Mechanica van constructies: Elasto-statica van slanke structuren

Mechanica van constructies

Elasto-statica van slanke structuren

2333

528

9

Bibliotheek TU

Delft

---

-

/

11111111111111111111111 111111 11111 C 3146353

f

..4

Mechanica van constructies

ElasJo-statica van slanke structuren

prof.ir. A.L. Bouma

Delftse Uitgevers Maatschappij

Bouma, A.L.

Mechanica van constructies : elasto-statica van slanke structuren / A.L. Bouma. -Delft : Delftsche U.M .. -III.

Ie dr.: 1989. Met Iit. opg., reg. ISBN 90-6562-114-8

Trefw.: sterkteleer.

©VSSD Eerste druk 1989 Tweede druk 1993

Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.

P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel. 015-123725, telefax 015-143724

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opge-slagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. All rights reserved. No part ofthis publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electron ie, mechanical, photo-copying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher.

5

Voorwoord

Dit boek is voortgekomen uit colleges voor derde-jaars studenten aan de faculteit der Civiele Techniek van de Technische Universiteit Delft. Het is dan ook in de eerste plaats bedoeld voor studenten van deze studierichting. Daarnaast is het bedoeld voor ingenieurs en ontwerpers, die in hun (bouw)praktijk met mechanicaproblemen te maken hebben en die kennis willen nemen van een methodische analyse van het gedrag van uiteenlopende constructies. Bij deze analyse is er naar gestreefd de lezer inzicht te geven in de dragende werking van constructieve systemen en de daarbij optredende karakteristieke verschijnselen, waarbij samenhang en verwantschap van problemen naar voren komen.

Graag wil ik mijn dank betuigen aan prof. dr. ir. J. Blaauwendraad, ing. H. van Koten, ir. B. Kuiper en prof. ir. H.W. Loof, die de tekst hebben doorgenomen. Hun opmerkingen en suggesties betekenden een grote stimulans.

Collega Blaauwendraad ben ik bovendien zeer erkentelijk voor de verleende faciliteiten en het verheugt mij dat het boek zal worden gebruikt als basis voor zijn colleges. Ir. Kuiper dank ik in het bijzonder voor zijn betrokkenheid en voor het ontwerp van het vignet op de voorzijde van het boek, een symbool van constructieve samen-werking.

Mijn collega Loof ben ik bijzonder veel dank verschuldigd. Door nauwgezette lezing van de tekst heeft hij mij voor menige onzorgvuldigheid behoed en daarbij gefungeerd als mijn wetenschappelijk geweten. Zijn intensief meedenken over de materie heeft geleid tot ideeën en suggesties die op veel plaatsen hun sporen hebben achter gelaten. De gesprekken hierover waren boeiend en inspirerend en ik heb deze hogelijk gewaardeerd.

Mevrouw J.J. Verhoeks-Bok dank ik graag voor de toewijding bij het typen van een moeilijk manuscript. De heer W.H.F. Ritter ben ik veel dank verschuldigd voor de grote zorg die aan de tekeningen is besteed.

Inmiddels is een Duitse uitgave van het boek verschenen", waarin een aantal wijzigin-gen is aangebracht. Als belangrijkste wijziginwijzigin-gen kunnen worden wijzigin-genoemd de her-ziening van het 'riservoorbeeld' uit de offshoretechniek en de omwerking van het hoofdstuk over ringen, waarbij de Fourier-analyse nog duidelijker naar voren komt en de kinematische en constitutieve vergelijkingen in een aparte paragraaf uitvoerig worden besproken. Daarnaast is er een reeks kleinere wijzigingen aangebracht die als verbeteringen, verduidelijkingen of aanvullingen kunnen worden aangemerkt.

In deze Nederlandse nieuwe druk zijn deze wijzigingen overgenomen en zijn er nog enkele aan toegevoegd. Voor het commentaar dat ik na het verschijnen van de eerste druk mocht ontvangen en tot deze wijzigingen heeft bijgedragen, ben ik zeer erken-telijk.

Inhoud

Voorwoord Inleiding

DEEL 1. ELEMENTAIRE BELASTINGSGEVALLEN

1 . Op rek belaste staven 1 .1 . Inleiding

1.2. Differentiaalvergelijkingen en oplossingen 1.3. Randvoorwaarden en overgangsvoorwaarden

1.4. Temperatuursinvloeden, krimp- en zweIIingsverschijnselen

2. Op afschuiving belaste liggers 2.1. Inleiding

2.2. Afleiding van de differentiaalvergelijking 2.3. Raamwerken (skeletten)

2.4. Voorbeelden 3. Op wringing belaste staven

3.1 . Inleiding en afleiding van de vergelijkingen 3.2. Dunwandige kokers

4. Op buigingen afschuiving belaste liggers

4.1. Inleiding en afleiding van de vergelijkingen 4.2. Overgangsvoorwaarden en randvoorwaarden 4.3. Toepassingen

4.4. Temperatuursinvloeden, alsmede krimp- en zwellingsverschijnselen

5. De aanvankelijk rechte kabel 5.1 . Inleiding

5.2. Differentiaalvergelijking en oplossingen voor de draag kabel 5.3. De horizontale component H van de kabelkracht

7 5 11 15 17 17 17 25 35 39 39

40

42

46

53 53 56 67 67 73 76

85

92

92

92

98 6. Samenvatting 100

DEEL 2. CONTINU VERDEELDE REACTIES 103

7. Verdeelde reacties die afhankelijk zijn van een verplaatsingscomponent 105 8. Op rek belaste staven waarbij een verdeelde reactiekracht optreedt 107

8.1. Uittrekproef en andere voorbeelden 107

9. Elastisch ondersteunde afschuifliggers 10. Elastisch ondersteunde kabels

11. Elastisch ondersteunde buigliggers 11 . I. Inleiding

11.2. De differentiaalvergelijking en de beddingconstante 11.3. Particuliere oplossingen van de differentiaalvergelijking,

Fourier-analyse

11.4. De oplossing van de gereduceerde differentiaalvergelijking 11.5. Een geconcentreerde last op een oneindig lange ligger 11.6. De vier basisgevallen

11.7. Natuurlijke golflengte 1 1 .8. Verdeelde belasting 1 1 .9. Liggers met eindige lengte DEEL 3. GECOMBINEERDE DRAAGWERKING

12. Inleiding, enkele veermodellen

13. De combinatie van kabelwerking en buiging, een parallelsysteem 13.1. De differentiaalvergelijking

13.2. Particuliere oplossing bij sinusvormige belasting 13.3. Buigliggers, belast met een trekkracht

13.4. De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking 13.5. Kabels met buigstijfheid, slanke trekstaven

113 118 121 121 122 125 129 131 140 145 146 154 157 159 164 164 166 169 171 174 1 3.6. Twee voorbeelden uit de offshore-techniek 181 14. De combinatie van een afschuifligger en een buigligger, een parallelsysteem 187

14.1. Inleiding 187

14.2. De differentiaalvergelijking en oplossingen 189 14.3. Extra verstijvingen en verende ondersteuning 193 DEEL 4. GECOMBINEERDE DRAAGWERKING MET GEKROMDE ELEMENTEN 199

15. De gekromde kabel 201

15.1. Het verband tussen de lengte van de kabel en de grootte van de

horizontale kracht H 201

15.2. De flexibiliteit van de kabel en wijziging in de grootte van H 205 I 5.3. Horizontale verplaatsingen 208 15.4. Fourieranalyse voor het bepalen van de grootte van H 213 15.5. De verplaatsingen bij een additionele belasting 218

16. Hangdaken en hangbruggen 222

16.1. Inleiding 222

Inhoud 9

16.3. Hangbruggen, benadering met de differentiaalvergelijking voor de

kabel 229

16.4. De volledige differentiaalvergelijking bij meewerkende verstijvingsligger, Fourieranalyse

16.5. Geconcentreerde belastingen, randstoringen en het gebruik van invloedslijnen

16.6. Enkele secundaire effecten 17. Bogen

17. 1. Inleiding

17.2. Berekening met behulp van vormveranderingsvergelijkingen 17.3. Verplaatsingen

17.4. De differentiaalvergelijking van de boog, oplossingen bij kleine verplaatsingen

17.5. Oplossingen van de uitgebreide differentiaalvergelijking 17.6. Verschillende boogtypen

18. Cirkelvormige ringen en verwante cilindrische constructies (buizen, tunnels, 235 240 246 253 253 254 260 263 267 271

tanks, reservoirs, enz.) 275

18.1. Inleiding 275

18.2. Evenwichtsvergelijkingen voor de snedekrachten bij radiale

belasting 278

18.3. Berekening van de snedekrachten met behulp van Fourierreeksen 280 18.4. Kinematische en constitutieve vergelijkingen, mogelijke

vervormingstoestanden 287

18.5. Berekening van de verplaatsingen met behulp van Fourierreeksen 294

18.6. Exacte oplossingen 296

18.7. Tangentieel gerichte belasting 303

DEEL 5. INTERACTIE BIJ VERBINDINGEN EN KOPPELINGEN 311

19. Verbinding van op rek belaste staven 313 a. De als star opgevatte verbinding 313 b. De als star-plastisch opgevatte verbinding 314 c. De als lineair-elastisch opgevatte verbinding 314 20. Koppeling van liggers die op buiging worden belast 324

