2011.11.22

Zbiory przybli˙zone w obliczeniach granularnych

Anna Gomoli´nska

Uniwersytet w Białymstoku

Pozna´n, Instytut Informatyki Politechniki Pozna´nskiej,

2011.11.22

Plan wyst ˛ apienia

•

Motywacje.

•

Obliczenia granularne.

•

Zbiory przybli˙zone.

•

Główne kierunki bada´n autorki.

•

Podsumowanie.

Sem-PP’2011 – p. 2/124

Motywacje

•

Odkrywanie wiedzy o obiektach zło˙zonych jak systemy inteligentne oraz o procesach i

interakcjach zachodz ˛ acych w takich systemach.

•

Rozwój podstaw oblicze´n granularnych.

•

Dostarczenie nowych i udoskonalenie

istniej ˛ acych narz˛edzi i technik słu˙z ˛ acych

rozwi ˛ azywaniu problemów metodami

granularnymi.

Obliczenia granularne

•

Poj˛ecie ‘granula informacyjna’ pochodzi od L. A. Zadeha.

•

W uj˛eciu Zadeha granula informacyjna (w skrócie infogranula) to skupisko obiektów zebranych ze wzgl˛edu na nierozró˙znialno´s´c, podobie´nstwo lub funkcjonowanie

(funkcjonalno´s´c).

•

Aktualnie rozwa˙za si˛e tak˙ze infogranule

ustrukturyzowane (struktury, systemy, procesy).

Sem-PP’2011 – p. 4/124

Obliczenia granularne c.d.

•

Granulacja przestrzeni badanych obiektów

(uniwersum) jako wynik celowych zabiegów lub jako skutek naturalnych ogranicze´n w zakresie percepcji, dokładno´sci pomiarów i gromadzenia danych o obiektach.

•

Wykorzystanie tej granulacji do rozwi ˛ azywania problemów, w tym obliczeniowych w warunkach niedoskonałej informacji.

•

Realizacja idei oblicze´n granularnych metodami

analizy przedziałowej, analizy skupie´n, zbiorów

przybli˙zonych, zbiorów rozmytych i innych.

Zbiory przybli˙zone

•

W oryginalnym uj˛eciu zaproponowanym przez Z. Pawlaka granulacja przestrzeni generowana przez nierozró˙znialno´s´c obiektów z uwagi na rozwa˙zane atrybuty, modelowan ˛ a jako pewna relacja równowa˙zno´sci.

•

Zbiór definiowalny: suma pewnych infogranul elementarnych, czyli klas abstrakcji relacji

nierozró˙znialno´sci.

•

Dolne przybli˙zenie zbioru: najwi˛ekszy zbiór definiowalny zawarty w tym zbiorze.

•

Górne przybli˙zenie zbioru: najmniejszy zbiór definiowalny zawieraj ˛ acy ten zbiór.

Sem-PP’2011 – p. 6/124

Zbiory przybli˙zone c.d.

•

Brzeg zbioru: ró˙znica mi˛edzy górnym i dolnym przybli˙zeniem zbioru.

•

Zbiór jest dokładny, je´sli jego brzeg jest pusty; w przeciwnym przypadku zbiór jest przybli˙zony.

•

W podej´sciu Pawlaka dokładno´s´c i definiowalno´s´c s ˛ a równowa˙zne.

•

Pierwotnie przestrze´n przybli˙ze´n to para

(zbiór_ obiektów, relacja_równowa˙zno´sci).

Wybrane uogólnienia modelu Pawlaka

•

Model A. Skowrona i J. Stepaniuka (dolne i górne przybli˙zenia zdefiniowane za pomoc ˛ a funkcji inkluzji przybli˙zonej, granulacja

generowana przez podobie´nstwo obiektów modelowane przez relacj˛e zwrotn ˛ a).

•

Model DRSA R. Słowi´nskiego, S. Greco i

B. Matarazzo (uwzgl˛ednienie oprócz zwykłych atrybutów tak˙ze kryteriów, granulacja

generowana przez relacj˛e opart ˛ a na dominacji lub podobie´nstwie obiektów).

Sem-PP’2011 – p. 8/124

Wybrane uogólnienia c.d.

•

Model S. K. M. Wonga, L. S. Wanga & Y. Y. Yao (granulacja jak u Pawlaka, dwusortowa

przestrze´n obiektów lub inaczej, dwa uniwersa obiektów dwóch ró˙znych rodzajów).

•

Modele VPRS W. Ziarko (w podstawowym

modelu granulacja jak u Pawlaka, dolne i górne przybli˙zenia zast ˛ apione rodzin ˛ a regionów

t-pozytywnych i rodzin ˛ a regionów

s-negatywnych, gdzie s, t – stopnie precyzji

(0 ≤ s < t ≤ 1), do których zdefiniowania u˙zyta

jest standardowa funkcja inkluzji przybli˙zonej).

Główne kierunki moich bada ´n

KI. Model Pawlaka zbiorów przybli˙zonych i jego uogólnienia.

KII. Potencjalne cz˛e´sci „w stopniu” pewnej cało´sci.

KIII. Przybli˙zone spełnianie formuł i ich zbiorów.

KIV. Porównywanie infogranul pod wzgl˛edem ich zawierania si˛e i podobie´nstwa.

Sem-PP’2011 – p. 10/124

KI: Główne wyniki

•

Porównanie własno´sci operacji przybli˙zania w

sensie Pawlaka i w sensie Skowrona – Stepaniuka przy ró˙znych zało˙zeniach o relacji mi˛edzy

obiektami.

•

Model zmienno-precyzyjny o dwóch uniwersach (kombinacja modelu Wonga, Wanga i Yao z

podstawowym modelem VPRS Ziarki).

•

Model, w którym oprócz podobie´nstwa pod uwag˛e brane jest tak˙ze niepodobie´nstwo

obiektów.

•

Model uogólniaj ˛ acy podej´scie Skowrona –

Stepaniuka, w którym do zdefiniowania

KI: Publikacje

•

Variable-precision compatibility spaces,

Electronical Notices in Theoretical Computer Science, 82(4):120–131, 2003,

http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume82.html

•

A comparison of Pawlak’s and Skowron – Stepaniuk’s approximation of concepts,

Transactions on Rough Sets VI: journal subline of LNCS, 4374:64–82, 2007.

Sem-PP’2011 – p. 12/124

KI: Publikacje c.d.

•

Approximation spaces based on relations of similarity and dissimilarity of objects,

Fundamenta Informaticae, 79(3–4):319–333, 2007.

•

Rough approximation based on weak q-RIFs,

Transactions on Rough Sets X: journal subline of

LNCS, 5656:117–135, 2009.

KII: Wprowadzenie

•

Z zagadnieniem potencjalnych cz˛e´sci „w stopniu” wi ˛ a˙ze si˛e problem stabilno´sci konstruowanych infogranul.

•

Formaln ˛ a teori ˛ a poj˛ecia „bycia cz˛e´sci ˛ a” jest mereologia Le´sniewskiego, natomiast poj˛ecia

„bycia cz˛e´sci ˛ a w stopniu” – mereologia

przybli˙zona (L. Polkowski & A. Skowron).

