Entropia w mechanice kwantowej

Entropia w mechanice kwantowej

Krzysztof Golec–Biernat

Instytut Fizyki Jądrowej PAN w Krakowie

(9 listopada 2020)

Wersja robocza nie do dystrybucji

Kraków

2020

Spis treści

1 Operatory gęstości 4

1.1 Definicja . . . 4

1.2 Przykład 1 . . . 6

1.3 Ewolucja stanu kwantowego . . . 8

1.4 Entropia stanu kwantowego . . . 10

1.5 Replica trick . . . 11

1.6 Entropia Tsalisa i Rényiego . . . 13

2 Splątanie kwantowe 14 2.1 Definicja . . . 14

2.2 Entropia splątania . . . 15

2.3 Dowód Twierdzenia 5 . . . 18

2.4 Przykład 2 . . . 19

2.5 Ewolucja unitarna w przestrzeni H_X ⊗ H_Y . . . 21

3 Puryfikacja stanu mieszanego 23 3.1 Twierdzenie o puryfikacji . . . 23

3.2 Stan termalny . . . 24

3.3 Fermionowe stany termalne . . . 25

3.4 Bozonowe stany termalne . . . 30

Rozdział 1

Operatory gęstości

1.1 Definicja

W mechanice kwantowej stany kwantowe opisywane są liniowymi operatorami gęstości ρ działającymi w przestrzeniach Hilberta H,

ρ : H → H (1.1)

i zdefiniowanymi poprzez trzy warunki:

• hermitowskość: ρ^†= ρ

• unormowanie śladu: Trρ = 1

• dodatnia określoność: ρ ­ 0 <=> ∀ψ ∈ H, hψ|ρ|ψi ­ 0

Wybierając dowolna bazę stanów w przestrzeni Hilberta {φ_i}_i=1,2,..., skończoną lub nie, otrzymujemy macierz gęstości odpowiadającą operatorowi gęstości ρ

ρij = hφ_i|ρ|φ_ji (1.2)

Operator gęstości można wtedy zapisać przy pomocy elementów macierzy gęstości ρ =^X

i,j

ρ_ij|φ_iihφ_j| (1.3)

o czym łatwo się przekonać obliczając elementy (1.2).

Warunki definiujące operator gęstości przyjmują teraz następujacą postać:

• ρ^∗_ij = ρ_ji

• ^P_iρii= 1

• ρ_ii­ 0

Tak więc elementy diagonalne można interpretować jako rozkład prawdopodobień- stwa, natomiast wyrazy niediagonalne opisują interferencję stanów. Istnieją ograni- czenia na elementy niediagonalne wynikające z nierówności Schwartza. Jeżeli forma hermitowska ρ(φ, ψ) = hφ|ρ|ψi jest dodatnio określona to

|ρ(φ, ψ)|² ¬ ρ(φ, φ) · ρ(ψ, ψ) (1.4) Stąd dla dowolnego i 6= j otrzymujemy dla elementów macierzy gęstości

|ρ_ij|² ¬ ρ_iiρjj (1.5)

Równość dla każdego i, j określa stan kwantowy o maksymalnej interferencji (peł- nej koherencji kwantowej).

Stan czysty to stan spełniający warunek

ρ²= ρ (1.6)

Operator gęstości jest wtedy operatorem rzutowym, który można przedstawić jako

ρ = |ψihψ| (1.7)

gdzie ψ ∈ H. Aby znaleźć taki stan zdiagonalizujmy operator ρ w bazie stanów własnych {φ_i}. Wtedy macierz gęstości ma postać diagonalną

ρij = p_iδij (1.8)

Warunek czystości stanu prowadzi do wniosku

p²_i = p_i (1.9)

dla każdego i. Ponieważ

X

i

p_i =^X

i

p²_i = 1 (1.10)

stąd wniosek, że istnieje tylko jedna liczba p_i = 1 w tej sumie dla pewnego stanu i.

Oznacza to, że ρ = |φ_iihφ_i| czyli φ_i jest poszukiwanym stanem w relacji (1.7).

Niech A będzie dowolnym operatorem hermitowskim reprezentującym wielkość fizyczną. Wartość średnia takiego operatora w stanie ρ jest dane wzorem

hAi_ρ= Tr[Aρ] = Tr[ρA] (1.11)

Dla stanu czystego otrzymujemy relację znaną z mechaniki kwantowej

hAi_ρ= Tr(A|ψihψ|) = hψ|A|ψi (1.12) Ostatnią równość można otrzymać obliczając ślad liczony w dowolnej ortogonalnej i zupełnej bazie stanów {φ_i} w przestrzeni Hilberta H

hAi_ρ=^X

i

hφ_i|A|ψihψ|φ_ii =^X

i

hψ|φ_iihφ_i|A|ψi = hψ|A|ψi (1.13)

gdzie wykorzystaliśmy zupełność stanów bazowych X

i

|φ_iihφ_i| = 1 (1.14)

1.2 Przykład 1

Niech wiązka cząstek będzie utworzona poprzez fizyczne zmieszanie w proporcji N₁/N₂ cząstek o spinie ¹₂ spolaryzowanych wzdłuż dodatnich wartości osi z i takich samych cząstek spolaryzowanych wzdłuż dodatnich wartości osi x. Stan kwantowy wiązki jest opisany przez operator gęstości

