Sur un exemple de Banach et Kuratowski par

144 (1994)

Sur un exemple de Banach et Kuratowski

par

Robert C a u t y (Paris)

Abstract. For A ⊂ I = [0, 1], let L

be the set of continuous real-valued functions on I which vanish on a neighborhood of A. We prove that if A is an analytic subset which is not an F

and whose closure has an empty interior, then L

is homeomorphic to the space of differentiable functions from I into R.

1. Introduction et notations. Soit C l’espace des fonctions continues de I = [0, 1] dans R avec la topologie de la convergence uniforme. Pour tout sous-ensemble A de I, soit C A le sous-espace de C form´ e des fonctions s’annulant sur A, et soit L A le sous-espace de C A form´ e des fonctions qui s’annulent sur un voisinage de A. Banach et Kuratowski ont prouv´ e dans [1]

que, si A est un sous-ensemble non dense, analytique et non bor´ elien de I, alors L A est un espace coanalytique non bor´ elien. Nous nous proposons ici de g´ en´ eraliser et de pr´ eciser ce r´ esultat. Soit D le sous-espace de C form´ e des fonctions partout d´ erivables; c’est un exemple classique d’espace co- analytique non bor´ elien. Nous prouverons le r´ esultat suivant :

Th´ eor` eme 1. Soit A un sous-ensemble analytique non dense de I qui n’est pas un F σ . Alors L A est hom´ eomorphe ` a D.

Soit 2 ^I l’ensemble des ferm´ es non vides de I avec la topologie d´ efinie par la distance de Hausdorff. Pour tout sous-ensemble A de I, soient 2 ^I _A le sous-ensemble de 2 ^I form´ e des ferm´ es contenant A, et N A celui form´ e des voisinages ferm´ es de A. Banach et Kuratowski montrent aussi dans [1] que, si A est un sous-ensemble non dense, analytique et non bor´ elien de I, alors N _A est un espace coanalytique non bor´ elien. Nous renforcerons ce r´ esultat comme suit.

Th´ eor` eme 2. Soit A un sous-ensemble analytique non dense de I qui n’est pas un F σ . Alors N A est hom´ eomorphe ` a D.

1991 Mathematics Subject Classification: Primary 57N20.

Les d´ emonstrations de ces th´ eor` emes reposent sur une caract´ erisation de D que nous avons d´ evelopp´ ee dans [3]. Pour pouvoir la formuler, rappelons quelques d´ efinitions.

Si f et g sont deux fonctions de Y dans X et si U est un recouvrement ouvert de X, nous dirons que f est U -proche de g si, pour tout y dans Y , il y a un ´ el´ ement de U contenant ` a la fois f (y) et g(y). Un sous-ensemble F d’un r´ etracte absolu de voisinage X est appel´ e un Z-ensemble (resp. Z- ensemble au sens fort ) dans X s’il est ferm´ e et si, pour tout recouvrement ouvert U de X, il existe une fonction continue f de X dans X U -proche de l’identit´ e et telle que f (X) ∩ F = ∅ (resp. f (X) ∩ F = ∅). Une fonction f : Y → X est appel´ ee un Z-plongement si c’est un plongement et si f (Y ) est un Z-ensemble dans X.

Notons L 2 la classe des espaces coanalytiques. Un r´ etracte absolu de voisinage X est dit L 2 -universel si, pour tout espace coanalytique C, toute fonction continue f : C → X et tout recouvrement ouvert U de X, il y a un Z-plongement g : C → X qui est U -proche de f . X est dit fortement L ₂ -universel si, pour tout espace coanalytique C, tout ferm´ e D de C, toute fonction continue f : C → X dont la restriction ` a D est un Z-plongement et tout recouvrement ouvert U de X, il existe un Z-plongement g : C → X qui est U -proche de f et v´ erifie g|D = f |D.

Nous avons prouv´ e dans [3] qu’un espace m´ etrique s´ eparable X est hom´ eomorphe ` a D si, et seulement si, il v´ erifie les trois conditions sui- vantes :

(I) X est un r´ etracte absolu appartenant ` a L 2 ,

(II) X est r´ eunion d´ enombrable de Z-ensembles au sens fort, (III) X est fortement L 2 -universel.

Si x et y sont deux points de I et B un sous-ensemble de I, nous posons d(x, y) = |x − y| et d(x, B) = inf

y∈B d(x, y) ;

nous notons δ(B) le diam` etre de B. Nous supposons 2 <sup>I</sup> muni de la distance de Hausdorff % associ´ ee ` a d. Pour f dans C, nous posons kf k = sup _t∈I |f (t)|.

Si A est un sous-ensemble d’un espace X, une d´ eformation instantan´ ee de X en A est une homotopie ϕ : X × I → X v´ erifiant ϕ(x, 0) = x ∀x ∈ X et ϕ(X× ]0, 1]) ⊂ A. Il est connu que si E est un sous-espace vectoriel partout dense d’un espace norm´ e X, alors il existe une d´ eformation instantan´ ee de X en E (voir [10]).

2. D´ emonstration des th´ eor` emes. Il faut montrer que L A et N A

v´ erifient les conditions (I)–(III) de l’introduction.

V ´ e r i f i c a t i o n d e (I). Les arguments de Banach et Kuratowski prou- vent que L A et N A sont coanalytiques. Comme tout espace norm´ e, L A est un r´ etracte absolu; puisque 2 ^I _A est un r´ etracte absolu (en fait, d’apr` es [6], une copie du cube de Hilbert), le lemme suivant ach` eve la v´ erification de (I) (voir [10]).

