MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 47, ISSN 1896-771X
MODELOWANIE PŁASZCZYZN BAZOWYCH KORPUSÓW NA PODSTAWIE POMIARÓW WSPÓŁRZĘDNOŚCIOWYCH
I ICH ZASTOSOWANIE
W MONTAŻU SELEKCYJNYM MASZYN
Tomasz Bartkowiak
1a, Andrzej Gessner
1b1Instytut Technologii Mechanicznej, Politechnika Poznańska
atomasz.bartkowiak@put.poznan.pl, bandrzej.gessner@put.poznan.pl,
Streszczenie
Niniejsze opracowanie przedstawia sposób modelowanie płaszczyzn bazowych na podstawie chmury punktów pomiarowych, uzyskanej przy pomocy pomiarów współrzędnościowych i jego zastosowanie w montażu selekcyjnym maszyn. Chmury punktów reprezentujące powierzchnie bazowe są zastępowane płaszczyzną, której parametry uwzględniają błędy geometryczne komponentów maszyny. Na podstawie opracowanych modeli płaszczyzn bazo- wych określono metodę wyznaczania odchyłki geometrycznej zmontowanego zespołu korpusowego. Następnie sformułowano problem optymalizacyjny polegający na znalezieniu najlepszego dopasowania zespołów montażo- wych spośród dostępnych korpusów i rozwiązano go z wykorzystaniem algorytmu genetycznego. Opracowany algo- rytm zaimplementowano do rozwiązania zagadnienia montażu zestawu zespołów montażowych obrabiarki trójo- siowej.
Słowa kluczowe: montaż, błędy geometryczne, przekształcenie jednorodne, optymalizacja, algorytm genetycz- ny
MODEL OF MATING PLANE ON THE BASIS
OF COORDINATE MEASUREMENTS AND ITS APPLICATION INTO SELECTIVE ASSEMBLY OF THE MACHINES
Summary
The subject of this paper is a geometric model of mating surfaces derived from point cloud and its application into selective assembly of the machine tools. The mating surfaces of every part of the assembly are measured by the coordinate measurement system. The produced point cloud is substituted with the plane which parameters characterize geometric error of the components. On the basis of the derived models, method of calculating total deviation of assembled machine applying homogenous matrix transformation is described. The problem of best se- lective assembly of a set of machines is introduced and a genetic algorithm is implemented. As an example, the algorithm is verified with random algorithm in its application of determination of best assembly of set of cross tables.
Keywords: assembly, geometric error, homogenous transformation matrix, optimization, genetic algorithms
1. WSTĘP
Produkcja maszyn technologicznych, a zwłaszcza precyzyjnych obrabiarek do metali, wymusza spełnienie
wysokich wymagań jakościowych ich elementów składo- wych, mających bezpośredni wpływ na dokładność
finalną wyprodukowanej maszyny. Na konstrukcję współczesnej obrabiarki składają się elementy korpusowe (w ogromnej większości wykonywane w postaci odlewów żeliwnych) połączone ze sobą systemem
(głównie tocznych) oraz przekładni śrubowo
sterowanie (łącznie z silnikami oraz napędami), a także hydraulika, elementy wykonawcze (m.in. elektrowrzeci na i głowice narzędziowe), jak również elementy stan wiące obudowę, w tym osłony przestrzeni roboczej.
Elementy bezpośrednio odpowiedzialne za dokła ność geometryczną obrabiarki (prostopadłość i równol głość osi roboczych maszyny) to elementy korpusowe, a także prowadnice, które są standaryzowanymi eleme tami zakupowymi produkowanymi w du
przez wyspecjalizowanych producentów
norm i dokładności [12,13]. Zatem, od strony produkcy nej dokładność wykonanej maszyny zależeć będzie od dokładności obrobienia i montażu nośnych eleme korpusowych nieruchomych i ruchomych.
W literaturze [1], która porusza problem
geometrycznej maszyn, można spotkać te same określ nia na błędy, mające tę samą przyczynę i charakter.