ρ = p1|z + ihz + | + p₂|x + ihx + | (1.15) gdzie stany |z + i oraz |x + i to odpowiednio stany własne operatorów ¹₂σ_z i ¹₂σ_x do wartości własnych +¹₂, natomiast

p1= N1

N₁+ N₂, p2= N2

N₁+ N₂ (1.16)

tak, że

p1+ p₂= 1 (1.17)

Znajdziemy macierz gęstości operatora ρ w bazie stanów |z ± i, wykorzystując znaną z mechaniki kwantowej relację

|x + i = |z + i + |z − i

√2 (1.18)

Podstawiając ją do (1.15) otrzymujemy ρ =^p1+¹₂p2

|z + ihz + | +¹₂p2

|z − ihz − | + |z + ihz − | + |z − ihz + |^ (1.19) co prowadzi do macierzy hermitowskiej

ρij = p1+ p₂/2 p2/2 p2/2 p2/2

!

(1.20)

Łatwo sprawdzić, że warunek unormowania jest spełniony

(p₁+¹₂p₂) + ₂¹p₂ = p₁+ p₂ = 1 (1.21) Nie jest to stan czysty, gdyż w ogólności

ρ²6= ρ (1.22)

Warunek (1.5) określający siłę koherencji kwantowej stanu to

|ρ₁₂|² ¬ ρ₁₁ρ₂₂ (1.23)

co prowadzi do relacji

p²₂

4 ¬ p1p2

2 +p²₂

4 (1.24)

które jest zawsze spełniona. Pierwszy człon po prawej stronie jest odpowiedzialny za łamanie maksymalnej interferencji,

0 ¬ p₁p₂

2 = p₁(1 − p₁)

2 ¬ 1

8 (1.25)

wynosi zero tylko dla p₁= 0 lub p₂ = 0. W taki przypadku ρ jest stanem czystem ze 100% polaryzacją odpowiednio wzdłuż osi z lub x.

Macierz gęstości (1.20) można zdiagonalizować rozwiązując równianie

(p₁+ ¹₂p₂− λ)(¹₂p₂− λ) −¹₄p²₂= 0 (1.26) które daje

λ₁ ≡ P₁= ¹₂(1 +^p1 − 2p₁p₂)

λ2 ≡ P₁= ¹₂(1 −^p1 − 2p₁p2) (1.27)

gdzie z (1.25) wynika, że pierwiastek jest zawsze rzeczywisty oraz P₁ + P₂ = 1.

Prowadzi to do nowej postaci macierzy gęstości ρ_ij = P₁ 0

0 P₂

!

(1.28) w nowej bazie stanów

|n + i = cos φ |z + i + sin φ |z − i

|n − i = − sin φ |z + i + cos φ |z − i (1.29) gdzie

cos φ = s

P₁−¹₂p₂

P₁− P₂ (1.30)

Oznacza to, że oryginalny operator gęstości (1.15) można zapisać w formie niekohe- rentnej mieszanki tych stanów

ρ = P1|n + ihn + | + P₂|n − ihn − | (1.31)

1.3 Ewolucja stanu kwantowego

Operator ewolucji w mechanice kwantowej to operator unitarny

U (t) = e^−iHt/~ (1.32)

Dla dowolnego stanu kwantowego ψ otrzymujemy

|ψ(t)i = U (t)|ψ(0i (1.33)

co prowadzi do równania Schroedingera dla stanów i~d|ψ(t)i

dt = H|ψ(t)i (1.34)

Z definicji (1.7) operatora gęstości dla stanu czystego otrzymujemy

|ψ(tihψ(t)| = U (t)|ψ(0)ihψ(0) U^†(t) (1.35) Stąd po uogólnieniu postulat ewolucji dowolnego operatora gęstości

ρ(t) = U (t) ρ(0) U^†(t) (1.36)

Obliczając pochodna po czasie dostajemy i~dρ(t)

dt = Hρ(t) − ρ(t)H = [H, ρ(t)] (1.37) Jest to równanie Liouville’a dla operatorów gęstości. Wartość średnia obserwabli to

hAi_ρ(t)= Tr[ρ(t)A] = Tr^hρ(0) U^†(t)AU (t)ⁱ (1.38) Definiując operator

A_H(t) = U^†(t)A U (t) (1.39)

otrzymujemy wartość średnią w obrazie Heisenberga

hAi_ρ(t) = Tr[ρ(0) A_H] = hA_Hi_ρ(0) (1.40) Ważne są następujące twierdzenia:

————————————————————————————————————–

Twierdzenie 1

Ewolucja unitarna (1.36) zachowuje własności definicyjne operatora gęstości, o ile operator ρ(0) je posiada.

————————————————————————————————————–

Dowód. Hermitowskość jest spełniona

[ρ(t)]^†=^hU (t)ρ(0) U^†(t)^i†= U (t)ρ(0) U^†(t) = ρ(t) (1.41) Podobnie jest z normalizacją do jedynki

Trρ(t) = Tr^hU (t)ρ(0) U^†(t)ⁱ= Tr^hU^†(t)U (t)ρ(0)ⁱ= Trρ(0) = 1 (1.42) oraz z warunkiem dodatniej określoności dla każdego ψ ∈ H

hψ|ρ(t)|ψi = hψ|U (t)ρ(0) U^†(t)|ψi = hU^†(t)ψ|ρ(0)|U^†(t)ψi

= hψ|ρ(0)|ψi ­ 0 (1.43)

gdzie wykorzystaliśmy unitarność operatora ewolucji.