Lemme 1. Il existe une d´ eformation instantan´ ee de 2 ^I _A en N A .

D ´ e m o n s t r a t i o n. La fonction ϕ : 2 ^I _A × I → 2 ^I _A d´ efinie par ϕ(K, t) = {x ∈ I : d(x, K) ≤ t} est une telle d´ eformation.

Remarquons que, 2 ^I _A ´ etant compact, tout Z-ensemble dans 2 ^I _A est un Z-ensemble au sens fort; le lemme 1 et le lemme 2.6 de [3] entraˆınent alors que tout Z-ensemble de N A est un Z-ensemble au sens fort.

V ´ e r i f i c a t i o n d e (II). Puisqu’il existe une d´ eformation instantan´ ee de C A (resp. 2 ^I _A ) en L A (resp. N A ) et que tout Z-ensemble dans C A ou 2 ^I _A est un Z-ensemble au sens fort, le lemme 2.6 de [3] entraˆıne qu’il suffit de montrer que L A (resp. N A ) est contenu dans une r´ eunion d´ enombrable de Z-ensembles de C A (resp. 2 ^I _A ). Fixons un point t 0 > 0 dans A; pour n > 1, soit A n = A ∪ [(1 − 1/n)t 0 , t 0 ].

Evidemment, L A est contenu dans S ∞

n=1 C _A

et les C A

sont ferm´ es dans C _A . Puisque A est non dense, la fonction χ(t) = d(t, A) v´ erifie χ ⁻¹ (]0, 1])

= I. Si ϕ est une d´ eformation instantan´ ee de C A en L A , on constate sans peine que la fonction ψ : C A × I → C A d´ efinie par

ψ(f, s) = ϕ(f, s) + sχ est une d´ eformation instantan´ ee de C A en C A \ S ∞

n=1 C _A

, ce qui entraˆıne que les C A

sont des Z-ensembles dans C A .

N A est contenu dans S ∞

n=1 2 ^I _A

et les 2 ^I _A

sont ferm´ es dans 2 ^I _A . Si ϕ est une d´ eformation instantan´ ee de 2 ^I _A en N A , on v´ erifie sans peine que la fonction ψ : 2 ^I _A × I → 2 ^I _A d´ efinie par

ψ(K, s) = (K \ [(1 − s)t 0 , t 0 ]) ∪ A ∪ {(1 − s)t 0 , t 0 } est continue et est une d´ eformation instantan´ ee de 2 ^I _A en 2 ^I _A \ S ∞

n=1 2 ^I _A

, ce qui entraˆıne que les 2 ^I _A

sont des Z-ensembles dans 2 ^I _A .

Le lemme suivant, qui sera prouv´ e plus loin, est essentiel pour la v´ erifica- tion de (III).

Lemme 2. Si F est un sous-espace analytique d’un espace complet s´ epa- rable X , alors il existe une fonction continue ξ : X → 2 ^I _A telle que ξ ⁻¹ (N A )

= X \ F .

V ´ e r i f i c a t i o n d e (III) ( ¹ ). Puisque tout Z-ensemble dans L A ou N A

est un Z-ensemble au sens fort, il suffit, d’apr` es la proposition 2.2 de [2], de montrer que tout ouvert U de L A (resp. N A ) est L 2 -universel. Soient C un espace coanalytique, F une fonction continue de C dans U et U un recouvrement ouvert de U . Nous pouvons supposer que C est contenu dans le cube de Hilbert Q = Q ∞

n=1 I n , o` u I n = I pour tout n. D’apr` es le lemme 2, il existe alors une fonction continue ξ : Q → 2 ^I _A telle que

(1) ξ ⁻¹ (N A ) = C .

Prenons une fonction continue ω : U → ]0, 1] v´ erifiant

(2) quels que soient x dans U et y dans L A (resp. N A ), si kx−yk ≤ 2ω(x) (resp. %(x, y) ≤ 2ω(x)), il y a un ´ el´ ement de U contenant ` a la fois x et y.

Puisque A est non dense et contient plus d’un point, nous pouvons trou- ver un point a de A et un nombre η > 0 tels que [a, a + 6η] soit contenu dans I et que A ∩ ]a, a + 6η] = ∅. Nous avons alors

(3) d(t, A) = t − a pour t ∈ [a, a + 3η] .

Pour δ > 0, posons N δ = {t ∈ I : d(t, A) ≤ δ} et N

δ = {t ∈ I : d(t, A)

< δ}.

Bien que les d´ emonstrations pour L A et N A suivent le mˆ eme plan, les d´ etails techniques sont suffisamment diff´ erents pour nous obliger ` a distinguer les deux cas dans la suite.

• Cas de L A . Nous avons besoin de deux constructions auxiliaires.

Affirmation 1. Il existe une homotopie Φ : C A × [0, η] → C _A v´ erifiant Φ(f, 0) = f ∀f ,

(4)

Φ(f, δ)(t) = 0 si t ∈ N δ , (5)

(6) si {(f n , δ n )} ^∞ _n=1 est une suite de points de C A × ]0, η] telle que la suite {Φ(f _n , δ n )} converge vers un ´ el´ ement g de C A et que {δ n } tende vers z´ ero, alors {f n } converge aussi vers g.