20.1. Inleiding 324

20.2. Wanden bij verwaarlozing van de gemiddelde rek 326 20.3. Wanden met inachtneming van de gemiddelde rek 331

DEEL 6. STORINGSPROBLEMEN 339

21. Randstoringen bij cilindrische schalen en membranen 341 21 .1. Het randstoringsprobleem bij cilindrische schalen, inleiding 341

21.2. Differentiaalvergelijking en veerconstante 21.3. Toepassingen

Een met ringen verstijfde buis onder inwendige overdruk Reservoirs en tanks voor vloeistoffen

Het effect van voorspannen Temperatuursspanningen

21.4. Het randstoringsprobleem bij een cilindrisch membraan 22. Wringing bij kokers met vervormbare doorsnede

22.1. Schranken van een doorsnede, afleiding van de differentiaalvergelijking

22.2. Het inleiden van een geconcentreerde belasting

22.3. Schranken en welven van de doorsneden met bovendien afschuiving in de wanden BIJLAGEN 341 343 343 345 346 347 348 352 352 360 366

A. Het gebruik van Fourierreeksen 375

Theorie en de toepassing hiervan bij belastingsfuncties 375 De Fourierreeks als oplossing van een differentiaalvergelijking 382 B. Enkele particuliere oplossingen en integralen bij de behandeling van ringen 385

c.

De constitutieve vergelijkingen bij ringen 386

D. Symbolen 389

11

Inleiding

Als gevolg van steeds verder gaande eisen die aan constructies worden gesteld en het streven naar economie vindt een voortschrijdende ontwikkeling plaats die leidt tot nieuwe constructievormen en schaalvergroting. Dit alles wordt mogelijk gemaakt door het beschikbaar komen van nieuwe en steeds hoogwaardiger materialen.

Waar vroeger bij een rivierkruising een vakwerkbrug op pijlers werd ontworpen, later de rivier met een boog werd overspannen, ziet men thans de strakke lijn van ranke kokerliggers van staal of beton.

Bij hoge gebouwen is er een ontwikkeling van massieve steenmassa's via ijle skeletten van staal of beton naar torens die als dunwandige kokers kunnen worden beschouwd. Vaak zijn hierin interessante structuren verborgen, waarmee combinaties van draag-werkingen worden verkregen.

Daarnaast zijn er ontwikkelingen op geheel nieuwe gebieden, zoals de offshore-tech-niek, waar platforms worden gebouwd in diep water en waar het toenemend gebruik van kabels en tuien in het oog springt ("tension-structures").

De ontwikkeling naar constructies met grote spanwijdte of grote hoogte leidt vaak tot slanke constructies, waarvan de dwarsafmetingen als relatief klein kunnen worden be-schouwd ten opzichte van de lengte. Natuurlijk bepalen vorm en afmetingen van de doorsnede mede het gedrag van zo'n constructie.

De slanke elementen en daarvan afgeleide constructies die in dit boek worden behan-deld, worden in lengte-richting als continu beschouwd, zo nodig in gedeelten, wat bij het onderzoek naar het elasto-statisch gedrag bij belasting een analytische aanpak mogelijk maakt. Discrete systemen, die bestaan uit een groot aantal identieke subsys-temen kunnen vaak als een continu systeem worden behandeld.

Het onderzoek stoelt op de fundamentele vergelijkingen voor evenwicht, geometrie en materiaalgedrag, die de "bouwstenen" vormen waarmee kennis en inzicht vanuit de basis worden opgebouwd. De lezer, student zowel als praktizerend ingenieur/ont-werper krijgt hiermee gereedschap aangereikt voor het zelf oplossen van problemen. De analytische behandeling leidt tot gewone lineaire differentiaalvergelijkingen. De oplossing omvat in het algemeen de verplaatsingen en de krachtsverdeling (de snede-krachten) als functie van de lengtecoördinaat, waarmee het functioneren van de constructie bij belasting wordt beschreven. Vooral bij samengestelde constructies kan deze draagwerking interessante aspecten vertonen.

Daarnaast kunnen verschijnselen optreden, die als een storing van het algemene beeld kunnen worden gekarakteriseerd en die onder meer kunnen worden veroorzaakt door een discontinuïteit in de belasting of in de eigenschappen van de constructie of bij-voorbeeld door een randvoorwaarde waar een belemmering of een dwang van uitgaat. Deze storingsverschijnselen kunnen van lokale aard zijn. Zij kunnen evenwel ook de

draagwerking als geheel sterk beïnvloeden.

De oplossingen worden zoveel mogelijk bewerkt tot uitdrukkingen - menigmaal zeer eenvoudige - aan de hand waarvan het gedrag van de onderzochte constructie goed valt na te gaan.

Inzicht in dit gedrag kan dan worden verworven door het bestuderen van oplossingen, het ontdekken van samenhang tussen verschillende oplossingen en van verwantschap tussen ogenschijnlijk verschillende problemen. Bij het ontwerpen van een constructie is dit inzicht onontbeerlijk.

Ook bij de berekening van een constructie met een computerprogramma is inzicht in het gedrag van de constructie die wordt onderzocht noodzakelijk. Dit geldt zowel voor de gebruiker van een beschikbaar programma als voor degene die zelf een programma ontwikkelt. Beiden moeten de uitkomsten van de berekening controleren en evalueren op basis van inzicht in de krachtswerking. Eenvoudige formules, waarvan men de achtergrond kent, kunnen daarbij een belangrijke ondersteuning bieden. Bij het zelf ontwikkelen van een programma spelen bovendien de genoemde "bouwstenen" en analytische aanpak een grote rol.

De stof is verdeeld in zes delen (22 hoofdstukken). In deel I worden de elementaire belastingsgevallen behandeld, waarbij een rechte staaf of ligger achtereenvolgens op rek, afschuiving, wringing en buiging wordt belast. De doorsneden ondergaan in deze gevallen Of een translatie Of een rotatie.

Aspecten als randvoorwaarden en overgangsvoorwaarden komen aan de orde en constructietypen als een hoog raamwerk en een kokerligger worden geïntroduceerd. Bijzondere aandacht wordt gegeven aan het samengaan van afschuiving en buiging in liggers en aan temperatuureffecten. Ook is plaats ingeruimd voor de kabel die in toenemende mate als constructie-element wordt gebruikt.

In deel 2 worden continu verdeelde reacties, die door een omringend of ondersteunend medium op de staaf of ligger worden uitgeoefend, geïntroduceerd, wat leidt tot een nieuwe groep van problemen. Het belangrijkste geval is de elastisch ondersteunde buigligger, die uitvoerig wordt besproken. Zowel de oplossing met behulp van Fourierreeksen als met exponentiële functies wordt behandeld. Het gedrag van een ligger bij belasting met een geconcentreerde last wordt grondig geanalyseerd. Onderwerpen als natuurlijke golflengte en het gebruik van invloedslijnen komen ter sprake. Bij het oplossen van problemen kunnen, als men zich laat leiden door fysisch -mechanisch inzicht en de methode van vrijmaken hanteert, de uitkomsten voor een viertal basisgevallen die in een tabel zijn verzameld, nuttig zijn.

In deel 3 wordt een begin gemaakt met de behandeling van combinaties van draag-werkingen. Na een inleiding over veermodellen, bedoeld om de begrippen parallel-systeem en serieparallel-systeem, die in het vervolg een belangrijke rol spelen, nog eens duidelijk te maken, wordt het aanschouwelijke parallelsysteem van een buigligger en een rechte kabel besproken. Dit voert enerzijds tot de behandeling van buigliggers die

Inleiding 13

door een trekkracht worden belast, anderzijds tot kabels en slanke trekstaven met een zekere buigstijfheid, die men op uiteenlopende gebieden tegenkomt.

In het daarop volgende hoofdstuk wordt de samenwerking van een afschuifligger (een raamwerk) en een buigligger (een wand, een kern) behandeld, een combinatie die veel bij gebouwen wordt aangetroffen.

In deel 4 wordt begonnen met de behandeling van een gekromde kabel. De initiële kromming leidt bij kabelconstructies in beginsel tot niet-lineair gedrag bij belasting en het belangrijkste probleem is het bepalen van de grootte van de kracht in de kabel bij een additionele belasting. Hierbij biedt de Fourieranalyse uitkomst. Kabelconstructies zijn ook flexibele constructies, zodat bij wijziging van de belasting grote verplaat-singen, verticaal zowel als horizontaal, kunnen optreden. Na een korte bespreking van hangdaken wordt aan hangbruggen een uitvoerige bespreking gewijd. Bij grote overspanning domineert de dragende werking van de kabel sterk. Verschillende wijzen van benadering van het draagkrachtprobleem worden onderzocht, waarna nog een aantal specifieke aspecten, waaronder het gedrag van tuien, wordt aangestipt.

