Wykład XV. WYKRESY WSKAZOWE PRĄDU I NAPIĘCIA SINUSOIDALNEGO.
METODA SYMBOLICZNA ROZWIĄZYWANIA OBWODÓW
Wskazy prądu i napięcia sinusoidalnego. Idea wykresu wskazowego obwodu
Przebieg sinusoidalny może być reprezentowany przez:
a) wirujący wektor i nieruchomą oś przebiegu czasowego, krócej: nieruchomą „oś czasu” (rys. a), b) nieruchomy wektor i wirującą oś przebiegu czasowego, krócej: wirującą „oś czasu” (rys. b), przy czym rzut tego wektora na tę oś wyraża wartość chwilową przebiegu.
a) b)
Wektory reprezentujące przebiegi czasowe prądu i(t) i napięcia u(t) nazywa się wskazami i oznacza podkreślonymi wielkimi literami: wskazy wirujące – jako Imt , Umt ; wskazy nieruchome – Im , Um . Wskaz nieruchomy danej wielkości, tożsamy – jak widać – ze wskazem ruchomym tej wielkości w chwili początkowej, nazywa się wskazem początkowym tejże wielkości.
Wartość chwilowa przebiegu sinusoidalnego jest określona jednoznacznie przez czas oraz długość i położenie reprezentującego go wskazu początkowego. Algebraicznemu dodawaniu wartości chwi- lowych prądów lub napięć sinusoidalnych o tej samej pulsacji odpowiada geometryczne dodawanie ich wskazów początkowych.
Wykres przedstawiający wskazy początkowe prądów i napięć obwodu prądu sinusoidalnego o okre- ślonej pulsacji nosi nazwę wykresu wskazowego tego obwodu. Zazwyczaj na wykresie wskazowym nie rysuje się osi układu współrzędnych (nie zaznacza się też osi zerowej fazy początkowej).
W praktyce są używane wartości skuteczne prądów i napięć, a nie ich wartości maksymalne. Wska- zy początkowe Im i Um – o długościach Im i Um , równych amplitudom przebiegów sinusoidalnych i(t) i u(t) – zastępuje się dlatego wskazami I i U, o długościach 2 razy krótszych od Im i Um , czyli równych wartościom skutecznym I i U przebiegów i(t) i u(t). „Zredukowane” w taki sposób wska- zy początkowe prądów i napięć przedstawia się na wykresach wskazowych, nazywając je po prostu wskazami (bez dodatkowych określeń).
Przydatność wykresów wskazowych wynika z poglądowego przedstawienia związków czasowych jako zależności geometrycznych, co na ogół ułatwia rozwiązanie obwodu.
Wykresy wskazowe i wykresy trójkątowe dwójników pasywnych
Kąt przesunięcia fazowego (przesunięcie fazowe) dwójnika jest różnicą faz począt- kowych jego napięcia i prądu: ϕ =ψu −ψi. Gdy ϕ > 0 (X > 0; B < 0), to wskaz I opóź- nia się o kąt ϕ względem wskazu U (rys. a);
gdy natomiast ϕ < 0 (X < 0; B > 0), to wskaz U opóźnia się o kąt ϕ względem wskazu I (rys. b).
nieruchoma
„oś czasu”
oś zerowej fazy początkowej
(ψu = 0) Umt
Um
ψu
ωt u(t) u(0)
0 oś zerowej fazy
początkowej (ψu = 0) Um
ψu ωt u(t) u(0)
0
wirująca „oś czasu”
w położeniu początkowym wirująca „oś czasu”
w chwili t > 0
ψu
ψi
ϕ UR
IG
UX
U
IB
I
(oś zerowej fazy początkowej)
ψu
ψi
ϕ UR
IG
UX
U IB
I a) ϕ>0 b) ϕ<0
I = I1 C U1
UR3 R3
U U2 = U3
I2 I3
R2
UL L Na przedstawionych wyżej wykresach wska-
zowych dwójnika – o charakterze: a) induk- cyjnym, b) pojemnościowym – zaznaczono składowe UR i UX wskazu napięcia U (dla zastępczego dwójnika szeregowego R, X ), oraz składowe IG i IB wskazu prądu I (dla zastęp- czego dwójnika równoległego G, B ).
