

<

E, \

\ = r > 0, les limitation exactes

(3.1) 1 — ( 1 — 2a) rk 1 +(1 — 2a) rk

Г ---Г-7-ГХ7Г—1П7 < K (z, F) ^ r (1 + r *)l+2(l-a)/fc

Courbure des lignes de niveau 3

D é m o n s tr a t io n . En divisant les deux membres de (2.2) par rx, x = \F'(z)\, on obtient

= Х б [К „ Л г],

rx rx

où

R t = r - 2 ( 1 _ r * ) 2 ( l - a)/k> R 2 = r - 2 ( 1 + r k ) 2 ( l - « ) / f c >

Comme

iV'(x) = — [a + ( l + /c — a)(l — r2k)(xr2)k/(a_1)] x ~ 2 < 0, on a

min N{x) = N (R2) = r 1 — ( 1 — 2a) rk

^-r*1)1 + 2*1

Nous allons maintenant déterminer le maximum de la fonction M dans l’intervalle [R l5 R2]. Or, puisque r x 2 M '(x )= —A — B + B lnx, où

л 1- г к 1 2 krk ln [ r ~ 2( l + r k)2(1_a)/k]

Л - а + ( 1- а ) у - ^ + у —^ - 1п И 1+ г *)д 1_ г*)-|

В = 2 krk

ь - Т 2к : In l + r k 1 1 — r* jfc 5 done

max M(x) = max [M (R t ), M (R 2)].

On constate aisément que M ( R 2) < M (R 1), done 1 + (1 — 2a )rk max M(x) = г _ г>)1 + 2| 1- .,д ,

ce qui achève la démonstration du théorème 2.

Soit F e Z cak et soit R un rayon fixe du cercle E: R = {z : z = re", 0 < r

< M . On sait que la courbure L(z, F) de la curbure F (R) au point w = F (z) est donnée par la formule

L(z, F) = - I m [(zF"(z))l(F’(z))\

|zF(z)l

T

3. Si F е ! сяк, on a, pour tout z e E , \z\ = r > 0, les limitations exactes

2(1 —a)rk + 1 sin в (1—2Гк COS e + r2k)(l +k-*)lk’

(3.2) IL(z, F)| ^

4 Z. Bo g u c k i et J. Zd e r k i e w i c z

OU

COS в = s j k 2{ 1 + r 2k)+ 16(1 — a)(l -\-k — tx)r2k — k(l + r 2k) 4(1-«)»■*

D é m o n s t r a tio n . En divisant les deux membres de (2.3) par r|F'(z)| et en posant y = (r2 |F ,(z)|)k/(1-e) on obtient

|L(z, F)| ^ 2(1 — a)r*+1 • H(y), (3.3)

où

(3.4) La dérivée

H (y) = y{a~ 1~k)lk-sin в, y e [( 1 -r* )2, (1+r*)2], 1 + r 2k- y

cos в = 2rk

(k + i — cc)(l — r2k)2 + (2

— 2 — k)(l + r2k) y + (l —a) y H'(y) =

4kr2k -y2+(1 “)/fc- s in 0

Le numérateur au second membre de la dernière égalité s’annule lorsque {k + 2 - 2а) (1 + r2k) + J k 2{ 1 + r 2k)2 + 16(1 - л ) ( к + 1 - a ) r 2*

Уо, 1 *

2 (1- a )

On constate aisément que (1 — rk)2 <Уо < ( l + r *)2 < y b et par conséquent max H (y) = H (y0).

Pour achever la démonstration du théorème 3 il suffit de poser dans (3.3) et (3.4) y = y 0.

Références

[1] Z. B o g u c k i et J. Z d e r k ie w ic z , Sur la courbure des lignes de niveau dans la classe Scak des fonctions convexes d ’ordre a et k-symétriques, Ann. Polon. Matb 41 (1983), 37-42.

[2 ] —, —, Sur la courbure de Гimage du rayon dans la classe Scak des fonctions convexes d’ordre a et k-symétriques, Ann. Polon. Math. 45 (1985), 161-163.

[3 ] G. V. K o r ic k ij , O krivizne linij urovnja i ikh ortogonal’nykh traektorij pri konformnykh otobrazhenijakh, Mat. Sb. 37 (79), 1 (1955), 103-116.

WY2SZA SZKOLA INZYNIERSKA, ' ZA K tA D MATEMATYKI, RADOM ÉCOLE SUPÉRIEURE D’INGÉNIEURS, SECTION DE MATHÉMATIQUES, RADOM ZA K tA D MATEMATYKI STOSOWANEJ, POLITECHNIKA LUBELSKA, LUBLIN SECTION DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES, ÉCOLE POLYTECHNIQUE, LUBLIN