Vervolgens worden bogen besproken. Dit zijn eveneens flexibele constructies, maar de verhoudingen liggen anders. Er dreigt hier het gevaar van instabiliteit. De behandeling met differentiaalvergelijkingen maakt diverse problemen beter toegankelijk en inzichtelijk. Daarna worden ringen behandeld. Hier leidt de initiële kromming tot een stelsel gekoppelde vergelijkingen, waarmee een probleem van de zesde orde wordt beschreven. Verschillende belastingsgevallen worden veel toegankelijker als gebruik wordt gemaakt van Fourierreeksen. De behandeling kan ook als een opstapje naar de theorie van schalen worden gezien. De beide kernen van deze theorie treft men hier reeds aan.

In deel 5 wordt aandacht gevraagd voor een andere groep van problemen, de verbindingen en koppelingen van staven en liggers. Hier komen we - al of niet verborgen - seriesystemen tegen. Bij de verbinding van staven door middel van flank-lassen blijkt de analyse te leiden tot een stelsel simultane differentiaalvergelijkingen. Buigliggers die in lengterichting gekoppeld zijn (bijvoorbeeld hoge wanden), vertonen een gedrag dat overeenkomt met dat van de eerder behandelde combinatie van een afschuifligger en een buigligger als kan worden afgezien van de gemiddelde rek door normaalkracht in de liggers (wanden). Is dit laatste niet het geval, dan is het gedrag gecompliceerder. De elementaire draagwerkingen blijven echter herkenbaar.

In deel 6 tenslotte worden problemen behandeld die als storingsproblemen kunnen worden gekarakteriseerd. In de eerste plaats de randstoringen die kunnen optreden bij de gebogen randen van cilindrische schalen en membranen. Voorbeelden hiervan treft men onder meer aan bij buizen, reservoirs en tanks. De storing blijft in deze gevallen beperkt tot een smalle zone nabij de rand. In het laatste hoofdstuk wordt het schranken van de rechthoekige doorsnede van een op wringing belaste kokerligger onderzocht. In eerste instantie blijkt het mogelijk dit verschijnsel te beschrijven met een vergelijking

die analoog is met die voor de elastisch ondersteunde buigligger. Het bereik van de storing kan nu echter zeer groot zijn. In de laatste paragraaf worden de drie verschijn-selen wringing, schranken en welven gezamenlijk met drie simultane vergelijkingen beschreven. De storingsverschijnselen die hieruit kunnen worden afgeleid kunnen van uiteenlopend karakter zijn.

.,

Deel 1

17

1

Op rek belaste staven

1.1. Inleiding

We beginnen de reeks van te behandelen belastingsgevallen met de prismatische staaf, die door axiale belasting op rek (extensie) wordt belast. Bij de behandeling van dit zeer eenvoudige geval zal een zekere uitvoerigheid worden betracht als voorbereiding ook op de behandeling van later te bespreken gevallen waar zich analoge situaties voordoen en waar dezelfde gedachtenlijn wordt gevolgd. De beschrijving van het gedrag met behulp van vergelijkingen valt in drie delen uitéén. In de eerste plaats zijn er even-wichtsbeschouwingen, die leiden tot de voorwaarden waaraan de inwendige krachten moeten voldoen. In de tweede plaats zijn er geometrische beschouwingen, waarbij de relaties worden gedefinieerd tussen de optredende verplaatsingen en de in de beschouwde gevallen relevante vormveranderingsgrootheden. Tenslotte zijn er constitutieve vergelijkingen, die het verband leggen tussen de inwendige krachten -ook wel snedekrachten genoemd - en de daardoor veroorzaakte vormveranderingen. Uitgangspunt hierbij is de Wet van Hooke; we beperken ons daarmee tot het lineair-elastische gedrag van constructies. De verkregen vergelijkingen worden in het alge-meen teruggebracht tot één enkele vergelijking, waarmee het verband wordt gegeven tussen de belasting en de daardoor veroorzaakte verplaatsing.

1.2. Differentiaalvergelijkingen en oplossingen

De op rek belaste staaf is weergegeven in figuur 1.1 De x-as van het assenstelsel wordt steeds gekozen langs de staafas die de meetkundige plaats is van de zwaartepunten van de opvolgende normale doorsneden. De staaf wordt belast door een axiale, langs de staafas verdeeld aangrijpende kracht Fx. Door deze belasting ontstaat in de staaf een normaalkracht N(x), die als trek positief wordt gerekend. Om de relatie tussen deze snedekracht en de belasting te vinden wordt uit de staaf een klein elementje gesneden, dat eveneens in figuur 1.1 is weergegeven.

Op de linkerdoorsnede van dit elementje werkt een normaalkracht NI, op de rechter-doorsnede een normaalkracht N2. Het verschil van beide is N2 - NI

=

L1N, waarmee

een kleine toename van de normaalkracht wordt bedoeld. Het deel van de belasting dat op het elementje aangrijpt wordt met ~x aangeduid.

De evenwichtsvoorwaarde luidt nu:

~N

+

~x

=

0 of ook, gedeeld door

~x: ~N

+

~Fx

=

0 ~ ~

z Figuur 1.1. 2 . 6F • .

~

I

r

'

;;;;;

ï

~ ~2

~

x

1

<

i\\\W;;;:cw

i

. ,

I

I

I

We nemen aan dat voor beide termen de limiet voor ~x ~ 0 kan worden bepaald, zodat geldt:

ti m - + LlN ti m - - = ~F x 0 ~X-70 ~ ~X-70 ~

De eerste term is zoals bekend het differentiaalquotiënt dN/dx. De tweede term wordt

de verdeelde belasting q(x) genoemd, die in de eenheid Nim wordt uitgedrukt. De evenwichtsvergelijking luidt dus:

dN + q

=

0 of ook: q

= _

dN

dx dx (l.1 )

De grootheden die hier worden beschouwd zijn in het algemeen functies van x en kunnen als zodanig worden aangeduid: N(x), q(x) enzovoort. Kortheidshalve zal in het volgende meestal de toevoeging (x) worden weggelaten. Een enkele maal zal echter door deze toevoeging nog eens worden benadrukt dat het steeds om functies gaat. Zoals reeds gezegd, veroorzaakt de belasting verplaatsingen. We nemen aan dat vlakke doorsneden vlak blijven en in dit geval een translatie in x-richting ondergaan. De linkerdoorsnede zal daarbij verplaatsen over een afstand UI, de rechter doorsnede over een afstand U2 (figuur 1.1). Het verschil van beide verplaatsingen U2 - u I

=

~u is de

verlenging van het elementje. We beschouwen nu het quotiënt van deze verlenging en de oorspronkelijke lengte ~x van het elementje: ~u/~x. De samenhang van de materie vereist, dat als ~x tot nul nadert, dit ook met ~u het geval is. In het algemeen zal dan ook de limiet van het quotiënt bestaan. Als vormveranderingsgrootheid wordt nu de rek E gedefinieerd als:

E(X) = tim

~u

= du

Op rek belaste staven 19

Deze relatie wordt ook wel de kinematische vergelijking genoemd, omdat op twee ogenblikken - namelijk vóór en ná het belasten - naar de staaf wordt gekeken.

Er rest thans nog het verband tussen de normaalkracht N en de hierdoor veroorzaakte rek ê. Voor de lijn spanningstoestand in het elementje kan worden uitgegaan van de wet van Hooke in zijn eenvoudigste vorm:

a = Eê. De rek is over de doorsnede van de

staaf constant; de elasticiteitsmodulus E zal bij niet-homogene doorsneden over de doorsnede variëren. In dat geval zal ook de normaalspanning a over de doorsnede niet constant zijn. De normaalkracht op een infinitesimaal klein oppervlakje dA is dN = adA en de normaalkracht in de staaf wordt gevonden met de integraal over de oppervlakte A van de staafdoorsnede:

N=ffadA=dfEdA

A A

Voor een homogene doorsnede waarvoor E constant is, volgt:

N=EAê (1.3)

Het produkt EA wordt stijfheidsfactor voor extensie of rekstijfheid genoemd en de snedekracht N is dus gelijk aan de rek E, vermenigvuldigd met deze stijfheidsfactor. In het algemene geval van niet-homogene doorsneden kan EA worden opgevat als een tweelettersymbool voor de rekstijfheid, die dan gedefinieerd is als:

EA =

f

fEdA (l.4)

A

of - bij een eindig aantal samenstellende delen - als de som van de rekstijfheden van de samenstellende delen van de doorsnede.

De gemaakte onderstelling dat de doorsneden uitsluitend een translatie in x-richting ondergaan vereist dat de normaalkracht N gaat door het zwaartepunt of - moderner gezegd - door het normaalkrachtcentrum van de doorsneden.