Wykres z rys. a odnosi się do układów pokazanych na rys. c i d (dwójnik o charakterze indukcyj- nym). Wykres z rys. b odnosi się do analogicznych układów z pojemnościami na miejscu induk- cyjności, przy czym X < 0 i B > 0 .
Wskazy napięcia oraz prądu tworzą wraz ze swymi składowymi trójkąty napięcia i trójkąty prądu, co lepiej widać, gdy te wykresy są narysowane oddzielnie, z założeniem zerowej wartości począt- kowej, odpowiednio: kąta fazowego ψi prądu I w układzie R, X (trójkąt napięcia); kąta fazowego ψu
napięcia U w układzie G, B (trójkąt prądu). Wykresy takie, dla dwójnika o charakterze indukcyj- nym (ϕ >0) – jak na rys. a, pokazano niżej na rysunkach a’ i a”.
Kątowi ϕ i wartościom skutecznym I, IG i IB oraz U, UR i UX odpowiada- ją składowe czynne i bierne:
- prądu Icz =IG = I⋅cosϕ i Ib =−I⋅sinϕ , Ib = IB ; - napięcia Ucz =UR =U⋅cosϕ
i Ub =U⋅sinϕ , Ub =UX . Dzieląc oraz mnożąc długości bo- ków trójkątów napięcia i prądu, odpowiednio, przez wartości sku- teczne prądu i napięcia, otrzymuje się trójkąty: impedancji, admitancji oraz mocy – pokazane obok na ry- sunku dla dwójnika o charakterze indukcyjnym (ϕ >0).
Przeliczenie długości boków z trójkątów impedancji lub admitancji, na trójkąt mocy, wyraża się następująco: P=R⋅I2 =G⋅U2 ; Q= X ⋅I2 =−B⋅U2 ; S =Z⋅I2 =Y⋅U2 .
Przykład. Wykres wskazowy prądów i napięć dwój- nika R, L, C o strukturze szeregowo-równoległej, wykonany przy założeniu i3(t)=I3 2sinωt, tj. ψi3 =0.
G
B<0 Y
ϕ R
X>0 Z
ϕ
P
Q>0 S
ϕ
UR3
UL
U
U1
I2
I3
I = I1
U2 = U3
ϕ3
ϕ UR
ψi = 0
UX
U
ϕ I
ψu = 0 IG U
IB
I ϕ a’) a”)
I R X>0 UR UX
U
c) d)
IG G IB B<0 I
U
Wykonany wykres odpowiada danym: XL = XC = R3 = 100 Ω, R2 = 200 Ω. Jak widać, układ o tych danych jest dwójnikiem rezystancyjno-pojemnościowym (ϕ < 0), ale przy mniejszej np. trzykrotnie wartości reaktancji XC byłby to dwójnik rezystancyjno-indukcyjny (ϕ > 0).
Uwaga. Wykres wskazowy wykonuje się w skali, tzn. przyjmuje się skale długości wskazów prądu i wskazów napięcia (skale prądu i napięcia). Długości i fazy wskazów napięcia oraz prądu, dotyczą- cych poszczególnych elementów idealnych lub gałęzi z nich złożonych, są ze sobą związane warto- ściami impedancji i kąta przesunięcia fazowego.
Szkicując wykres wskazowy nie określa się dokładnie skal prądu i napięcia, trzeba jednak zacho- wać przybliżone proporcje odpowiadające danym bądź spodziewanym wartościom parametrów obwodu.