(

) La publication de cet article ayant ´ et´ e longuement retard´ ee, est paru entre-

temps un r´ esultat g´ en´ eral ([4], th´ eor` eme 3.1) permettant d’´ etablir facilement l’universalit´ e

forte de L

. En effet, on peut d´ eduire du lemme 2 que tout espace coanalytique est

hom´ eomorphe ` a un ferm´ e de L

, et, si J est un sous-intervalle de I disjoint de A, il est facile

de v´ erifier que L

est hom´ eomorphe ` a C(J )×E ∼ = R

×E o` u E = {f ∈ L

: f |J = 0}. Le

th´ eor` eme 3.1 de [4] est donc applicable. Nous avons cependant maintenu la d´ emonstration

originale de (III), qui avait ´ et´ e con¸ cue pour illustrer la g´ en´ eralit´ e du plan de d´ emonstration

de l’universalit´ e forte que nous utilisons, tout en mettant en ´ evidence les n´ ecessaires

diff´ erences techniques. Notons d’ailleurs que la d´ emonstration du th´ eor` eme 3.1 de [4] suit

aussi ce mˆ eme plan.

Nous pouvons d´ efinir Φ en posant Φ(f, 0) = f et, pour δ > 0,

• Φ(f, δ)(t) = 0 si t ∈ N _2δ \ ]a + δ, a + 2δ[,

• Φ(f, δ)(a + 3δ/2) = sup{f (t) : t ∈ N _3δ },

• Φ(f, δ) est lin´ eaire sur [a + δ, a + 3δ/2] et sur [a + 3δ/2, a + 2δ],

• Φ(f, δ)(t) = f (t) si t 6∈ N

_3δ ,

• Φ(f, δ)(t) = ¹ _δ (d(t, A) − 2δ)f (t) si 2δ ≤ d(t, A) ≤ 3δ.

Il r´ esulte de (3) que ces conditions sont compatibles et que (5) est v´ erifi´ ee.

Il est clair que Φ est continue. Soit {(f n , δ n )} ^∞ _n=1 comme dans (6). Fixons n ≥ 1 et soit t un point de I. Si d(t, A) ≥ 3δ n ,

|f _n (t) − g(t)| = |Φ(f n , δ n )(t) − g(t)| ≤ kΦ(f n , δ n ) − gk ,

d’o` u kf n − gk ≤ max(kΦ(f n , δ n ) − gk, sup{|f n (t)| : t ∈ N 3δ

} + sup{|g(t)| : t ∈ N 3δ

}).

Par hypoth` ese, kΦ(f n , δ n ) − gk tend vers z´ ero. Puisque g est continue et s’annule sur A, sup{|g(t)| : t ∈ N 3δ

} tend vers z´ ero. Puisque {a + 3δ n /2} tend vers a, la convergence uniforme de Φ(f n , δ n ) vers g garantit que sup{|f n (t)| : t ∈ N 3δ

} = Φ(f n , δ n )(a + 3δ n /2) tend vers g(a) = 0. Ceci montre que kf n − gk tend vers z´ ero.

Affirmation 2. Il existe une fonction continue Ψ : Q× ]0, η] → C ^A v´ erifiant

Ψ ⁻¹ (L A ) = C× ]0, η] , (7)

kΨ (q, ε)k ≤ ε ∀(q, ε) ∈ Q× ]0, η] , (8)

[Ψ (q, ε)] ⁻¹ (]−∞, 0]) = ]a + ε/2, a + 3ε/4[ , (9)

si Ψ (q, ε)|[a + ε/2, a + ε] = Ψ (q ⁰ , ε)|[a + ε/2, a + ε], alors q = q ⁰ . (10)

Pour construire Ψ , notons d’abord que la fonction ξ : Q → C A d´ efinie par ξ(q)(t) = d(t, ξ(q)) v´ erifie

0 ≤ ξ(q)(t) ≤ 1 quels que soient q et t , (11)

ξ ⁻¹ (L A ) = C , (12)

la condition (12) r´ esultant de (1). Pour 0 < ε ≤ η, soit µ(ε) la fonction

´

egale ` a 1 hors de ]a + ε/3, a + 3ε[, ` a z´ ero sur [a + ε/2, a + 2ε] et lin´ eaire sur [a + ε/3, a + ε/2] et sur [a + 2ε, a + 3ε]; µ(ε) d´ epend continˆ ument de ε.

Pour n ≥ 1, soit x n = 1/2 + 1/2 ⁿ , et soit y n le milieu du segment [x n+1 , x n ]. Pour q = (q n ) dans Q, d´ efinissons une fonction continue θ(q) : I → [−1, 1] par les conditions

• θ(q)(0) = θ(q)(1/2) = θ(q)(x _n ) = 0 (n ≥ 1),

• θ(q)(1/4) = −1,

• θ(q)(y _n ) = q n · 2 ⁻ⁿ (n ≥ 1),

• θ(q) est lin´ eaire sur chacun des segments [0, 1/4], [1/4, 1/2], [x n+1 , y n ] et [y n , x n ], n ≥ 1.

D´ efinissons alors Ψ par Ψ (q, ε)(t) =







εµ(ε)(ξ(q)(t)) si t 6∈ ]a + ε/2, a + ε[ , ε



θ(q)  2 ε



t − a − ε 2



si t ∈ [a + ε/2, a + ε] . On v´ erifie facilement que cette d´ efinition est coh´ erente et que Ψ est continue. (7) r´ esulte de (12) et du fait que Ψ (q, ε) et εξ(q) sont ´ egales sur N ε/3 . (8) et (9) r´ esultent de (11) et du choix de θ. Enfin, pour ε > 0 donn´ e, si Ψ (q, ε)|[a + ε/2, a + ε] = Ψ (q ⁰ , ε)|[a + ε/2, a + ε], alors θ(q) = θ(q ⁰ ), mais θ(q)(y n ) = θ(q ⁰ )(y n ) entraˆıne q n = q _n ⁰ pour tout n, d’o` u (10).