Het drietal vergelijkingen (1.1), (1.2) en (1.3) beschrijft volledig het gedrag van de op rek belaste staaf. Zij kunnen worden beschouwd als veldvergelijkingen, die gelden in een interval 0 < x < l. De vergelijkingen (1.1) en (1.2) zijn differentiaalvergelijkingen van de eerste orde; vergelijking (1.3) is een algebraïsche vergelijking.

In het algemeen zal de belasting q gegeven zijn en moeten de normaalkracht N en de verplaatsing u worden bepaald. Dit is dan een zogenaamd tweede orde probleem.

---

-De drie vergelijkingen kunnen worden vervangen door één enkele differentiaal-vergelijking. Daartoe wordt vergelijking (1.2) in vergelijking (1.3) gesubstitueerd, wat leidt tot de volgende relatie tussen de verplaatsing u en dè snedekracht N:

N=EA du

Differentiëren van deze vergelijking geeft bij een prismatische staaf, waarvoor EA constant is:

dN =EA d2u

dx dx2

Substitutie hiervan in (I.l) leidt tot de differentiaalvergelijking van de tweede orde, die het verband geeft tussen de belasting q en de daardoor veroorzaakte verplaatsing u:

d2u

q=-EA-dx2 (1.6)

In concreto moet deze vergelijking worden opgelost met gebruikmaking van de randvoorwaarden en eventueel aanwezige overgangsvoorwaarden. Voor het verkrijgen

van oplossingen kan evenwel ook worden uitgegaan van het stelsel (1.1) tlm (1.3), of

- als tussenweg - van de vergelijkingen (1.1) en (1.5).

(Enkele basisgevallefi]

We willen nu voor een paar basisgevallen de oplossingen bepalen. Het betreft een

aantal eenvoudige gevallen, die ook langs elementaire weg kunnen worden opgelost.

Het doel is hier met name echter om de oplossingsprocedure met behulp van

rand-voorwaarden te tonen, mede als voorbereiding op latere problemen. We beginnen de

behandeling voor het geval dat de belasting gelijkmatig verdeeld is, met andere woorden de functie q(x) is constant, wat wordt aangeduid met qo, waarbij qo een gegeven waarde is. Uit vergelijking (1.1) volgt dan:

(1.7) en uit vergelijking (1.5) volgt:

EAu =

-t

qox2 + CIX + C2 (1.8)

waarin Cl en C2 integratieconstanten zijn, die volgen uit de randvoorwaarden. Er doen zich daarbij verschillende mogelijkheden voor.

Geval A. We beschouwen eerst het geval van een staaf met een lengte l, die aan de linkerzijde wordt vastgehouden en aan de rechterzijde vrij is. De staaf wordt belast met een gelijkmatig verdeelde belasting (figuur 1.2). In dit geval zijn de randvoorwaarden:

x= 0: u = 0

x = l: N = 0

Substitutie van de laatste randvoorwaarde in vergelijking (1.7) leidt tot: 0 = -qol + Cl, waaruit voor de integratieconstante Cl volgt: Cl

=

qol.

Voor de snedekracht N wordt dus gevonden:

Op rek belaste staven 21 1 qo

,III-";'

i

~

i>

~

·

...

~1

x u=O N=O

·1

Figuur 1.2.

De nonnaalkracht N neemt lineair toe van het rechteruiteinde naar het linkeruiteinde en dit geldt ook voor de rek E (figuur 1.2).

Substitutie van de eerste randvoorwaarde in vergelijking (1.8) leidt nu tot:

o

= 0 + 0 + C2, waaruit volgt C2 = O.

Voor de verplaatsing u wordt dus gevonden het parabolische verloop (zie ook figuur 1.2), gegeven door:

1 2 1

EAu = - 2" qox + qolx = 2" qox(2l-x) Extreme waarden zijn:

N(x=o) = qol EAu(x=L)

=

t

qol2

(randextreem)

(randextreem, tevens gewoon extreem)

Merk op dat u extreem is als N gelijk is aan nul.

( 1.10)

Geval B. Het volgende geval betreft een staaf met lengte l die aan beide zijden wordt vastgehouden en die wederom is belast met een gelijkmatig verdeelde belasting (figuur 1.3). In dit geval zijn de randvoorwaarden:

x

=

0: u

=

0

x

=

l: u

=

0

Substitutie van de eerste randvoorwaarde in vergelijking (1.8) leidt tot: C₂ = O. Substitutie van de tweede randvoorwaarde in vergelijking (1.8) leidt tot: Cl =

t

qol. V90r de nonna~lkracht e~ de verplaatsing wordt dus respectievelijk gevonden:

i 1

N =.-qox _. + _·-_{2 2} qol = qo(-l-x) (1.11)

-1 2 1 1

EAu

= -

2" qox + 2" qolx

=

2" qox(l -x) (1.12) Het verloop van N en u is weergegeven in figuur 1.3.

x q

,lll

i

~

H;

~

;%

~~

J

III'

u=o u=o

Figuur 1.3.

Extreme waarden zijn:

1 1

N (x=o) = 2" qol, N(x=l) = - 2" qol (randextreem )

EAu(x=l/2)

=

t

qOP (gewoon extreem, waar N

=

0)

Voorbeelden

Eêll voor de hand liggend voorbeeld van geval A is de verticale prismatische homo-gene kolom, belast door het eigengewicht (figuur 1.4). De constante belasting qo is gelijk aan -yA, waarin: y = volumiek gewicht van het materiaal (y = pg), A = opper-vlakte van de doorsnede.

Een wat onverwachter voorbeeld vinden we bij de randstaven van een hypparschaal

(een schaal in de vorm van een hyperbolische paraboloïde) als weergegeven in figuur 1.5. Langs de rechte begrenzingen AC, AD, BC en BD van het oppervlak zijn staven van geringe doorsnede aangebracht. Deze worden door de schaal belast met een verdeelde axiale belasting zoals voor staaf AC is weergegeven. De belasting op het oppervlak wordt zo overgebracht naar de vaste steunpunten A en B.

Bij een verticale belasting op het schaaloppervlak die constant is indien hij is opgegeven als kracht op een oppervlakje gedeeld door de projectie van het oppervlakje op het horizontale vlak, is deze verdeelde belasting op de randbalken eveneens constant.

Een ander voorbeeld betreft een tonschaal, dat is een cilindrische schaal voorzien van randstaven aan de rechte randen (figuur 1.6), die veel wordt gebruikt voor de overdekking van industriehallen.

Op rek belaste staven 23

c c

x

Figuur 1.4. Figuur 1.5.

Deze randstaven worden door de schaal belast met een verdeelde axialebelasting die in lengterichting bij benadering lineair varieert en waarbij het nulpunt in het midden van de overspanning van de balk ligt (zie figuur 1.6).

De staaf wordt hierdoor op rek belast. Aan de lezer wordt overgelaten het verloop van de normaalkracht N en de verplaatsing u in deze randstaaf te bepalen, bijvoorbeeld indien aan het ene uiteinde geldt u = 0, en aan het andere uiteinde N = 0.

Figuur 1.6.

Het volgende voorbeeld betreft een plaat van onbepaalde lengte die rust op een ondergrond (figuur 1.7). Men kan hierbij denken aan een wegdek. De plaat wordt aan het linker uiteinde voorgespannen door er een kracht F

=

P op uit te oefenen.

Opvolgende doorsneden van de plaat zullen daardoor naar rechts verplaatsen, waar-door wrijvingskrachten zullen ontstaan tussen de plaat en de ondergrond. Wordt aangenomen dat het hier Coulombwrijving betreft, dan zijn deze wrijvingskrachten uitsluitend afhankelijk van de contactdruk tussen plaat en ondergrond. Is deze constant dan zijn ook de wrijvingskrachten constant en wordt de plaat belast door een gelijkmatig verdeelde belasting go naar links. Hierdoor zal de normaalkracht N in de plaat, die aan het linker uiteinde gelijk is aan -P, in absolute grootte lineair afnemen en op een afstand l = P/go gelijk zijn aan nul. Rechts van dit punt is van voorspanning in het geheel geen sprake.

liggers met gebogen voorspankabels.

De staaf die in een medium wordt gedrukt komt men tegen als heipaal. De boven-belasting oefent op de paal een drukkracht uit. De grond oefent op de paal de zogenaamde mantelwrijving of kleef uit, waardoor de normaalkracht in de paal naar beneden afneemt en de kracht aan de punt kleiner is dan de bovenbelasting. Het zou te ver voeren om hierop nader in te gaan.

x

Figuur 1.7. Figuur 1.8.

Een afwijkende probleemstelling wordt in het volgende vraagstuk gegeven. Een kolom met variabele oppervlakte van de doorsnede A(x) draagt een bovenbelasting F

=

P, zodat daar geldt N

=

-P (figuur 1.8).

De belasting wordt verder gevormd door het eigen gewicht: q(x) = yA(x), waarin y het volumiek gewicht van het materiaal is.