Ekinci i inni [5] dokonali podziału błędów na trzy hi rarchiczne grupy:
- błędy objętościowe – wynik oddziaływania kinematycznych i geometrycznych,
- błędy kinematyczne, które obserwuje się podczas przesuwania lub obrotu poszczególnych osi obrabiarki, wynikają one z luzów oraz niedokładności wykonania i montażu połączeń prowadnicowych, a ich
i charakter zmieniają się wraz ze zużyciem połączeń kinematycznych,
- błędy geometryczne – można je podzielić na dwie podkategorie: błędy geometryczne połączeń prowadn cowych (błędy płaskości, prostopadłości i równoległości oraz błędy wykonania elementów korpusowych osi, które wpływają na ich prostopadłość.
Rys. 1. Tolerancje wykonania elementów korpusowych wchodzących w skład złożonego zespołu
finalną wyprodukowanej maszyny. Na konstrukcję współczesnej obrabiarki składają się elementy korpusowe (w ogromnej większości wykonywane w postaci odlewów żeliwnych) połączone ze sobą systemem prowadnic (głównie tocznych) oraz przekładni śrubowo-tocznych, sterowanie (łącznie z silnikami oraz napędami), a także hydraulika, elementy wykonawcze (m.in. elektrowrzecio- na i głowice narzędziowe), jak również elementy stano-
estrzeni roboczej.
Elementy bezpośrednio odpowiedzialne za dokład- ność geometryczną obrabiarki (prostopadłość i równole- elementy korpusowe, prowadnice, które są standaryzowanymi elemen- tami zakupowymi produkowanymi w dużych ilościach przez wyspecjalizowanych producentów wg określonych . Zatem, od strony produkcyj- nej dokładność wykonanej maszyny zależeć będzie od dokładności obrobienia i montażu nośnych elementów
ych.
porusza problem dokładności można spotkać te same określe-
czynę i charakter.
podziału błędów na trzy hie- wynik oddziaływania błędów błędy kinematyczne, które obserwuje się podczas u poszczególnych osi obrabiarki, oraz niedokładności wykonania icowych, a ich wartości się wraz ze zużyciem połączeń można je podzielić na dwie podkategorie: błędy geometryczne połączeń prowadni- cowych (błędy płaskości, prostopadłości i równoległości)
lementów korpusowych osi, które
Tolerancje wykonania elementów korpusowych wchodzących w skład złożonego zespołu
Błędy geometryczne obrabiarek trzyosiowych przedmiotem wielu badań. Nawara
i inni [10] i Suh i inni [11] sformułowali metodę wyzn czania błędów obrabiarki z 21 prostych składowych i zaproponowali algorytm przewidujący i kompensujący wartości tych błędów. Lee i inni
model błędu objętościowego, który zawierał
składowe błędów geometrycznych oraz przedstawili algorytm rekurencyjny służący ich kompensacji. Daz Tena i inni [4] opisali, w jaki sposób
montażu maszyny technologicznej tego celu macierz przekształcenia jed
Lamikiz i inni [7] zaprezentowali podobną metodę do pięcioosiowego centrum frezarskiego, natomiast Chen [ do określania błędów wykonania dla sześcioosiowej szlifierki do stożkowych kół zębatych o linii śrubowej.
Błędy geometryczne zmontowanej maszyny zależą przede wszystkim od dokładności wykonania powierzc ni bazowych poszczególnych jej komponentów korpus wych. Powierzchnie te mierzone są
rzędnościowych technik pomiarowych (stykowych bądź bezstykowych). Jako wynik pomiar
chmurę punktów odwzorowującą daną powierzchnię.
Przeważnie w procesie seryjnej lub małoseryjnej pr dukcji obrabiarek w jednym czasie
populacja kompletnych zespołów korpusowych. Poszcz gólne komponenty mierzone są, aby zw
dokładność ich wykonania spełnia nałożone przez ko struktora normy. Montaż odbywa się
zamienności elementów, a ewentualne błędy kompensuje się konstrukcyjnie lub technologicznie
i zmierzeniu dokładności geometrycznej maszyny.
wymaga to częściowego lub całkowitego demontażu danej obrabiarki.
Celem tego opracowania jest zbadanie
błędy geometryczne poszczególnych komponentów składowych maszyny wpływają na bł
zmontowanej z tych komponentów
2. MODEL PŁASZCZYZNY BAZOWEJ
Jako rezultat pomiaru powierzchni bazowej
je się chmurę punktów, których współrzędne opisywane są w układzie zdefiniowanym w trakcie pomiarów zgodnie z zależnością:
= ( ,
Specyfika produkcji obrabiarek wymaga, aby p wierzchnie bazowe elementów korpusowych były wyk nane z wysoką dokładnością (rys.
