Entropia w mechanice kwantowej

Entropia w mechanice kwantowej

Krzysztof Golec–Biernat Instytut Fizyki Jądrowej PAN

(5 kwietnia 2022)

Wersja robocza nie do dystrybucji

Kraków

2021

Spis treści

1 Operatory gęstości 4

1.1 Definicja . . . 4

1.2 Przykład 1 . . . 6

1.3 Ewolucja stanu kwantowego . . . 8

1.4 Entropia stanu kwantowego . . . 10

1.5 Replica trick . . . 11

1.6 Entropia Tsalisa i Rényiego . . . 13

2 Splątanie kwantowe 14 2.1 Definicja splątania . . . 14

2.2 Rozkład Schmidta . . . 16

2.3 Entropia splątania . . . 18

2.4 Przykład 2 . . . 19

2.5 Ewolucja unitarna w przestrzeni HX ⊗ H_Y . . . 20

2.6 Twierdzenie o puryfikacji . . . 22

Rozdział 1

Operatory gęstości

1.1 Definicja

W mechanice kwantowej stany kwantowe opisywane są liniowymi operatorami gęstości ρ działającymi w przestrzeniach Hilberta H,

ρ: H → H (1.1)

i zdefiniowanymi poprzez trzy warunki:

• hermitowskość: ρ^†= ρ

• unormowanie śladu: Trρ = 1

• dodatnia określoność: ρ ­ 0 <=> ∀ψ ∈ H, hψ|ρ|ψi ­ 0

Wybierając dowolna bazę stanów w przestrzeni Hilberta, {φi}_i=1,2,..., otrzymujemy macierz gęstości odpowiadającą operatorowi gęstości ρ

ρ_ij = hφi|ρ|φ_ji (1.2)

Operator gęstości można wtedy zapisać przy pomocy elementów macierzy gęstości ρ=^X

i,j

ρ_ij|φ_iihφ_j| (1.3)

o czym łatwo się przekonać obliczając elementy (1.2).

Warunki definiujące operator gęstości przyjmują teraz następującą postać:

• ρ^∗_ij = ρji

• ^Piρii= 1

• ρii­0

Tak więc elementy diagonalne można interpretować jako rozkład prawdopodobień- stwa, natomiast wyrazy niediagonalne opisują interferencję stanów.

Istnieją ograniczenia na elementy niediagonalne wynikające z nierówności Schwart- za. Jeżeli forma hermitowska ρ(φ, ψ) = hφ|ρ|ψi jest dodatnio określona to

|ρ(φ, ψ)|² ¬ ρ(φ, φ) · ρ(ψ, ψ) (1.4) Stąd dla dowolnego i 6= j otrzymujemy dla elementów macierzy gęstości

|ρ_ij|² ¬ ρ_iiρjj (1.5)

Równość dla każdego i, j określa stan kwantowy o maksymalnej interferencji (peł- nej koherencji kwantowej).

Stan czysty to stan spełniający warunek

ρ²= ρ (1.6)

Operator gęstości jest wtedy operatorem rzutowym, który można przedstawić jako

ρ= |ψihψ| (1.7)

gdzie ψ ∈ H. Aby znaleźć taki stan zdiagonalizujmy operator ρ. W bazie stanów własnych {φi} macierz gęstości ma postać diagonalną

ρij = piδij (1.8)

Warunek czystości stanu prowadzi do wniosku

p²_i = pi (1.9)

dla każdego i. Ponieważ

X

i

p_i =^X

i

p²_i = 1 (1.10)

stąd wniosek, że istnieje tylko jedna różna od zera liczba liczba pi = 1 w tej sumie dla pewnego stanu i. Oznacza to, że ρ = |φiihφ_i|czyli ψ = φi w relacji (1.7).