Nous pouvons maintenant achever la d´ emonstration dans le cas de L A . La condition (4) et la continuit´ e de Φ nous permettent de trouver une fonc- tion continue ε : U → ]0, η] v´ erifiant, pour tout f ∈ U ,

kf − Φ(f, ε(f ))k < ω(f ) , (13)

ε(f ) < ω(f ) . (14)

Posant e ε(c) = ε(F (c)), (5) et (7) nous permettent de d´ efinir une fonction continue G : C → L A par

G(c) = Φ(F (c), e ε(c)) + Ψ (c, ε(c)) . e Il r´ esulte de (8), (13) et (14) que

kF (c) − G(c)k < ω(F (c)) + ε(F (c)) < 2ω(F (c)) ,

donc F (c) et G(c) appartiennent ` a un mˆ eme ´ el´ ement de U d’apr` es (2); en particulier, G est ` a valeurs dans U .

Pour t dans [a, a + ε(c)], G(c)(t) = Ψ (c, e ε(c))(t) d’apr` e es (5) et (3). Alors, (9) entraˆıne que ]a + ε(c)/2, a + 3 e e ε(c)/4[ est la composante de l’ensemble G(c) ⁻¹ (]−∞, 0[) qui suit imm´ ediatement a, donc si c et c ⁰ sont deux points de C tels que G(c) = G(c ⁰ ), alors e ε(c) = ε(c e ⁰ ); en outre,

Ψ (c, e ε(c))|[a + ε(c)/2, a + e e ε(c)] = G(c)|[a + ε(c)/2, a + e e ε(c)]

= G(c ⁰ )|[a + e ε(c)/2, a + ε(c)] e

= Ψ (c ⁰ , e ε(c))|[a + ε(c)/2, a + e ε(c)] , e et (10) entraˆıne que c = c ⁰ , ce qui montre que G est injective.

Puisque G est injective, pour prouver que c’est un plongement ferm´ e

dans U , il suffit de montrer que si {c n } ^∞ _n=1 est une suite de points de C

telle que la suite {G(c n )} converge vers un ´ el´ ement g de U , alors {c n } a

une sous-suite qui converge vers un point c 0 de C. Posant ε n = ε(c e n ), nous

pouvons supposer que {ε n } tend vers ε ₀ ∈ [0, η] et que {c _n } tend vers un

point c 0 de Q. Alors, ε 0 > 0. En effet, dans le cas contraire, {Ψ (c n , ε n )}

tendrait vers z´ ero d’apr` es (8), donc {Φ(F (c n ), ε n )} tendrait aussi vers g;

d’apr` es (6), il en serait de mˆ eme de {F (c n )} et, ε ´ etant continue, {ε n } tendrait vers ε(g) > 0, ce qui est contradictoire.

La suite {Ψ (c n , ε n )} tend vers Ψ (c 0 , ε 0 ). Puisque ε 0 > 0, nous pou- vons supposer ε n > ε 0 /2 pour tout n; d’apr` es (5), Φ(F (c n ), ε n )|N ε

/2

= 0 pour tout n, donc, en passant ` a la limite, nous obtenons g|N ε

/2 = Ψ (c 0 , ε 0 )|N _ε

_/2 . Puisque g appartient ` a L A , Ψ (c 0 , ε 0 ) aussi, donc c 0 appar- tient ` a C d’apr` es (7).

Reste ` a montrer que G(C) est un Z-ensemble dans U . Pour cela, d´ efi- nissons d’abord une fonction K : [0, η] → L A par K(0) = 0 et, pour δ > 0,

K(δ)(t) =







0 si t 6∈ ]a + δ/2, a + δ[ ,

(t − a − δ/2) sin

 δπ

t − a − δ/2



si t ∈ ]a + δ/2, a + δ[ . Il est clair que K est continue. D´ efinissons alors Λ : L A × [0, η] → L _A par

Λ(f, δ) = Φ(f, δ) + K(δ) .

D’apr` es (4), Λ(f, 0) = f . En utilisant (5) et la d´ efinition de K, on constate que si g = Λ(f, δ) avec δ > 0, alors l’ensemble des composantes connexes de (g ⁻¹ (] − ∞, 0[)) ∩ ]a, 1] n’a pas de plus petit ´ el´ ement, alors que nous avons remarqu´ e plus haut que, pour c dans C, ((G(c)) ⁻¹ ( ] −

∞, 0])) ∩ ]a, 1] a pour composante minimale ]a + ε(c)/2, a + 3 e e ε(c)/4[. Par suite, G(C) ∩ Λ(L A × ]0, η]) = ∅; puisque Λ(f, 0) = f pour tout f ∈ L A , cela entraˆıne que G(C) est un Z-ensemble dans U .

• Cas de N _A . Nous avons encore besoin de deux constructions auxiliaires.

Affirmation e 1. Il existe une homotopie e Φ : 2 ^I _A × [0, η] → 2 ^I _A v´ erifiant Φ(K, 0) = K e ∀K ∈ 2 ^I _A ,

(e 4)

pour ε > 0, e Φ(K, ε) \ A est fini . (15)

En effet, d’apr` es [6], il existe une homotopie ϕ : 2 ^I × [0, η] → 2 ^I telle que ϕ(K, 0) = K pour tout K et que ϕ(K, ε) soit fini pour ε > 0. Il suffit de poser e Φ(K, ε) = A ∪ ϕ(K, ε).

