1 Przyk lady

Zadania o grupach 2019

4.12.2019

Zadania zawieraja_,odsy lacze do podre_,cznik´ow

[BT] A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I (skrypt) http://www.mimuw.edu.pl/%7Eaboj/algebra/algfinv1.pdf [Br] J. Browkin, Teoria cia l, Bibl.Mat.49, PWN, Warszawa 1977

[KM] M. Kargapolov, J. Merzljakov, Podstawy teorii grup, PWN, Warszawa 1976.

[BJ] M. Bry´nski, J. Jurkiewicz, Zbi´or zada´n z algebry, PWN, Warszawa Zadania zrobione oznaczone sa_,przez ♠.

1 Przyk lady

1.1 Uzasadni´c, ˙ze grupa permutacji parzystych A5 jest izomorficzna z grupa_,izometrii zachowuja_,cych orientacje_,dwudziesto´scianu foremnego I60.

1.2 ♠ Czy istnieje sko´nczony uk lad generator´ow grupy addytywnej cia la liczb wymiernych

Q+:= (Q, +, 0) ?

1.3 ♠ Wykaza´c, ˙ze grupa wolna o 2 generatorach F ({a, b}) zawiera pod grupe_,, kt´ora nie jest gen- erowana przez ˙zaden sko´nczony zbi´or element´ow.

1.4 ♠ Sprawdzi´c, ˙ze SL2(Z) jest generowana przez macierze A =0 −1 1 0



, B =0 −1 1 1

 .

1.5 ♠ Znale´z´c |GLn(Fq)|, |SLn(Fq)|, gdzieFq jest cia lem q-elementowym.

1.6 ♠ Centrum grupy definiujemy jako Z(G) = {g ∈ G : ∀h ∈ G gh = hg}. Znale˙z´c Z(GLn(F)) i Z(SL_n(_F)), gdzie_F jest cia lem.

1.7 Wskaza´c rozk lad grupy izometrii kwadratu D₈na sume_,teoriomnogo´sciowa_,swoich trzech podgrup w la´sciwych. Uzasadni´c, ˙ze ˙zadna grupa nie jest suma_,dw´och swoich podgrup w la´sciwych.

1.8 Niech G₁ i G₂ be_,da_, podgrupami pewnej ustalonej grupy. Udowodni´c |G₁ · G₂| · |G₁ ∩ G₂| =

|G₁| · |G₂|. Uwaga: zbi´or G1· G₂ = {g1g2 : g1 ∈ G₁, g2∈ G₂} nie musi by´c grupa_,.

1.9 ♠ Opisa´c znane grupy rze_,du 8.

Naste_,pne dwa zadania to przyk lady grup Coxetera, be_,dziemy je robi´c w drugiej kolejno´sci

1.10 Niech G ⊂ GL_n(_Z[t, t⁻¹]) be_,dzie podgrupa_,generowana_,przez permutacje wsp´o lrze_,dnych i macierze diagonalne Diag(t^a1, t^a2, . . . , t^an),Pn

i=1a_i= 0. Wykaza´c, ˙ze istnieje uk lad generator´ow s₀, s₁, . . . s_n−1, spe lniaja_,cy

s²_i = 1,

s_is_j = s_js_i dla i − j 6≡ ±1 mod n,

(sisi+1)³ = 1 (i + 1 rozumiane modulo n).

1.11 Niech G ⊂ GL_n(Z), n ≥ 4 be_,dzie podgrupa_, generowana_, przez permutacje wsp´o lrze_,dnych i macierze diagonalne D = Diag(±1, ±1, . . . , ±1), det(D) = 1. Wykaza´c, ˙ze istnieje uk lad generator´ow s1, s2, . . . sn−1, s⁰_n−1, spe lniaja_,cy

s²_i = 1, s⁰²_n−1= 1

sisj = sjsi dla |i − j| 6= 1, sis⁰_n−1 = s⁰_n−1si dla i 6= n − 2, (s_is_i+1)³ = 1, (s_n−2s⁰_n−1)³ = 1

1.12 ♠ Wykaza´c, ˙ze 3-cykle generuja_,grupe_,permutacji parzystych A_n.