Sem-PP’2011 – p. 14/124

KII: Główne wyniki

•

Uogólnienie poj˛ecia „cz˛e´sci w stopniu” do poj˛ecia „potencjalnej cz˛e´sci w stopniu”.

•

Zbadanie własno´sci wprowadzonego poj˛ecia.

Referencje:

•

Possible rough ingredients of concepts in

approximation spaces, Fundamenta Informaticae,

72(1–3):139–154, 2006.

KII: Główne wyniki c.d.

•

Cz˛e´s´c potencjalna pewnej cało´sci X to

infogranula na tyle pasuj ˛ aca (bliska, podobna) do pewnej cz˛e´sci Y cało´sci X, ˙ze mo˙zna ni ˛ a zast ˛ api´c Y .

•

Potencjalna cz˛e´s´c „w stopniu” cało´sci X to

infogranula na tyle pasuj ˛ aca do pewnej cz˛e´sci „w stopniu” Y cało´sci X, ˙ze mo˙zna ni ˛ a zast ˛ api´c Y .

Sem-PP’2011 – p. 16/124

KIII: Wprowadzenie

•

Przybli˙zone spełnianie formuł i zbiorów formuł badane jest na przykładzie formuł j˛ezyka

deskryptorów systemu informacyjnego Pawlaka.

•

Dost˛epna informacja o rozwa˙zanych obiektach jest niedoskonała.

•

Celem jest odkrywanie poj˛ecia spełniania formuł i ich zbiorów, a nie zbudowanie formalnego

systemu logicznego.

KIII: Wprowadzenie c.d.

•

U – dany sko´nczony, niepusty zbiór obiektów (aktualne uniwersum).

•

U

– potencjalne uniwersum, zawiera U .

•

Obiekty oznaczamy przez u, z indeksami w razie potrzeby.

Sem-PP’2011 – p. 18/124

KIII: Wprowadzenie c.d.

•

A – sko´nczony, niepusty zbiór rozwa˙zanych cech (atrybutów).

•

Atrybuty, oznaczane przez a (z indeksami), traktujemy jako funkcje a : U

7→ V

∪ {⊥}.

•

V

– zbiór rozwa˙zanych warto´sci a.

•

Warto´sci atrybutów oznaczamy przez v (z indeksami).

•

a (u) =⊥ – „warto´s´c a na u jest nieznana”.

•

Para (atrybut, warto´s´c_atrybutu) – deskryptor.

KIII: Wprowadzenie c.d.

•

Przykład systemu informacyjnego Pawlaka (w skrócie infosystemu) to para IS = (U, A), gdzie U i A s ˛ a jak wy˙zej.

•

Infosystemy decyzyjne = infosystemy z

wyró˙znionym atrybutem decyzyjnym d (lub zbiorem atrybutów decyzyjnych).

•

Przykład infosystemu decyzyjnego to para IS

= (U, A ∪ {d}), gdzie d 6∈ A.

Sem-PP’2011 – p. 20/124

KIII: Wprowadzenie c.d.

•

Niech ̺ ⊆ U × U b˛edzie relacj ˛ a podobie´nstwa.

•

(u, u

) ∈ ̺ – „obiekt u jest podobny do u

”.

•

Dwa rodzaje elementarnych infogranul

zwi ˛ azanych z u: zbiór obiektów, do których u jest podobny, ̺

{u} (= Γ

u), i zbiór obiektów

podobnych do u, ̺

{u} (= Γu).

•

Zbiory te s ˛ a równe dla relacji tolerancji (czyli zwrotnej i symetrycznej).

•

̺ oraz infogranule elementarne mog ˛ a by´c znane

cz˛e´sciowo.

KIII: Wprowadzenie c.d.

•

Rozwa˙zamy pewn ˛ a przestrze´n przybli˙ze´n

M = (U, ̺, κ) indukowan ˛ a przez infosystem IS oraz jej potencjalne rozszerzenie do

M

= (U

, ̺

, κ

).

•

Oprócz przybli˙ze´n w stylu Pawlaka i w stylu Skowrona – Stepaniuka, interesuj ˛ a nas regiony t-pozytywne oraz s-negatywne zbiorów,

podobnie jak w modelu VPRS Ziarki ( 0 ≤ s < t ≤ 1):

pos

(X)

= {u ∈ U | κ(Γu, X) ≥ t}

neg

(X)

= {u ∈ U | κ(Γu, X) ≤ s}

Sem-PP’2011 – p. 22/124

KIII: J˛ezyk deskryptorów L dla infosystemu IS

•

Termy – nazwy elementów zbioru A ∪ S

a∈A

V

.

•

∧, ∨, ¬ – spójniki zdaniowe.

•

Formuła = zdanie.

•

Zdania atomowe – deskryptory.

•

Zdania oznaczamy przez α, β, γ (z indeksami).

•

FOR – zbiór wszystkich zda´n L.

KIII: J˛ezyk deskryptorów c.d.

•

Poj˛ecie = podzbiór uniwersum, czyli jaki´s zbiór obiektów.

•

Poj˛ecie definiowalne = suma mnogo´sciowa infogranul elementarnych.

•

Intuicje zwi ˛ azane z definiowalno´sci ˛ a: zbiór definiowalny = zbiór opisywalny w j˛ezyku L.

•

Formuła – etykieta pewnego poj˛ecia, mianowicie ekstensji tej formuły.

•

Ekstensja formuły = zbiór (infogranula) obiektów spełniaj ˛ acych t˛e formuł˛e.

Sem-PP’2011 – p. 24/124

KIII: Poj˛ecie spełniania |= ^c

u |=

(a, v) ⇔ a(u) = v

u |=

α ∧ β

⇔ u |=

α & u |=

β u |=

α ∨ β ⇔ u |=

α lub u |=

β

u |=

¬α ⇔ u 6|=

α

•

Odpowiadaj ˛ ace poj˛ecie ekstensji formuły:

Sat

(α)

= {u ∈ U | u |=

α }

KIII: Przybli˙zone spełnianie formuł i ich zbiorów

•

Problem jest skomplikowany, gdy˙z:

•

poj˛ecie spełniania jest poj˛eciem wysokiego poziomu,

•

nie znamy tego poj˛ecia dokładnie: trzeba je odkry´c, np. hierarchicznie,

•

w szczególno´sci nie znamy w pełni ekstensji formuł (zbiorów formuł),

•

opisy obiektów mog ˛ a by´c niekompletne i niedokładne,

•

nie wiadomo, czy wybrany j˛ezyk opisu jest odpowiedni,

•

nie wiadomo, czy przyj˛eta/odkryta relacja

podobie´nstwa jest wła´sciwa, a st ˛ ad nie wiemy, czy granulacja jest prawidłowa.

Sem-PP’2011 – p. 26/124

KIII: Główne wyniki

•

Modele poj˛ecia spełniania formuł (zbiorów

formuł) w postaci sparametryzowanych rodzin relacji przybli˙zonego spełniania formuł (zbiorów formuł).

•

Zbadanie własno´sci zdefiniowanych relacji.