Procedura obliczenia wartości impedancji Z i kąta fazowego ϕ dwójnika (dla podanych wyżej pa- rametrów układu):
a) impedancja, konduktancja i susceptancja gałęzi trzeciej - 2
2 100
2 3
3 = R +XL =
Z Ω; 0,005
2 3 3
3 = =
Z
G R S; 0,005
2 3
3 =− =−
Z
B XL S;
b) konduktancja gałęzi drugiej - 005
, 1 0
2
2 = =
G R S;
c) konduktancja, susceptancja i admitancja gałęzi drugiej z trzecią - 01
,
3 0
2
23 =G +G =
G S; B23 =B3 =−0,005 S; Y23 = G232 +B232 =0,01 1,25 S;
d) rezystancja i reaktancja gałęzi drugiej z trzecią -
2 80
23 23
23 = =
Y
R G Ω; 2 40
23 23
23 =− =
Y
X B Ω;
e) rezystancja, reaktancja, impedancja i kąt fazowy dwójnika -
23 =80
= R
R Ω; X =−XC +X23 =−60 Ω; Z = R2 +X2 =100 Ω; = tg ≅−37o R
arc X
ϕ .
Procedura obliczenia wartości skutecznych prądów i napięć gałęziowych przy założonym przebiegu t
t
i3( )=2 2sinω , [i3] = A, [ω] = s-1, [t] = s, tzn. wartościach I3 = 2 A i ψi3 = 0 (na wykresie – po- ziome położenie wskazu I3 ):
a) impedancja i wartość skuteczna napięcia w gałęzi trzeciej - 2
2 100
2 3
3 = R +XL =
Z Ω; U3 =Z3⋅I3 =200 2 ≅283 V;
b) przesunięcie fazowe i faza początkowa napięcia w gałęzi trzeciej - 45o
tg
3
3 = =
R arc XL
ϕ ; ψu3 =ψi3+ϕ3 =45o;
c) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia w gałęzi drugiej -
3 283
2 =U ≅
U V; ψu2 =ψu3 =45o;
d) impedancja, przesunięcie fazowe, wartość skuteczna i faza początkowa prądu w gałęzi drugiej -
2 200
2 =R =
Z Ω; ϕ2 =0; 1,41
2 2
2 = ≅
Z
I U A; ψi2 =ψu2 −ϕ2 =45o; e) wartość skuteczna i faza początkowa prądu dwójnika (i = i1) -
3 cos
cos
cos 1 2 2 3 3
1
1x =I ⋅ i =I ⋅ i +I ⋅ i =
I ψ ψ ψ A;
1 sin
sin
sin 1 2 2 3 3
1
1y =I ⋅ i =I ⋅ i +I ⋅ i =
I ψ ψ ψ A;
16 , 3
2 10
1 2 1
1 = I x +I y = ≅
I A; tg 18,4o
1 1
1 = ≅
x y
i I
arc I
ψ ;
16 ,
1 ≅3
=I
I A; ψ1 =ψi1 ≅18,4o;
f) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia na pojemności - 316
10
1 100
1 = X ⋅I = ≅
U C V; ψu1 =ψi1+ϕ1 ≅−71,6o; g) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia dwójnika -
300 cos
cos
cos = 1⋅ 1+ 2⋅ 2 =
⋅
= u u u
x U U U
U ψ ψ ψ V;
100 sin
sin
sin = 1⋅ 1+ 2⋅ 2 =−
⋅
= u u u
y U U U
U ψ ψ ψ V;
316 10
2 100
2 + = ≅
= Ux Uy
U V; = tg ≅−18,4o
x y
u U
arc U
ψ ;
h) impedancja i przesunięcie fazowe dwójnika -
=100
= I
Z U Ω; ϕ =ψu −ψi ≅−37o.
Wartości symboliczne prądu i napięcia sinusoidalnego
Wskazy prądu i napięcia: I i U, umieszczone na płaszczyźnie zespolonej, stają się liczbami zespolonymi (rys. obok – wskaz U jako liczba zespolona U =U⋅ejψu). Noszą one nazwy wartości skutecznych zespolonych lub wartości symbolicznych prądu i napięcia. Używając symbolu liczby urojonej j= −1, zapisuje się wartości symboliczne w postaci wykładniczej, trygonome- trycznej lub algebraicznej (kartezjańskiej):
I j I j
I e I
I = ⋅ jψi = ⋅(cosψi+ sinψi)=Re + Im , (6.48a) U
j U j
U e
U
U = ⋅ jψu = ⋅(cosψu+ sinψu)=Re + Im , (6.48b) gdzie:
I=I, U=U – moduły (długości wskazów) I i U; ψi , ψu – argumenty I i U;
ReI, ReU – części rzeczywiste I i U; ImI, ImU – części urojone I i U.
