MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 353-360, Gliwice 2006
MODEL FENOMENOLOGICZNY
MAGNETYCZNYCH STOPÓW Z PAMIĘCIĄ KSZTAŁTU
KATARZYNA MAJEWSKA
ARAKDIUSZ ŻAK
Instytut Maszyn Przepływowych PAN, Gdańsk
WIESŁAW OSTACHOWICZ
Instytut Maszyn Przepływowych PAN, Gdańsk Akademia Morska, Wydział Nawigacyjny, Gdynia
Streszczenie: Opracowano jednowymiarowy model fenomenologiczny opisujący zjawisko magnetycznej pamięci kształtu. Zjawisko to zachodzi w stopach z magnetyczną pamięcią kształtu. Koncepcja tego modelu wynika z analogii do klasycznego efektu pamięci kształtu. Model uwzględnia elementarne zjawiska występujące w trakcie magnesowania wspomnianych wyżej stopów z pamięcią kształtu. Jednowymiarowy model fenomenologiczny może być w prosty sposób uogólniony na przypadki wielowymiarowe oraz może być rozszerzony o te zjawiska, które na obecnym poziomie modelowania nie zostały uwzględnione.
1. WSTĘP
W literaturze dotyczącej stopów z pamięcią kształtu dużo miejsca zajmują prace poświęcone materiałom magnetycznym, ze szczególnym uwzględnieniem nowych stopów o interesujących własnościach magnetycznych, takich jak stopy z magnetyczną pamięcią kształtu, magnetyczne włókna amorficzne, materiały spinotroniczne, itp. [1–5].
Magnetyczne stopy z pamięcią kształtu znane są od niedawna jako nowe materiały, które pod wpływem działania zewnętrznego pola magnetycznego ulegają znaczącej i w pełni odwracalnej deformacji. Jako pierwszy magnetyczny efekt pamięci kształtu zaobserwował Ullakko (1996). Z uwagi na swoje niezwykłe własności magnetyczne materiały z pamięcią kształtu znalazły szybko zastosowanie jako elementy aktywatorów i sensorów, [3–5]. Do tej pory najbardziej poznanym i przebadanym stopem wykazującym magnetyczny efekt pamięci kształtu jest stop NiMnGa, jakkolwiek w literaturze publikowane są wyniki badań dotyczące także i innych stopów takich jak CoNiGa, FePd oraz FePt.
Zmiany zachodzące w magnetycznych stopach z pamięcią kształtu w procesie ich aktywacji są na ogół rozpatrywane i badane w mikroskali. W pracach dotyczących magnetycznej pamięci kształtu badano tworzenie się różnych wariantów martenzytu, ich struktury i procesów reorientacji, a także układy domen magnetycznych. Analizowano wpływ działania zewnętrznego pola magnetycznego, zjawisko magnetostrykcji oraz zjawisko polaryzacji magnetycznej na powstawanie krzywej histerezy, a także wpływ temperatury oraz rozkłady energii zarówno w sposób teoretyczny jak i w ujęciu fenomenologicznym, [6–8].
2. MAGNETYCZNY EFEKT PAMIĘCI KSZTAŁTU
2. 1. Struktura krystalograficzna magnetycznych stopów z pamięcią kształtu
Struktura krystalograficzna fazy martenzytycznej (niskotemperaturowej) jest strukturą tetragonalną, natomiast fazy austenitycznej (wysokotemperaturowej) jest strukturą regularną (sześcienną). W przypadku nieodkształconej fazy austenitycznej wymiar a0 związany jest długością krawędzi sześciennej komórki elementarnej, natomiast w przypadku fazy martenzytycznej wymiar a związany jest z dłuższymi krawędziami komórki elementarnej a wymiar c z krótszymi jej krawędziami.
