Dyskretna Matematyka dyskretna: Zestaw 2 Semestr letni 2020/2021
Kraków 4 marca 2021
Zliczanie i współczynniki dwumianowe
Współczynnik dwumianowy
nk, dla n, k ∈ N, to liczba k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego. Prosto z definicji dostajemy, że
(i)
n0=
nn= 1, (ii)
nk= 0, dla k > n, (iii)
n1= n, dla n > 0, (iv)
nk=
n−kn, dla n k,
(v)
nk=
n−1k−1+
n−1k, dla n k > 0, (vi)
nk=
k!(n−k)!n!, dla n k.
Sama nazwa współczynniki dwumianowe bierze się z następującego rozwinięcia dwu- mianu: dla x, y ∈ R i n ∈ N zachodzi
(x + y)
n=
n
X
i=0
n i
!
x
iy
n−i.
W szczególności dla n 0 (i) (1 + x)
n= P
ni=0ni
x
i,
(ii)
n0+
n1+
n2+ · · · +
nn= (1 + 1)
n= 2
n, (iii)
n0−
n1+
n2− . . . + (−1)
nnn
= (1 − 1)
n= 0,
Zadania
Zadanie 1 (1p.). Na ile sposobów można ustawić n wież na szachownicy n × n tak, by żadne dwie nie znajdowały się w polu wzajemnego rażenia.
Zadanie 2 (1p.). Na ile sposobów można ustawić k wież na szachownicy n × m tak, by żadne dwie nie znajdowały się w polu wzajemnego rażenia.
Zadanie 3 (1p.). Znaleźć definicje rekurencyjne następujących ciągów:
(i) a(n) – liczba słów długości n nad alfabetem {0, 1}, które nie zawierają dwóch jedynek obok siebie;
(ii) b(n) – liczba różnych pokryć prostokąta o wymiarze 2 × n dominami wymiaru 2 × 1.
Zadanie 4 (1p.). Ciąg x
1, x
2, . . . liczb całkowitych dodatnich jest określony rekurencyjnie w następujący sposób: liczba x
n+1powstaje z liczby x
npoprzez dodanie do niej wartości liczbowej pewnej niezerowej cyfry zapisu dziesiętnego liczby x
n. Czy tak określony ciąg może składać się jedynie z liczb nieparzystych?
Zadanie 5 (1p.). Wykaż, że jeśli |X| = n, |Y | = m, to liczba surjekcji s
nmze zbioru X na zbiór Y wynosi
m
X
j=0
(−1)
jm j
!
(m − j)
n.
Strona 1/3
Dyskretna Matematyka dyskretna: Zestaw 2 Semestr letni 2020/2021
Kraków 4 marca 2021
Zadanie 6 (2p.). Wykaż, że liczba drzew etykietowanych na zbiorze {1, . . . , n} wynosi n
n−2.
Dwa drzewa etykietowane T
1oraz T
2są różne jeżeli istnieją etykiety i, j ∈ {1, . . . , n}
takie, że ({i, j} ∈ T
1oraz {i, j} / ∈ T
2) lub ({i, j} ∈ T
2oraz {i, j} / ∈ T
1).
Zadanie 7 (1p.). Ile rozwiązań ma równanie
x
1+ x
2+ x
3+ x
4= 7, (i) gdzie x
isą liczbami naturalnymi?
(ii) gdzie x
isą dodatnimi liczbami naturalnymi?
Zadanie 8 (1p.). Rozważmy czekoladę złożoną z m × n kostek? Na ile sposobów można wykroić prostokąt złożony z k × k sąsiadujących ze sobą kostek czekolady?
Zadanie 9 (2p.). Wykaż, że liczba podziałów zbioru (n − 1)-elementowego jest równa liczbie podziałów zbioru {1, . . . , n} niezawierających sąsiednich liczb w jednym bloku.
Zadanie 10 (Reguła sumowania po górnym indeksie, 1p.). Udowodnij, że dla n, k ∈ N zachodzi
n
X
j=0
j k
!
= n + 1 k + 1
!
.
Zadanie 11 (Reguła sumowania równoległego, 1p.). Udowodnij, że dla n, k ∈ N zachodzi
k
X
j=0
n + j j
!
= n + k + 1 k
!
.
Zadanie 12 (1p.). Ile jest funkcji f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} monotonicznych (czyli takich, że f (i) ¬ f (j) dla i < j)?
Zadanie 13 (1p.). Ile jest k−elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego, które nie zawierają dwóch sąsiednich liczb.
Zadanie 14 (1p.). Posługując się interpretacją kombinatoryczną udowodnij, że
k
X
i=0
n i
! n − i k − i
!
= 2
kn k
!
.
Zadanie 15 (1p.). Udowodnij poniższe tożsamości na dwa sposoby: posługując się inter- pretacją kombinatoryczną albo rozwinięciem dwumianiu (1 + x)
n:
n
X
k=0
k n k
!
= n2
n−1, (a)
n
X
k=0
k
2n k
!
= (n + n
2)2
n−2, (b)
k
X
i=0
m i
! n k − i
!
= m + n k
!
, (c)
Strona 2/3
Dyskretna Matematyka dyskretna: Zestaw 2 Semestr letni 2020/2021
Kraków 4 marca 2021
Zadanie 16 (1p.). Oblicz (i)
n
X
k=1
1 k
k m
!
, (ii)
n
X
k=1