————————————————————————————————————–

Twierdzenie 2

Ewolucja unitarna (1.36) przeprowadza stan czysty w stan czysty.

————————————————————————————————————–

Dowód. Policzmy

[ρ(t)]² = U (t) ρ(0) U^†(t)U (t) ρ(0) U^†(t) = U (t) [ρ(0)]²U^†(t) = ρ(t) (1.44) gdzie wykorzystaliśmy, że [ρ(0)]² = ρ(0).

1.4 Entropia stanu kwantowego

Zdefiniujmy entropię von Neumanna S stanu kwantowego opisywanego operatorem gęstości ρ

S = −Tr(ρ ln ρ) (1.45)

przy założeniu, że Trρ = 1. Z twierdzenia spektralnego wynika, że istnieje baza orto- normalna φ_i, w której operator gęstości jest diagonalny

ρ =^X

i

p_i|φ_iihφ_i| (1.46)

gdzie p_i ­ 0 oraz

X

i

pi = 1 (1.47)

Licząc entropię w tej bazie otrzymujemy wzór S = −^X

i

p_iln p_i­ 0 (1.48)

Ważne jest następujące twierdzenie:

————————————————————————————————————–

Twierdzenie 3

Entropia von Neumanna stanu czystego wynosi zero.

————————————————————————————————————–

Dowód. Operator gęstości dla stanu czystego,

ρ = |ψihψ| (1.49)

ma tylko jedną niezerową wartość własną równą 1. Wybierając bowiem |ψi jako pierw- szy wektor bazowy widzimy, że (1.49) jest rozkładem spektralnym operatora ρ. Z jed- noznaczności tego rozkładu wynika: p₁ = 1 i p_i>1 = 0. Stąd entropia von Neumanna jest równa zero na podstawie wzoru (1.48).

Pojęcie entropii von Neumanna wymaga komentarza, mając w tle rozważań en- tropię Boltzmanna zdefiniowaną dla układów klasycznych. Niezerowa entropia Bolt- zmanna, zwana także entropią gruboziarnistą, pojawia się w wyniku niepełnej informacji o układzie klasycznym, jaką jest dokładna znajomość położeń i pędów wszystkich cząstek układu. Jeżeli znamy je jedynie z pewną dokładnością to pojawia się ich rozkład prawdopodobieństwa w układach, który pozwala zdefiniować niemale- jącą w czasie wielkość będącą entropią Boltzmanna.

W przypadku mechaniki kwantowej, stany czyste określają maksimum informa- cji, która jest dostępna w eksperymencie. Pomimo, probabilistycznego charakteru wyników pomiarów w mechanice kwantowej jest to stwierdzenie o charakterze funda- mentalnym, które nie wynika z ograniczeń pomiarowych. Stąd równa zeru entropia von Neumann stanu czystego. Stan mieszany zawiera jednak niepełną informację o układach kwantowych. W Przykładzie 1 rozważyliśmy dwie wiązki kwantowych czą- stek, które zostały zmieszane w określonej proporcji. Proces klasycznie rozumianego mieszania jest tutaj elementem prowadzającym do utraty pełnej informacji o wypad- kowym układzie kwantowym jakim są dwie zmieszane wiązki. Nie sposób, bez na- ruszenia drugiej zasady termodynamiki, rozseparować je na dwa początkowe układy kwantowe. Stąd niezerowa entropia von Neumanna.

Istnieje drugi, bardziej fundamentalny, mechanizm prowadzący do niezerowej en- tropii von Neumanna, będącej przejawem utraty pełnej informacji o układzie kwanto- wym. Rozważmy stan czysty układu kwantowego, który w bazie zupełnego układu obserwabli przyjmuje postać macierzy z niediagonalnymi elementami spełniającymi związek maksymalnej interferencji, określony przez równość w relacji (1.5). Jeżeli umieścimy taki układ w makroskopowym otoczeniu, z którym on oddziałuje, nastę- puje dekoherencja polegająca na utracie efektu kwantowych interferencji i znika- niu pozadiagonalnych elementów macierzy gęstości stanu czystego. W wyniku tego otrzymujemy stan mieszany układu z diagonalną macierzą gęstości, co prowadzi do niezerowej entropii von Neumanna.

1.5 Replica trick

Entropię S można również policzyć stosując tzw. "replica trick" polegający na wyko- rzystaniu definicji logarytmu operatora jako

ln ρ = lim

n→1

ρⁿ⁻¹− 1 n − 1

!

(1.50) i wtedy entropia

S = −Tr

"

ρ lim

n→1

ρⁿ⁻¹− 1 n − 1

!#

(1.51) Stąd otrzymujemy

S = − lim

n→1Tr

ρⁿ− ρ n − 1



= − lim

n→1

Trρⁿ− 1

n − 1 = − ∂

∂nTrρⁿ     n=1

(1.52)

gdzie wykorzystaliśmy Trρ = 1. Wynik (1.52) można zapisać również w formie S = − ∂

∂nln(Tr ρⁿ)     n=1

(1.53) gdyż

∂

∂nln(Trρⁿ)     n=1

=

 1 Trρ

∂

∂nTrρⁿ

    n=1

= ∂

∂nTrρⁿ     n=1

(1.54)

Ze wzoru (1.53) wynika następujace twierdzenie:

————————————————————————————————————–

Twierdzenie 4

Ewolucja unitarna (1.36) operatora gęstości zachowuje entropię: S(t) = S(0).