Geëist wordt dat in alle doorsneden dezelfde spanning aanwezig is, gelijk aan een vastgestelde toelaatbare spanning -0"0 zodat een, optimaal materiaal verbruik wordt verkregen. Gevraagd wordt welke vorm de kolom moet hebben om aan deze eis te voldoen, of met andere woorden het verloop van de doorsnede als functie van de hoogte.

Met de gestelde eis is de normaalkracht N = -AO"o en is dus

dN

=

-0"0 dA

dx dx

Met de eerder gegeven belasting q gaat vergelijking (1.1) over in:

dA dA Y

yA=O"o- of: - - - A = O

dx dx 0"0

De oplossing van deze vergelijking luidt: A = C e(Y/cro)x. De integratieconstante C volgt uit de randvoorwaarde voor x = 0, waar geldt: A = Ao =

..E.

0"0

Substitutie hiervan in bovenstaande vergelijking geeft: C

=

Ao. Voor het verloop van de doorsnede wordt dus gevonden:

Op rek belaste staven 25 Deze neemt naar beneden exponentieel toe.

De vormverandering ê is constant: ê

= -

~

en de verplaatsing u is een lineaire functie: u

=

~

(1- x) met u

=

0 voor x

=

l

Opgave

Het voor de drie onderstaande belastingsgevallen in de figuren weergegeven verloop van de normaalkracht N en de verplaatsing u te verifiëren en de extreme waarden te bepalen. x x x

011-..

..

...

~

.

..

.

.

; 4 •.. -'11>111 u=o u=o

,,1"++'

;

;,4.

.

~

·

;,p.fl

ll

0 u=o u=o

.\

~ ~ q=q,.!. I q z q,5In~

J

'4lll

IIIII

llllllIIIilll},

J

~

J

J~J~

Figuur 1.9. Figuur 1. 10. Figuur 1. 11.

1.3. Randvoorwaarden en overgangsvoorwaarden

We keren terug naar de theorie en willen nader ingaan op randvoorwaarden en

over-gangsvoorwaarden.

Tot nu toe was er sprake van prismatische staven en van continue belastingsfuncties. De differentiaalvergelijking kon eenvoudig worden opgelost en de integratieconstanten konden worden bepaald met behulp van de randvoorwaarden. Aan elk van de beide uiteinden van de staaf was Of de normaalkracht N, Of de verplaatsing u voor-geschreven.

Gecompliceerder wordt het als in de staaf verschillende delen moeten worden onder-scheiden, in figuur 1.12 aangegeven met Romeinse cijfers.

Bij de overgang van één deel naar een volgend deel gelden dan overgangsvoor-waarden.

n

nr

1 rvw 20vw 20vw 1 rvw

Figuur 1. 12.

Overgangen treden op waar sprake is van:

een discontinuïteit in de belastingsfunctie, zoals bijvoorbeeld is aangegeven in figuur 1.13.

q 11111111111111111111111111111111111

1

EAr EAu

Figuur 1. 13. Figuur 1. 14.

een discontinuïteit in de stijfbeidsfunctie, zoals bijvoorbeeld is aangegeven in figuur 1.14.

een geconcentreerde kracht zoals is aangegeven in figuur 1.15. De verdeelde belasting q vertoont dan een singulariteit, dat wil zeggen in het aangrijpingspunt van de kracht is de waarde van de functie q(x) oneindig groot.

Figuur 1.15.

I···)};:i&@\;m;$~;i F

Figuur 1. 16.

een vasthoudpunt (oplegging), aangegeven in figuur 1.16. Hier zal in het algemeen een geconcentreerde reactiekracht aanwezig zijn.

Voor elk van de te onderscheiden delen van de staaf kunnen "veldvergelijkingen" worden opgesteld, waarvan de algemene oplossing twee integratieconstanten bevat. Bij elke overgang gelden twee overgangsvoorwaarden. In het voorbeeld van figuur 1.12 zijn er dus vier overgangsvoorwaarden. Samen met de randvoorwaarde aan het linker en de randvoorwaarde aan het rechter uiteinde van de staaf is dit juist voldoende voor het bepalen van de zes integratieconstanten. De overgangsvoorwaarden hebben betrekking op respectievelijk de verplaatsing u en de normaalkracht N. We voorzien deze grootheden van een index, die aangeeft op welk deel van de staaf zij betrekking hebben. Voor de overgang van een deel I naar een deel 11 zullen in het algemeen de volgende voorwaarden gelden:

UI

=

Uil (1.13)

Op rek belaste staven 27

De eerste vergelijking berust op de continuïteit of de samenhang van de materie. Hij wordt ook wel compatibiliteitsvergelijking genoemd. De tweede vergelijking volgt direct uit het beginsel actie = reactie (derde wet van Newton).

Bij een discontinuïteit in de belasting, zoals de sprong in figuur 1.13 en bij een discontinuïteit in de stijfueidsfunctie, zoals de sprong in figuur 1.14, zal aan de beide overgangsvoorwaarden zoals geformuleerd in (1.13) en (1.14) moeten zijn voldaan. In het geval van een geconcentreerde kracht F (figuur 1.15) moet vergelijking (1.14) worden vervangen door:

( 1.15) wat direct volgt uit het evenwicht van een tussen de beide staafdelen gelegen klein elementje dx, waarop de kracht F wordt geacht aan te grij~en (figuur 1.17). In het verloop van de normaalkracht treedt dus een sprong op.

x

Figuur 1. 17.

Bij een vasthoudpunt geldt dat beide verplaatsingen gelijk zijn aan nul. Daar geldt dus:

UI

=

uIl

=

0 (1.16)

In dit geval kan ook worden gesproken van een randvoorwaarde voor het linkerdeel en een randvoorwaarde voor het rechterdeel van de staaf. De beide staafdelen beïnvloeden elkaar niet.

Randvoorwaarden kunnen worden beschouwd als een bijzonder geval van overgangs-voorwaarden, waarbij verplaatsingen of normaalkrachten aan het einde van een staaf-deel direct zijn voorgeschreven. Krachten F die aan een uiteinde aangrijpen (figuur 1.18), worden positief gerekend als zij werken in positieve x-richting. Normaal-krachten zijn positief als het trekNormaal-krachten zijn. Men lette daarom op het teken van N.

Gecompliceerder wordt het als een staaf aaI;! een uiteinde verbonden is met een veer. Een veer is een element, waarvoor een algebraïsche relatie geldt tussen de erop uitgeoefende kracht F en de verplaatsing u van het aangrijpingspunt van deze kracht (figuur 1.19). Voor een lineair elastische veer is dit de relatie F

=

ku, waarin de evenredigheidsconstante k de veerconstante wordt genoemd. Voor de normaalkracht in de beide veren van figuur 1.19 geldt dus respectievelijk: N = ku en N = -ku. Voor de

staaf in figuur 1.20, aangeduid -met II, die aan beide einden verbonden is met veren kunnen nu de randvoorwaarden worden afgeleid.

Figuur 1. 18. Figuur 1. 19. Figuur 1.20. 111,)",,,,,,,,,,,,,,'"'''''';;''''' '''''''''''''''''! -u=O N=F F

11fvNvvw---:

~u F= ku N = ku Op de overgang I - 11 geldt: UIl

=

UI

Op de overgang 11 - III geldt:

U'"

=

UIl ~ p ,., .. . ,.'i· ""'i''''''''''''''''''''. ",111 N=-F u.O }

~

N"

=

ku" ~ N"

=

-kuIl N"

=

N

m

}

~ N"

=

-kum

}

en N",

=

-ku", (1.17) (1.18)

In de plaats van twee overgangsvoorwaarden aan elk van de beide uiteinden van staaf

11 komt bij een zogenaamde verende ondersteuning in elk van de uiteinden één enkele randvoorwaarde, in de vorm van een relatie tussen de normaalkracht N en de verplaatsing u bij het beschouwde uiteinde. Hieruit kunnen als bijzondere gevallen worden afgeleid:

- de randvoorwaarde voor een vrij uiteinde:

met k

=

0 wordt gevonden: N

=

O.

- de randvoorwaarde voor een vast uiteinde:

Op rek belaste staven 29

De voorafgaande eenvoudige beschouwingen zijn wezenlijk voor het vervolg. Over-eenkomstige situaties doen zich voor bij belasting van een staaf op afschuiving, wringing of buiging.

Enkele concrete gevallen

We behandelen een aantal gevallen waarbij de consequenties van verschillende discontinuïteiten en het effect van een verende ondersteuning voor het verloop van de normaalkracht en de verplaatsing zichtbaar worden.

Geval C. Dit geval betreft een prismatische staaf, met lengte I, die aan beide zijden

wordt vastgehouden en die slechts over de linker helft wordt belast met een gelijkmatig verdeelde belasting qo (figuur 1.21). Voor het linkerdeel van de staaf gelden de oplossingen (zie de vergelijkingen (1.7) en (1.8), nu aangeduid met de index 1):

N,=-qox+C 1

EAul =

-t

qox2 + C1x + C2

Voor het rechterdeel van de staaf luiden de oplossingen (aangeduid met de index ll):

De randvoorwaarden zijn:

voor x = 0: u, = 0 en voor x = I: UIl

=

0

x u=O u=O \. 1/2 1/2

r

qoIlllllllIlIllIlI1

q I I

r1lllllllllllllllt-t

%1

[

t~ll

N I I I I Figuur 1.21.