Niech A będzie dowolnym operatorem hermitowskim reprezentującym wielkość fizyczną. Wartość średnia takiego operatora w stanie ρ jest dane wzorem

hAi_ρ= Tr(Aρ) = Tr(ρA) (1.11)

Dla stanu czystego otrzymujemy relację znaną z mechaniki kwantowej

hAi_ρ= Tr (A|ψihψ|) = hψ|A|ψi (1.12) Ostatnią równość można otrzymać obliczając ślad liczony w dowolnej ortogonalnej i zupełnej bazie stanów {φi}w przestrzeni Hilberta H

hAi_ρ=^X

i

hφ_i|A|ψihψ|φ_ii=^X

i

hψ|φ_iihφ_i|A|ψi= hψ|A|ψi (1.13) gdzie wykorzystaliśmy zupełność stanów bazowych

X

i

|φ_iihφ_i|= 1 (1.14)

1.2 Przykład 1

Niech wiązka cząstek będzie utworzona poprzez fizyczne zmieszanie w proporcji N1/N₂ cząstek o spinie ¹₂ spolaryzowanych wzdłuż dodatnich wartości osi z i takich samych cząstek spolaryzowanych wzdłuż dodatnich wartości osi x. Stan kwantowy wiązki jest opisany przez operator gęstości

ρ = p1|z+ ihz + | + p2|x+ ihx + | (1.15) gdzie stany |z + i oraz |x + i to odpowiednio stany własne operatorów ¹₂σ_z i ¹₂σ_x do wartości własnych +¹₂, natomiast

p₁= N₁ N1+ N2

, p₂= N₂

N1+ N2 (1.16)

tak, że

p₁+ p2= 1 (1.17)

Znajdziemy macierz gęstości operatora ρ w bazie stanów |z ± i, wykorzystując znaną z mechaniki kwantowej relację

|x+ i = |z+ i + |z − i√

2 (1.18)

Podstawiając ją do (1.15) otrzymujemy ρ=^p1+¹₂p2

|z+ ihz + | +¹₂p2

|z − ihz − |+ |z + ihz − | + |z − ihz + |^ (1.19) co prowadzi do macierzy hermitowskiej

ρij = p1+ p2/2 p2/2 p2/2 p2/2

!

(1.20)

Łatwo sprawdzić, że warunek unormowania jest spełniony

(p1+¹₂p₂) + ¹₂p₂ = p1+ p2 = 1 (1.21) Nie jest to stan czysty, gdyż w ogólności

ρ²6= ρ (1.22)

Warunek (1.5) określający siłę koherencji kwantowej stanu to

|ρ₁₂|² ¬ ρ₁₁ρ₂₂ (1.23)

co prowadzi do relacji

p²₂

4 ¬ p1p2

2 +p²₂

4 (1.24)

które jest zawsze spełniona. Pierwszy człon po prawej stronie, odpowiedzialny za stopień interferencji, spełnia relację.

0 ¬ p₁p₂

2 = p₁(1 − p1)

2 ¬ 1

8 (1.25)

Wynosi on zero dla p1= 0 lub p2 = 0 i w takich przypadku ρ jest stanem czystem ze 100% polaryzacją odpowiednio wzdłuż osi z lub x.

Macierz gęstości (1.20) można zdiagonalizować rozwiązując równianie

(p1+ ¹₂p₂− λ)(¹₂p₂− λ) −¹₄p²₂= 0 (1.26) które daje

λ₁ ≡ P₁= ¹₂(1 +^p1 − 2p1p₂)

λ2 ≡ P₁= ¹₂(1 −^p1 − 2p1p2) (1.27)

gdzie z (1.25) wynika, że pierwiastek jest zawsze rzeczywisty oraz P1 + P2 = 1.

Prowadzi to do nowej postaci macierzy gęstości

ρ_ij = P₁ 0 0 P2

!