Przebiegi czasowe prądu i napięcia odpowiadają częściom urojonym wskazów zespolonych wirują- cych Imt i Umt (prądu i napięcia):
) sin(
2 ) 2 Im(
Im )
(t Imt I ej t I t i
i = = ⋅ ω = ω +ψ , (6.49a) )
sin(
2 )
2 Im(
Im )
(t Umt U ej t U t u
u = = ⋅ ω = ω +ψ . (6.49b)
Własności metody symbolicznej rozwiązywania obwodów prądu sinusoidalnego
1. Dodawaniu wartości chwilowych prądów (w węzłach) oraz napięć (na elementach obwodu) odpowiada dodawanie ich wartości symbolicznych:
∑
=
k k t i t
i( ) ( ) ↔ =
∑
k
Ik
I ; =
∑
k k t u t
u( ) ( ) ↔ =
∑
k
Uk
U .
2. Między wartościami symbolicznymi prądu i napięcia elementów idealnych zachodzą następują- ce zależności (wykresy ze wskazami „zespolonymi” są takie same jak ze „zwykłymi”):
a) rezystancja -
R
R R I
U = ⋅ , (6.50a)
R G UR
I = ⋅ , (6.50b) (oś rzeczy-
wista) (oś urojona)
U jImU
ReU 0
ψ
IR R, G UR
IR = G⋅UR
UR = R⋅IR
b) pojemność -
C C
C jX I
U =− ⋅ , (6.51a)
C C
C jB U
I = ⋅ , (6.51b)
c) indukcyjność (własna) -
L
L jXL I
U = ⋅ , (6.52a)
L L
L jB U
I =− ⋅ , (6.52b)
d) indukcyjność wzajemna -
1
2 jX I
U M = M ⋅ , (6.53a) analogicznie
2
1 jX I
U M = M ⋅ . (6.53b)
3. Układowi szeregowemu R, X przypisuje się impedancję zespoloną
ϕ
ej
Z jX R
Z = + = ⋅ (6.54a) i postać zespoloną odmiany impedancyjnej prawa Ohma
I Z
U = ⋅ . (6.54b) 4. Układowi równoległemu G, B przypisuje się admitancję zespoloną
ϕ
e j
Y jB G
Y = + = ⋅ − (6.55a) i postać zespoloną odmiany admitancyjnej prawa Ohma
U Y
I = ⋅ . (6.55b) 5. Dla określonego dwójnika zachodzi związek
Y Z1
= , (6.56) z czego wynikają następujące zależności między elementami układów zastępczych R, X i G, B:
Y2
R= G ,
Y2
X =− B , Z2
G= R ,
Z2
B=− X . (6.56a, b, c, d) 6. Przy połączeniu szeregowym dwójników pasywnych sumuje się oddzielnie rezystancje i reak-
tancje albo impedancje zespolone (nie wolno sumować modułów impedancji zespolonych!):
∑
=
k
Rk
R , =
∑
k
Xk
X ; =
∑
k
Zk
Z . (6.57a, b, c) 7. Przy połączeniu równoległym dwójników pasywnych sumuje się oddzielnie konduktancje i su-
sceptancje albo admitancje zespolone (nie wolno sumować modułów admitancji zespolonych!):
∑
=
k
Gk
G , =
∑
k
Bk
B , =
∑
k
Yk
Y . (6.58a, b, c) 8. Wszystkie twierdzenia i metody rozwiązywania obwodów, dotyczące teorii obwodów prądu stałego (wielkości rzeczywiste stałe: U, I, E, Iźr , R, G), zachowują ważność w analizie stanów ustalonych obwodów prądu sinusoidalnego przy użyciu liczb zespolonych (wielkości zespolone:
U, I, E, Iźr , Z, Y).
IC = jBC ⋅UC
UC = -jXC ⋅IC
IC XC , BC
UC
IL XL , BL
UL
IL = -jBL ⋅UL
UL = jXL ⋅IL
I1
U2M = jXM ⋅I1
X21 = XM
U2M I1
Przykład. Zostanie przeprowadzony rachunek symboliczny, odpowiadający procedurom przedstawionym w poprzednim przykładzie, dotyczący tego samego dwójnika (rys. obok).