•

Propozycja odkrywania poj˛ecia spełniania formuł i ich zbiorów z dost˛epnych danych i przykładów dostarczonych przez eksperta.

•

Interpretacja wprowadzonych poj˛e´c

przybli˙zonego spełniania formuł oraz poj˛e´c

stowarzyszonych w terminach teorii zbiorów

rozmytych.

KIII: Główne wyniki c.d.

•

Zastosowanie wprowadzonych poj˛e´c

przybli˙zonego spełniania do zagadnienia przybli˙zonego stosowania reguł.

•

Zastosowanie przybli˙zonych form spełniania formuł i zbiorów formuł do zagadnienia

konstrukcji infogranul spełniaj ˛ acych dane wymagania.

•

Badanie kwestii formowania s ˛ adów w agentach inteligentnych na temat spełnienia pewnych

wymaga´n, zachodzenia zdarze´n itp., gdy dost˛epna informacja jest niedoskonała.

Sem-PP’2011 – p. 28/124

KIII: Publikacje

•

A graded applicability of rules, Lecture Notes in Artificial Intelligence, 3066:213–218, 2004.

•

A graded meaning of formulas in approximation spaces, Fundamenta Informaticae,

60(1–4):159–172, 2004.

•

On rough judgment making by socio-cognitive agents, [in:] A. Skowron et al., editors, Proc.

2005 IEEE//WIC//ACM Int. Conf. on Intelligent Agent Technology (IAT’2005), Compi`egne,

France, September 2005, pages 421–427, IEEE Computer Society Press, Los Alamitos, CA,

2005.

KIII: Publikacje c.d.

•

Satisfiability and meaning of formulas and sets of formulas in approximation spaces, Fundamenta Informaticae, 67(1–3):77–92, 2005.

•

Towards rough applicability of rules, [in:]

B. Dunin-K˛eplicz, A. Jankowski, A. Skowron, and M. Szczuka, editors, Monitoring, Security, and Rescue Techniques in Multiagent Systems, pages 203–214, Springer-V., Berlin Heidelberg, 2005.

Sem-PP’2011 – p. 30/124

KIII: Publikacje c.d.

•

Construction of rough information granules, [in:]

W. Pedrycz, A. Skowron, and V. Kreinovich,

editors, Handbook of Granular Computing, pages 449–470, John Wiley & Sons, Chichester, 2008.

•

Rough rule-following by social agents, [in:]

H. Flam and M. Carson, editors, Rule Systems Theory. Applications and Explorations, pages 103–118, Peter Lang, Frankfurt am Main, 2008.

•

Satisfiability of formulas from the standpoint of object classification: The RST approach,

Fundamenta Informaticae, 85(1–4):139–153,

2008.

KIII: Publikacje c.d.

•

A fuzzy view on rough satisfiability, Lecture Notes in Artificial Intelligence, 6086:227–236, 2010.

•

Satisfiability judgement under incomplete information, Transactions on Rough Sets XI:

journal subline of LNCS, 5946:66–91, 2010.

Sem-PP’2011 – p. 32/124

KIV: Wprowadzenie

•

Inkluzja przybli˙zona – poj˛ecie zaproponowane przez L. Polkowskiego i A. Skowrona jako

kluczowe poj˛ecie mereologii przybli˙zonej.

•

Mereologia przybli˙zona – formalna teoria uogólniaj ˛ aca mereologi˛e Le´sniewskiego na przypadek „bycia cz˛e´sci ˛ a cało´sci w pewnym stopniu”.

•

Funkcje inkluzji przybli˙zonej – funkcje

dwuargumentowe mierz ˛ ace stopie´n zawierania si˛e zbioru w zbiorze (tak˙ze infogranuli w

infogranuli), zgodne z aksjomatami inkluzji

przybli˙zonej.

Aksjomaty inkluzji przybli˙zonej

•

xε ing

(y) – „x jest cz˛e´sci ˛ a y w stopniu t”.

(P S1) ∃t.xεing

(y) → xεx ∧ yεy (P S2) xεing

(y) ↔ xεing(y)

(P S3) xεing

(y) → ∀z.(zεing

(x) → zεing

(y)) (P S4) x = y ∧ xεing

(z) → yεing

(z)

(P S5) xεing

(y) ∧ s ≤ t → xεing

(y)

Sem-PP’2011 – p. 34/124

Funkcje inkluzji przybli˙zonej

•

Funkcja inkluzji przybli˙zonej (RIF) nad zbiorem U to dowolna funkcja κ : ℘U × ℘U 7→ [0, 1]

spełniaj ˛ aca rif

oraz rif

:

rif

(κ) ⇔ ∀X, Y.(κ(X, Y ) = 1 ⇔ X ⊆ Y )

rif

(κ) ⇔ ∀X, Y, Z.(κ(Y, Z) = 1 ⇒ κ(X, Y ) ≤ κ(X, Z))

RIF-y c.d.

•

Zało˙zywszy, ˙ze zachodzi rif

(κ), warunek rif

mo˙zna zast ˛ api´c przez rif

:

rif

(κ) ⇔ ∀X, Y, Z.(Y ⊆ Z ⇒ κ(X, Y ) ≤ κ(X, Z))

Sem-PP’2011 – p. 36/124

Przykłady warunków na κ

rif

(κ)

⇔ ∀X 6= ∅.κ(X, ∅) = 0

rif

(κ)

⇔ ∀X, Y.(κ(X, Y ) = 0 ⇒ X ∩ Y = ∅)

rif

(κ)

⇔ ∀X 6= ∅.∀Y.(X ∩ Y = ∅ ⇒ κ(X, Y ) = 0)

rif

(κ)

⇔ ∀X 6= ∅.∀Y.(κ(X, Y ) = 0 ⇔ X ∩ Y = ∅)

rif

(κ)

⇔ ∀X 6= ∅.∀Y.κ(X, Y ) + κ(X, Y

) = 1

Przykłady RIF-ów

•

Niech U – zbiór sko´nczony.

•

Najbardziej rozpowszechniona jest standardowa funkcja inkluzji przybli˙zonej κ

.

•

Inny przykład – funkcja inkluzji przybli˙zonej κ

(G. Drwal i A. Mrózek, 1998).

•

Generowanie inkluzji przybli˙zonej z

t-rezydualnej implikacji (L. Polkowski).

Sem-PP’2011 – p. 38/124

Przykłady RIF-ów c.d.

κ

(X, Y )

=

(

#X

dla X 6= ∅

1 w przeciwnym przypadku

κ

(X, Y )

= #(X

∪ Y )

#U

Uogólnienia RIF-ów

•

S ˛ a to, np. funkcje κ

oraz κ

dla i = 1, 2.

•

Niech κ b˛edzie RIF-em nad U oraz 0 ≤ s < t ≤ 1.

κ

(X, Y )

=



 

 

0 dla κ (X, Y ) ≤ s

κ(X,Y )−s

t−s

dla s < κ (X, Y ) < t 1 dla κ (X, Y ) ≥ t

Sem-PP’2011 – p. 40/124

Uogólnienia RIF-ów c.d.