Affirmation e 2. Il existe une fonction continue e Ψ : Q× ]0, η] → 2 ^I _A v´ erifiant

Ψ e ⁻¹ (N A ) = C× ]0, η] , (e 7)

%(A, e Ψ (q, ε)) ≤ 2ε ∀(q, ε) ∈ C× ]0, η] , (e 8)

(e 9) a + 2ε est la borne sup´ erieure de l’int´ erieur de e Ψ (q, c) ∩ [a, a + 3η],

(f 10) si les int´ erieurs des ensembles e Ψ (q, ε) ∩ [a + ε, a + 2ε] et e Ψ (q ⁰ , ε) ∩ [a + ε, a + 2ε] sont ´ egaux , alors q = q ⁰ .

Nous commencerons par construire une fonction continue ψ : Q× ]0, η]

→ 2 ^I _A v´ erifiant

ψ(q, ε) ⊂ N ε ∀(q, ε) ∈ Q× ]0, η] , (16)

ψ ⁻¹ (N A ) = C× ]0, η] . (17)

Pour cela, soit {L n } ^∞ _n=1 une ´ enum´ eration des composantes de I \ A.

Pour ε ≥ 0, soit P n (ε) = {t ∈ L n : d(t, A) = ε}; cet ensemble contient au plus deux points. Puisque ξ(q) contient A, la fonction ξ n : Q → 2 ^I d´ efinie par ξ n (q) = ξ(q) ∩ L n est continue, donc il en est de mˆ eme de la fonction µ n : Q → I d´ efinie par

µ n (q) = sup{d(t, A) : t ∈ ξ n (q)} . D´ efinissons une fonction ψ n : Q× ]0, η] → 2 ^I par

ψ n (q, ε) =







ξ n (q) si µ n (q) ≤ ε/2 , ξ n (q) ∪ P n (2µ n (q) − ε) si ε/2 ≤ µ n (q) , (ξ n (q) ∩ N ε ) ∪ P n (ε) si ε ≤ µ n (q) .

Il est facile de voir que cette d´ efinition a un sens et que ψ n est continue.

En outre, ψ n (q, ε) est contenu dans N ε , donc il en est de mˆ eme de l’ensemble ψ(q, ε) = A ∪

∞

[

n=1

ψ n (q, ε) .

Puisque les ψ n (q, ε) sont des compacts, ψ(q, ε) aussi, et la continuit´ e des ψ n , n ≥ 1, entraˆıne celle de ψ. Remarquons que, pour tout n, ψ n (q, ε) est la r´ eunion de ξ n (q) ∩ N ε et d’au plus deux points, et que ψ n (q, ε) = ξ n (q) si le diam` etre de L n est inf´ erieur ` a ε/2, ce qui est le cas de toutes les L n sauf un nombre fini. Par suite, ψ(q, ε) est la r´ eunion de ξ(q) ∩ N ε et d’un ensemble fini, donc (17) r´ esulte de (1).

D´ efinissons une fonction e θ : Q → 2 ^I en posant, pour q = (q n ) dans Q, θ(q) = {0} ∪ [1/2, 1] ∪ e

∞

[

n=1

[2 ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ , 2 ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ + q n · 2 ⁻⁽ⁿ⁺²⁾ ] .

Il est clair que e θ est continue et que si q et q ⁰ sont deux points distincts de Q, alors les int´ erieurs des ensembles e θ(q) et e θ(q ⁰ ) sont distincts. Pour 0 < ε ≤ η, soit u ε l’application affine de R dans R envoyant 0 sur a + ε et 1 sur a + 2ε. Posons enfin

Ψ (q, ε) = ψ(q, ε) ∪ u e ε (e θ(q)) .

Cette fonction est ´ evidemment continue et, d’apr` es (3) et (16), nous

avons A ⊂ e Ψ (q, ε) ⊂ N 2ε , d’o` u (e 8). La condition (e 7) r´ esulte de (16) et de

l’´ egalit´ e e Ψ (q, ε) ∩ N ε = ψ(q, ε) ∪ {a + ε}, tandis que (e 9) et (f 10) r´ esultent de la construction de e θ et du fait que e Ψ (q, ε) ∩ [a + ε, a + 3η] = u ε (e θ(q)).

La d´ emonstration s’ach` eve maintenant comme pour L A . Nous choisis- sons une fonction continue ε : U → ]0, η] v´ erifiant (14) et

(f 13) %(K, e Φ(K, ε(K))) < ω(K) . Posant ε(c) = ε(F (c)), nous d´ e efinissons G par

G(c) = e Φ(F (c), e ε(c)) ∪ e Ψ (c, ε(c)) . e

D’apr` es (7), G(c) appartient ` a N A et, en utilisant (f 13), (e 8) et le fait que A ⊂ F (c) ∩ e Ψ (c, ε(c)), on ´ e etablit facilement que

%(F (c), G(c)) ≤ 2ω(F (c)) ,

ce qui entraˆıne que G est U -proche de F . Il r´ esulte de (15) que les ensembles G(c) ∩ [a, a + 3η] et e Ψ (c, ε(c)) ∩ [a, a + 3η] ont le mˆ e eme int´ erieur. L’injectivit´ e de G r´ esulte alors de (e 9) et (f 10).

