MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 37-44, Gliwice 2006
PORÓWNANIE WYBRANYCH RÓWNAŃ KONSTYTUTYWNYCH STOPÓW Z PAMIĘCIĄ KSZTAŁTU
KRZYSZTOF BIEREG
Katedra Wysokich Napięć i Aparatów Elekt., Politechnika Gdańska
Streszczenie. W artykule zostały opisane cztery modele stopów z pamięcią kształtu. Zostały one opracowane przez Tanakę, Boyda i Lagoudasa, Lianga i Rogersa oraz przez Brinson. W artykule porównano matematyczną stronę równań, zestawiono także wyniki numeryczne z wynikami doświadczeń labolatoryjnych, zaczerpnietych z literatury. Wszystkie modele wykazały dobre zależności miedzy naprężeniami oraz odkształceniami w fazie austenitu.
Podkreślono, że model opracowany przez Brinson wykazał się najlepszymi zależnościami w obydwu fazach, martenzytycznej i austenitycznej.
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE O SMA
Stopy z pamięcią kształtu (Shape Memory Alloys – SMA) należą do grupy materiałów inteligentnych. Materiały inteligentne to takie, które pod wpływem działania sygnałów zewnętrznych potrafią zmienić swoje właściwości w sposób znaczny, tak by odpowiedzieć na te sygnały. Stopy z pamięcią kształtu mają zdolność do zapamiętywania nadanego im kształtu, czyli poddane trwałym odkształceniom w określonych warunkach powracają do pierwotnego kształtu. Czynnikami wywołującymi zmianę kształtu są: temperatura, pole magnetyczne, albo odciążenie materiału wcześniej obciążonego. Zdolności te sprawiają, że SMA zajmują czołowe miejsce w grupie materiałów inteligentnych.
SMA charakteryzuje zdolność do bardzo dużych odwracalnych zmian wymiarowych, pozwalających na uzyskanie dużej energii. Praca wykonana podczas powrotu do zadanego kształtu sięga 5.5 J/g. Ważnym parametrem są także naprężenia powstające podczas powrotu do zapamiętanego kształtu. Dla odpowiednich stopów jest możliwość osiągnięcia naprężeń rzędu 800 MPa. Parametrem istotnym są także maksymalne odkształcenia rezydualne εL, które sięgają 8%. Niestety, wadą tej grupy materiałów inteligentnych jest niewielka częstotliwość przemian (102 Hz) [9], [10] w porównaniu z materiałami piezoelektrycznymi (105 Hz). Charakterystycznymi zakresami temperatur są Mf, Ms, As, Af. Temperatury te mają różne wartości w zależności od stopu, który poddajemy obróbce termomechanicznej.
Są to charakterystyczne temperatury przemian, odpowiednio dla końcowego etapu formowania martenzytu, początkowego formowania martenzytu, początkowego formowania austenitu oraz końcowego formowania się austenitu.
Zjawisko pamięci kształtu jest ściśle związane z odwracalną termosprężystą przemianą martenzytyczną. Odwracalna przemiana martenzytyczna umożliwia wykorzystanie trzech głównych właściwości:
− jednokierunkowy i dwukierunkowy efekt pamięci kształtu.
− właściwości nadsprężyste w fazie macierzystej (T>Af).
− możliwość zmiany charakterystyki tłumienia zmianą temperatury lub naprężeń.
Jednokierunkowy efekt pamięci kształtu powstaje temperaturach niższych od Mf. Odkształcenie martenzytu w temperaturach niższych od Mf powoduje jego orientację.
Trzeba jednak pamiętać, by odkształcenie nie przekraczało wartości krytycznej, czyli εL. Nagrzanie stopu powoduje przemianę odwrotną, tej przemianie towarzyszy odzyskanie kształtu fazy wysokotemperaturowej.
Dwukierunkowy efekt pamięci kształtu powstaje wówczas, gdy materiał zapamiętuje kształt fazy wysokotemperaturowej oraz niskotemperaturowej. Przejście od jednego kształtu do drugiego odbywa się bez udziału naprężeń. Czynnikiem wywołującym zmianę jest obciążenie temperaturowe w zakresie od Mf do Af.
Efekt pseudosprężysty jest izotermiczny. Odkształcenie austenitu w temperaturach wyższych od Af, po przekroczeniu naprężeń σMs wywołuje przemianę martenzytyczną indukowaną naprężeniami. Wykres odkształcenie-naprężenie ma kształt pętli histerezy.