————————————————————————————————————–

Dowód. Policzmy bowiem

Tr[ρⁿ(t)] = Tr[U (t)ρⁿ(0)U^†(t)] = Tr[U^†(t)U (t)ρⁿ(0)] = Tr[ρⁿ(0)] (1.55) i stąd S(t) = S(0)

Czasami wygodnie jest używać nieunormowany operator gęstości ρ. Normując go do jedynki, wprowadzamy operator gęstości

ρ =ˆ ρ

Trρ (1.56)

oraz entropię

S = −Tr( ˆρ ln ˆρ) (1.57)

Wykorzystując (1.50), otrzymujemy S = −Tr

 ρ Trρln

 ρ Trρ



= − lim

n→1Tr

 1 n − 1

 ρⁿ

(Trρ)ⁿ − ρ Trρ



= − lim

n→1

 1 n − 1

 Trρⁿ (Trρ)ⁿ − 1



(1.58) Tak więc

S = − ∂

∂n

 Trρⁿ [Trρ]ⁿ

    n=1

(1.59) lub co łatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem

S = − ∂

∂n



ln Trρⁿ [Trρ]ⁿ

    n=1

(1.60)

1.6 Entropia Tsalisa i Rényiego

Nie wykonując granicy n → 1 w równaniu (1.52), otrzymujemy entropię Tsalisa S_T(n) = Trρⁿ− 1

1 − n (1.61)

Możemy ją policzyć jako funkcję naturalnego n = 1, 2, . . .. Przedłużając analitycznie otrzymany wynik na zespolone n i wykonując granicę n → 1, dostajemy entropię von Neumanna

n→1limS_T(n) = lim

n→1

Tr(ρⁿ− ρ) 1 − n = Tr

"

ρ lim

n→1

ρⁿ⁻¹− 1 1 − n

#

= −Trρ ln ρ (1.62) gdzie wykorzystaliśmy definicję (1.50) logarytmu operatora.

Zdefiniujmy także entropę Rényiego

S_R(n) = ln Trρⁿ

1 − n (1.63)

Podobnie jak poprzednio, policzmy ją dla naturalnych n i przedłużmy analitycznie na płaszczyznę zespolonego n. Licząc granicę n → 1, otrzymamy także entropię von Neumanna. Rzeczywiście, w bazie własnej operatora ρ mamy

n→1limSR(n) = lim

n→1

ln (^P_kpⁿ_k)

1 − n = − lim

n→1

ln^P_ke^{n ln pk}

n − 1 (1.64)

Stosując regułę de l’Hospitala dostajemy

n→1limSR(n) = − lim

n→1

P

ke^{n ln pk} ln p_k P

ke^{n ln pk} = − P

kpkln p_k P

kp_k = −^X

k

pkln p_k (1.65)

Rozdział 2

Splątanie kwantowe

2.1 Definicja

Mamy do czynienia z dwoma rozróżnialnymi układami kwantowymi X i Y , na przy- kład układ X i otoczenie (reszta Wszechświata) Y , których stany są opisywane przy pomocy dwóch przestrzeni Hilberta, H_X i H_Y. Załóżmy, że całość jest opisywana czystym stanem kwantowym, należącym przestrzeń Hilberta

H_tot = H_X ⊗ H_Y (2.1)

Bez straty ogólności przyjmijmy, że N_X = dimH_X ¬ N_Y = dimH_Y.

Wybierzmy dowolną bazę ortonormalną {x_i} w przestrzeni H_X i analogiczną bazę {y_j} w przestrzeni H_Y. Dowolny stan układu |zi ∈ H_tot to kombinacja liniowa

|zi =

N_X

X

i=1 N_Y

X

j=1

c_ij|x_i⊗ y_ji , c_ij ∈ C (2.2) gdzie warunek unormowania stanu prowadzi do następującego warunku dla współ- czynników rozwinięcia c_ij

hz|zi =

NX

X

i,i⁰=1 NY

X

j,j⁰=1

cijc^∗_i⁰_j⁰hx_i⁰⊗ y_j⁰|x_i⊗ j_ji

=

NX

X

i,i⁰=1 NY

X

j,j⁰=1

c_ijc^∗_i0j⁰hx_i⁰|x_iihy_j⁰|y_ji

=

NX

X

i,i⁰=1 NY

X

j,j⁰=1

c_ijc^∗_i0j⁰δ_ii⁰δ_jj⁰ =

NX

X

i=1 NY

X

j=1

|c_ij|² = 1 (2.3)

Wprowadźmy następującą definicję:

————————————————————————————————————–

Definicja

Stan |zi nazywamy splątanym jeśli nie istnieją wektory |xi ∈ H_X and |yi ∈ H_Y takie, że zachodzi

|zi = |x ⊗ yi (2.4)

————————————————————————————————————–

W świetle tej definicji rozkład (2.2) stanu |zi ∈ H_tot został dokonany w szczegól- nej bazie (bazie produktowej), która jest iloczynem tensorowym wektorów bazowych z przestrzeni H_X i H_Y. Dowolna transformacja unitarna U : H_tot → H_tot prowadzi do innej bazy w przestrzeni H_tot, w której rozkład stanu |zi będzie miał inne współ- czynniki. Zachowując jednak podział H_tot= H_X ⊗ H_Y, rozkład w bazie produktowej jest preferowany ze względu na to, iż przy jej pomocy określamy stopień splątania dowolnego stanu |zi ∈ H_tot, wykorzystując entropię splątania.