Pour voir que G est un plongement ferm´ e dans U , soit {c n } ^∞ _n=1 une suite de points de C telle que la suite {G(c n )} converge vers un ´ el´ ement K de U . Posant ε n = ε(c e n ), nous pouvons supposer que {ε n } ^∞ _n=1 converge vers ε 0 ∈ [0, η], que {c _n } converge vers un point c ₀ de Q et que {F (c n )} converge vers F 0 ∈ 2 ^I _A . Si ε 0 = 0, (e 4) et (e 8) nous donnent, en passant ` a la limite dans la d´ efinition de G, K = F 0 ∪ A = F <sub>0</sub> , donc F 0 appartient ` a U et {ε n } tend vers ε(F 0 ) > 0, ce qui est contradictoire. Si ε 0 > 0, nous avons

K = e Φ(F 0 , ε 0 ) ∪ e Ψ (c 0 , ε 0 ) ,

et, puisque K appartient ` a N A , il en est de mˆ eme de e Ψ (c 0 , ε 0 ) d’apr` es (15), donc c 0 appartient ` a C d’apr` es (e 7).

Pour montrer que G(C) est un Z-ensemble dans U , il suffit de construire une fonction continue e Λ : N A × [0, η] → N _A v´ erifiant e Λ(K, 0) = K et Λ(N e A × ]0, η]) ∩ G(C) = ∅, ce qui peut se faire comme suit. Soit M = {1} ∪ S ∞

n=1 [1 − 2 ⁻ⁿ , 1 − (2 ⁻ⁿ − 2 ⁻⁽ⁿ⁺²⁾ )]. Posons Λ(K, 0) = K, e

Λ(K, ε) = e e Φ(K, ε) ∪ N ε ∪ u _ε (M ), 0 < ε ≤ η .

La continuit´ e de e Λ se v´ erifie facilement. Pour voir que e Λ(N A × ]0, η]) ∩

G(C) = ∅, il suffit d’observer que, pour ε > 0, l’ensemble des composantes

de l’int´ erieur de e Λ(K, ε) ∩ [a, a + 3η] n’a pas de plus grand ´ el´ ement tandis

que l’ensemble des composantes de l’int´ erieur de G(c) ∩ [a, a + 3η] a pour

plus grand ´ el´ ement u ε(c) ˜ (]1/2, 1[).

3. D´ emonstration du lemme 2. Nous noterons N l’ensemble des entiers > 0, N ^∗ l’ensemble des suites finies (non vides) d’entiers > 0 et J l’ensemble des suites infinies d’entiers > 0. Pour σ dans N ^∗ , nous noterons

|σ| la longueur de la suite σ. Si σ = hs ₁ , . . . , s k i est une suite de longueur k dans N ^∗ et p un entier > 0, nous noterons hσ, pi la suite hs 1 , . . . , s k , pi de longueur k + 1. Si σ appartient ` a J et n est un entier > 0 ou si σ appartient

` a N <sup>∗</sup> et n est un entier ≤ |σ|, nous noterons σ|n la suite des n premiers termes de σ. Soit τ un ´ el´ ement de N <sup>∗</sup> ; si σ appartient ` a J ou si σ appartient

` a N ^∗ et v´ erifie |σ| > |τ |, nous ´ ecrivons τ < σ s’il existe un entier n tel que τ = σ|n. Nous noterons 0 la suite vide, de sorte que 0 < σ pour tout σ dans N ^∗ .

Soit F (X) l’ensemble des ferm´ es de X. Puisque F est analytique, il y a (voir [8], §35, II) une fonction S : N ^∗ → F (X) v´erifiant

(1) F = [

σ∈J

∞

\

n=1

S(σ|n) .

D’apr` es le lemme 1.5 de [3], nous pouvons supposer que (2) S(τ ) ⊂ Int S(τ ⁰ ) si τ ⁰ < τ .

Pour σ dans N ^∗ , prenons une fonction continue λ σ de X dans I v´ erifiant λ σ (x) = 1 si x ∈ S(σ) ,

(3)

λ σ (x) = 0 si x 6∈ S(σ|n − 1) pour |σ| = n ≥ 2 . (4)

Nous aurons besoin du lemme suivant : Lemme 3. Il existe un ferm´ e C de I v´ erifiant

(i) E = C ∩ A est hom´ eomorphe ` a l’ensemble des irrationnels, (ii) D = C \ A est hom´ eomorphe ` a Q,

(iii) D = C.

Ce lemme est un cas particulier d’un th´ eor` eme d’Hurewicz [7], dont une d´ emonstration se trouve aussi dans l’article de F. Topsøe et J. Hoffmann- Jørgensen dans [9] (th´ eor` eme 1.4.2, p. 333).

Puisque A est non dense, C est un ensemble de Cantor. Soit {d n } ^∞ _n=1 une

´

enum´ eration de D. Nous allons construire, par r´ ecurrence sur |σ|, des sous- intervalles I(σ) = [a(σ), b(σ)] (σ ∈ {0} ∪ N ^∗ ) de fa¸ con que, notant I

(σ) = ]a(σ), b(σ)[ et J σ = {a(σ), b(σ)} ∪ S ∞

p=1 I(hσ, pi), les conditions suivantes soient v´ erifi´ ees.

(5) Si σ 6= σ ⁰ et |σ| = |σ ⁰ |, alors I(σ) ∩ I(σ ⁰ ) = ∅.

(6) Si σ < τ , alors I(τ ) ⊂ I

(σ).

(7) δ(I(σ)) ≤ 2 ^−|σ| .

(8) J σ est ferm´ e.

(9) a(σ) et b(σ) appartiennent ` a D.

(10) Le premier ´ el´ ement de D ∩ I

(σ) (pour l’´ enum´ eration fix´ ee de D) n’appartient pas ` a J σ .

(11) Ou bien a(σ) n’est pas l’extr´ emit´ e gauche d’un intervalle de I \ C, ou bien b(σ) n’est pas l’extr´ emit´ e droite d’un tel intervalle.