Zjawisko zachodzi tylko w przedziale temperatur od Af do Mf, gdzie naprężenia zrównują się z granicą plastyczności danego materiału.
2. ZASTOSOWANIE SMA
Elementy wykonane ze stopów z pamięcią kształtu są przeważnie wykorzystywane jako aktuatory do uzyskania ruchu, uruchomienia lub wytworzenia naprężeń przy powrocie do zadanego kształtu. Aktuatory dzieli się na pasywne i aktywne. Pasywne to takie, które reagują wówczas, gdy temperatura otoczenia osiągnie odpowiednia wartość. Aktywne reagują na celową zmianę temperatury, w wyniku przepływu prądu, cieczy, albo gazu.
Dlatego wszędzie tam gdzie jest potrzeba wygenerowania określonego ruchu, w ściśle określonych warunkach można zastosować SMA. W wielu dziedzinach materiały z pamięcią kształtu znalazły zastosowanie, najczęściej jednak są stosowane w:
− medycynie i biomechanice,
− ortodoncji i chirurgii,
− aeronautyce i robotyce.
Precyzja działania oraz ściśle określone warunki pracy sprawiają, iż są tworzone liczne modele stopów z pamięcią kształtu. Dzięki nim można przewidywać z większą lub mniejszą dokładnością, w zależności od modelu, zachowanie się elementu pod wpływem działania bodźców atywujących.
3. MODELE SMA
W literaturze można znaleźć wiele sposobów opisujących zjawiska pamięci kształtu.
Celem modelowania SMA jest jak najwierniejsze odwzorowanie relacji naprężeniowo–
odkształceniowo–temperaturowych. Wyróżnia się trzy najbardziej popularne sposoby opisywania przemian:
− konstytutywny model termodynamiczny wykorzystujący prawa termodynamiki, opisujący zmiany energii swobodnej w celu określenia udziału poszczególnych faz w zachodzących przemianach,
− fenomenologiczny model oparty na opisie zachowania się układów elementów reprezentujących właściwości sprężyste i tłumiące,
− konstytutywny model oparty na podstawowej wiedzy z dziedziny mikromechaniki.
W artykule zostały opisane cztery model SMA. Porównano ich równania konstytutywne, a wyniki implementacji numerycznej zestawiono z zaczerpniętymi z literatury wynikami doświadczeń laboratoryjnych.
3.1. Model Boyda i Lagoudasa
Model Boyd’a i Lagoudas’a [4], [5] zostanie przedstawiony jako pierwszy i bardziej ogólnie, ponieważ ma najmniejszą liczbą podobieństw w budowie równania konstytutywnego z następnymi modelami. Użyli oni energii swobodnej Gibbsa do sformułowania równań konstytutywnych. Ilość frakcji martenzytu pochodzi z przekształceń równań entalpii swobodnej, sformułowanych z rozproszenia potencjału termodynamicznego. Równanie konstytutywne ma postać:
E ξ εte
σ
σ − 0 = ( ) (1)
W równaniu (1) moduł Younga E jest w funkcji ilości frakcji martenzytu ξ.
σ0 to naprężenia początkowe dla początku przemiany. Odkształcenia maksymalne ε te składają się z odkształceń mechanicznych ε i odkształceń przemiany ε t, które są funkcją ilości frakcji martenzytu. Odkształcenia maksymalne można zapisać w następujący sposób:
t
te ε ε
ε = − (2)
ξ zmienia się wraz z zachodzącymi przemianami. W tym modelu są dwie przemiany fazowe. Pierwsza jest z martenzytu w austenit, druga z austenitu w martenzyt.
3.2. Model Tanaki
Tanaka [2] jako jeden z pierwszych opracował matematyczny zapis zachodzących przemian w materiale z pamięcią kształtu. W modelu tym drugie prawo termomechaniki zostało zapisane za pomocą energii swobodnej Helmholtza. Model obejmuje odkształcenia, temperaturę oraz frakcję martenzytu i są to jedyne zmienne stanu w tym modelu. Ilość frakcji martenzytu jest opisana za pomocą wyrażeń wykładniczych. Równanie konstytutywne ma następującą postać:
) )(
( ) ( ) )(
( 0 0 0
0 ξ ε ε ξ ξ ξ
σ
σ − =E − +Θ T −T +Ω − (3)
W równaniu (3) wszystkie zmienne z indeksem „0” są wartościami początkowymi dla danej przemiany. Jak widzimy, naprężenia składają się z trzech członów: z naprężeń mechanicznych, naprężeń termoelastycznych oraz naprężeń wywołanych przemianą fazową.