(1.28)

w nowej bazie stanów

|n+ i = cos φ |z + i + sin φ |z − i

|n − i= − sin φ |z + i + cos φ |z − i (1.29) gdzie

cos φ = s

P₁−¹₂p₂

P₁− P₂ (1.30)

Oznacza to, że operator gęstości (1.15) można zapisać w formie niekoherentnej mie- szanki tych stanów

ρ= P1|n+ ihn + | + P2|n − ihn − | (1.31)

1.3 Ewolucja stanu kwantowego

Operator ewolucji w mechanice kwantowej to operator unitarny

U(t) = e^−iHt/~ (1.32)

Dla dowolnego stanu kwantowego ψ otrzymujemy

|ψ(t)i = U(t)|ψ(0i (1.33)

co prowadzi do równania Schroedingera dla stanów i~d|ψ(t)i

dt = H|ψ(t)i (1.34)

Z definicji (1.7) operatora gęstości dla stanu czystego otrzymujemy

|ψ(tihψ(t)| = U(t)|ψ(0)ihψ(0)| U^†(t) (1.35) Stąd po uogólnieniu postulat ewolucji dowolnego operatora gęstości

ρ(t) = U(t)ρ(0) U^†(t) (1.36)

Obliczając pochodna po czasie dostajemy i~dρ(t)

dt = Hρ(t) − ρ(t)H = [H, ρ(t)] (1.37) Jest to równanie Liouville’a dla operatorów gęstości.

Wartość średnia obserwabli to

hAi_ρ(t)= Tr (ρ(t)A) = Tr^U(t)ρ(0) U^†(t)A^= Tr^ρ(0) U^†(t)AU(t)^ (1.38) Definiując operator

A_H(t) = U^†(t)A U(t) (1.39)

otrzymujemy następujący wzór na wartość średnią w obrazie Heisenberga

hAi_ρ(t) = Tr (ρ(0)AH) = hAHi_ρ(0) (1.40) Ważne są następujące twierdzenia:

————————————————————————————————————–

Twierdzenie 1

Ewolucja unitarna (1.36) przeprowadza operator gęstości w operator gęstości.

————————————————————————————————————–

Dowód.Hermitowskość ρ(t) jest spełniona:

[ρ(t)]^†=^U(t)ρ(0) U^†(t)^†= U(t)ρ(0) U^†(t) = ρ(t) (1.41) Podobnie, ρ(t) jest unormowane do jedynki

Trρ(t) = Tr^U(t)ρ(0) U^†(t)^= Tr^U^†(t)U(t)ρ(0)^= Trρ(0) = 1 (1.42) Warunek dodatniej określoności jest także spełniony, gdyż ∀ψ ∈ H

hψ|ρ(t)|ψi = hψ|U(t)ρ(0) U^†(t)|ψi = hU^†(t)ψ|ρ(0)|U^†(t)ψi

= hψ|ρ(0)|ψi ­ 0 (1.43)

gdzie wykorzystaliśmy unitarność operatora ewolucji.

————————————————————————————————————–

Twierdzenie 2

Ewolucja unitarna (1.36) przeprowadza stan czysty w stan czysty.

————————————————————————————————————–

Dowód.Policzmy

[ρ(t)]² = U(t) ρ(0) U^†(t)U(t) ρ(0) U^†(t) = U(t) [ρ(0)]²U^†(t) = ρ(t) (1.44) gdzie wykorzystaliśmy warunek stanu czystego [ρ(0)]²= ρ(0).

1.4 Entropia stanu kwantowego

Zdefiniujmy entropię von Neumanna S stanu kwantowego opisywanego operatorem gęstości ρ

S = −Tr(ρ ln ρ) (1.45)

przy założeniu, że Trρ = 1. Z twierdzenia spektralnego wynika, że istnieje baza orto- normalna φi, w której operator gęstości jest diagonalny

ρ=^X

i

p_i|φ_iihφ_i| (1.46)

gdzie pi ­0 oraz

X

i

pi = 1 (1.47)

Licząc entropię w tej bazie otrzymujemy wzór S = −^X

i

p_iln pi­0 (1.48)

Ważne jest następujące twierdzenie:

————————————————————————————————————–

Twierdzenie 3

Entropia von Neumanna stanu czystego wynosi zero.

————————————————————————————————————–

Dowód.Operator gęstości dla stanu czystego,

ρ= |ψihψ| (1.49)

ma tylko jedną niezerową wartość własną równą 1. Wybierając bowiem |ψi jako pierw- szy wektor bazowy widzimy, że (1.49) jest rozkładem spektralnym operatora ρ. Z jed- noznaczności tego rozkładu wynika: p1 = 1 i pi>1 = 0. Stąd entropia von Neumanna jest równa zero na podstawie wzoru (1.48).