Soient i 0 < j 0 deux points de D tels que ]i 0 , j 0 [ ∩ C 6= ∅. Si i 0 n’est pas l’extr´ emit´ e gauche d’un intervalle de I \ C ou si j 0 n’est pas l’extr´ emit´ e droite d’un tel intervalle, prenons I(0) = [i 0 , j 0 ]. Sinon, soit k 0 un point de D tel que i 0 < k 0 < j 0 . Si k 0 n’est pas l’extr´ emit´ e droite d’un intervalle de I \ C, prenons I(0) = [i 0 , k 0 ]; dans le cas contraire, k 0 ne peut pas ˆ etre aussi l’extr´ emit´ e gauche d’un intervalle de I \ C, et nous prenons I(0) = [k 0 , j 0 ].

Supposons les I(τ ) construits quand |τ | = k, et soit σ de longueur k.

Supposons que b(σ) ne soit pas l’extr´ emit´ e droite d’un intervalle de I \ C.

Nous pouvons alors trouver deux suites croissantes {i p }, {j _p } de points de D ∩ I

(σ) convergeant vers b(σ), telles que i p < j p < i p+1 et que ]i p , j p [ ∩ C 6= ∅ pour tout p. Nous supposons aussi i 1 choisi de fa¸ con que b(σ) − i 1 <

2 ^−(k+1) et que [i 1 , b(σ)] ne contienne pas le premier ´ el´ ement de D ∩ I

(σ).

Si i p n’est pas l’extr´ emit´ e gauche d’un intervalle de I \ C ou si j p n’est pas l’extr´ emit´ e droite d’un tel intervalle, posons I(hσ, pi) = [i p , j p ]. Sinon, prenons un point k p de D v´ erifiant i p < k p < j p et prenons I(hσ, pi) = [i p , k p ] ou [k p ,j p ] selon que k p n’est pas ou est l’extr´ emit´ e droite d’un intervalle de I\

C. Il est alors facile de v´ erifier les conditions (5) ` a (11). Si b(σ) est l’extr´ emit´ e droite d’un intervalle de Ii\C, alors a(σ) n’est pas l’extr´ emit´ e gauche d’un tel intervalle et nous proc´ edons de fa¸ con analogue, mais en prenant pour {i p } et {j p } des suites d´ ecroissantes tendant vers a(σ) et v´ erifiant j p+1 < i p < j p .

Remarquons que (12) ∀σ ∈ J , T ∞

n=1 I(σ|n) contient exactement un point e σ , qui appartient

` a E.

En effet, (6) et (7) entraˆınent que T ∞

n=1 I(σ|n) contient exactement un point e σ ; (11) entraˆıne que I(σ|n) ∩ C 6= ∅ pour tout n, donc e σ appartient

`

a C. Enfin, e σ ne peut appartenir ` a D, car cela contredirait la condition (10) pour I(σ|n) si n est assez grand.

Nous allons maintenant construire, pour tout σ dans N ^∗ , une suite {K _σ ⁿ } ^∞ _n=1 d’intervalles deux ` a deux disjoints de fa¸ con que, posant L σ = J σ ∪ S ∞

n=1 K _σ ⁿ , les conditions suivantes soient v´ erifi´ ees : K _σ ⁿ ⊂ I(σ) \ J _σ ,

(13)

L σ est ferm´ e , (14)

A ∩ I(σ) ⊂ L σ , (15)

les extr´ emit´ es de K _σ ⁿ n’appartiennent pas ` a A .

(16)

Fixons σ dans N ^∗ . Soient Q p = ]c p , d p [, p ≥ 1, les composantes de I(σ) \ J σ (il y en a une infinit´ e d’apr` es (5) et (6)). Puisque A est non dense, nous pouvons trouver dans Q p deux suites {y ^r _p } ^∞ _r=1 et {z _p ^r } ^∞ _r=1 convergeant vers d p et deux suites {u ^r _p } ^∞ _r=1 et {v _p ^r } ^∞ _r=1 convergeant vers c p de fa¸ con que, pour tout p,

v _p ^r+1 < u ^r _p < v _p ^r ≤ v ¹ _p < y _p ¹ ≤ y _p ^r < z ^r _p < y _p ^r+1 ,

et que [u ^r _p , v _p ^r ] ∩ A = ∅ = [y ^r _p , z ^r _p ] ∩ A. Il suffit alors de prendre pour K _σ ⁿ , n ≥ 1, une ´ enum´ eration des composantes de I(σ) \ (J σ ∪ ( S ∞

p,r=1 ]u ^r _p , v ^r _p [ ∪ ]y ^r _p , z _p ^r [ )). Remarquons que, pour tout σ, l’ensemble I(σ)\L σ n’est pas vide.

Pour σ dans N ^∗ , prenons une fonction continue ψ σ : I → 2 ^I v´ erifiant (17) ψ σ (0) = I ⊃ ψ σ (t) ⊃ ψ σ (1) = (I \ I

(σ)) ∪ L σ , 0 ≤ t ≤ 1 .

D’apr` es (15), ψ σ (t) contient A, donc la fonction ξ σ = ψ σ ◦ λ _σ envoie X dans 2 ^I _A . Par suite, pour x dans X, l’ensemble

ξ(x) = \

σ∈N

ξ σ (x)

appartient ` a 2 ^I _A . Il r´ esulte de (5) et des d´ efinitions de J σ et L σ que les ouverts I

(σ) \ L σ , σ ∈ N ^∗ , sont deux ` a deux disjoints; comme, pour tout σ, ξ σ (x) contient le compl´ ementaire de I

(σ) \ L σ , la continuit´ e des ξ σ entraˆıne celle de ξ.