Błędy geometryczne obrabiarek trzyosiowych były Nawara i inni [9], Soons ] sformułowali metodę wyzna- czania błędów obrabiarki z 21 prostych składowych
ponowali algorytm przewidujący i kompensujący i inni [8] zaprezentowali model błędu objętościowego, który zawierał wszystkie trycznych oraz przedstawili algorytm rekurencyjny służący ich kompensacji. Daz w jaki sposób przenoszą się błędy montażu maszyny technologicznej, wykorzystując do tego celu macierz przekształcenia jednorodnego. Z kolei ] zaprezentowali podobną metodę do pięcioosiowego centrum frezarskiego, natomiast Chen [2]
do określania błędów wykonania dla sześcioosiowej szlifierki do stożkowych kół zębatych o linii śrubowej.
towanej maszyny zależą przede wszystkim od dokładności wykonania powierzch- ni bazowych poszczególnych jej komponentów korpuso- mierzone są za pomocą współ- rzędnościowych technik pomiarowych (stykowych bądź bezstykowych). Jako wynik pomiaru otrzymuje się chmurę punktów odwzorowującą daną powierzchnię.
Przeważnie w procesie seryjnej lub małoseryjnej pro- jednym czasie dostępna jest pewna populacja kompletnych zespołów korpusowych. Poszcze- gólne komponenty mierzone są, aby zweryfikować czy dokładność ich wykonania spełnia nałożone przez kon- struktora normy. Montaż odbywa się na zasadzie pełnej
, a ewentualne błędy kompensuje konstrukcyjnie lub technologicznie po zmontowaniu geometrycznej maszyny. Często wymaga to częściowego lub całkowitego demontażu Celem tego opracowania jest zbadanie, w jaki sposób błędy geometryczne poszczególnych komponentów składowych maszyny wpływają na błąd geometryczny
z tych komponentów maszyny.
MODEL PŁASZCZYZNY
Jako rezultat pomiaru powierzchni bazowej otrzymu- je się chmurę punktów, których współrzędne opisywane są w układzie zdefiniowanym w trakcie pomiarów,
( ). (1)
Specyfika produkcji obrabiarek wymaga, aby po- wierzchnie bazowe elementów korpusowych były wyko-
(rys. 1).
Tomasz Bartkowiak, Andrzej Gessner
Rys. 2. Zastępowanie chmury punktów pomiarowych płaszczyzną zastępczą
Charakteryzują się one przede wszystkim rygory- stycznie tolerowanym parametrem płaskości oraz wyma- ganymi małymi wartościami błędów prostopadłości i równoległości względem powierzchni referencyjnych.
Powyższe założenia implikują, że uzasadnione jest zastąpienie powierzchni referencyjnej płaszczyzną najlep- szego dopasowania, zgodną z metodą najmniejszych kwadratów:
= + + , (2)
której współczynniki a, b, c są wyznaczane z rozwiązania poniższego układu równań:
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∙ =
∑
∑
∑
, (3)
gdzie n jest liczbą punktów pomiarowych, które tworzą powierzchnię bazową (rys. 2). Parametry płaszczyzny bazowej charakteryzują jej położenie kątowe względem osi układu referencyjnego. Cosinusy kierunkowe tej płaszczyzny oblicza się ze wzoru:
= √ , (4)
= √ , (5)
= √ , (6)
gdzie:
− kąt pomiędzy zastępczą płaszczyzną bazową a osią X układu referencyjnego,
− kąt pomiędzy zastępczą płaszczyzną bazową a osią Y układu referencyjnego,
− kąt pomiędzy zastępczą płaszczyzną bazową a osią Z układu referencyjnego.
Aby wyznaczyć błędy montażu pary elementów kor- pusowych, należy określić układ współrzędnych związa- ny z powierzchnią bazową, która styka się z powierzch- nią bazową pierwszego elementu z pary. Układ ten umiejscawia się tak, aby był on zgodny z układem
wyznaczonym przez płaszczyznę zastępczą tej po- wierzchni. Błędy kątowe zmontowanej pary można zatem wyznaczyć z zależności:
= − , (7)
= − , (8)
= − , (9)
gdzie kąty ( , , ) reprezentują cosinusy kie- runkowe płaszczyzny bazowej w referencyjnym układzie współrzędnych.