Dane są, jak poprzednio:
XL = XC = R3 = 100 Ω, R2 = 200 Ω, t
t
i3( )=2 2sinω , [i3] = A, [ω] = s-1, [t] = s.
Procedura obliczenia impedancji Z i kąta fazowego ϕ dwójnika:
1 j100
Z =− Ω; Z2 =200 Ω; Z3 =(100+ j100) Ω;
37o 3
2 3 2
1 80 j60 100 e j
Z Z
Z Z Z
Z = − ≅ ⋅ −
+ + ⋅
= Ω; Z =100 Ω; ϕ ≅37°.
Procedura obliczenia wartości skutecznych prądów i napięć gałęziowych:
0o
3 2 2 ej
I = = ⋅ A; Z3 =100+ j100=100 2⋅ej45o Ω; )
200 200
( 2
200 45
3 3
3 Z I e j
U = ⋅ = ⋅ j o = + V; U2 =U3; U2 =U3 ≅283 V;
0o
2 200 200 ej
Z = = ⋅ Ω; Y2 =0,005=0,005⋅ej0o S;
) 1 1 ( 2 45
2 2
2 Y U e j
I = ⋅ = ⋅ j o = + A; I2 ≅1,41 A;
4o , 18 3
2
1 I I 3 j1 10 ej
I = + = + ≅ ⋅ A; I1 ≅3,16 A;
90o
1 j100 100 e j
Z =− = ⋅ − Ω;
) 300 100
( 10
100 71,6
1 1
1 Z I e j
U = ⋅ ≅ ⋅ −j o ≅ − V; U1 ≅316 V;
4o , 18 2
1 U 300 j100 100 10 e j
U
U = + = − ≅ ⋅ − V; U ≅316 V;
I1
I = ; 80 j60 100 e j37o I
Z =U = − ≅ ⋅ − Ω; Z =100 Ω; ϕ≅37°.
Wniosek (wynikający z porównania procedur obliczeniowych przedstawionych w tym i w poprzed- nim przykładzie): korzyści obliczeniowe stosowania rachunku symbolicznego są oczywiste.
Moc zespolona
Trójkąt mocy umieszczony na płaszczyźnie zespolonej przed- stawia trójkąt mocy zespolonej (rys. obok), którego bokami są:
moc czynna P, moc bierna Q pomnożona przez j, oraz moc ze- spolona S:
jQ P j
S e S
S = ⋅ jϕ = ⋅(cosϕ+ sinϕ)= + ; (6.59) S
P=Re , Q=ImS , S = P2 +Q2 =U⋅I . (6.60a, b, c) Skoro ϕ =ψu −ψi , to
− ∗
− = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
⋅
⋅
⋅
=U I e e U e I e U I
S jψu jψi ( jψu) ( jψi) , (6.61) stąd moc zespolona układu szeregowego R, X oraz układu równoległego G, B wynosi:
2 2
2 R I jX I
I Z
S = ⋅ = ⋅ + ⋅ , S =Y∗⋅U2 =G⋅U2− jB⋅U2. (6.62a, b) Sporządzając bilans mocy obwodu, sumuje się oddzielnie moce czynne i bierne albo moce zespolo- ne (nie wolno sumować modułów mocy zespolonych, tj. mocy pozornych!):
∑
=
k
Pk
P , =
∑
k
Qk
Q , =
∑
k
Sk
S . (6.63a, b, c) P
jQ S
ϕ I = I1 C
U1
UR3 R3
U U2 = U3
I2 I3
R2
UL L
Posługiwanie się rachunkiem symbolicznym w rozwiązywaniu obwodów
Przykład. Z użyciem rachunku symbolicznego, poprzez stosowanie różnych metod, zostaną wyznaczone wartości prądów i napięć, określone wskazania przyrządów pomia- rowych (amperomierzy i woltomierza) oraz sporządzony bilans mocy w układzie pokazanym na rysunku. Przyrządy są idealne i mierzą wartości skuteczne.