De overgangsvoorwaarden zijn:

I

voor x

=

2"/: UI

=

UIl en NI

=

NII Uit de eerste randvoorwaarde volgt: C2

=

O. Uit de tweede randvoorwaarde volgt: C₃I + C4

=

O.

De eerste overgangsvoorwaarde leidt tot:

-i

qo[2+ Cl

=

t

C3I + C4.

De tweede overgangsvoorwaarde leidt tot:

-t

qol + Cl

=

C3·

Uit de laatste drie vergelijkingen volgt:

Cl

=1

qol, C3

= -

k

qol, C4

=

k

qoP Gevonden wordt:

3 I

NI

=

qoCs/- x), NII

=

-sqol

I I

EAuI = s qoxC31 - 4x), EAuII = s qolCi - x)

Deze uitkomsten zijn in figuur 1.21 weergegeven. De reactiekracht van het linker vasthoudpunt is

~

qol, die van het rechter vasthoudpunt is

t

qol. Het extreem van de verplaatsing bevindt zich op een afstand

f

I van het linker vasthoudpunt.

Geval D. In dit geval bestaat de staaf uit twee even lange prismatische delen. Het linkerdeel bezit een stijfheid EAJ, het rechterdeel een stijfheid EAu. De staaf is over zijn gehele lengte belast met een gelijkmatig verdeelde belasting qo Cfiguur 1.22). Voor het linkerdeel van de staaf gelden de oplossingen:

Figuur 1.22. 1/2 1/2

'I

I

qoIlllllllllllllllllllllllllllllll1

q I I 1 I x

Op rek belaste staven 31

NI =-qox + Cl

EAI UI = -f qox2 + Clx + C2

Voor het rechterdeel van de staaf gelden de oplossingen:

De randvoorwaarden en overgangsvoorwaarden zijn dezelfde als in het vorige geval: voor x = 0: U, = 0 en voor x = i: Un = 0

I

voor x = 2i: U, = Un en N, = Nn

Bij de uitwerking van deze voorwaarden wijken we af van deze volgorde en behandelen eerst de laatste voorwaarde.

Deze leidt tot de vergelijking: - f qoi + Cl = - f qoi + C 3·

Hieruit volgt: Cl = C3 en dus NI = - _{qox + Cl en ook Nn = - qox + Cl. Voor NI en} Nn geldt dus dezelfde uitdrukking.

Algemeen geldt: is de belasting q(x) door één enkele functie gegeven, dan geldt ook , voor de normaalkracht N(x) slechts één uitdrukking omdat uit de

evenwichts-vergelijking (l.1) volgt dat N wordt verkregen door directe integratie van q. Uit de eerste randvoorwaarde volgt: C2 = o.

Uit de tweede randvoorwaarde volgt: C4 =f qoi2 - Cli. Uit de eerste overgangsvoorwaarde volgt:

1 I 2 I 1 I 2 I

- ( -- qoi + - C Ii) = - ( - - qoi + - C li + C4)

EA, 8 2 EAu 8 2

Voor de uitwerking kiezen we EA, = 2EAn. Voor de nog onbekende constanten volgt dan: Cl = C3 = 172 qoi, C4 = -

12

qOP.

Gevonden wordt:

Deze uitkomsten zijn in figuur 1.22 weergegeven.

De reactiekracht van het linkervasthoudpunt blijkt te zijn 172 qoi. De reactiekracht van het rechtervasthoudpunt blijkt te zijn

t2

qoi. In het verloop van de verplaatsing u treedt bij x = f i een knik op. Op een afstand van 152 i van het rechter vasthoudpunt bevindt zich een extreem.

Kleine variaties in de oplossingsprocedure kunnen soms bekortingen opleveren. Zo kan het aanbeveling verdienen voor staafdeel 11 een nieuwassenstelsel te kiezen met de oorsprong op de overgang van staaf 1 naar staaf 11 of met de oorsprong in het

rechter-uiteinde. Het vinden van dergelijke varianten in de oplossingsprocedure kan aan de lezer worden overgelaten.

Geval E. In dit geval is de prismatische staaf aan de rechterzijde verend gesteund (figuur 1.23). De belasting is wederom over de gehele lengte gelijkmatig verdeeld. De algemene oplossingen zijn reeds gegeven met de vergelijkingen (1.7) en (1.8). De randvoorwaarden zijn nu:

Figuur 1.23. voor x = 0: u = 0 voor x

=

I: N

=

-ku u=O N=-ku

I·

-I

q

1

qoIIIII""

11111 "111" " 11 "" 11I1

J

Uit de eerste randvoorwaarde volgt:

C2 =0

Uit de tweede randvoorwaarde volgt:

C k I 2

-qol+ I =-EA (-2qol +CIl)

Voor de uitwerking kiezen we

~

=

4* , waarna volgt Cl

=

~

qol. Er wordt dan gevonden:

3 N

= -

qox + :5 qol

EAu

=

-t

qox2 + ~ qo/x

Wordt de prismatische staaf ook als veer beschouwd, dan is zijn stijfheid EA/l. De stijfheid van de steunveer is dus 4x zo groot; er is hier sprake van een stijve veer.

Op rek belaste staven 33

Deze uitkomsten zijn in figuur 1.23 weergegeven.

We wiJlen nu nog twee gevallen behandelen waarbij alleen sprake is van een geconcen-treerde kracht, die aangrijpt in een willekeurig punt van de staaf. Met q = 0 volgt uit de vergelijking (1.1) en (1.5) respectievelijk:

(1.19) (1.20) Algemeen geldt: waar geen verdeelde belasting aangrijpt, is de normaalkracht constant en verloopt de verplaatsing lineair.

De te behandelen gevallen zijn zeer eenvoudig; zij kunnen met elementaire methoden gemakkelijk worden berekend. Het gaat ons echter om oplossingen die via dl' weg van differentiaalvergelijkingen kunnen worden verkregen. Vanwege de specifieke moeilijk-heid van de discontinuïteit, die bij aanwezigmoeilijk-heid van een geconcentreerde kracht optreedt, is het gewenst hieraan nog eens aandacht te geven, mede met het oog op later te behandelen analoge gevallen.

Geval F. De prismatische staaf in figuur 1.24, die aan het linkereinde wordt vastgehouden en die aan het rechtereinde vrij is, wordt in een willekeurig punt A belast met een geconcentreerde kracht P. Voor het deel van de staaf links van A geldt:

I

A ~11r71{C7' 0";lm;k~A,"";;~""';;"'";;,.""';,="'.]""'}t""'f;m;;\~<;I I p I u = 0 N= 0 x x t p

I

u=O u=O a a I I 1 I I ~oo I I 1111111111111111111

I

11111111111111 N Figuur 1.24. Figuur 1.25.

Voor het deel van de staaf rechts van A geldt:

De randvoorwaarden zijn: voor x = 0: UI = 0 voor x

=

I: N II

=

0 De overgangsvoorwaarden in A zijn:

voor x = a: UI = UIl en NI = NII + P Uit de eerste randvoorwaarde volgt: C2

=

o.

Uit de tweede randvoorwaarde volgt: C3

=

o.

Uit de .eerste" overgangsvoorwaarde volgt: C I a = ~4.

Uit

de

t~eede

overgangsvoorwaarde volgt: Cl

=

P. Hiennt~lgt: C4

=

aPo

De oplossingen worden dus: NI = P en NII = 0

EA UI

=

Px en EA UIl

=

aP

Deze uitkomsten zijn in figuur 1.24 weergegeven. Ter plaatse van het punt A treedt in N een sprong en in u een knik op.

Geval G. Het belastingsgeval is gelijk aan het vorige, maar de staaf wordt nu even-eens aan het rechtereinde vastgehouden (figuur 1.25). Er kan worden uitgegaan van de algemene oplossingen van het vorige geval. De randvoorwaarden zijn nu:

voor x = 0: UI = 0 voor x

=

I: UIl

=

0

De overgangsvoorwaarden in A zijn weer: voor x = a : u( = UIl en: NI = NII+P Uit de eerste randvoorwaarde volgt: C2

=

o.

Uit de tweede randvoorwaarde volgt: C₃1 + C4

=

o.

Uit de eerste overgangsvoorwaarde volgt: Cia

=

_C3a + C4 Uit de tweede overgangsvoorwaarde volgt: Cl

=

C₃ + P. Hieruit volgen de constanten

1-a

Cl = - 1- P, C3 = -

T

P, C4 = aP De oplossingen worden dus:

Op rek belaste staven 35

t-

a a

NI =-t-P, N" =

-y

P

i-a a

EA UI

=

-t-

Px, EA UIl

=

Y

P(l-x)

Deze uitkomsten zijn in figuur 1.25 weergegeven. Wederom treedt ter plaatse van het punt a in N een sprong en in U een knik op.