3. MODELOWANIE DOKŁADNOŚCI
GEOMETRYCZNEJ STRUKTURY NOŚNEJ OBRABIARKI
3.1 MACIERZ PRZEKSZTAŁCENIA JEDNORODNEGO
Obrabiarki zbudowane są ze sztywnych elementów korpusowych, które przesuwają się względem siebie za pośrednictwem układu prowadnic. Przemieszczenia te realizowane są najczęściej w trzech wzajemnie prostopa- dłych kierunkach. W obrabiarkach poza przemieszcze- niami translacyjnymi występują również przemieszczenia rotacyjne (obrót wrzeciona lub stołu roboczego). Wyko- rzystując zależności dla bryły sztywnej, można zapisać wzajemne relacje położenia punktów charakterystycz- nych elementów korpusowych za pomocą macierzy przekształcenia jednorodnego. Przekształcenie to dla trójwymiarowej przestrzeni ma postać:
= , (10)
gdzie:
− macierz rotacji, która reprezentuje cosinusy kierunkowe układu m zapisane w układzie m-1,
− wektor pozycji, który zawiera współrzędne środka układu m zapisane w układzie m-1,
− macierz perspektywy,
− współczynnik skali.
W opisywanym przykładzie składniki macierzy per- spektywy przyjmują wartość zero, natomiast współczyn- nik skali jest równy jeden. Macierz przekształcenia jednorodnego można wykorzystać do transformacji punktów z układu m-1 do układu m zgodnie z poniższą zależnością:
1
= ∙
1
. (11)
W przypadku równoległego przesunięcia układów współrzędnych względem siebie tzn. układu m przesunię- tego względem układu m-1 o wartość am-1 wzdłuż osi X,
o wartość bm-1 wzdłuż osi Y oraz o wartość cm-1 wzdłuż osi Z, macierz transformacji współrzędnych punktu z układu m do układu m-1 przyjmuje postać:
= 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1
0 1
. (12)
Jeżeli układ współrzędnych m jest obrócony wzglę- dem układu m-1 o kąt θx wokół osi X, o kąt θy wokół osi Y oraz o kąt θz wokół osi Z, to macierz transformacji HTM (ang. Homogenous Transformation Matrix) jest postaci:
= ∙ ∙ , (13)
gdzie:
= 1 00 0
0 ( ) ( ) 0
0
− ( )
( ) 0
0 00 1
, (14)
=
⎣
⎢⎢
⎡ 0
− 0
0 1 0 0
0 0
0 0 0 1⎦⎥⎥
⎤
, (15)
=
( ) ( ) 0 0
− ( )
( ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
. (16)
Transformacja współrzędnych punktów do układu m-1, który jest przesunięty i obrócony względem układu m, jest opisana za pomocą iloczynu macierzy (12) i (13):
= ∙ . (17)
Dzięki wykorzystaniu powyższej metody transforma- cji współrzędnych ciała sztywnego pomiędzy różnymi układami współrzędnych można, poprzez iloczyn macie- rzy HTM, wyznaczyć współrzędne dowolnego punktu w układzie przyjętym jako układ referencyjny. Przypa- dek taki ma miejsce w obrabiarce składającej się z kilku ruchomych elementów korpusowych. Stosując transfor- macje współrzędnych za pomocą macierzy przekształce- nia jednorodnego, można uwzględnić błędy geometryczne połączeń prowadnicowych oraz błędy wykonania elemen- tów korpusowych. Przyjmując założenie upraszczające, że ma się do czynienia z bryłą sztywną oraz że kąty obrotów są małe, a jednoimienne osie są do siebie rów- noległe i mają ten sam zwrot, macierz HTM z uwzględ- nieniem odchyłek kątowych i translacyjnych ma postać:
= ∙ =
= 1 00 0
0 10 0
0 01
0 1
∙ 1
− 0
− 1 0
− 1
0 1
= (18)
= 1
− 0
− 1 0
− 1 0
+ + + 1
,
gdzie:
- macierz opisana równaniem (17),
- macierz odchyłek geometrycznych w układzie współrzędnych m,
- błędy kątowe, - błędy liniowe.