Dane: R= XC = XL =10 Ω;
t
u=40 2sinω , iźr =2 2cosωt, [u] = V, [iźr] = A, [ω] = s, [t] = s.
Danym przebiegom odpowiadają wartości symboliczne napięcia i prądu: U = 40 V; Iźr = j2 A.
Impedancje zespolone elementów wynoszą: ZR = 10 Ω; ZC = – j10 Ω; ZL = j10 Ω.
Ze schematu wynika, że wystarcza obliczenie I1 lub I2, bowiem:
I2 = I1 + Iźr lub I1 = I2 – Iźr ; UV = UC + UL = ZC I2 +ZL Iźr .
Oblicza się najpierw – na różne sposoby – prąd I1 , a następnie I2 , UR , UC , UL i UV , określa wskazania przyrządów i sporządza bilans mocy obwodu.
1. Zasada superpozycji
) 2 2
1 ( j
Z Z I U
C R
a = +
= + A; 1 ( 1 j1)
Z Z
Z I I
C R
C źr
b = − −
+
⋅
= − A;
) 1 1
1 (
1
1 I I j
I = a + b = + A.
2. Zamiana źródła prądowego na napięciowe i obliczenie prądu w oczku (z równania oczkowego dla jednego oczka)
) 1 1
1 ( j
Z Z
I Z I U
I
C R
źr C
o = +
+
⋅
= −
= A.
≡
ZR
U
I1
I2
ZL
ZC
Iźr
≡
ZR
U
I1
I2 ZC
Iźr
ZR
U
I1
ZC
ZC Iźr
Io ZR
U
I1a
I2a
ZL
ZC
ZR
Iźr
I1b
I2b
ZL
ZC
≡ +
ZR
U
I1
I2 ZC
Iźr
ZL
R A1
A2 V U
Iźr
L C
ZR
U
Iźr
UV
I1
I2
ZL
ZC
UC
UL
UR
3. Zamiana źródła napięciowego na prądowe i obliczenie potencjału w węźle (z równania węzło- wego dla jednego węzła niezależnego)
1 , 1 =0
=
R
R Z
Y S; 1 0,1
Z j Y
C
C = = S;
U Y I V Y
YR + C)⋅ 1 = źr + R ⋅
( ; 1 (30 j10)
Y Y
U Y V I
C R
R
źr = −
+
⋅
= + V;
) 1 1 ( )
( 1
1 Y U V j
I = R ⋅ − = + A.
4. Twierdzenie Thevenina (gałąź U, R jako zewnętrzna)
0 20
0 =−UC =−ZC ⋅Iźr =−
U V; Zw =ZC; 1 0 (1 j1)
Z Z
U I U
w R
+ + =
= + A.
5. Wartości symboliczne I2 , UR , UC , UL i UV , oraz wskazania przyrządów I2 = I1 + Iźr = (1 + j3) A;
UR = ZR I1 = (10 + j10) V; UC = ZC I2 = (30 – j10) V; UL = ZL Iźr = (– 20) V;
UV = UC +UL = (10 – j10) V;
41 , 1
1 2
1 = I = ≅
IA A; IA2 = I2 = 10 ≅3,16 A; UV = UV =10 2 ≅14,1 V.
6. Bilans mocy obwodu
) 60 20 ( ) 2 ( ) 10 10 ( ) 1 1 (
* 40
*
1 U I j j j j
I U
Sgen = ⋅ + V ⋅ źr = ⋅ − + − ⋅ − = − VA;
20 ) 1 1 (
10 2 2
2
1 = ⋅ + =
⋅
=R I
Podb W;
60 2
10 ) 3 1 (
10 2 2 2
2 2
2 + ⋅ =− ⋅ + + ⋅ =−
⋅
−
= C L źr
odb X I X I
Q var;
odb odb
odb P jQ
S = + , Sodb =Sgen .
≡
ZR
U
I1
I2
ZL
ZC
Iźr
Vo=0 V1
YR
I1
I2 YC
Iźr
Vo=0 V1
YR U
ZR
U
I1
Zw
U0 Iźr
Iźr
ZL
ZC
U0
UC 0