1.4. Temperatuursinvloeden, krimp- en

zwellings-verschijnselen

Zoals bekend veroorzaakt een verandering van temperatuur bij een staaf een lengte-verandering. Wordt deze lengteverandering verhinderd of belemmerd, dan ontstaan spanningen. Temperatuursveranderingen zijn dan ook een belangrijke bron van spanningen met alle gevolgen vandien, zoals scheurvorming in betonplaten, uitknikken van spoorrails bij warm weer, breuk bij koud weer, enz.

Bij niet te grote veranderingen in temperatuur is de lengteverandering evenredig met de temperatuursverandering T, zodat voor de rek geschreven kan worden:

ê= aT (1.21)

waarin a de lineaire uitzettingscoëfficiënt van het materiaal is. Met [T]

=

oe,

is

[a]

= (

0C)-l.

Meer algemeen kan dus de rek in een staaf zowel een gevolg zijn van een normaal-kracht N (vergelijking 1.3) als van een temperatuursverandering T (vergelijking 1.21) en moet voor deze rek worden geschreven:

(1.3') Dit is de constitutieve vergelijking die in de plaats treedt van vergelijking (1.3), als er sprake is van temperatuursveranderingen. De vergelijking kan ook worden geschreven in de vorm:

N

=

EA(ê - aT)

De kinematische vergelijking blijft ongewijzigd. Er geldt ook nu dus:

ê

=

du

dx

Substitutie van deze uitdrukking in (1.3") leidt tot: N

=

EA(du - aT)

dx

Met deze vergelijking en de ongewijzigde evenwichtsvergelijking q=_dN

dx

( 1.3")

(1.5')

is het probleem van temperatuursspanningen in wezen beschreven.

Ook bij krimp- en zwellingsverschijnselen kunnen lengteveranderingen optreden, die onafhankelijk zijn van de belasting. Het onderzoek naar de gevolgen van deze ver-schijnselen verloopt op dezelfde wijze als het onderzoek naar de effecten van tempera-tuursveranderingen. Daartoe behoeft in de constitutieve vergelijking (1.3') slechts de term aT te worden vervangen door Ek, als Ek de rek is die zou optreden als de lengte-verandering tengevolge van het verschijnsel niet wordt belemmerd.

Bij niet-homogene doorsneden staat het symbool EA in de vergelijkingen (1.3") en (1.5') voor de resulterende stijfheid, de lineaire uitzettingscoëfficiënt voor de staaf moet echter nog worden bepaald.

We lichten dit toe aan de hand van een uit twee materialen samengestelde doorsnede, zoals bijvoorbeeld is gegeven in figuur 1.26. Ook al ondervindt de staaf bij een tempe-ratuursverandering geen belemmering, dan zullen in een doorsnede toch normaal-krachten ontstaan, die een evenwichtssysteem vormen.

Figuur 1.26. Er geldt:

Uit de voorwaarde dat vlakke doorsneden vlak blijven volgt dat de rekken in beide materialen gelijk zijn:

zodat ook geldt:

NI N2

EAI + alT = EA

2 + a2T

Op rek belaste staven 37

De resulterende uitzettingscoëfficiënt a is dus gelijk aan:

(1.22) De afzonderlijke uitzettingscoëfficiënten worden "gewogen" met de bijbehorende stijfheidsfactoren.

Als voorbeeld behandelen we een aan beide zijden vastgehouden prismatische staaf (figuur 1.27). Bij een langs de as van de staaf gelijkmatig verdeelde temperatuurs-stijging To is het probleem zeer eenvoudig.

Er kunnen geen verplaatsingen optreden en dus zijn ook de rekken overal gelijk aan nul. Uit vergelijking (1.3') dan wel (1.3") volgt dan dat in de staaf een constante drukkracht aanwezig is, gelijk aan:

N =-EA aTo

Bij een lineair verloop van de temperatuur (zie figuur 1.27) volgens T=Tot

gaan we uit van vergelijking (1.5'), die door substitutie van deze temperatuursfunctie over gaat in:

I

x '1Ir;;fHiMMi!H1MIllIHilll r

i

,[~"

I

Figuur 1.27.

Omdat op de staaf geen belasting werkt, is de normaalkracht N in de staaf constant:

No. Bovenstaande vergelijking laat zich dus eenvoudig integreren, wat leidt tot:

No 1 x2

U = - x +-aTo-+C

EA 2 l

Uit de randvoorwaarde u = 0 voor x = 0 volgt C

=

0 en uit de randvoorwaarde u = 0 I

voor x= I volgt No =

-2"

EA aTo·

Voor de verplaatsing u wordt vervolgens gevonden:

De uitkomsten zijn in figuur 1.27 weergegeven. In de staaf is een constante drukkracht aanwezig, die gelijk is aan de drukkracht die aanwezig zou zijn bij een constante temperatuur met een waarde gelijk aan de gemiddelde temperatuur in de staaf. Het is gemakkelijk in te zien dat deze uitkomst ook geldt bij een willekeurig temperatuurs-verloop. De verplaatsingen verlopen parabolisch met een extreem in het midden.

39

2

Op afschuiving belaste liggers

2.1. Inleiding

Liggers of balken zijn constructie-elementen, bedoeld om een belasting loodrecht op de balk- of liggeras te dragen. Onder zo'n belasting buigen zij zoals dat heet door, wat wil zeggen dat de belasting verplaatsingen veroorzaakt, zoals ieder kan waarnemen bij vloeren, daken, bruggen, spoorrails, enz. De belasting veroorzaakt in de ligger buigende momenten, waardoor deze wordt gebogen of gekromd (figuur 2.1). De

buiging of kromming gaat noodzakelijkerwijs gepaard met verplaatsingen loodrecht op de liggeras, die daarom doorbuigingen worden genoemd .

.

.

!

+

+

+

~'î

11111

o

r

M

Figuur 2. 1. Figuur 2.2.

Behalve buigende momenten veroorzaakt een belasting in de ligger echter ook dwars-krachten. De door de dwarskracht veroorzaakte vormverandering is in eerste aanleg een afschuiving. Doorsneden loodrecht op de as van een ligger worden daarbij evenwijdig ten opzichte van elkaar verplaatst zoals in figuur 2.2 is aangegeven. Van deze vormverandering kan ook een beeld worden verkregen door een vakwerk-ligger met evenwijdige randen te beschouwen die een belasting loodrecht op de liggeras draagt (figuur 2.3). Zoals bekend nemen de randstaven het buigend moment op, terwijl de dwarskracht wordt opgenomen door de wandstaven (diagonalen en verticalen). Wordt de rekstijfheid van de randstaven oneindig groot ondersteld zodat deze geen verlenging of verkorting ondergaan, dan zijn de verplaatsingen van de knooppunten uitsluitend een gevolg van de verlengingen en verkortingen van de wand staven en dus van de in de ligger aanwezige dwarskracht.

De verplaatsingen kunnen met behulp van een Williotfiguur op eenvoudige wijze worden bepaald. De verplaatsingen ten gevolg van afschuiving kunnen van verschil-lende grootteorde zijn. Vaak zijn zij klein ten opzichte van de verplaatsingen ten gevolg

Figuur 2.3.

van buiging en mogen zij worden verwaarloosd. Dit is met name het geval bij slanke liggers met volle doorsnede. Maar dit is niet altijd het geval. En in een volgend hoofdstuk zullen de vormveranderingen door buiging en afschuiving gezamenlijk worden beschouwd. Er zijn echter ook constructiesystemen waarbij overwegend of zelfs uitsluitend sprake is van afschuiving. Dit is met name het geval bij skeletvormige structuren, die hier in het bijzonder zullen worden onderzocht. Allereerst worden echter de vergelijkingen die het probleem beschrijven gegeven.

2.2. Afleiding van de differentiaalvergelijking

Van de prismatische ligger die belast is met een verdeelde belasting q(x), gelegen in het xz-vlak is in figuur 2.4 een elementje met lengte dx weergegeven. Deze belasting veroorzaakt in de staaf een dwarskracht D(x). De relatie tussen deze snedekracht en de belasting volgt uit een evenwichtsbeschouwing van het elementje, die hier zeer summier wordt gegeven. Werkt op de linkerdoorsnede een dwarskracht D, dan zal de dwarskracht op de rechterdoorsnede in het algemeen een andere waarde hebben, wat we aangeven met D + dD.

De evenwichtsvergelijking in de richting loodrecht op de as van de ligger luidt dus:

Figuur 2.4. -D. + q dx + D + dD = 0 of q=_dD dx

o+-____________

~ x w z,w (2.1)

Op afschuiving belaste liggers 41

Aangenomen wordt dat bij afschuiving de doorsneden uitsluitend een translatie in z-richting ondergaan volgens een verplaatsingsfunctie w(x). Zij kunnen dus niet roteren. Bij de voorbeelden van afschuifliggers wordt hieraan herinnerd doordat steeds één van beide uiteinden van twee opleggingen is voorzien.