2.2 Entropia splątania

Operator gęstości dla stanu czystego (2.2) to

ρ = |zihz| =

NX

X

i,i⁰=1 NY

X

j,j⁰=1

c_ijc^∗_i⁰_j⁰|x_i⊗ y_jihx_i⁰ ⊗ y_j⁰| (2.5)

gdzie {x_i} ∈ H_X oraz {y_j} ∈ H_Y to ortonormalne wektory bazowe. Zdefiniujmy operator gęstości ρ_X, wyśredniowując po stanach układu Y .

ρ_X = Tr_HY(ρ) =

N_X

X

i,i⁰=1 N_Y

X

j,j⁰=1

c_ijc^∗_i⁰_j⁰|x_iihx_i⁰| Tr_HY(|y_jihy_j⁰|) (2.6)

Do obliczenia śladu możemy użyć dowolnej zupełnej bazy ortonormalnej w przestrzeni Y , np. {|y_ji},

Tr_HY(|y_jihy_j⁰|) =

NY

X

k=1

hy_k|y_jihy_j⁰|y_ki

=

NY

X

k=1

hy_j⁰|y_kihy_k|y_ji = hy_j⁰|y_ji = δ_jj⁰ (2.7)

gdzie skorzystaliśmy z zupełności bazy

NY

X

k=1

|y_kihy_k| = 0 (2.8)

Stąd

ρX =

NX

X

i,i⁰=1

X^NY

j=1

cijc^∗_i⁰_j^|x_iihx_i⁰| (2.9) Łatwo pokazać, że operator ρ_X spełnia wszystkie warunki operatora gęstości, anali- zując odpowiadającą mu macierz

[ρ_X]_ii⁰ =

NY

X

j=1

c_ijc^∗_i⁰_j, i, i⁰= 1, . . . , N_X (2.10)

• Jest to macierz hermitowska [ρ_X]^∗_ii0 =

NY

X

j=1

c_ijc^∗_i0j

∗

=

NY

X

j=1

c_i⁰_jc^∗_ij = [ρ_X]_i⁰_i (2.11)

• o śladzie równym jeden

NX

X

i=1

[ρ_X]_ii=

NX

X

i=1 NY

X

j=1

cijc^∗_ij =

NX

X

i=1 NY

X

j=1

|c_ij|² = 1 , (2.12)

• która jest dodatnio określona

[ρ_X]_ii=

NY

X

j=1

|c_ij|² ­ 0 (2.13)

Ostatni warunek oznacza, że wszystkie wartości własne macierzy gęstości są dodatnie.

Podobnie definiujemy operator gęstości dla stanu układu Y , wyśredniowując po stanach układu X,

ρY = TrH_X(ρ) =

NY

X

j,j⁰=1

X^NX

i=1

cijc^∗_ij^0|y_jihy_j⁰| (2.14) oraz odpowiadającą mu macierz gęstości

[ρ_Y]_jj⁰ =

NX

X

i=1

c_ijc^∗_ij0, j, j⁰= 1, . . . , N_Y (2.15)

Ważne jest następujące twierdzenie:

————————————————————————————————————–

Twierdzenie 5

Operatory gęstości ρ_X i ρ_Y mają a te same niezerowe wartości własne p_k> 0.

————————————————————————————————————–

Dowód tego twierdzenia jest przedstawiony w następnym rozdziale.

Z Twierdzenia 5 wynika, że entropie von Neumanna operatorów ρ_X i ρ_Y są takie same

SX = −Tr(ρ_Xln ρ_X) = −^X

k

pkln p_k= −Tr(ρ_Y ln ρ_Y) = S_Y (2.16) Stąd następująca definicja:

————————————————————————————————————–

Definicja

Wspólna wartość entropii, S_X = S_Y, nazywa się entropią splątania.

————————————————————————————————————–

Jest to dobra miara splątania, gdyż nie zależy od tego czy obliczamy ją z perspek- tywy układu X czy Y . Wymieńmy jej podstawowe własności.

1. Entropia splatania nie jest wielkością ekstensywną.

2. Stan czysty |zi ∈ H_X ⊗ H_Y jest maksymalnie splątany wtedy tylko wtedy, gdy entropia splątania jest maksymalna. Odpowiada to równym prawdopodo- bieństwom p_i= 1/N_X.

3. S_X = S_Y tylko dla stanu czystego, ρ = |zihz|. Dla dowolnego operatora gęstości ρ na ogół S_X 6= S_Y.

4. Dla stanu niesplątanego, |zi = |x ⊗ yi, entropia splątania wynosi zero. Licząc ρX oraz ρ_Y otrzymujemy

ρX = |xihx| , ρY = |yihy| (2.17)

Wybierając |xi ∈ H_X oraz |yi ∈ H_Y jako wektory bazowe w odpowiednich prze- strzeniach Hilberta widzimy, że (2.19) jest rozkładem spektralnym obu operato- rów. Z jednoznaczności rozkładu spektralnego mamy jedyne niezerowe wartości własne p_x= p_y = 1 i stąd S_X = S_Y = 0.