W fazie martenzytycznej wyróżnia się 3 warianty martenzytu o pewnym wybranym kierunku krystalograficznym zwanym swobodną osią magnetyzacji i związanym z polaryzacją magnetyczną M. Kierunek ten pokrywa się z kierunkiem, który wyznaczają krótsze krawędzie komórki elementarnej c. Warto zauważyć, że zwrot wektora polaryzacji magnetycznej M jest zgodny bądź przeciwny do kierunku swobodnej osi magnetycznej i dopasowuje się do kierunku i zwrotu wektora zewnętrznego pola magnetycznego H działającego wewnątrz materiału z pamięcią kształtu.
2. 2. Efekt pamięci kształtu
Początkowo próbka wykonana z magnetycznego stopu z pamięcią kształtu pozostająca w fazie austenitycznej jest schładzana przy stałym naprężeniu ściskającym σxx o wartości pomiędzy pewnymi naprężeniami krytycznymi σsv oraz σb (σsv – naprężenie ściskające niezbędne do uzyskania pojedynczego wariantu martenzytu, zaś σb –naprężenie blokujące, powyżej którego magnetyczny efekt pamięci kształtu nie występuje). W wyniku przemiany martenzytycznej i działającego naprężenia ściskającego σxx po zakończeniu przemiany martenzytycznej otrzymuje się pojedynczy wariant martenzytu w całej próbce – wariant 1.
Obserwuje się również pewne skrócenie długości próbki. Uzyskana polaryzacja magnetyczna M ma kierunek związany z kierunkiem działającego naprężenia ściskającego σxx.
W mikroskali w trakcie chłodzenia próbki powstają domeny magnetyczne, których polaryzacja magnetyczna M ma kierunek związany z kierunkiem działającego naprężenia ściskającego σxx. Domeny magnetyczne są oddzielone od siebie ścianami magnetycznymi, w których następuje obrócenie wektora polaryzacji magnetycznej M dla zrównoważenia polaryzacji magnetycznej pochodzącej od sąsiednich domen magnetycznych. W rozważanym przypadku wektory polaryzacji magnetycznej w domenach, ze względu na swoją tetragonalną symetrię, skierowane są wzdłuż swobodnej osi magnetyzacji zgodnie lub przeciwnie do kierunku x, w zależności od domeny. Przyłożenie zewnętrznego pola magnetycznego Hy o kierunku prostopadłym do kierunku związanego z działającym naprężeniem ściskającym σxx powoduje nukleację i wzrost 2 wariantu martenzytu. Pole magnetyczne Hy powoduje przesuwanie ścian domenowych, ich reorientację oraz migrację bliźniaków. W konsekwencji zachodzi reorientacja wektorów polaryzacji magnetycznej M. Wzrost 2 wariantu martenzytu zachodzi kosztem 1 wariantu oraz powoduje powstanie odkształcenia reorientacji i wydłużenie próbki. Powyższy proces to magnetycznie wymuszona reorientacja wariantów martenzytu, który jest mikrostrukturalnym mechanizmem powodującym makroskopowy magnetyczny efekt pamięci kształtu.
3. MODEL FENOMENOLOGICZNY MAGNETYCZNYCH STOPÓW Z PAMIĘCIĄ KSZTAŁTU
3. 1. Założenia modelu
U podstaw równań konstytutywnych jednowymiarowego modelu fenomenologicznego magnetycznego efektu pamięci kształtu leżą obserwacje doświadczalne, które pozwalają na poczynienie pewnych założeń upraszczających:
ü magnetyczny efekt pamięci kształtu związany jest jedynie z reorientacją wariantów martenzytu, tzn. magnetyczny stop z pamięcią kształtu pozostaje w fazie martenzytycznej, ü zakłada się nieskończoną wartość anizotropii magnetycznej, tzn. wektory polaryzacji
magnetycznej nie oscylują wokół swobodnej osi magnetycznej w konsekwencji czego energia związana z tego typu oscylacjami jest pomijana,
ü zaniedbuje się odkształcenia związane ze zjawiskiem magnetostrykcji, gdyż energia tego zjawiska jest przynajmniej o rząd mniejsza od energii związanej ze zjawiskiem magnetycznie wymuszonej reorientacji wariantów martenzytu.