•

(J. Stepaniuk) Niech U

, U

– sko´nczone zbiory niepuste oraz r, r

⊆ U

× U

.

κ

(r, r

)

=

(

2

#r^←U₂

dla r 6= ∅

1 w przeciwnym przypadku

κ

(r, r

) =

(

1

#r^→U₁

dla r 6= ∅

1 w przeciwnym przypadku

KIV: Główne wyniki

•

Zaproponowanie funkcji inkluzji przybli˙zonej mog ˛ acych stanowi´c alternatyw˛e dla funkcji standardowej.

•

Zbadanie własno´sci funkcji standardowej oraz funkcji alternatywnych, w tym wykrycie

wzajemnych zale˙zno´sci.

•

Zbadanie zwi ˛ azków mi˛edzy rozwa˙zanymi RIF-ami a pewnymi miarami podobie´nstwa infogranul u˙zywanymi w analizie skupie´n.

Sem-PP’2011 – p. 42/124

KIV: Główne wyniki c.d.

•

Uogólnienie poj˛ecia RIF-a (zbadanie własno´sci, znalezienie nowych przykładów).

•

Zastosowanie operacji algebraicznych, odpowiadaj ˛ acych pewnym implikacjom

3-warto´sciowym, do otrzymania nowych funkcji inkluzji; nast˛epnie zbadanie własno´sci tych

funkcji.

•

Zastosowanie rozwa˙zanych funkcji inkluzji, np.

do

•

badania podobie´nstwa infogranul,

•

przybli˙zania zbiorów i w szczególno´sci

infogranul,

KIV: Publikacje

•

Rough validity, confidence, and coverage of rules in approximation spaces, Transactions on Rough Sets III: journal subline of LNCS, 3400:57–81, 2005.

•

On certain rough inclusion functions,

Transactions on Rough Sets IX: journal subline of LNCS, 5390:35–55, 2008.

•

Rough approximation based on weak q-RIFs,

Transactions on Rough Sets X: journal subline of LNCS, 5656:117–135, 2009.

•

A logic-algebraic approach to graded inclusion, Fundamenta Informaticae, 109:265–279, 2011.

Sem-PP’2011 – p. 44/124

KIV: RIF-y alternatywne do κ ^£

•

Funkcja κ

: ℘U × ℘U 7→ [0, 1] dana poni˙zej ma

„wspólne korzenie” z κ

i κ

.

κ

(X, Y ) =

(

#(X∪Y )

dla X ∪ Y 6= ∅

1 w przeciwnym przypadku

KIV: Własno´sci κ ^£ , κ ₁ i κ ₂

•

Niech X , Y – niepuste rodziny podzbiorów U . κ

(X, [ Y) ≤ X

Y ∈Y

κ

(X, Y )

(„=” je´sli X jest niepusty oraz Y jest rodzin ˛ a zbiorów parami rozł ˛ acznych.)

κ

([ X , Y ) ≤ X

X∈X

κ

(X, Y ) · κ

([ X , X) („=” je´sli X jest rodzin ˛ a zbiorów parami

rozł ˛ acznych.)

Sem-PP’2011 – p. 46/124

KIV: Własno´sci c.d.

•

Niech teraz X 6= ∅ oraz Y – rodzina parami

rozł ˛ acznych podzbiorów U b˛ed ˛ aca pokryciem U . X

Y ∈Y

κ

(X, Y ) = 1

κ

(X, Y ) = 0 ⇔ X ∩ Y = ∅

κ

(X, ∅) = 0

KIV: Własno´sci c.d.

X ∩ Y = ∅ ⇒ κ

(X, Z − Y ) = κ

(X, Z ∪ Y )

= κ

(X, Z)

Z ∩ W = ∅ ⇒ κ

(Y ∪ Z, W ) ≤ κ

(Y, W )

≤ κ

(Y − Z, W )

Z ⊆ W ⇒ κ

(Y − Z, W ) ≤ κ

(Y, W )

≤ κ

(Y ∪ Z, W )

Sem-PP’2011 – p. 48/124

KIV: Własno´sci c.d.

rif

(κ

) & rif

(κ

)

X 6= ∅ ⇒ (κ

(X, Y ) = 0 ⇔ Y = ∅) κ

(X, Y ) = 0 ⇔ X = U & Y = ∅

κ

(X, Y ) ≤ κ

(X, Y ) ≤ κ

(X, Y )

κ

(X, Y ) = κ

(X ∪ Y, Y )

KIV: Własno´sci c.d.

κ

(X, Y ) = κ

(U, X

∪ Y )

= κ

(U, X

) + κ

(U, X ∩ Y )

κ

(X, Y ) = κ

(X, X ∩ Y )

= κ

(X, X ∩ Y )

= κ

(X − Y, X ∩ Y ) X ∪ Y = U ⇒ κ

(X, Y ) = κ

(X, Y )

Sem-PP’2011 – p. 50/124

KIV: RIF-y a podobie ´nstwo in- fogranul

•

Dla dowolnej funkcji f : ℘U × ℘U 7→ [0, 1] oraz X, Y ⊆ U , definiujemy jej funkcj˛e

komplementarn ˛ a ¯ f :

f ¯ (X, Y )

= 1 − f (X, Y )

KIV: RIF-y a podobie ´nstwo c.d.

•

Dostajemy zatem:

¯

κ

(X, Y ) =

(

#X

dla X 6= ∅

0 w przeciwnym przypadku

¯

κ

(X, Y ) =

(

#(X∪Y )

dla X ∪ Y 6= ∅

0 w przeciwnym przypadku

¯

κ

(X, Y ) = #(X − Y )

#U

Sem-PP’2011 – p. 52/124

KIV: RIF-y a podobie ´nstwo c.d.

•

Niech κ – dowolny RIF nad U oraz i = 1, 2.

¯

κ

(X, Y ) = κ

(X, Y

) Je´sli X 6= ∅, to

κ

(X, Y ) = κ ¯

(X, Y

)

κ

(Y

, X ) = κ ¯

(X, Y

) κ

(U, X) .

¯

κ (X, Y ) = 0 ⇔ X ⊆ Y

KIV: RIF-y a podobie ´nstwo c.d.

Y ⊆ Z ⇒ ¯ κ (X, Z) ⊆ ¯ κ (X, Y )

¯

κ

(X, Y ) ≤ ¯ κ

(X, Y ) ≤ ¯ κ

(X, Y )

¯

κ

(X, Y ) + ¯ κ

(Y, Z) ≥ ¯ κ

(X, Z)

Sem-PP’2011 – p. 54/124

KIV: RIF-y a podobie ´nstwo c.d.

0 ≤ ¯ κ

(X, Y ) + ¯ κ

(Y, X) ≤ 1 Je´sli X = ∅ i Y 6= ∅ (lub odwrotnie), to

¯

κ

(X, Y ) + ¯ κ

(Y, X) = ¯ κ

(X, Y ) + ¯ κ

(Y, X) = 1.

KIV: RIF-y a podobie ´nstwo c.d.