3.2 MODEL DOKŁADNOŚCI GEOMETRYCZNEJ STRUKTURY NOŚNEJ FREZARKI TRÓJOSIOWEJ
Istotne z punktu widzenia modelowania jest przyjęcie struktury kinematycznej rozpatrywanego obiektu.
W tym opracowaniu przyjęto strukturę Z0XY ze ślizgo- wymi połączeniami prowadnicowymi (rys. 3). Przystępu- jąc do budowy macierzy transformacji, przyjęto układ referencyjny, względem którego rozpatrywane będą przemieszczenia pary technologicznej narzędzie- przedmiot obrabiany. Pozostałe układy współrzędnych związane z poszczególnymi osiami przyjęto w środkach geometrycznych połączeń prowadnicowych. Na rys. 3 wyszczególniono dwie struktury kinematyczne: gałąź narzędziową i przedmiotową. Gałąź narzędziową rozumie się jako relacje pomiędzy układem współrzędnych narzę- dzia, a układem referencyjnym i zapisuje jako macierz transformacji jednorodnej T . Podobnie definiuje się gałąź przedmiotową, która określa wzajemne położenie układu współrzędnego przedmiotu obrabianego wzglę- dem układu referencyjnego i zapisuje się ją jako macierz
. Układy współrzędnych związane z przedmiotem i narzędziem pokrywają się.
Dla gałęzi narzędziowej można zapisać, że:
= ∙ ∙ , (19)
gdzie:
= 1 00 0
0 10 0
0 01
0 1
, (20)
= 1 00 0
0 10 0
0 01
0 1
, (21)
= 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1
0 1
. (22)
Indeks N w powyższej macierzy oznacza wysięg narzę- dzia. Wektor położenia punktu narzędzia w układzie referencyjnym wyznacza się z zależności:
= 1
= ∙
1
=
− − −
− − −
− − −
1
. (23)
Tomasz Bartkowiak, Andrzej Gessner
Macierz przekształcenia jednorodnego dla gałęzi narzę- dziowej jest postaci:
= ∙ ∙ ∙ ∙ , (24)
gdzie:
E = 1 ε
−ε 0
−ε ε1
0 ε
−ε 1 0
δ δ δ 1
, (25)
E =
⎣
⎢
⎢
⎡ 1 ε
−ε 0
−ε ε1
0 ε
−ε 1 0
δ δ δ
1 ⎦
⎥
⎥
⎤
. (26)
Rys. 3. Struktura kinematyczna obrabiarki
Obliczając różnicę pomiędzy położeniem nominalnym narzędzia a położeniem narzędzia przy uwzględnieniu błędów geometrycznych, można wyznaczyć wektor odchyłki geometrycznej pozycji punktu charakterystycz- nego narzędzia. Wektor ten przyjmuje postać:
e = − ∙ . (27)
Dla gałęzi przedmiotowej można zapisać, że:
T = T ∙ T , (28)
gdzie:
T = 1 00 0
0 10 0
0 01 0
a bc 1
. (29)
Jak już wspomniano, układy narzędzia i przedmiotu obrabianego pokrywają się, co pozwala na wyznaczenie macierzy T , która występuje w równaniu (27) zgod- nie z zależnością:
T = T ⇒ T ∙ T ∙ T = T ∙ T , (30)
T = T ∙ T ∙ T ∙ T . (31)
Po podstawieniu otrzymuje się:
T =
1 00 0
0 10 0
0 01 0
a + a + a − a b + b + b − b c + c + c − c
1
. (32)
Postać wektora położenia punktu charakterystyczne- go przedmiotu wyznacza się z zależności:
= 1
= ∙
1
=
− − −
− − −
− − −
1
. (33)
Macierz przekształcenia jednorodnego z uwzględnie- niem odchyłek geometrycznych dla gałęzi przedmiotowej ma postać:
= ∙ ∙ , (34)
gdzie:
E = 1 ε
−ε 0
−ε ε1
0 ε
−ε 1 0
δ δ δ 1
. (35)
Wektor pozycji, będący różnicą pomiędzy położeniem punktu charakterystycznego przedmiotu dla przypadku uwzględniającego błędy geometryczne oraz dla przypad- ku pozbawionego błędu można wyznaczyć z zależności:
e = − ∙ . (36)
Wyznaczając różnicę pomiędzy wektorem położenia punktu charakterystycznego narzędzia a wektorem położenia punktu charakterystycznego przedmiotu, otrzymuje się wektor błędu geometrycznego zmontowa- nych zespołów korpusowych, co zapisuje się jako:
= − = . (37)
Miara wielkości błędu geometrycznego stanowi dłu- gość wektora tego błędu i jest obliczana z zależności:
( , , ) = = + + .(38)
Rys. 4. Wykres wartości błędów , dla różnych położeń stołu obrabiarki
Przykładowe wykresy błędów pozycjonowania dla omawianej struktury kinematycznej, dla różnych poł żeń stołu, przedstawiono na rys. 4, zakładając błędów = 0,01 oraz = 0,01
4. MONTAŻ SELEKCYJNY OBRABIARKI
Z WYKORZYSTANIEM
ALGORYTMU GENETYCZNEGO
W przypadku produkcji jednostkowej maszyn często stosuje się metody montażu z kompensacją technol giczną lub konstrukcyjną, natomiast w produkcji sery nej, minimum 200 obrabiarek danego typu rocznie, przebiega on na zasadzie pełnej zamienności z dopus czeniem kompensacji technologicznej w uzasadnionych przypadkach. Przy takim montażu wysokie wymagania dotyczące dokładności geometrycznej struktury nośnej obrabiarki wymagają z jednej strony stosowania bardzo dokładnych komponentów (prowadnic oraz przekładni śrubowych), z drugiej natomiast dokładnego obrobienia powierzchni bazowych korpusów. W produkcji seryjnej obrabiarek (przy założeniu ok. 200 sztuk rocznie) korp sy składowe obrabiane są w ekonomicznych partiach po kilkanaście takich samych sztuk i z grup o ta
dla różnych położeń
pozycjonowania dla omawianej struktury kinematycznej, dla różnych poło-
zakładając wartości /500 .
MONTAŻ SELEKCYJNY
WYKORZYSTANIEM
ALGORYTMU GENETYCZNEGO
przypadku produkcji jednostkowej maszyn często stosuje się metody montażu z kompensacją technolo- giczną lub konstrukcyjną, natomiast w produkcji seryj- nej, minimum 200 obrabiarek danego typu rocznie, przebiega on na zasadzie pełnej zamienności z dopusz-
m kompensacji technologicznej w uzasadnionych przypadkach. Przy takim montażu wysokie wymagania dotyczące dokładności geometrycznej struktury nośnej obrabiarki wymagają z jednej strony stosowania bardzo dokładnych komponentów (prowadnic oraz przekładni bowych), z drugiej natomiast dokładnego obrobienia powierzchni bazowych korpusów. W produkcji seryjnej obrabiarek (przy założeniu ok. 200 sztuk rocznie) korpu- sy składowe obrabiane są w ekonomicznych partiach po kilkanaście takich samych sztuk i z grup o takiej liczno-
ści dobierane w zespoły montażowe.
korpusowy przed montażem jest mierzony i sprawdzany pod kątem dokładności geometrycznej wykonania i jakości powierzchni obrobionej. Pomiar odbywa się na maszynie współrzędnościowej. Decyzję o przy
odrzuceniu danego komponentu podejmuje się pod uwagę parametry dokładności geometrycznej w znaczone na podstawie chmury punktów pomiarowych.
Ta sama chmura punktów może zostać użyta do ślenia budżetu błędów dla każdego z montowanych elementów korpusowych, przy wykorzyst
opisanych w rozdziale 2.
Przy modelowaniu procesu montażu zakłada się, że jednocześnie dostępnych jest m
składających się z n elementów, z których można zb dować n kompletnych maszyn
zbudowanej z m elementów wybranych dowolnie z m zbiorów można wyznaczyć funkcję opisującą błąd geometryczny maszyny dla różnych poł
tów korpusowych zgodnie z modelem opisanym w rozdziale 3.1.