3. 2. Równanie konstytutywne
Makroskopowe odkształcenie całkowite ε związane z magnetycznym efektem pamięci kształtu może być w zakresie małych odkształceń przedstawione jako suma odkształcenia termoelastycznego εte, odkształcenia reorientacji εr i odkształcenia transformacji εtr:
tr r
te ε ε
ε
ε= + + (1)
Odkształcenie termoelastyczne εte można przedstawić w postaci sumy odkształcenia sprężystego εe i odkształcenia termicznego εt jako:
ξ T α ε ξ T E
ξ ε Θ ε ε
ε&te &e &t &e & &e ( )&
) (
)
( = +
−
= +
= (2)
gdzie T oznacza temperaturę, Θ współczynnik termiczny, E moduł Younga, zaś α współczynnik rozszerzalności liniowej. Zachodzą przy tym następujące związki:
) (
) ( ), (
)
(ξ Ea ξ Em Ea α ξ αa ξ αm αa
E = + − = + − (3)
gdzie Ea i Em są modułami Younga fazy austenitycznej i martenzytycznej, αa i αm
współczynnikami rozszerzalności liniowej, zaś ξ jest udziałem fazy martenzytycznej.
W magnetycznych stopach z pamięcią kształtu odkształcenie reorientacji εr związane z magnetycznym efektem pamięci kształtu przyjmuje się jako proporcjonalne do udziału odpowiedniego wariantu fazy martenzytycznej indukowanej naprężeniowo, [9, 10]:
) 2 ( ) 2 (
) (
) (
s r s
r ξ ε ξ
ξ E
ξ
ε& =−Λ & = & & (4)
gdzie Λ jest współczynnikiem reorientacji, εr maksymalnym wydłużeniem związanym z reorientacją wariantów martenzytu, natomiast ξs(2)
2 wariantem fazy martenzytycznej indukowanej naprężeniowo (wybór odpowiedniego wariantu związany jest z przyjętym układem współrzędnych). W przypadku dwóch wariantów martenzytu zachodzą zależności:
) 2 ( ) 1
, s s( s
t
s ξ ξ ξ ξ
ξ
ξ = + = + (5)
w których ξt oznacza względny udziałfazy martenzytycznej indukowanej termicznie.
W klasycznych stopach z pamięcią kształtu przyjmuje się, że odkształcenie transformacji εtr jest proporcjonalne do udziału fazy martenzytu indukowanej naprężeniowo ξs (np. [10]):
s l s
tr ξ εξ
E ξ ξ ε& =−Ω & =
) (
)
( (6)
Zakładając, że współczynnik reorientacji Λ, współczynnik termiczny Θ, moduł Younga E oraz odkształcenie sprężyste εe są wielkościami stałymi, równania (2), (4) i (6) można scałkować względem czasu.
Równanie konstytutywne opisujące zmiany naprężenia σ w magnetycznych stopach z pamięcią kształtu może być przyjęte w analogicznej formie jak w przypadku klasycznych stopów z pamięcią kształtu, [10–12]:
) (
) ( ) (
) ( )
(σ−σ0 =E ε−ε0 +ΘT −T0 +Ω ξ −ξ0 +Λξs(2) −ξs(20) (7) gdzie indeks „0” odnosi się do pewnego stanu początkowego. Równanie (7) jest równaniem nieliniowym, ponieważ względna objętość fazy martenzytycznej ξ jest nieliniową funkcją naprężenia σ oraz temperatury T, co można zapisać w postaci:
) , ( ),
, ( ),
,
(σT ξ ξ σT ξ ξ σT
ξ
ξ = s = s t = t (8)
zaś względna objętość poszczególnych wariantów martenzytu dodatkowo nieliniową funkcją naprężenia σ oraz natężenia zewnętrznego pola magnetycznego H:
) , ( ),
,
( (2) (2)
) 1 ( ) 1
( ξ σ H ξ ξ σ H
ξs = s s = s (9)
W trakcie procesu reorientacji wariantów martenzytu, tak długo jak długo cała próbka pozostaje w stałej temperaturze w fazie martenzytycznej, zachodzi następujący związek:
0
, =
= tr
tr const ε
ε & (10)
Wykorzystanie powyższego założenia pozwala uprościć równanie konstytutywne (7) do ostatecznej postaci:
) (
) ( )
(σ −σ0 =Em ε−ε0 +Λξs(2) −ξs(20) (11) która może być uważana za formę wyjściową równania konstytutywnego opisującego zmiany naprężenia σ związane z magnetycznym efektem pamięci kształtu.