•

Funkcje komplementarne do κ

, κ

i κ

generuj ˛ a funkcje odległo´sci δ

, δ

: ℘U × ℘U 7→ [0, 1]

(i = 1, 2) nast˛epuj ˛ aco:

δ

(X, Y )

= 1

2 κ ¯

(X, Y ) + ¯ κ

(Y, X)
δ

(X, Y )

= ¯ κ

(X, Y ) + ¯ κ

(Y, X)

•

Zauwa˙zmy, ˙ze:

δ

(X, Y ) ≤ δ

(X, Y ) ≤ 2δ

(X, Y )

Sem-PP’2011 – p. 56/124

KIV: RIF-y a podobie ´nstwo c.d.

δ

(X, Y ) =



 

 

1 2



#X

+



dla X, Y 6= ∅

0 dla X, Y = ∅

1

2

w p.p.

KIV: RIF-y a podobie ´nstwo c.d.

δ

(X, Y ) =

(

#(X∪Y )

dla X ∪ Y 6= ∅

0 w przeciwnym przypadku,

•

zatem δ

jest metryk ˛ a Marczewskiego – Steinhausa (1958).

δ

(X, Y ) = #(X ÷ Y )

#U

Sem-PP’2011 – p. 58/124

KIV: RIF-y a podobie ´nstwo c.d.

•

W ko´ncu rozwa˙zamy funkcje komplementarne do funkcji odległo´sci.

•

Dla dowolnych X, Y ⊆ U :

δ ¯

(X, Y ) = 1

2 κ

(X, Y ) + κ

(Y, X)

=



 

#(X∩Y ) 2



#X

+



dla X, Y 6= ∅

1 dla X, Y = ∅

KIV: RIF-y a podobie ´nstwo c.d.

δ ¯

(X, Y ) = κ

(X, Y ) + κ

(Y, X) − 1

=

(

#(X∪Y )

dla X ∪ Y 6= ∅

1 w przeciwnym przypadku

δ ¯

(X, Y ) = κ

(X, Y ) + κ

(Y, X) − 1

= #((X ∪ Y )

∪ (X ∩ Y ))

#U

Sem-PP’2011 – p. 60/124

KIV: RIF-y a podobie ´nstwo c.d.

•

Funkcje te to miary podobie´nstwa znane z analizy skupie´n:

•

δ ¯

– Kulczy´nski (1927)

•

δ ¯

– Jaccard (1908)

•

δ ¯

– Sokal and Michener (1958); Rand (1971)

KIV: Uogólnianie poj˛ecia ‘RIF’

•

Warunek rif

(κ) jest równowa˙zny koniunkcji rif

(κ) i rif

(κ), gdzie

rif

(κ)

⇔ ∀X, Y.(X ⊆ Y ⇒ κ(X, Y ) = 1), rif

(κ)

⇔ ∀X, Y.(κ(X, Y ) = 1 ⇒ X ⊆ Y ).

Sem-PP’2011 – p. 62/124

KIV: Uogólnianie poj˛ecia ‘RIF’

c.d.

•

κ : ℘U × ℘U 7→ [0, 1] nazywamy

•

funkcj ˛ a quasi-inkluzji przybli˙zonej nad U , je´sli spełnia rif

i rif

,

•

słab ˛ a funkcj ˛ a quasi-inkluzji przybli˙zonej nad U , je´sli spełnia rif

i rif

,

•

funkcj ˛ a quasi’-inkluzji przybli˙zonej nad U , je´sli spełnia rif

i rif

,

•

mocn ˛ a funkcj ˛ a quasi’-inkluzji przybli˙zonej

nad U , je´sli spełnia rif

i rif

.

KIV: Uogólnianie poj˛ecia ‘RIF’

c.d.

Figure 1: Zwi ˛ azki mi˛edzy rozwa˙zanymi klasami inkluzji „w stopniu”

RIF-y

quasi-RIF-y

słabe quasi-RIF-y

mocne quasi’-RIF-y

-

quasi’-RIF-y

Sem-PP’2011 – p. 64/124

KIV: Uogólnianie poj˛ecia ‘RIF’

c.d.

•

Niech κ b˛edzie RIF-em nad U .

•

Niech ·, · : ℘U 7→ ℘U – monotoniczne operacje

„dolnego i górnego przybli˙zenia”, takie ˙ze dla dowolnego X,

X ⊆ X ⊆ X.

KIV: Uogólnianie poj˛ecia ‘RIF’

c.d.

•

Przykładami funkcji quasi-inkluzji przybli˙zonej s ˛ a κ

i κ

dane przez:

κ

(X, Y )

= κ(X, Y ), κ

(X, Y )

= κ(X, Y ).

•

Natomiast κ

oraz κ

(i = 1, 2) s ˛ a słabymi funkcjami quasi-inkluzji przybli˙zonej.

Sem-PP’2011 – p. 66/124

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje

•

Przebadane zostały nast˛epuj ˛ ace 3-warto´sciowe logiki zdaniowe L: logika Fenstada (F), logika Gödla (G), mocna logika Kleene’go (K), słaba logika Kleene’go (Kw), logika Łukasiewicza (Lu), logika McCarthy’ego (MC), logika Posta (P), logika Słupeckiego (S) i logika

Soboci´nskiego (So).

•

Prawda jest symbolizowana przez 1, fałsz przez

0, trzecia warto´s´c logiczna przez

.

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

•

Ka˙zda z logik L ma adekwatn ˛ a matryc˛e logiczn ˛ a M

.

•

Operacje matrycowe f

: {0,

, 1}

7→ {0,

, 1}

odpowiadaj ˛ a implikacjom w logikach L.

•

D

– zbiór warto´sci wyró˙znionych M

; D

= {1} dla wszystkich L poza So oraz D

= {

, 1}.

•

Formuła α jest tautologi ˛ a M

, je´sli przy dowolnym warto´sciowaniu warto´s´c α jest wyró˙zniona.

Sem-PP’2011 – p. 68/124

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

•

Niech X, Y – zbiory rozmyte o funkcjach

nale˙zenia µ

, µ

: U 7→ [0, 1], odpowiednio.

•

Inkluzja rozmyta wg Zadeha, ozn. ⊑, jest naturalnym uogólnieniem inkluzji:

X ⊑ Y ⇔ ∀u ∈ U.µ

(u) ≤ µ

(u)

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

•

Dowolny zbiór X ⊆ U mo˙zna postrzega´c jako zbiór rozmyty z funkcj ˛ a nale˙zenia

µ

: U 7→ [0, 1], tak ˛ a ˙ze

µ

(u)

=







1 dla u ∈ X, 0 dla u ∈ (X)

,

1

2

w pozostałym przypadku.