2.3 Dowód Twierdzenia 5

Zapiszmy stan czysty (2.2) przy użyciu użyciu bazy {˜x_i} ∈ H_X, która diagonalizuje operator gęstości (2.6)

ρX =

NX

X

i=1

pi|˜xiih˜xi| (2.18) gdzie

N ¬NX

X

i=1

p_i = 1 , p_i > 0 (2.19)

Sumowanie powyżej jest przeprowadzone tylko po N niezerowych wartościach wła- snych.

Stąd następująca postać stanu

|zi =

NX

X

i=1 NY

X

j=1

d_ij|˜x_i⊗ y_ji (2.20)

gdzie d_ij ∈ C to nowe współczynniki rozwinięcia. Definiując w przestrzeni HY wektory

|˜yii =

NY

X

j=1

dij|y_ji , i = 1, . . . , NX (2.21)

otrzymujemy

|zi =

NX

X

i=1

|˜x_i⊗ ˜y_ii (2.22)

Licząc ρ_X dla dowolnej ortonormalnej bazie zupełnej {y_k} ∈ H_Y, otrzymamy

ρ_X = Tr_HY(|zihz|) =

NX

X

i,i⁰=1

|˜x_iih˜x_i⁰|

NY

X

k=1

hy_k|˜y_iih˜y_i⁰|y_ki

=

NX

X

i,i⁰=1

h˜y_i⁰|˜y_ii |˜x_iih˜x_i⁰| (2.23)

Z jednoznaczności rozkładu spektralnego (2.18), znajdujemy ortogonalność stanów h˜y_i⁰|˜yii = p_iδ_ii⁰ (2.24)

Wektory bazy {˜x_i} ∈ H_X do niezerowych wartości p_i > 0 indukują więc część, N ¬ NX ¬ N_Y, ortogonalnych wektorów bazowych {˜yi} ∈ H_Y. Po ich unormowaniu, otrzymujemy następującą postać stanu czystego

|zi =

N ¬NX

X

i=1

√p_i|˜x_i⊗ ˜y_ii (2.25)

Policzmy operator gęstości ρ_Y dla stanu (2.25), licząc ślad w bazie {˜xi} ∈ H_X

ρ_Y = Tr_HX(|zihz| =

N ¬NX

X

i,i⁰=1

√p_ip_i⁰|˜y_iih˜y_i⁰|

N_X

X

k=1

h˜x_k|˜x_i⁰ih˜x_i|˜x_ki

=

N ¬NX

X

i,i⁰=1

√p_ip_i⁰|˜y_iih˜y_i⁰| δ_ii⁰

=

N ¬NX

X

i=1

pi|˜yiih˜yi| (2.26)

gdzie sumujemy po stanach odpowiadających niezerowym wartościom p_i. Z jedno- znaczności rozkładu spektralnego ρ_Y i warunku unormowania (2.19) wynika, że ρ_Y ma te same niezerowe wartości własne co ρ_X. Pozostałe wartości własne obu opera- torów gęstości są równe zeru.

2.4 Przykład 2

Rozważmy dwa nieoddziałujące spiny 1/2 i niech | ± i oznacza ich stany z rzutami

±1/2 na oś z, zdefiniowanymi w dwóch niezależnych przestrzeniach Hilberta H_1/2, w których stany te tworzą bazę zupełną. Rozważmy stan czysty

|ψi = | + −i ± | − +i

√2 ∈ H_1/2 ⊗ H_1/2 (2.27)

Odpowiadający mu operator gęstości to

ρ = |ψihψ| = | + −ih + −| ± | + −ih − +| ± | − +ih + −| + | − +ih − +|

2 (2.28)

Wprowadzając w przestrzeni produktowej stany bazowe

|1i = | + −i , |2i = | − +i , |3i = | + +i , |4i = | − −i (2.29)

możemy ten stan zapisać w postaci

ρ = |1ih1| ± |1ih2| ± |2ih1| + |2ih2|

2 (2.30)

co daje następującą macierz gęstości

ρ_ij =











1/2 ±1/2 0 0

±1/2 1/2 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0











(2.31)

Jej niezerowe wartości własne to λ = 1, gdyż

(¹₂ − λ)²− (¹₂)² = λ(λ − 1) = 0 (2.32) co potwierdza, że ρ jest stanem czystym z zerową entropią von Neumanna.

Licząc entropię splatania dla pierwszego spinu obliczmy ślad po stanach drugiego spinu otrzymując operator gęstości

ρ₁= Tr₂(ρ) = ¹₂| + i_{1 1}h + | + ¹₂| − i_{1 1}h − | (2.33) gdzie zaznaczyliśmy, że oba stany należą do przestrzeni Hilberta pierwszego spinu.

Podobnie licząc operator gęstości dla drugiego spinu, średniując po stanach pierwszego otrzymujemy

ρ2= Tr₁(ρ) = ¹₂| + i_{2 2}h + | + ¹₂| − i_{2 2}h − | (2.34) W obu przypadkach macierze gęstości są takie same

[ρ₁]_ij = [ρ₂]_ij = 1/2 0 0 1/2

!

(2.35)

a entropia splatania wynosi

S1 = S₂ = −¹₂ln₂¹−¹₂ln¹₂ = ln 2 (2.36) Stany te są maksymalnie splątane, gdyż prawdopodobieństwa są równe i wartość entropii splątania jest maksymalna.