Rys. 5. Montaż obrabiarki z populacji składowych elementów korpusowych
Liczba wszystkich możliwych złożeń elementów ko pusowych w m maszyn wynosi
populacji istnieje możliwość sprawdzenia maksymalnych wartości funkcji błędów dla każdego
i na tej podstawie wybranie najkorzystniejszego waria tu. Dla większej liczebności maszyn problem się kompl kuje ze względu na wymaganą liczbę przypadków, które muszą zostać sprawdzone. Korzystn
w takim wypadku zastosowanie algory
Funkcję celu definiuje się jako minimalny średni błąd maksymalny całości zmontowanych zespołów korpus wych. Ponieważ problem ma charakter permutacyjny jako operator krzyżowania wykorzystano metodę OX (ang. order crossover), która pozwala
tych samych elementów z danej grupy przy krzyżowaniu się osobników [3]. Z tej samej przyczyny jako operator mutacji wybrano metodę RM (ang. reverse mutation) [6].
ści dobierane w zespoły montażowe. Każdy element korpusowy przed montażem jest mierzony i sprawdzany ności geometrycznej wykonania jakości powierzchni obrobionej. Pomiar odbywa się na maszynie współrzędnościowej. Decyzję o przyjęciu lub odrzuceniu danego komponentu podejmuje się, biorąc pod uwagę parametry dokładności geometrycznej wy-
chmury punktów pomiarowych.
może zostać użyta do okre- błędów dla każdego z montowanych
wykorzystaniu zależności Przy modelowaniu procesu montażu zakłada się, że równolicznych zbiorów, elementów, z których można zbu-
(rys. 5). Dla maszyny elementów wybranych dowolnie zbiorów można wyznaczyć funkcję opisującą błąd geometryczny maszyny dla różnych położeń jej elemen-
ch zgodnie z modelem opisanym
obrabiarki z populacji składowych elementów korpusowych
Liczba wszystkich możliwych złożeń elementów kor-
! ∙ !. Dla mało licznych populacji istnieje możliwość sprawdzenia maksymalnych w dla każdego możliwego złożenia najkorzystniejszego warian- tu. Dla większej liczebności maszyn problem się kompli- ze względu na wymaganą liczbę przypadków, które muszą zostać sprawdzone. Korzystne jest w takim wypadku zastosowanie algorytmu genetycznego.
Funkcję celu definiuje się jako minimalny średni błąd maksymalny całości zmontowanych zespołów korpuso-
Ponieważ problem ma charakter permutacyjny, jako operator krzyżowania wykorzystano metodę OX (ang. order crossover), która pozwala uniknąć powtórzeń tych samych elementów z danej grupy przy krzyżowaniu . Z tej samej przyczyny jako operator mutacji wybrano metodę RM (ang. reverse mutation)
Tomasz Bartkowiak, Andrzej Gessner
Rys. 6. Porównanie wyników średniego geometrycznego błędu maksymalnego zmontowanej populacji obrabiarek otrzymanych
dla symulacji procesu selekcyjnego montażu populacji 30 obrabiarek o strukturze Z0XY
Na potrzeby przeprowadzenia symulacji zdefiniowano 30 populacji, z których każda składała się z czterech elementów korpusowych tworzących strukturę Z0XY.
Każdy element z populacji opisano zbiorem błędów , , zgodnie z modelem opisanym w rozdziale 3.2. War- tości błędów przyjęto losowo zgodnie z rozkładem nor- malnym – odpowiednio N(0,000 mm;0,003 mm) oraz N(0,000 mm/m; 0,005mm/m). Do porównania wyników otrzymanych przy zastosowaniu algorytmu genetycznego problem rozwiązano z wykorzystaniem algorytmu loso- wego. Porównanie wyników dla różnej liczby iteracji algorytmów przedstawiono na rys. 6.
5. WNIOSKI
W przedstawionym artykule zaprezentowano meto- dologię obliczania błędu geometrycznego trójosiowej obrabiarki sterowanej numerycznie z wykorzystaniem macierzy transformacji jednorodnej. Końcowy maksy- malny błąd geometryczny zależy przede wszystkim od dokładności wykonawczej komponentów składowych, a przede wszystkim od wysokiej dokładności geome- trycznej powierzchni bazowych. W opracowaniu pokaza- no sposób obliczania składowych błędów geometrycz- nych na podstawie danych otrzymanych z pomiarów współrzędnościowych.