Sem-PP’2011 – p. 70/124

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

•

Z ka˙zd ˛ a logik ˛ a L wi ˛ a˙zemy relacj˛e ⊆

na ℘U , która jest pewnego rodzaju uogólnieniem

inkluzji:

X ⊆

Y ⇔ ∀u ∈ U.f

(µ

(u), µ

(u)) ∈ D

•

St ˛ ad dostajemy:

X ⊆

Y ⇔ ((X)

∩ (Y ∪ (Y )

)) ∪ ((X ∪ (X)

) ∩ Y ) = U

X ⊆

Y ⇔ (X)

∪ ((X ∪ (X)

) ∩ Y ) = U

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

X ⊆

Y ⇔ (X)

∪ Y = U X ⊆

Y ⇔ X ⊆

Y

⇔ (X)

∪ Y ∪ ((X − X) ∩ (Y − Y )) = U X ⊆

Y ⇔ (X)

∪ Y = U

X ⊆

Y ⇔ (X − X) ∪ Y = U

X ⊆

Y ⇔ X ⊆

Y ⇔ (X)

∪ Y = U

Sem-PP’2011 – p. 72/124

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

•

Definiujemy funkcj˛e L-inkluzji nad sko´nczonym U jako funkcj˛e κ

: (℘U )

7→ [0, 1] dan ˛ a przez:

κ

(X, Y )

= #{u ∈ U | f

(µ

(u), µ

(u)) ∈ D

}

#U .

•

κ

(X, Y ) czytamy jako „stopie´n L-inkluzji X w

Y ”.

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

κ

(X, Y ) =

= #(((X)

∩ (Y ∪ (Y )

)) ∪ ((X ∪ (X)

) ∩ Y ))

#U

κ

(X, Y ) = #((X)

∪ ((X ∪ (X)

) ∩ Y ))

#U κ

(X, Y ) = #((X)

∪ Y )

#U

Sem-PP’2011 – p. 74/124

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

κ

(X, Y ) = κ

(X, Y )

= #((X)

∪ Y ∪ ((X − X) ∩ (Y − Y )))

#U κ

(X, Y ) = #((X)

∪ Y )

#U

κ

(X, Y ) = #((X − X) ∪ Y )

#U

κ

(X, Y ) = κ

(X, Y ) = #((X)

∪ Y )

#U

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

•

Zauwa˙zmy, ˙ze

κ

(X, Y ) = κ

(X, Y ) & κ

(X, Y ) = κ

(X, Y ).

•

Gdy X, Y s ˛ a dokładne, tzn. X = X oraz Y = Y , to κ

(X, Y ) = κ

(X, Y ) dla L 6= P.

Sem-PP’2011 – p. 76/124

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

•

W celu porównania κ

dla ró˙znych L, definiujemy

κ

 κ

⇔ ∀X, Y.κ

(X, Y ) ≤ κ

(X, Y ), κ

∼ = κ

⇔ κ

 κ

& κ

 κ

.

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

•

Okazuje si˛e, ˙ze:

(a) κ

 κ

 κ

 κ

∼ = κ

 κ

∼ = κ

& κ

 κ

& κ

 κ

(b) κ

(X, Y ) = 1 ⇔ X ⊆

Y

(c) X ⊑ Y ⇒ κ

(X, Y ) = 1 dla L = F, G, Lu, S, So

Sem-PP’2011 – p. 78/124

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

(d) κ

(X, Y ) = 1 ⇒ X ⊑ Y dla L = G, K, Kw, Lu, MC

(e) κ

(Y, Z) = 1 ⇒ κ

(X, Y ) ≤ κ

(X, Z)

(f ) Y ⊑ Z ⇒ κ

(X, Y ) ≤ κ

(X, Z) dla L 6= Kw

(g) Z ⊑ Y ⊑ X ⇒ κ

(X, Z) ≤ κ

(Y, Z) dla L 6= P

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

•

Warunki „rif” dostosowane do 3-warto´sciowej interpretacji zbioru:

rif

(κ) ⇔ ∀X, Y ⊆ U.(X ⊑ Y ⇒ κ(X, Y ) = 1)

rif

(κ) ⇔ ∀X, Y ⊆ U.(κ(X, Y ) = 1 ⇒ X ⊑ Y )

rif

(κ) ⇔ ∀X, Y ⊆ U.(κ(X, Y ) = 1 ⇔ X ⊑ Y )

rif

(κ) ⇔ ∀X, Y, Z ⊆ U.(Y ⊑ Z

⇒ κ(X, Y ) ≤ κ(X, Z))

Sem-PP’2011 – p. 80/124

KIV: Funkcje inkluzji a 3-wart.

implikacje c.d.

•

Okazuje si˛e, ˙ze κ

jest

•

RIF-em dla L = G, Lu,

•

quasi-RIF-em dla L = F, G, Lu, S, So,

•

mocnym quasi’-RIF-em dla L = G, K, Lu, MC,

•

quasi’-RIF-em dla L = G, K, Kw, Lu, MC.

KIV: Zastosowanie funkcji inkluzji

•

Badanie podobie´nstwa infogranul.

•

Przybli˙zanie zbiorów i w szczególno´sci infogranul.

•

Ocena jako´sci reguł (decyzyjnych, asocjacyjnych).

Sem-PP’2011 – p. 82/124

Podsumowanie

•

W referacie uj˛ete zostały główne kierunki moich bada´n (lata 2003-2010) z zakresu oblicze´n

granularnych realizowanych metodami zbiorów przybli˙zonych.

•

Uzyskane rezultaty maj ˛ a znaczenie nie tylko dla rozwoju teorii zbiorów przybli˙zonych i podstaw oblicze´n granularnych.

•

Proponowane rozwi ˛ azania mo˙zna zastosowa´c, np.:

•

do modelowania zachowa´n grupowych w systemach wieloagentowych,

•

w odkrywaniu wiedzy z danych,

Dzi˛ekuj˛e za uwag˛e!

Sem-PP’2011 – p. 84/124

DI: Porównanie modeli Pawlaka i Skowrona – Stepaniuka

•

A. Gomoli´nska: A comparison of Pawlak’s and Skowron – Stepaniuk’s approximation of

concepts, Transactions on Rough Sets VI: journal

subline of LNCS, 4374:64–82, 2007.

•

Przestrze´n przybli˙ze´n: M = (U, ̺, κ), gdzie

•

U – niepusty zbiór obiektów,

•

̺ – niepusta relacja binarna na U ,

•

κ – funkcja inkluzji przybli˙zonej nad U . Γ

u

= ̺

{u} & Γ

u

= ̺

{u}

Sem-PP’2011 – p. 86/124

•

Funkcja inkluzji przybli˙zonej nad zbiorem U to dowolna funkcja κ : ℘U × ℘U 7→ [0, 1]

spełniaj ˛ aca rif

oraz rif

:

rif

(κ) ⇔ ∀X, Y.(κ(X, Y ) = 1 ⇔ X ⊆ Y )

rif

(κ) ⇔ ∀X, Y, Z.(κ(Y, Z) = 1 ⇒ κ(X, Y ) ≤ κ(X, Z))

•

Dolne i górne przybli˙zenia zbioru w sensie Pawlaka:

lowX

= {u | Γu ⊆ X}

uppX

= {u | Γu ∩ X 6= ∅}

Sem-PP’2011 – p. 88/124

•

Γ-definiowalne dolne i górne przybli˙zenia zbioru w sensie Pawlaka:

low

X

= [{Γu | Γu ⊆ X}

upp

X

= [{Γu | Γu ∩ X 6= ∅}

•

Dolne i górne przybli˙zenia zbioru w sensie Skowrona – Stepaniuka:

low

X

= {u | κ(Γu, X) = 1}

upp

X

= {u | κ(Γu, X) > 0}

Sem-PP’2011 – p. 90/124

•

Γ-definiowalne dolne i górne przybli˙zenia zbioru w sensie Skowrona – Stepaniuka:

low

X

= [{Γu | κ(Γu, X) = 1}

upp

X

= [{Γu | κ(Γu, X) > 0}

•

Post˛epuj ˛ ac podobnie dla infogranul postaci Γ

u dostajemy operacje dolnego przybli˙zenia low

, low

, low

, low

oraz górnego przybli˙zenia upp

, upp

, upp

, upp

.