1.13 ♠ Opisa´c kategoryjny produkt i sume_,prosta_,w kategorii grup. Koproduktem (kategoryjna_,suma_, prosta_,) grup G₁ i G₂ jest grupa G wraz z homomorfizmami i₁: G₁ → G, i₂ : G₂→ G

S

G1 G2

H



∃! φ

??i1

∀f1

__ _i

2

 ^∀f2

spe lniaja_,ca w lasno´s´c: dla ka˙zdej pary homomorfizm´ow f1 : G1 → H, f₂ : G2 → H istnieje dok ladnie jeden homomorfizm φ : G → H taki, ˙ze φ ◦ i_k = f_k dla k = 1, 2. Czy w poprzednich zadaniach ju˙z pojawi l sie_,ju˙z koprodukt grup dla G₁ = G₂=_Z?

2 Homomorfizmy, warstwy, ilorazy

2.1 ♠ Niech |G| < ∞. Wykaza´c, ˙ze ilo´s´c element´ow rze_,du pierwszego p jest podzielna przez p − 1.

2.2 Niech (G, +, 0) be_,dzie grupa_,przemienna_,. M´owimy, ˙ze G jest podzielna, je´sli

∀g ∈ G ∀n ∈_N\ {0} ∃h ∈ G nh = g.

(Przyk lad: G = (_Q, +, 0).) Wykaza´c, ˙ze grupa podzienlna nie ma w la´sciwych podgrup sko´nczonego indeksu.

2.3 a) Niech G ⊂Qbe_,dzie zbiorem u lamk´ow, kt´ore w postaci nieskracalnej maja_,mianowniki be_,da_,ce pote_,ga_,liczby p. (OznaczenieZ[1/p].) CzyZ[1/p] ma podgrupe_,sko´nczonego indeksu?

b) Niech G ⊂ Q be_,dzie zbiorem u lamk´ow, kt´ore w postaci nieskracalnej maja_, mianowniki wzgle_,dnie pierwsze z liczba_,p. (Oznaczenie Z(p).) CzyZ(p) ma podgrupe_,sko´nczonego indeksu?

2.4 ♠ Wykaza´c, ˙ze istnieje epimorfizm GL2(Z3) → Σ4 z ja_,drem {I, −I}.

2.5 ♠ Znale´z´c epimorfizm Σ₄ → Σ₃.

2.6 Opisa´c grupy Aut(_Zn) dla n = 13, 15, 16, 20, 21, 24, 26, 28, 30. Przedstawi´c je jako produkty grup cyklicznych. (Wskaz´owka: je´sli (m, n) = 1 to Aut(_Zmn) ' Aut(_Zm×_Zn) ' Aut(_Zm) × Aut(_Zn).)

2.7 ♠ Czy istnieje grupa cykliczna G taka, ˙ze Aut(G) '_Z8?

2.8 ♠ Udowodni´c, ˙ze je´sli p jest liczba_,pierwsza_,, to Aut(Zp) 'Zp−1.

2.9 Ka˙zda podgrupa indeksu 2 jest podgrupa_,normalna_,.

2.10 ♠ Udowodni´c, ˙ze centrum Z(G) jest podgrupa_, normalna_, w G. Wykaza´c, ˙ze je´sli G nieprzemi- enna, to G/Z(G) nie jest grupa_,cykliczna_,.

3 Grupy permutacji itp

3.1 ♠ Grupa automorfizm´ow grupy nieprzemiennej nie jest cykliczna. (Wsk: z poprzedniego zada- nia.)

3.2 ♠ Niech p be_,dzie liczba_,pierwsza_,. |G| = p^k, {1} 6= N
G to N ∩ Z(G) 6= {1}

3.3 ♠ Niech Inn(G) < Aut(G) oznacza grupe_, automorfizm´ow wewne_,trznych grupy G (tzn postaci h 7→ ghg⁻¹). Wykaza´c, ˙ze Inn(G) jest podgrupa_,normalna_,. Niech Out(G) = Aut(G)/Inn(G). Znale´z´c Out(D_2n).