Dla montażu selekcyjnego maszyn zaprezentowano problem najlepszego doboru i rozwiązano go wykorzystu- jąc algorytm genetyczny. Wyniki otrzymane tą metodą pokazują, że po kilkudziesięciu iteracjach otrzymuje się lepsze wyniki niż przy zastosowaniu doboru losowego.
Bazując na zaprezentowanej metodologii, możliwe jest określenie, które ze składowych błędów odgrywają największy udział w błędzie całego złożenia. Na tej podstawie można określić, które komponenty należy poddać dodatkowej obróbce celem poprawy dokładności.
Dodatkowo, znając wartości błędów złożenia przed fizycznym montażem, można zaoszczędzić czas związany z uciążliwą kompensacją i pomiarem już złożonej ma- szyny. Informacje o rozkładzie błędów mogą być również przydatne dla operatora maszyny podczas ustawianiu przedmiotu obrabianego w obszarze, gdzie błędy geome- tryczne przyjmują najmniejsze wartości. .
Badania zostały sfinansowane przez NCBiR w ramach projektu LIDER/07/76/L-3/11/NCBR/2012
Literatura
1. Ahn K. G., Min B.K., Pasek Z. J.:Modeling and compensation of geometric errors in simultaneous cutting using multi-spindle machine tool. “Int J Adv Manuf Technol” 2006, 29, p. 929 - 939.
2. Chen S., Yan H., Ming X.: Analysis and modeling of error of spiral bevel gear grinder based on multi-body system theory. “J. Cent. South Univ. Technol.” 2008, 15, p. 706 - 711.
3. Davis L.: Job shop scheduling with genetic algorithms. Genetic Algorithms and Their Applications: Proc. Second Int. Conf. on Genetic Algorithms, ed. Grefenstette (Lawrence Erlbaum Associates) 1986.
4. Daz-Tena E., Ugalde U., Lpez de Lacalle L. N, de la Iglesia A., Calleja A., Campa F. J.: Propagation of assem- bly errors in multi tasking machines by the homogenous matrix method. “Int J Adv Manuf Technol.” 2012, 68, p. 149 – 164.
5. Ekinci T. O., Mayer J. R. R.: Relationships between straightness and angular kinematic errors in ma- chines.International “Journal of Machine Tool and Manufacture” 2007, 47, p. 478 - 487.
6. Fogel D. B., Atmar J. W.: Comparing genetic operators with Gaussian mutations in simulated evolutionary processes using linear systems. “Biol. Cybern.” 1990, 63, p. 111 - 114.
7. Lamikiz A.,Lpez de Lacalle L. N., Ocerin O., Dez D., Maidagan E.: The Denavit and Hartenberg approach applied to evaluate the consequences in the tool tip position of geometrical errors in five-axis milling centres.
“Int J Adv Manuf Technol.” 2008, 37, p. 122 - 139.
15,10 15,15 15,20 15,25 15,30
0 20 40 60 80 100
Średni błąd geometryczny -emax- [m]
Liczba iteracji algorytmu - i Algorytm losowy Algorytm genetyczny
8. Lee JH., Liu Y., Yang SH.: Accuracy improvement of miniaturized machine tool: geometric error modeling. “Int J Machine Tools and Manuf.” 2006, 46, p. 1508 - 516.
9. Nawara L., Kowalski J., Sladek J.: The influence of kinematic errors on the profile shapes by means of CMM.
Ann CIRP1989, 38 (1, p. 511 - 516.
10. Soons J., Theuws F., Schllekens P.: Modelling the errors of multi axis machines: a general methodology. “Precis Eng.” 1992, 14 (1), p. 5 - 19.
11. Suh SH., Lee J. J., Kim S. K.: Multiaxis machining with additional-axis NC system: theory and development.
“Int J Adv Manuf Technol.” 1998, 14, p. 865 - 875.
12. ISO/TS 12781-1: 2003, Geometrical product specifications (GPS) Flatness Part 1: Vocabulary and parameters of flatness.
13. ISO/TS 12781-2: 2003, Geometrical product specifications (GPS) Flatness Part 2: Specification operators.