•

Dla f ∈ {low, upp, low

, upp

} zachodzi:

f

= upp

◦ f

Sem-PP’2011 – p. 92/124

•

Zbadane zostały własno´sci i porównane zostały operacje przybli˙zania w obu modelach przy

ró˙znych dodatkowych warunkach nało˙zonych na

̺ i/lub ̺

(serialno´s´c, zwrotno´s´c,

symetryczno´s´c, przechodnio´s´c i ich kombinacje) oraz przy ró˙znych dodatkowych warunkach

nało˙zonych na κ.

DI: Model zmienno-precyzyjny o dwóch uniwersach

•

A. Gomoli´nska: Variable-precision compatibility spaces, Electronical Notices in Theoretical

Computer Science, 82(4):120–131, 2003,

http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume82.html

Sem-PP’2011 – p. 94/124

•

Rozwa˙zamy niepuste zbiory U

, U

oraz funkcj˛e granuluj ˛ ac ˛ a ∆ : U

7→ ℘U

, tak ˛ a ˙ze ∆

U

stanowi pokrycie zbioru U

niepustymi infogranulami postaci ∆u.

•

Definiujemy funkcj˛e ∆

: U

7→ ℘U

stowarzyszon ˛ a z ∆:

∆

u

= {v ∈ U

| u ∈ ∆v}

•

WWY-dolne i WWY-górne przybli˙zenia zbioru X ⊆ U

:

low

X

= {u ∈ U

| ∆u ⊆ X}

upp

X

= {u ∈ U

| ∆u ∩ X 6= ∅}

Sem-PP’2011 – p. 96/124

•

∆-definiowalne WWY-dolne i WWY-górne przybli˙zenia zbioru X:

low

X

= [{∆u | u ∈ U

∧ ∆u ⊆ X}

upp

X

= [{∆u | u ∈ U

∧ ∆u ∩ X 6= ∅}

•

Zmienno-precyzyjna przestrze´n zgodno´sci:

(U

, U

, ∆, κ

, κ

), gdzie

•

U

, U

, ∆ s ˛ a jak wy˙zej,

•

κ

: ℘U

× ℘U

7→ [0, 1] – funkcja inkluzji

przybli˙zonej nad U

(i = 1, 2) spełniaj ˛ aca rif

:

rif

(κ

) ⇔ ∀X 6= ∅.∀Y.κ

(X, Y ) + κ

(X, U

− Y ) = 1

Sem-PP’2011 – p. 98/124

•

Niech 0 ≤ s < t ≤ 1 oraz X ⊆ U

.

•

t-pozytywny i s-negatywny region X:

pos

X

= [{∆u | u ∈ U

∧ κ

(∆u, X) ≥ t}

neg

X

= [{∆u | u ∈ U

∧ κ

(∆u, X) ≤ s}

•

Podobnie t ∗-pozytywny i s∗-negatywny region X:

pos

X

= [{∆

u | u ∈ U

∧ κ

(∆

u, X ) ≥ t}

neg

X

= [{∆

u | u ∈ U

∧ κ

(∆

u, X ) ≤ s}

Sem-PP’2011 – p. 100/124

DI: Model uwzgl˛edniaj ˛ acy

podobie ´nstwo i niepodobie ´nstwo

•

A. Gomoli´nska: Approximation spaces based on relations of similarity and dissimilarity of objects, Fundamenta Informaticae, 79(3–4):319–333,

2007.

•

A. Tversky postuluje rozwa˙zanie argumentów

„za” i „przeciw” przy ustalaniu podobie´nstwa mi˛edzy obiektami.

•

W modelu proponowanym przez autork˛e

argumenty „za” uwzgl˛ednione s ˛ a przez pewn ˛ a relacj˛e zwrotn ˛ a zwan ˛ a relacj ˛ a podobie´nstwa, a argumenty „przeciw” przez pewn ˛ a relacj˛e

przeciwzwrotn ˛ a zwan ˛ a relacj ˛ a niepodobie´nstwa (jest ona zawarta w dopełnieniu relacji

podobie´nstwa).

•

Mamy dwa rodzaje infogranul elementarnych:

generowane przez relacj˛e podobie´nstwa oraz generowane przez relacj˛e niepodobie´nstwa.

Sem-PP’2011 – p. 102/124

•

Przestrze´n przybli˙ze´n: (U, r, ̺, κ), gdzie

•

U – niepusty zbiór obiektów,

•

r – relacja podobie´nstwa na U ,

•

̺ – relacja niepodobie´nstwa na U ,

•

κ – funkcja inkluzji przybli˙zonej nad U .

Γu

= r

{u} & Θu

= ̺

{u}

•

Ró˙zne operacje przybli˙zania zbioru (t ∈ [0, 1]):

•

int – operacja wn˛etrza (dolnego przybli˙zenia),

•

ext – operacja zewn˛etrza,

•

ppos – operacja regionu „by´c mo˙ze”

pozytywnego (górnego przybli˙zenia),

•

pneg – operacja regionu „by´c mo˙ze”

negatywnego,

•

ign – operacja regionu niewiedzy,

•

int

– operacja regionu t-wewn˛etrznego (regionu t-pozytywnego),

•

ext

– operacja regionu t-zewn˛etrznego.

Sem-PP’2011 – p. 104/124

intX

= {u | Γu ⊆ X}

extX

= {u | X ⊆ Θu}

pposX

= {u | Γu ∩ X 6= ∅}

pnegX

= {u | Θu ∩ X 6= ∅}

ignX

= U − (pposX ∪ pnegX) int

X

= {u | κ(Γu, X) ≥ t}

ext

X

= {u | κ(X, Θu) ≥ t}

Niech

rif

(κ) ⇔ ∀X 6= ∅.κ(X, ∅) = 0.