3. 3. Ewolucja wariantów martenzytu
Zjawisko magnetycznej pamięci kształtu związane jest w pełni z odwracalnym procesem reorientacji wariantów martenzytu. W procesie tym występują cztery charakterystyczne wartości natężenia zewnętrznego pola magnetycznego Ĥy(σ) odpowiadające początkom i końcom odpowiednich przemian związanych z reorientacją wariantów martenzytu:
Ĥ(σ)s(1–2) – początek reorientacji 1 wariantu martenzytu w 2 wariant, Ĥ(σ)f(1–2) – koniec reorientacji 1 wariantu martenzytu w 2 wariant, Ĥ(σ)s(1–2) – początek reorientacji 2 wariantu martenzytu w 1 wariant, Ĥ(σ)f(2–1) – koniec reorientacji 2 wariantu martenzytu w 1 wariant.
Z uwagi na rodzaj zmian wartości charakterystycznych natężenia zewnętrznego pola magnetycznego Ĥy(σ) w funkcji naprężenia σxx do opisu zmian wielkości Ĥy(σ) wykorzystano funkcję aproksymującą:
d σ c
σ b σ a
Hˆy( )= ( e − )exp(−( e/ )2)+ (12) gdzie σe jest naprężeniem efektywnym, natomiast stałe a, b, c, oraz d można wyznaczyć na podstawie badań eksperymentalnych. Z badań tych wynika, że stała b jest mała w porównaniu do wartości naprężenia σxx i dlatego stała d może być traktowana jako wartość natężenia zewnętrznego pola magnetycznego Hy odpowiadająca zerowemu naprężeniu Ĥy(0).
Rys. 1. Zmiany charakterystycznych wartości natężenia zewnętrznego pola magnetycznego Ĥy(σ) w funkcji naprężenia σxx
Ograniczając rozważania do wcześniejszych założeń udziały odpowiednich wariantów martenzytu można wyrazić w następującej postaci, [10–12]:
− w trakcie procesu reorientacji 1 wariantu martenzytu w 2 wariant martenzytu zachodzą związki (13):
1 )
ˆ (
|
|
2 )) 1 ) ˆ (
| (|
2 cos(
) 1 ˆ (
|
| )
ˆ (
) ˆ (
|
|
) 2 ( )
2 1 (
) 2 ( ) 0
2 1 ( 12
) 2 ( ) 0
2 ( )
2 1 ( )
2 1 (
) 2 (
0 ) 2 ( )
2 1 (
=
⇒
>
+ +
− −
=
⇒
≤
≤
=
⇒
<
−
−
−
−
−
s f
y y
f s y y s
s f
y y s
y
s s s
y y
ξ σ
H H
σ ξ H H ξ d
ξ σ
H σ H
H
ξ ξ σ
H H
gdzie
) 2 1 ( )
2 1 12 (
) 2 ( )
1 (
) 0 ˆ ( )
0 ˆ ( ,
1− = − − −
= f
y s
y s
s H H
d π ξ
ξ .