Można też zauważyć, że moduł Younga E oraz współczynnik przemiany fazowej Ω, są funkcjami ilości frakcji martenzytu. Współczynnik termoelastyczny Θ jest stałą materiałową, natomiast moduł Younga oraz współczynnik przemiany fazowej można zapisać następująco:
) (
)
( EA EM EA
E ξ = +ξ − (4)
) ( )
(ξ =−εL⋅E ξ
Ω (5)
W równaniu (5) εL oznacza maksymalne odkształcenia rezydualne, natomiast EM i EA
są stałymi materiałowymi i oznaczają odpowiednio moduł Younga dla fazy martenzytu i moduł Younga dla fazy austenitu. Ilość frakcji martenzytu jest funkcją naprężeń i temperatury. Wartość ξ zmienia się w zależności od przemiany od 0 do 1. Jeżeli ξ = 1, to stan jest całkowicie martenzytyczny; ξ = 0 oznajmia, że mamy do czynienia ze stanem całkowicie austenitycznym.
Podczas przemiany z fazy austenitycznej do martenzytycznej frakcję martenzytu można zapisać w następujący sposób:
] )
( exp[
1 σ
ξ = − aM MS−T +bM (6) Natomiast w czasie transformacji z martenzytu do austenitu ξ przedstawia się następująco:
] ) (
exp[ σ
ξ = aA AS −T +bA (7) W równaniach (6) i (7) aM, bM, aA oraz bA to stałe materiałowe, charakterystyczne dla fazy austenitu i martenzytu, które wyznacza się z następujących zależności:
) (
) 010 . 0 ln(
f s
A A A
a = −
A A
A C
b = a (8)
) (
) 01 . 0 ln(
f s
M M M
a = −
M M
M C
b = a (9)
3.3 Model Lianga i Rogersa
Liang i Rogers [3], [8] wykorzystali do stworzenia równania konstytutywnego te same prawa termodynamiki co Tanaka. Równanie konstytutywne ma identyczną postać, co równanie (3). Różnica polega na innym sposobie opisania przemian fazowych. W przeciwieństwie do modelu Tanaki część wykładniczą zależności, opisującej ilość frakcji martenzytu, sprowadzono do argumentu fukncji kosinusa. Dla transformacji z fazy austenitycznej do martenzytycznej ilość frakcji martenzytu opisuje się równaniem:
2 ) 1 ] ( )
( 2 cos[
) 1
( A
M f M
A a T M b σ ξ
ξ = −ξ − + + + (10)
Jeśli mamy do czynienia z transformacją z martenzytu do austenitu, wówczas wartość ξ zapisujemy w następujący sposób:
} 1 ] )
( {cos[
2 − + +
=ξ σ
ξ M aA T As bA (11) Stałe materiałowe z równań (10) i (11) oblicza się stosując następujące równania:
)
( f s
A A A
a = π−
A A
A C
b =−a (12)
)
( s f
M M M
a = −π
M M
M C
b =−a (13)
W porównaniu do modelu Tanaki [2] zastosowanie funkcji kosinusa do zapisu przemiany fazowej bardziej zbliża wyniki symulacji numerycznej do wyników doświadczeń laboratoryjnych.
3.4 Model Brinson
Ostatni model, jaki zostanie przedstawiony w artykule, został stworzy na podstawie modelu Tanaki oraz Lianga i Rogersa. Brinson [1], [6] zmodyfikowała równanie (3), po modyfikacji przedstawia się ono następująco:
) )(
( ) )(
( ) )(
( 0 0 0
0 =E − +Ω s − s +Θ T−T
−σ ξ ε ε ξ ξ ξ ξ
σ (14)
Podobnie jak w poprzednich modelach, tak i w tym, naprężenia są opisane za pomocą funkcji ilości martenzytu. Modyfikacja w równaniu konstytutywnym wynikała bezpośrednio z zastosowania dwu rodzajów frakcji martenzytu. Ilość frakcji martenzytu w tym modelu można zapisać w następujący sposób:
T
S ξ
ξ
ξ = + (15)
W równaniu powyższym ξ jest sumą martenzytu indukowanego naprężeniowo ξS
oraz martenzytu indukowanego temperaturowo ξT. We wcześniejszych modelach frakcja martenzytu była tylko jednego rodzaju i wynosiła ξ = 1. W tym przypadku suma ξS i ξT także wynosi jeden. Jednak są obszary, gdzie ξS = 0 albo ξT = 0. Rozbicie ξ na dwie składowe było dobrym posunięciem, gdyż dało najbardziej zbliżone do rzeczywistych wyniki numeryczne.