•

Własno´sci operacji przybli˙zania:

int

= int & ext

= ext

u ∈ ignX ⇔ X ∩ (Γu ∪ Θu) = ∅

int

X = ext

X = int

U = ext

∅ = pposU = U pnegU = {u | Θu 6= ∅}

int∅ = extU = ppos∅ = pneg∅ = ∅ rif

(κ) & t > 0 ⇒ int

∅ = ∅

Sem-PP’2011 – p. 106/124

Niech f oznacza ppos lub pneg.

intX ⊆ X ⊆ pposX

extX ⊆ int(X

) = (pposX)

r ∪ ̺ = U × U ⇒ extX = int(X

) X 6= ∅ ⇒ extX ⊆ pnegX

s ≤ t ⇒ int

X ⊆ int

X & ext

X ⊆ ext

X X ⊆ Y ⇒ int

X ⊆ int

Y & extY ⊆ extX

& f X ⊆ f Y

int

(X ∩ Y ) ⊆ int

X ∩ int

Y int

(X ∪ Y ) ⊇ int

X ∪ int

Y int(X ∩ Y ) = intX ∩ intY ext(X ∩ Y ) ⊇ extX ∪ extY ext(X ∪ Y ) = extX ∩ extY f (X ∩ Y ) ⊆ f X ∩ f Y

f (X ∪ Y ) = f X ∪ f Y

Sem-PP’2011 – p. 108/124

DI: Model oparty na słabszych funkcjach inkluzji

(„słabszych” w stosunku do inkluzji przybli˙zonej)

•

A. Gomoli´nska: Rough approximation based on weak q-RIFs, Transactions on Rough Sets X:

journal subline of LNCS, 5656:117–135, 2009.

DIII: Przybli˙zone spełnianie for- muł i ich zbiorów

•

Zagadnienie to jest badane na przykładzie formuł j˛ezyka deskryptorów systemu informacyjnego

Pawlaka.

•

Informacja dost˛epna o rozwa˙zanych obiektach jest niedoskonała.

•

Celem jest odkrywanie poj˛ecia spełniania formuł i ich zbiorów, a nie zbudowanie formalnego

systemu logicznego.

Sem-PP’2011 – p. 110/124

DIII: Relacje przybli˙zonego spełniania

Referencje:

•

A graded meaning of formulas in approximation spaces, Fundamenta Informaticae,

60(1–4):159–172, 2004.

•

Satisfiability and meaning of formulas and sets of formulas in approximation spaces, Fundamenta Informaticae, 67(1–3):77–92, 2005.

•

Satisfiability judgement under incomplete information, Transactions on Rough Sets XI:

journal subline of LNCS, 5946:66–91, 2010.

•

W tym podej´sciu poj˛ecie spełniania formuł z FOR przez obiekty z U modelowane jest jako sparametryzowana rodzina relacji, czyli

podzbiorów U × FOR.

•

Celem jest odkrycie relacji najlepiej pasuj ˛ acej do badanego przypadku, np. przez optymalizacj˛e

warto´sci parametrów.

Sem-PP’2011 – p. 112/124

Przykłady

•

Przykład I: {|=

}

, gdzie

u |=

α ⇔ κ(Γu, Sat

(α)) ≥ t.

•

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli t > 0, to

Sat

(α)

= {u ∈ U | u |=

α }

= pos

(Sat

(α)).

•

Przykład II: {|=

}

, gdzie

|=

= |=

∩ |=

.

•

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli t > 0, to

Sat

(α) = pos

(Sat

(α)) ∩ Sat

(α).

Sem-PP’2011 – p. 114/124

•

Niech  b˛edzie porz ˛ adkiem „po współrz˛ednych”

na [0, 1]

.

•

([0, 1]

, ) – krata z (0, 0) jako zerem i (1, 1) jako jedynk ˛ a.

•

Przykład III: {|=

}

, gdzie

T = {(t

, t

) | 0 ≤ t

< t

≤ 1} oraz

u |=

α ⇔ κ(Γu, Sat

(¬α)) ≤ π (t)

•

Zauwa˙zmy, ˙ze

Sat

(α) = neg

(Sat

(α)) ∩ pos

(Sat

(α)).

Sem-PP’2011 – p. 116/124

•

Przykład IV: |=

, gdzie

u |=

α ⇔ Γu ∩ Sat

(α) 6= ∅.

•

Zauwa˙zmy, ˙ze

Sat

(α) = upp(Sat

(α)).

•

To poj˛ecie spełniania koresponduje z poj˛eciem prawdy przybli˙zonej wprowadzonym przez

Z. Pawlaka i badanym przez M. Banerjee.

•

Przykład V: |=

, gdzie

u |=

α ⇔ κ(Γu, Sat

(α)) > 0.

•

Zauwa˙zmy, ˙ze

Sat

(α) = upp

(Sat

(α)).

Sem-PP’2011 – p. 118/124

•

Przykład VI: {|=

}

, gdzie T = (0, 1] × [0, 1]

oraz

u |=

α ⇔ κ(pos

(Γu), Sat

(α)) ≥ π

(t).

•

Relacje spełniania otrzymane dla π

(t) = 1 s ˛ a inspirowane semantyk ˛ a „mo˙zliwych ´swiatów”

dla logik modalnych.

DIII: Odkrywanie poj˛ecia speł- niania formuł

A dokładniej – odkrywanie poj˛ecia spełniania formuł z dost˛epnych danych i przykładów (np. przykładów na „tak” i na „nie”) dostarczonych przez eksperta.

Referencje:

•

Satisfiability of formulas from the standpoint of object classification: The RST approach,

Fundamenta Informaticae, 85(1–4):139–153, 2008.

Sem-PP’2011 – p. 120/124

DIII: Przybli˙zone spełnianie for- muł a zbiory rozmyte

•

Mianowicie, wprowadzone poj˛ecia przybli˙zonego spełniania formuł oraz poj˛ecia pokrewne

interpretowane s ˛ a w terminach teorii zbiorów rozmytych jak rdze´n czy alfa-ci˛ecie.

Referencje:

•

A fuzzy view on rough satisfiability, Lecture

Notes in Artificial Intelligence, 6086:227–236,

2010.

DIII: Przybli˙zone stosowanie reguł

Referencje:

•

A graded applicability of rules, Lecture Notes in Artificial Intelligence, 3066:213–218, 2004.

•

Towards rough applicability of rules, [in:]

B. Dunin-K˛eplicz, A. Jankowski, A. Skowron, and M. Szczuka, editors, Monitoring, Security, and Rescue Techniques in Multiagent Systems, pages 203–214, Springer-V., Berlin Heidelberg, 2005.

•

Rough rule-following by social agents, [in:]

H. Flam and M. Carson, editors, Rule Systems Theory. Applications and Explorations, pages 103–118, Peter Lang, Frankfurt am Main, 2008.

Sem-PP’2011 – p. 122/124

DIII: Konstrukcja infogranul spełniaj ˛ acych dane wymagania

Referencje:

•

Construction of rough information granules, [in:]

W. Pedrycz, A. Skowron, and V. Kreinovich,

editors, Handbook of Granular Computing, pages

449–470, John Wiley & Sons, Chichester, 2008.

DIII: Formowanie s ˛ adów w agentach inteligentnych

Referencje:

•

On rough judgment making by socio-cognitive agents, [in:] A. Skowron et al., editors, Proc.

2005 IEEE//WIC//ACM Int. Conf. on Intelligent Agent Technology (IAT’2005), Compi`egne,

France, September 2005, pages 421–427. IEEE Computer Society Press, Los Alamitos, CA,

2005.

•

Satisfiability judgement under incomplete information, Transactions on Rough Sets XI:

journal subline of LNCS, 5946:66–91, 2010.

Sem-PP’2011 – p. 124/124