− w trakcie procesu reorientacji 2 wariantu martenzytu w 1 wariant martenzytu zachodzą związki (14):
1 )
ˆ (
|
|
2 )) 1 ) ˆ (
| (|
2 cos(
) 1 ˆ (
|
| )
ˆ (
) ˆ (
|
|
) 1 ( )
1 2 (
) 1 ( ) 0
1 2 ( 21
) 1 ( ) 0
1 ( )
1 2 ( )
1 2 (
) 1 (
0 ) 1 ( )
1 2 (
=
⇒
>
+ +
− −
=
⇒
≤
≤
=
⇒
>
−
−
−
−
−
s f
y y
f s y y s
s f
y y s
y
s s s
y y
ξ σ
H H
σ ξ H H ξ d
ξ σ
H σ H
H
ξ ξ σ
H H
gdzie
) 1 2 ( )
1 2 21 (
) 1 ( )
2 (
) ˆ ( )
ˆ ( ,
1− = − − −
= s
y f
y s
s H σ H σ
d π ξ
ξ .
3. 4. Odkształcenie reorientacji wariantów martenzytu εr
W magnetycznych stopach z pamięcią kształtu odkształcenia reorientacji εr jest funkcją naprężenia σ. Funkcja ta ma analogiczny przebieg do zmian charakterystycznych wartości
natężenia pola magnetycznego Ĥy(σ). Zależność między odkształceniem reorientacji εr, a naprężeniem σ można przedstawić w następującej formie:
d σ c
σ b σ a
εr( )= ( e − )exp(−( e/ )2)+ (15)
Rys. 2. Zmiany odkształcenia reorientacji εr w funkcji naprężenia σxx
Zmiany odkształcenia reorientacji w funkcji naprężenia εr(σ) posiadają wyraźne maksimum wynoszące 2,13% dla naprężenia ściskającego σxx=–1MPa. Wzrost naprężenia ściskającego σxx powoduje spadek odkształcenia reorientacji εr do zera dla naprężenia σxx=–8MPa. Naprężenie to nosi nazwę naprężenia blokującego σb, powyżej którego magnetyczny efekt pamięci kształtu nie występuje.
4. OBLICZENIA NUMERYCZNE
Obliczenia numeryczne prowadzono w celu weryfikacji opracowanego modelu fenomenologicznego. W obliczeniach wykorzystano dane materiałowe dla magnetycznego stopu z pamięcią kształtu NiMnGa, [9] oraz wartości stałych wyznaczonych w oparciu o zaproponowane funkcji aproksymujące.
Na rys. 3 przedstawiono wyniki analizy magnetycznego efektu pamięci kształtu w funkcji naprężenia ściskającego σxx oraz natężenia zewnętrznego pola magnetycznego Hy, przy założeniu pełnej reorientacji wariantów martenzytu. Następnie rozważono przypadek częściowej reorientacji wariantów martenzytu spowodowanej cyklicznymi zmianami natężenia pola magnetycznego Hy w przypadku stałego obciążania próbki naprężeniem ściskającym σxx o wartości 1 MPa. Wyniki przedstawiono na rys. 4.
Rys. 3. Zmiany odkształcenia εxx próbki w funkcji natężenia zewnętrznego pola magnetycznego Hy dla wybranych wartości naprężenia σxx
Rys. 4. Cykliczne zmiany (a) względnego udziału wariantów martenzytu, (b) odkształcenia εxx w funkcji natężenia zewnętrznego pola magnetycznego Hy
5. WNIOSKI
W wyniku prowadzonych badań opracowano jednowymiarowy model fenomenologiczny opisujący zjawisko magnetycznego efektu pamięci kształtu, które występuje w magnetycznych stopach z pamięcią kształtu. Koncepcja modelu wynika z analogii pomiędzy magnetycznym a klasycznym efektem pamięci kształtu. Należy podkreślić, że mimo poczynionych założeń upraszczających przedstawiony model fenomenologiczny stanowi dobrą bazę do jego stopniowego uogólniania oraz pozwala na uwzględnianie tych zjawisk, które nie zostały na obecnym poziomie modelowania rozważane.