De betrokken vormveranderingsgrootheid is nu de verandering y van de oorspronkelijk

rechte hoek tussen de as van de ligger en een doorsnede. Deze vormverandering wordt afschuiving genoemd. We nemen hierbij voorlopig aan dat de doorsneden vlak blijven. In de te behandelen toepassingen is aan deze voorwaarde voldaan.

De kinematische vergelijking, die het verband geeft tussen de vormverandering yen de hierdoor veroorzaakte verplaatsing w kan direct in figuur 2.4 worden afgelezen. Bij kleine waarden van y kan worden gesteld:

y=dw

dx (2.2)

Bij een lineair-elastisch materiaal zal er een lineaire relatie bestaan tussen de dwars-kracht en de hierdoor veroorzaakte vormverandering. De evenredigheidsconstante, die in voorkomende gevallen nader moet worden bepaald en die afschuifstijfheid wordt genoemd, duiden we aan met het tweelettersymbool GA. De constitutieve vergelijking wordt dan:

D =GA Y (2.3)

Het symbool GA is ontleend aan de theorie voor slanke liggers met volle doorsnede. Voor de schuifspanning in een doorsnede geldt de wet van Hooke in de vorm: 't

=

Gy

waarin G de glijdingsmodulus van het materiaal is. Indien de schuifspanning constant is over de doorsnede geldt: D = A't = GA Y als A de oppervlakte van de doorsnede voorstelt. Zoals bekend, is 't in het algemeen niet constant en moet aan deze uitdruk-king een correctiefactor worden toegevoegd. Men kan ook de oppervlakte A door een effectieve oppervlakte vervangen. Uit het voorbeeld van de vakwerkligger blijkt echter dat afschuiving ook voorkomt bij liggers waarbij geen schuifspanningen optreden en de grootheden G en A irrelevant zijn.

Om der wille van de uniformiteit in de behandeling duiden we bij niet-homogene doorsneden stijfheden aan met een tweelettersymbool. Het symbool GA leent zich hiervoor omdat het onmiddellijk met afschuiving wordt geassocieerd. In het algemeen hebben de afzonderlijke letters dus geen betekenis.

Het drietal vergelijkingen (2.1), (2.2) en (2.3) beschrijft volledig het gedrag van de op afschuiving belaste ligger. Zij kunnen worden vervangen door één enkele differentiaal-vergelijking van de tweede orde. Daartoe substitueren we vergelijking (2.2) in (2.3), wat leidt tot de volgende relatie tussen de verplaatsing w en de snedekracht D:

Differentiëren van deze vergelijking geeft: dD =GA d2w

dx dx2

Substitutie hiervan in (2.1) leidt tot de differentiaalvergelijking van de tweede orde, die het verband geeft tussen de belasting q(x) en de daardoor veroorzaakte verplaatsing w(x), uitsluitend als gevolg van afschuiving:

q =-GA d2w

dx2 (2.5)

De vergelijkingen (2.1) tJm (2.5) zijn in opbouw volkomen analoog aan de overeen-komstige vergelijkingen voor de op rek belaste staaf.

In de plaats van de rekstijtheid EA is nu de afschuifstijtheid GA getreden. Bij overeen-komstige randvoorwaarden kunnen dus ook analoge oplossingen worden verwacht.

2.3. Raamwerken (skeletten)

We willen hier in het bijzonder ingaan op de vervorming van skeletvormige construc- _

ties, zoals het raamwerk in figuur 2.5. In dit raamwerk hebben de kolommen een buigstijtheid EI en hebben de liggers of regels een oneindig grote buigstijtheid. De rekstijtheid van kolommen en liggers is eveneens oneindig groot verondersteld, zodat er geen vervormingen ten gevolge van normaalkrachten optreden. Een horizontale kracht H die in de top van het raamwerk aangrijpt veroorzaakt horizontale verplaat

-singen van de knooppunten omdat de kolommen worden gebogen.

Om deze verplaatsing te bepalen beschouwen we apart één verdieping van het raamwerk, zoals is weergegeven in figuur 2.6. Dit portaal wordt belast met een horizontale kracht H die aangrijpt op de bovenregel. De oneindig grote buigstijtheid van de regels leidt er toe dat de onderzijde en de bovenzijde van de kolommen geen rotatie ondergaan.

Halverwege de kolommen ontstaan buigpunten in de elastische lijn. Uit een elementaire berekening volgt dat de dwarskracht Di in een enkele kolom (figuur 2.7) gelijk is aan:

(2.6) Omdat de beide kolommen in het portaal van figuur 2.6 identiek zijn, is de horizontale kracht H die een verplaatsing I1w van de bovenregel teweeg brengt gelijk aan het dubbele van de dwarskracht in de enkele kolom.

Er geldt dus:

H EI: al

r

----+ I"""'T----, I 1 1 L -- -f - - + - - - j I I I I I 1---I I I I_-f-=::::...t--j I I X I I '-/--,;;;.;...;..;...+-/ I I I EI w Figuur 2.5. Figuur 2.7.

Op afschuiving belaste liggers 43

D.w

EI: al

H

h

Figuur 2.6.

Elke verdieping moet dezelfde horizontale kracht H overbrengen en voor elke verdieping wordt daarom hetzelfde verschil in verplaatsing Ll w tussen bovenregel en onderregel gevonden. Boven elkaar gelegen knooppunten blijven bij de vervorming dus op één rechte lijn liggen en het vervormingsbeeld dat de opvolgende regels tonen is gelijk aan het van afschuiving bekende beeld. Het raamwerk kan daarom als een afschuifligger worden beschouwd met een afschuifhoek:

Llw

y =

-h (2.8)

Voor de relatie tussen de totale door een doorsnede over te brengen dwarskracht D, die in dit geval gelijk is aan de horizontale kracht H en deze afschuifhoek y geldt dus:

(2.9) Dit beeld van de afschuifligger geldt uitsluitend voor de discrete doorsneden ter plaatse van de regels. Meer in detail bezien blijken de kolommen buiging te vertonen en de afschuifstijfheid v.:ordt dan ook geleverd door de buigstijfheid van de kolommen. In het volgende beschouwen we het raamwerk dat uit discrete elementen (de verdiepingen) bestaat, als een continue afschuifligger waarvoor de vergelijkingen (2.1) tot en met (2.5) gelden. Voor de afschuifhoek y geldt dan in de plaats van uitdrukking (2.8) vergelijking (2.2):

y=dw

dx (2.2)

De afschuifstijfheid GA in de constitutieve vergelijking (2.3) kan worden ontleend aan fonnule (2.9):

GA

=

24EI

h2

(2.10)

Is van een dergelijk raamwerk het verplaatsingsbeeld w(x) bekend, dan kunnen ook de buigende momenten in de kolommen gemakkelijk worden berekend. De kop- en . " voetmomenten in de kolommen worden respectievelijk gelijk aan:

1 1 1 1

Mk=+-D₂ -₂h' M =_{' v} - -₂ D-₂ h (2.11) Het verloop van de buigende momenten in de kolommen tussen deze beide waarden is lineair (zie figuur 2.5).

Indien de regels een eindige buigstijfheid bezitten die voor alle dezelfde is, met uitzondering van de bovenste en de onderste regel (figuur 2.8), dan verandert er in beginsel weinig. Wordt van elke regel de helft van de buigstijfheid toegekend aan de bovengelegen verdieping, en de helft aan de ondergelegen verdieping, dan kan elke verdieping als een raamwerk volgens figuur 2.9 worden beschouwd

Voor dit raamwerk is weer met elementaire methoden de relatie tussen de horizontale kracht H op de bovenregel en de bijbehorende verplaatsing f).w te bepalen, waaruit de stijfheidsfactor GA volgt. Voor GA wordt gevonden:

GA

=

24 1

h hIEl kolom + bIElregel (2.12)

De constructie is nu slapper. De knopen verdraaien, maar zij blijven wel op een rechte lijn liggen, Het beeld van afschuiving blijft. Bovenstaande beschouwing is natuurlijk alleen correct indien de buigstijfheid van de bovenste en de onderste regel de helft is van die van tussengelegen regels. Is dit niet het geval, dan treedt een kleine storing óp. Ook voor raamwerken met meer dan twee kolommen per verdieping (figuur 2.10)

r - - "

I I I

1----I

I

I-- - I - - - " - - - t I I I

,-I I x

L'--_--r--t

I I I w Figuur 2.8. Figuur 2. 10. .,j~ ~ h ,

#.

Op afschuiving belaste liggers 45

M

EI, Elk h EI, TTTTT

I

.

b

·1

Figuur 2.9. D~ Figuur 2. 11.

verandert er in beginsel weinig. Men beschouwt een elementaire cel, zoals weergege-ven in figuur 2.11. De totale door een doorsnede over te brengen dwarskracht D is gelijk aan de som van de door de afzonderlijke kolommen over te brengen dwars-krachten.

De kolommen werken samen. Later zullen we dit een parallelschakeling noemen. Hebben de regels een oneindig grote buigstijfueid, dan geldt