2.5 Ewolucja unitarna w przestrzeni H

⊗ H

Rozważmy ewolucję unitarną stanu czystego (2.5),

|z(t)i = U (t)|zi =

N_X

X

i=1 N_Y

X

j=1

c_ijU (t) |x_i⊗ y_ji (2.37) Wprowadźmy elementy macierzowe operatora unitarnego U (t)

U (t) |xi⊗ y_ji =

NX

X

I=1 NY

X

J =1

U_{(IJ )(ij)}(t) |x_I⊗ y_Ji (2.38) Tak więc

|z(t)i =

NX

X

i,I=1 NY

X

j,J =1

U_{(IJ )(ij)}cij|x_I⊗ y_Ji (2.39) gdzie

U_{(IJ )(ij)}= U_{(IJ )(ij)}(t) (2.40)

Operator gęstości

ρ(t) = |z(t)ihz(t)| (2.41)

przyjmuje postać ρ(t) = ^X

iji⁰j⁰

X

IJ I⁰J⁰

U_{(IJ )(ij)}cijU_(I^∗0_J⁰_)(i⁰_j⁰₎ci⁰j⁰|x_I⊗ y_Jihx_I⁰ ⊗ y_J⁰| (2.42) natomiast macierz gęstości operatora ρ(t) to

[ρ(t)]_{(IJ )(I}0J⁰)= ^X

iji⁰j⁰

U_{(IJ )(ij)}U_(I^∗0J⁰)(i⁰j⁰)c_ijc_i⁰_j⁰ (2.43)

Obliczając operator gęstości ρ_X(t), otrzymujemy ρ_X(t) = TrH_Y(ρ(t)) = ^X

II⁰J

[ρ(t)]_{(IJ )(I}⁰_{J )}|x_Iihx_I⁰| (2.44)

Załóżmy, że stan początkowy jest niesplątany. Bez straty ogólności możemy go zdefiniować jako

|zi = |x₁⊗ y₁i (2.45)

co oznacza, że przyjęliśmy stany |x₁i oraz |y₁i jako wektory bazowe. Operatorowi gęstości ρ = |zihz| odpowiada macierz gęstości o współczynnikach

[ρ]_(ij)(i⁰_j⁰₎ = c_ijc_i⁰_j⁰ = δ_i1δ_i⁰₁δj1δ_j⁰₁ (2.46)

Tak więc, po czasie t, macierz gęstości (2.43) przyjmuje postać

[ρ(t)]_{(IJ )(I}0J⁰)= U_{(IJ )(11)}U_(I^∗0J⁰)(11), (2.47) natomiast macierz gęstości operatora (2.44) to

[ρ_X(t)]_II⁰ =^X

J

U_{(IJ )(11)}U_(I^∗0_{J )(11)} (2.48) Nie ma powodu by była to macierz stanu czystego w przestrzeni H_X, tzn. jedyna niezerowa wartość własna tej macierzy była równa 1. Tym samym entropia splątania SX nie musi być równa zeru, co oznacza, że stan |z(t)i może być splątany.

Udowodniliśmy, że ewolucja unitarna stanów w przestrzeni H_X⊗ H_Y może splą- tywać stany. Odwrotna sytuacja także nie jest wykluczona: ewolucja unitarna może również rozplątywać stany.

Rozdział 3

Puryfikacja stanu mieszanego

3.1 Twierdzenie o puryfikacji

Rozważmy operator gęstości ρ_X dla układu X reprezentujący stan mieszany. Powstaje pytanie czy istnieje stan czysty |zi ∈ H_X⊗ H_Y, dla którego zachodzi

ρ_X = Tr_HY (|zihz|) (3.1)

Innymi słowy, czy można "oczyścić" stan mieszany ρ_X poprzez dołączenie otoczenia Y do układu X tak, że powstaje splątany stan czysty układu+otoczenia? Odpowiedź na tak postawione pytanie jest pozytywna.

Dołączmy do stanów czystych |xi ∈ H_X układu X stany czyste |yi ∈ H_Y układu Y , tworząc iloczyny proste

|x ⊗ yi ∈ H_X ⊗ H_Y (3.2)

Wybierzmy w przestrzeni H_X ortonormalną bazę własną {|x_ii} operatora gęstości ρ_X, dla której ρ_X ma postać diagonalną

ρ_X =

NX

X

i=1

p_i|x_iihx_i| (3.3)

W przestrzeni H_Y wybierzmy dowolną bazę ortonormalną {|y_ji}. Załóżmy, że za- chodzi dimN_Y ­ dimN_X. Stan czysty

|zi =

NX

X

i=1

√p_i|x_i⊗ y_ii (3.4)

jest poszukiwanym stanem "oczyszczającym", gdyż spełnia równanie (3.1). Odpowia- dający mu operator gęstości to

ρ = |zihz| =

NX

X

i,i⁰=1

√pip_i⁰|x_i⊗ y_iihx_i⁰⊗ y_i⁰| (3.5)

i stąd

Tr_HY(ρ) =

NX

X

i,i⁰=1

√p_ip_i⁰

NY

X

k=1

hy_k|y_iihy_i⁰|y_ki|x_iihx_i⁰|

=

NX

X

i,i⁰=1

√pip_i⁰δ_ii⁰|x_iihx_i⁰|

=

NX

X

i=1

pi|x_iihx_i| = ρ_X (3.6)

Zauważmy, że stan |zi nie jest określony jednoznacznie, gdyż baza w przestrzeni H_Y jest wybrana dowolnie.