Soit x un point de F . D’apr` es (1), il y a un τ dans J tel que x ∈ T ∞

n=1 S(τ |n). D’apr` es (6) et (12), {I(τ |n)} <sup>∞</sup> <sub>n=1</sub> est une base de voisinage du point e τ de A. D’apr` es (3), λ _{τ |n} (x) = 1, donc, d’apr` es (17), (I

(τ |n) \ L _{τ |n} ) ∩ ξ(x) = ∅, ce qui montre que ξ(x) ne contient aucun voisinage de e τ , donc que ξ(x) 6∈ N A .

Pour achever de prouver que ξ ⁻¹ (N A ) = X \ F , il reste ` a montrer que si x est un point de X \ F et t un point de A, alors ξ(x) est un voisinage de a. D’apr` es (5), pour tout k, t appartient ` a au plus un I(σ) o` u σ est de longueur k; si t appartient ` a I(σ), alors, pour tout m < |σ|, t appartient

`

a I(σ|m). D’apr` es (6), si t appartient ` a I(σ), alors, pour tout m < |σ|, t appartient ` a I(σ|m).

(a) t n’appartient ` a aucun I(hpi), p ≥ 1.

D’apr` es (9), t n’appartient pas ` a J 0 , donc I \ J 0 est un voisinage de t contenu dans tous les ξ σ (x), donc aussi dans ξ(x).

(b) Il existe un k et un τ de longueur k tels que t appartienne ` a I(τ ) mais pas ` a S

|σ|=k+1 I(σ).

Alors, t n’appartient pas ` a J τ , donc, d’apr` es (15) et (16), il y a un entier

n tel que K _τ ⁿ soit un voisinage de t. Il suffit de montrer que tous les ξ σ (x)

contiennent K _τ ⁿ . C’est clair si σ = τ puisque K _τ ⁿ ⊂ L _τ . Soit σ 6= τ et soit m = |σ|. Si m = k ou si m < k et σ 6= τ |m ou si m > k et τ 6= σ|k, il r´ esulte de (5) et (6) que I(σ) ∩ K _τ ⁿ ⊂ I(σ) ∩ I(τ ) = ∅, donc ξ _σ (x) ⊃ K _τ ⁿ . Si m < k et σ = τ |m, alors K _τ ⁿ ⊂ I(τ ) ⊂ J _σ d’apr` es (6), donc ξ σ (x) ⊃ K <sub>τ</sub> <sup>n</sup> . Si m > k et τ = σ|k, alors I(σ) ⊂ J τ d’apr` es (6), donc I(σ) ∩ K _τ ⁿ = ∅ d’apr` es (13), d’o` u encore ξ σ (x) ⊃ K _τ ⁿ .

(c) Il existe un unique τ ∈ J tel que t ∈ T ∞

n=1 I(τ |n).

D’apr` es (1), il y a un n > 1 tel que x 6∈ S(τ |n−1). D’apr` es (6), I(τ |n) est un voisinage de t; il suffit donc de montrer que tous les ξ σ (x) contiennent I(τ |n). Soit k = |σ|. Si k < n et si σ 6= τ |k, alors I(σ) ∩ I(τ |n) ⊂ I(σ) ∩ I(τ |k) = ∅; si σ = τ |k, I(τ |n) ⊂ J σ d’apr` es (6); dans les deux cas, I(τ |n) ⊂ ξ σ (x). Si k = n et σ 6= τ |n ou si k > n et σ|n 6= τ |n, alors I(σ) ∩ I(τ |n) = ∅ d’apr` es (5) et (6), donc I(τ |n) ⊂ ξ σ (x). Enfin, si σ = τ |n ou si k > n et σ|n = τ |n, alors σ|n − 1 = τ |n − 1, donc λ σ (x) = 0 d’apr` es (4) et (2) et ξ σ (x) = I d’apr` es (17), d’o` u le r´ esultat.

Bibliographie

[1] S. B a n a c h et C. K u r a t o w s k i, Sur la structure des ensembles lin´ eaires, Studia Math. 4 (1933), 95–99.

[2] M. B e s t v i n a and J. M o g i l s k i, Characterizing certain incomplete infinite-dimen- sional absolute retracts, Michigan Math. J. 33 (1986), 291–313.

[3] R. C a u t y, Caract´ erisation topologique de l’espace des fonctions d´ erivables, Fund.

Math. 138 (1991), 35–58.

[4] R. C a u t y, T. D o b r o w o l s k i and W. M a r c i s z e w s k i, A contribution to the topo- logical classification of the spaces C

(X), ibid. 142 (1993), 269–301.

[5] D. C u r t i s and N g u y e n T o N h u, Hyperspaces of finite subsets which are home- omorphic to ℵ

-dimensional linear metric spaces, Topology Appl. 19 (1985), 251–

260.

[6] D. C u r t i s and R. M. S c h o r i, Hyperspaces of Peano continua are Hilbert cubes, Fund. Math. 101 (1978), 19–38.

[7] W. H u r e w i c z, Relative perfekte Teile von Punktmengen und Mengen (A), ibid. 12 (1928), 78–109.

[8] C. K u r a t o w s k i, Topologie I , 4` eme ´ edition, PWN, Warszawa, 1958.

[9] C. A. R o g e r s et al., Analytic Sets, Academic Press, London, 1980.

[10] H. T o r u ´ n c z y k, Concerning locally homotopy negligible sets and characterization of l

-manifolds, Fund. Math. 101 (1978), 93–110.

22, RUE JOUVENET 75016 PARIS, FRANCE

Received 18 June 1990;

in revised form 24 September 1992 and 20 July 1993