Wartość ilość frakcji martenzytu zmienia się wraz z zachodzącymi przemianami. W skład wcześniejszych modeli wchodziły dwie przemiany fazowe. Brinson stosuje także dwie przemiany, jednak jedna z nich jest rozbita na dwie. Poniżej przedstawione są matematyczne zapisy tylko jednej przemiany.
Przemiana z frakcji austenitu w frakcję martenzytu:
Dla T >Ms oraz σscr +CM(T −Ms)<σ <σcrf +CM(T−MS):
2 )) 1
( (
2 cos
1 0 S0
S M
cr cr f
f cr s S
S σ σ C T M ξ
σ σ
π
ξ ξ + +
− − −
−
= − (16)
)
1 0 ( 0
0
0 S S
S T T
T ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ −
− −
= (17)
Dla T <MS oraz σscr <σ <σcrf :
2 ) 1 (
2 cos
1 0 cr S0
cr f f cr s S
S
σ ξ σ σ
σ π
ξ ξ + +
−
−
= − (18)
ξ ξ
ξ ξ ξ ξ
ξ S S T
S T T
T − +∆
− −
= ( )
1 0 0
0
0 (19)
Jeśli przemiana zaczyna się w przedziale temperatur Mf <T <Ms oraz T <T0 wówczas:
] 1 )) (
[cos(
2
1− 0 − +
=
∆T ξT aM T Mf
ξ (20)
Jeśli powyższe warunki nie są spełnione, wówczas ∆Tξ = 0. Podczas przemiany z martenzytu w austenit ξ jest opisane za pomocą funkcji kosinusa. W przemianie M→A także jest wyszczególnione ξS oraz ξT. W równaniach (16) i (18) wielkości cscr oraz cfcr przedstawiają krytyczne naprężenia odpowiednio dla początku i końca transformacji frakcji martenzytu w martenzyt indukowany naprężeniowo. Poniżej cscr
jest obszar, w którym jest tylko martenzyt indukowany temperaturowo. Wartości z indeksem „0” są wartościami początkowymi dla danej przemiany. Przy czym trzeba zaznaczyć, że wartości końcowe przemiany pierwszej są początkowe dla przemiany następnej.
4. PORÓWANIE WYNIKÓW NUMERYCZNYCH Z WYNIKAMI DOŚWIADCZEŃ Z braku możliwości przeprowadzenia doświadczeń laboratoryjnych na próbkach NiTinolu w artykule wykorzystano wyniki doświadczeń laboratoryjnych autorstwa J. Epps oraz I. Chopra [7]. Dla odpowiednich parametrów stopu zaimplementowano poszczególne modele SMA. Wyniki matematycznej implementacji zestawiono z wynikami doświadczeń przeprowadzonych na próbkach NiTinolu.
Rys.1. Zestawienie wyników doświadczenia z numeryczną implementacją modelu Brinson
Rys.2. Zestawienie wyników doświadczeń z numeryczną implementacją czterech modeli
Na rys.1. zostały zestawione wyniki doświadczeń laboratoryjnych z numeryczną implementacją modelu Brinson. Zbieżność wyników jest bardzo duża. Model Brinson jest zatem modelem dokładnie odwzorowującym zachowania materiału podczas przemian zachodzących przy transformacjach. Dla porównania na rys.2. zestawiono wyniki doświadczeń laboratoryjnych z numeryczną implementacją wszystkich modeli. Na rysunku widać znaczą różnicę w dokładności odwzorowania rzeczywistego zachowania się materiału przez modele Tanaki, Lianga i Rogersa oraz Boyda i Lagoudasa. Natomiast model Brinson bardzo dokładnie odzwierciedla zmiany zachodzące podczas transformacji.