3.2 Stan termalny

Załóżmy, że w dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta H₂ mamy określony hamiltonian H oraz stan termalny zdefiniowany przez operator gęstości

ρβ = e^−βH

Tr e^−βH (3.7)

W bazie stanów własnych hamiltonianu

H|0i = 0 , H|1i = ω |1i (3.8)

gdzie stany własne tworzą bazę ortonormalną

h0|0i = h1|1i = 1 , h0|1i = h1|0i = 0 (3.9) otrzymujemy następująca macierz gęstości

[ρ_β]_ij = 1 1 + e^−βω

1 0

0 e^−βω

!

(3.10)

W jaki sposób można oczyścić taki stan?

Z twierdzenia o puryfikacji, wprowadźmy kopię ortogonalnej przestrzeń Hilberta H˜₂, a następnie wybierzmy w niej dowolną bazę ortonormalną, |˜0i oraz |˜1i,

h˜0|˜0i = h˜1|˜1i = 1 , h˜0|˜1i = h˜1|˜0i = 0 (3.11) Stany bazowe mogą być stanami własnymi hamiltonianu ˜H o tym samym spektrum co hamiltonian H

H|˜˜ 0i = 0 , H|˜˜ 1i = ω |˜1i (3.12) Stan oczyszczony należący do przestrzeni H₂⊗ ˜H₂ to

|0_βi = |0 ⊗ ˜0i + e^−βω/2|1 ⊗ ˜1i

√

1 + e^−βω (3.13)

gdzie zaznaczyliśmy, że jest on związany z parametrem β operatora gęstości.

Dowolną obserwablę F w przestrzeni H₂ rozszerzamy do przestrzeni H₂ ⊗ ˜H₂ porzez iloczyn tensorowy z operatorem jednostkowym w przestrzeni ˜H₂

F = F ⊗ ˜1 (3.14)

Wartość średnia operatora F w stanie |0i_β to

h0_β|F |0i_β = h0|F |0i + e^−βωh1|F |1i

1 + e^−βω = Tr(ρ_βF ) (3.15) Jest więc ona równa wartości średniej operatora F w stanie termalnym ρ_β.

Przedstawiony przykład ilustruje sposób obliczania wartości średnich z wielkości fizycznych w stanie termalnym poprzez podwojenie przestrzeni Hilberta H₁ do jej kopii H₂, a następnie konstrukcję stanu oczyszczonego, który używa się do obliczenia tych samych wartości średnich w przestrzeni H₁⊗ H₂,

Tr(ρ_βF ) = h0_β|F |0i_β (3.16)

3.3 Fermionowe stany termalne

Wprowadźmy fermionowe operatory kreacji i anihilacji, (a, a^†) w H₂ oraz (˜a, ˜a^†) w H˜₂, spełniające relacje antykomutacji

a² = ˜a² = (a^†)²= (˜a^†)² = 0 , {a, a^†} = {˜a, ˜a^†} = 1 (3.17)

i zapiszemy przy ich pomocy oba hamiltoniany

H = ω a^†a , H = ω ˜˜ a^†˜a (3.18) Definiując stan próżni |0i do wartości własnej E = 0 poprzez rownanie

a|0i = ˜a|˜0i = 0 (3.19)

oraz stany własne do wartości własnej E = ω,

|1i = a^†|0i , |˜1i = ˜a^†|0i (3.20) dostajemy dwie bazy ortonormalne w obu przestrzeniach,

h1|0i = h˜1|˜0i = 0 , h0|0i = h1|1i = h˜0|˜0i = h˜1|˜1i = 1 (3.21) Z reguł anytkomutacji wynika

a^†|1i = ˜a^†|˜1i = 0 , a|1i = |0i , ˜a|˜1i = |˜0i (3.22) Rozszerzamy tak zdefiniowane operatory do przestrzeni H_tot = H₂ ⊗ ˜H₂ poprzez iloczyn tensorowy z operatorami jednostkowymi, na przykład

a → a ⊗ ˜1 , ˜a →1 ⊗ ˜a (3.23)

Tak zdefiniowane operatory spełniają algebrę (3.17). Jedyna subtelność to następująca reguła antykomutacyjna dla operatorów a i ˜a w przestrzeni Htot

{a, ˜a} = {a, ˜a^†} = {a^†, ˜a} = {a^†, ˜a^†} = 0 (3.24) Od tej pory będziemy pomijali symbol ⊗ w notacji operatorów, łącznie z jedynkami, oraz w oznaczeniu stanów

|0i ≡ |0 ⊗ ˜0i , |1i ≡ |1 ⊗ ˜1i (3.25) W przestrzeni H_tot mamy więc zdefiniowane dwa rodzaje cząstek fermionowych, typu a i ˜a, o dodatnich energiach.

Stan oczyszczony (3.13) to stan

|0i_β = |0i + e^−βω/2|1i

√

1 + e^−βω = |0i + e^−βω/2a^†a˜^†|0i

√

1 + e^−βω (3.26)

który jest unormowany do jedynki

h0|0i_β = 1 + e^−βω

1 + e^−βω = 1 (3.27)