3.4 ♠ Udowodni´c wz´or Burnsida

|G\X| = 1

|G|

X

g∈G

|X^hgi|.

3.5 ♠ Niech p liczba pierwsza. Pokaza´c, ˙ze Σ_p jest generowana przez dowolny cykl d lugo´sci p i dowolna_,transpozycje_,.

3.6 ♠ Opisa´c klasy sprze_,˙zono´sci element´ow w Σ5 i w A5.

3.7 ♠ a) Wskaza´c podgrupe_, rze_,du 5⁶ w Σ25. b) Niech p be_,dzie liczba_, pierwsza_,, n ∈ N. Wskaza´c p-podgrupe_,Sylowa w Σn.

3.8 ♠ Czy Inn(Σ_n) = Aut(Σ_n) dla n = 2, 3, 4, 5? Uwaga: wyja_,tkowo Inn(Σ₆) 6= Aut(Σ₆).

Patrz np Wiki: Automorphisms of the symmetric and alternating groups.

3.9 ♠ a) Wskaza´c dwie nieizomorficzne nieprzemienne grupy rze_,du 125. b) Czy istnieje jeszcze trzecia grupa nieprzemienna, kt´ora jest nieizomorficzna ze wskazanymi w punkcie a)?

3.10 ♠ Niech G be_,dzie sko´nczona_, grupa_, abelowa_,, kt´ora nie jest cykliczna. Wykaza´c, ˙ze istnieje d < |G| takie, ˙ze dla ka˙zdego g ∈ G mamy g^d= 1.

4 Grupy Sylowa

4.1 ♠ Niech H be_,dzie grupa_,prosta_,(tzn H nie zawiera w la´sciwej nietrywialnej podgrupy normalnej).

H
G, |H|² nie dzieli |G|. Udowodni´c, ˙ze H jest jedyna_,izomorficzna_,z H podgrupa_,G.

4.2 ♠ Niech n = 2^km, 2 6 |m. Ile jest podgrup rze_,du 2^k+1 w D_2n?

4.3 ♠ Czy istnieje grupa zawieraja_,ca dok ladnie 12 element´ow rze_,du 5.

4.4 ♠ Czy ka˙zda grupa rze_,du 595 jest cykliczna?

4.5 ♠ Dla jakiego n istnieje grupa prosta rze_,du 3ⁿ· 7?

4.6 ♠ Je´sli |G| = pqr (p, q i r liczby pierwsze), pokaza´c, ˙ze G zawiera nietrywialna_, podgrupe_, nor- malna_,.

4.7 ♠ Wykaza´c, ˙ze A_n jest prosta dla n > 4.

5

5.1 ♠ Niech G be_,dzie grupa_,, za´s p be_,dzie najmniejszym dzielnikiem pierwszym |G|. Podgrupa H jest taka, ˙ze |G|/|H| = p. Poka˙z, ˙ze H jest normalna.

5.2 ♠ Niech K be_,dzie podgrupa_,normalna_,grupy G i |G/K| = n < ∞. Pokaza´c, ˙ze (a) dla ka˙zdego g ∈ G mamy gⁿ∈ K,

(b) je´sli g ∈ G, g^m ∈ K oraz (m, n) = 1, to g ∈ K.

5.3 ♠ Niech G be_,dzie grupa_,sko´nczona_,. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli G jest grupa_,nieabelowa_,, to Aut(G) nie jest grupa_, cykliczna_,. Udowodni´c, ˙ze nie istnieje grupa G taka, ˙ze grupa Aut(G) jest cykliczna rze_,du nieparzystego r´o˙znego od 1.

5.4 ♠ Niech A, B, C be_,da_,grupami abelowymi oraz φ : B → C epimorfizmem. Sk ladanie z φ indukuje przekszta lcenie φ∗ : Hom(A, B) → Hom(A, C). Udowodni´c, ˙ze je´sli A jest sko´nczenie generowana i beztorsyjna, to φ∗ jest epimorfizmem. Poda´c przyk lad grupy abelowej beztorsyjnej A takiej, ˙ze φ∗ nie jest epimorfizmem.