5. PODSUMOWANIE
W przedstawionych modelach wykorzystano podstawowe prawa termomechaniki do opisania zachodzących zmian. Twórcy posłużyli się energią Gibbsa oraz Helmholtza do stworzenia równań konstytutywnych, a także do matematycznego zapisu zachodzących przemian. Niemniej jednak modele różnią się od siebie. Najbardziej widoczne różnice są dostrzegalne w zapisie przemian fazowych, a także w liczbie przemian. Tanaka był jednym z pierwszych, który stworzył równanie konstytutywne łączące w sobie odkształcenia, temperaturę oraz naprężenia w funkcji ilości frakcji martenzytu. Liang i Rogers wykorzystali jego równanie konstytutywne modyfikując sposób zapisywania przemian fazowych. W tym celu Tanaka posłużył się funkcją wykładniczą, natomiast Liang i Rogers niemalże bez zmiany sprowadzili argument funkcji wykładniczej do argumentu kosinusa. Dlatego też w matematycznej implementacji tych dwu modeli nie widać większych różnic. Boyd i Lagoudas użyli energii swobodnej Gibbsa do sformułowania równań konstytutywnych. Ilość frakcji martenzytu pochodzi z przekształceń równań entalpii swobodnej, sformułowanych z rozproszenia potencjału termodynamicznego. Zastosowanie takiego rozwiązania matematycznego nie owocuje dobrymi wynikami. Jest to najmniej dokładny model z opisanych, jednak cały czas wyniki numeryczne przy wykorzystaniu modelu Boyda i Lagoudasa są zbliżone do wyników dwu poprzednich modeli. Posługując się równaniem konstytutywnym (3) Tanaki oraz Lianga i Rogersa Brinson stworzyła własne równanie konstytutywne (14). Dobrym posunięciem okazał się zabieg rozbicia frakcji martenztytu na dwie składowe, na martenzyt indukowany naprężeniowo i martenzyt indukowany temperaturowo. Brinson także rozbiła transformację z frakcji austenitu we frakcję martenzytu na dwa przedziały temperaturowe i naprężeniowe. Dzięki temu rozwiązaniu charakterystyki naprężęniowo–temperaturowe oraz naprężeniowo–odkształceniowe polepszyły się znacznie, co jest widoczne na zestawieniu wyników numerycznych z wynikami doświadczeń labratoryjnych.
Tanaka, Liang i Rogers oraz Boyd i Lagoudas nie rozbili frakcji martenzytu na indukowany naprężeniowo i temperaturowo, a przez to w obszarze odkształceń elastycznych mamy do czynienia tylko z martenzytem indukowanym temperaturowo i jego wartość wynosi 1. Prowadzi to do odbiegających w sposób znaczy wyników numerycznych w porównaniu z wynikami doświadczeń.
LITERATURA
1. Brinson L. C.: One-Dimensional behavior of shape memory alloys: Thermomechanical derivation with non-constant material Functions and redefined martensite internal variable, 4, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 1993, s. 229-241.
2. Tanaka K.: A thermomechanical sketch for shape memory effect: one-dimensional tensile behavior, 18, Res. Mech. 1987, s. 251-262.
3. Liang C., Rogers C. A.: One-dimensional thermomechanical constitutive relations for shape memory material, 1, Journal of Intelligent Material Systems and Structures 1990, s.
207-233.
4. Boyd J., Lagoudas D. C.: A thermomdynamic constitutive model for the shape memory amterials. Part I. The monolithic shape memory alloys, International Journal of Plasticity.
5. Bo Z., Lagoudas D. C.: Comaprison of different thermomechanical model for shape memory alloys, 54, Adaptive Structures and Composite Materials 1994, s. 9-18.
6. Brinson L. C., Huang M. S.: Simplifications and comparisons of shape memory alloys constitutive models, 7, Journal of Intelligent Material Systems and Structures 1996, s.
108-113.
7. Epps J., Chopra I.: Comparative evaluation od shape memory alloy constitutive models with test data, Structural Dynamics and Materials Conference and Adaptive Structures Forum, Florida, April 1997.
8. Auricchio F., Marfia S., Sacco E.: Modelling of SMA materials: Training and two way memory effects, 81, Computers and Structures 2003, s. 2302-2317.
9. Dimitris C., Lagoudas D. C.: Modelling of transformation-induced plasticity and its effect on the behavior of porous shape memory alloys. Part I: constitutive model for fully dense SMAs, 36, Mechanics of Materials 2004, s. 866-890.
10. Dimitris C., Lagoudas D. C.: Residual deformation of active structures with SMA actuators, 41, International Journal of Mechanical Sciences 1998, s. 596-617.
COMPARISON OF CHOSEN CONSTITUTIVE MODELS OF SHAPE MEMORY ALLOYS
Summary. In this paper four SMA models were compared. Those models were developed by Tanaka, Boyd and Lagoudas, Liang and Rogers, Brinson. This paper presents an experimental and theoretical comparison of highly presented constitutive models. All models showed good qualitative and quantitative trends of stress versus strain for SMA wires in the austenite phase. However, the model developed by L. Brinson showed overall good correlation with experimental data for wires in both phases, the austenite and martensite phase.