Wyniki przeprowadzonych badań można podsumować następująco:
ü proces reorientacji wariantów martenzytu jest ściśle związany z wartością naprężenia efektywnego;
ü magnetyczny efekt pamięci kształtu w magnetycznych stopach z pamięcią kształtu zależy od stopnia namagnesowania próbki oraz od wartości działającego naprężenia;
ü odkształcenie reorientacji posiada maksimum dla pewnej wartości naprężenia. Po jej przekroczeniu maleje osiągając wartość zerową dla wartości naprężenia równej naprężeniu blokującemu. Powyżej tej wartości magnetyczny efekt pamięci kształtu nie występuje;
ü magnetyczny efekt pamięci kształtu można opisać przy pomocy modelu opierającego się na pewnych charakterystykach reorientacji, analogicznie jak w przypadku klasycznego efektu pamięci kształtu;
ü charakterystyki potrzebne do opisu początku i końca procesów reorientacji poszczególnych wariantów martenzytu w funkcji natężenia zewnętrznego pola magnetycznego można wyznaczyć eksperymentalnie, podobnie jak i charakterystykę odkształcenia reorientacji w funkcji naprężenia.
PODZIĘKOWANIA
Autorzy niniejszego artykułu pragną wyrazić podziękowania Komitetowi Badań Naukowych za wsparcie finansowe prowadzonych przez nich badań w ramach środków Projektu Badawczego KBN PB 4 T07A 003 28.
LITERATURA
1. Jiles D.C.: Recent advances and future directions in magnetic materials. Acta Materialia, 51, 2003, s. 5907–5939.
2. Enkovaara J., Ayuela A., Zayak A.T., Entel P., Nordstöm L., Dube M., Jalkanen J., Impola J., Nieminen R.M.: Magnetically driven shape memory alloys. Materials Science and Engineering A, 378, 2004, s. 52–60.
3. Liang Y., Sutou Y., Wada T., Lee C., Taya M., Mori T.: Magnetic field–induced reversible actuation using ferromagnetic shape memory alloys. Scripta Materialia, 48, 2003, s. 1415–
1419.
4. Suorsa I., Pagounis E., Ullakko K.: Magnetic shape memory actuator performance.
Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 272–276, 2004, s. 2029–2030.
5. Tellinen J., Suorsa I., Jääskeläinen A., Aalitio I., Ullakko K.: Basic properties of magnetic shape memory actuators. Proceedings of 8th international conference ACTUATOR 2002, Bremen, Germany, 2002.
6. Kiang J., Tong L.: Modeling of magneto–mechanical behavior of NiMnGa single crystal.
Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 292, 2005, s. 394–412.
7. Hirsinger L., Lexcellent C.: Modeling detwinning of martensite platelets under magnetic and (or) stress actions on NiMnGa alloys. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 254–255, 2003, s. 275–277.
8. Likhachev A.A., Sozinov A., Ullakko K.: Different modeling concepts of magnetic shape memory and their comparison with some experimental results obtained in NiMnGa.
Materials Science and Engineering A, 378, 2004, s. 513–518.
9. Kiefer B., Lagoudas D.C.: Magnetic field–induced martensitic variant reorientation in magnetic shape memory alloys. Smart Structures and Materials, 5761, 2005, s. 454–465.
10. Brinson L.C.: One–dimensional constitutive behavior of shape memory alloys:
thermomechanical derivation with non–constant material functions and redefined martensite internal variable. Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 4, 1993, s. 229–242.
11. Tanaka K.: A thermomechanical sketch of shape memory effect: one–dimensional tensile behavior. Res. Mechanica, 18, 1986, s, 251–263.
12. Liang C., Rogers C.A.: One–dimensional thermomechanical constitutive relations for shape memory material. Journal of Intelligent Materials and Structures, 1, 1990, s. 207–
234.
THE FENOMENOLOGICAL MODEL
FOR MAGNETIC SHAPE MEMORY ALLOY BEHAVIOUR Summary: A one–dimensional phenomenological model has been developed in order to describe the magnetic shape memory phenomena observed in magnetic shape memory alloys. The concept of this model comes out from the analogy to the classic shape memory effect. The investigated model takes into account elementary processes associated with the magnetisation process of the magnetic shape memory alloys. The formulated one–dimensional phenomenological model can be generalised in a simple way for multidimensional cases and can be extended to those which take into account processes, which have been neglected in the present modelling level.