5.5 ♠ Wskaza´c grupe_,G wraz z podgypa_,normalna_,H taka_,, ˙ze nie istnieje podgrupa normalna K o w lasno´sci:

1) K ' G/H, 2) G/K ' H.

Poda´c taki przyk lad, by H i G/H by ly proste.

5.6 ♠ Niech Λ = h(4, 4, 8), (2, 4, 5), (4, 6, 9)i ⊂Z³. Przedstawi´c grupe_, Z³/Λ jako produk grup cyk- licznych.

5.7 ♠ Dana grupa abelowa A =Zⁿ/im(φ), gdzie φ :Z^m →_Zⁿ jest zadane wzorem

φ(a₁, a₂, . . . , a_m) =

m

X

i=1

a_i,

m

X

i=1

i a_i,

m

X

i=1

i²a_i, . . .

m

X

i=1

iⁿ⁻¹a_i

! .

Przedstawi´c A w postaci produktu grup cyklicznych.

6

6.1 ♠ Znale´z´c wzrost grupy Heisenberga (tzn grupy macierzy g´ornotr´ojka_,tnych 3×3 z ca lkowitoliczbowych z jedynkami na przeka_,tnej).

6.2 ♠ Niech ι : GrAb → Gr be_,dzie zanurzeniem kategorii grup abelowych do kategorii wszyst- kich grup. Znale´z´c przekszta lcenie (funktor) φ : Gr → GrAb i naturalna_, bijekcje_, HomGr(G, ιA) ' Hom(φ(G), A).

6.3 Czy _Q'_Z[1/p]? Czy _Z[1/q] '_Z[1/p] (p 6= q liczby pierwsze)? Czy _Q×_Q '_Q? Czy _Z[1/p] × Z[1/p] '_Z[1/p]? (Chodzi o izomorfizmy grup abelowych.)

6.4 Wykaza´c, ˙ze podgrupa i iloraz grupy nilpotentnej jest grupa_,nilpotentna_,.

6.5 Udowodni´c, ˙ze grupa nilpotentna ma wzrost wielomianowy. (Wsk. Znaja_,c wzrost [G, G] osza- cowa´c wzrost G.)

6.6 Wykaza´c, ˙ze ka˙zda grupa sko´nczenie generowana ma wzrost conajwy˙zej wyk ladniczy.

6.7 SL₂(_Z) ma wzrost wyk ladniczy.

6.8 Czy istnieje nietrywialna grupa G generowana przez elementy a, b, c, kt´ore spe lniaja_,relacje

[a, b] = b, [b, c] = c, [c, a] = a ?

6.9 Udowodni´c, ˙ze grupa permutacji Σ_n ma naste_,puja_,ce przedstawienie generatory: transpozycje s_i= (i, i + 1) dla i = 1, s, . . . , n − 1

relacje:

s²_i = 1,

s_is_j = s_js_i dla |i − j| 6= 1, (sisi+1)³ = 1

6.10 Niech G ⊂ GLn(Z), n ≥ 4 be_,dzie podgrupa_, generowana_, przez permutacje wsp´o lrze_,dnych i macierze diagonalne D = Diag(±1, ±1, . . . , ±1), det(D) = 1. Wykaza´c, ˙ze istnieje uk lad generator´ow s1, s2, . . . sn−1, s⁰_n−1, spe lniaja_,cy

s²_i = 1, s⁰²_n−1= 1

s_is_j = s_js_i dla |i − j| 6= 1, s_is⁰_n−1 = s⁰_n−1s_i dla i 6= n − 2, (s_is_i+1)³ = 1, (s_n−2s⁰_n−1)³ = 1

7 Zadania o pier´ scieniach

https://www.mimuw.edu.pl/%7Eaweber/zadania/algebra2019/pierscienie2019zad.pdf