Pojęcie entropii von Neumanna wymaga komentarza, mając w tle rozważań en- tropię Boltzmanna zdefiniowaną dla układów klasycznych. Niezerowa entropia Bolt- zmanna, zwana także entropią gruboziarnistą, pojawia się w wyniku niepełnej informacji o układzie klasycznym, jaką jest dokładna znajomość położeń i pędów wszystkich cząstek układu. Jeżeli znamy je jedynie z pewną dokładnością to pojawia się ich rozkład prawdopodobieństwa w układach, który pozwala zdefiniować niemale- jącą w czasie wielkość będącą entropią Boltzmanna.

W przypadku mechaniki kwantowej, stany czyste określają maksimum informacji, która jest dostępna w eksperymencie. Pomimo, probabilistycznego charakteru wyni- ków pomiarów w mechanice kwantowej jest to stwierdzenie o charakterze fundamen- talnym, które nie wynika z ograniczeń pomiarowych. Stąd równa zeru entropia von Neumann stanu czystego.

Stan mieszany zawiera jednak niepełną informację o układach kwantowych. W Przykładzie 1 rozważyliśmy dwie wiązki kwantowych cząstek, które zostały zmieszane w określonej proporcji. Proces klasycznie rozumianego mieszania jest tutaj elemen- tem prowadzającym do utraty pełnej informacji o wypadkowym układzie kwantowym jakim są dwie zmieszane wiązki. Nie sposób, bez naruszenia drugiej zasady termodyna- miki, rozseparować je na dwa początkowe układy kwantowe. Stąd niezerowa entropia von Neumanna.

Istnieje drugi, bardziej fundamentalny, mechanizm prowadzący do niezerowej en- tropii von Neumanna, będącej przejawem utraty pełnej informacji o układzie kwanto- wym. Rozważmy stan czysty układu kwantowego, który w bazie zupełnego układu obserwabli przyjmuje postać macierzy z niediagonalnymi elementami spełniającymi związek maksymalnej interferencji, określony przez równość w relacji (1.5). Jeżeli umieścimy taki układ w makroskopowym otoczeniu, z którym on oddziałuje, nastę- puje dekoherencja polegająca na utracie efektu kwantowych interferencji i znika- niu pozadiagonalnych elementów macierzy gęstości stanu czystego. W wyniku tego otrzymujemy stan mieszany układu z diagonalną macierzą gęstości, co prowadzi do niezerowej entropii von Neumanna.

1.5 Replica trick

Entropię S można również policzyć stosując tzw. "replica trick" polegający na wyko- rzystaniu definicji logarytmu operatora jako

ln ρ = lim

n→1

ρⁿ⁻¹−1 n −1

!

(1.50) gdyż mamy

ρⁿ⁻¹= e^{(n−1) ln ρ} = 1 + (n − 1) ln ρ +(n − 1)²

2! ln²ρ+ . . . (1.51) Wtedy entropia to

S = −Tr

"

ρlim

n→1

ρⁿ⁻¹−1 n −1

!#

(1.52)

skąd otrzymujemy

S = − lim

n→1Tr^ρⁿ− ρ n −1

= − lim

n→1

Trρⁿ−Trρ

n −1 = − ∂

∂nTrρⁿ     n=1

(1.53)

Wynik (1.53) można zapisać również w formie

S= − ∂

∂nln(Tr ρⁿ)     n=1

(1.54) gdyż

∂

∂nln(Trρⁿ)     n=1

=^ 1 Trρ

∂

∂nTrρ^n     n=1

= ∂

∂nTrρⁿ     n=1

(1.55)

Z powyższych wzorów wynika następujące twierdzenie.

————————————————————————————————————–

Twierdzenie 4

Ewolucja unitarna (1.36) operatora gęstości zachowuje entropię: S(t) = S(0).

————————————————————————————————————–

Dowód.Policzmy bowiem

Tr[ρⁿ(t)] = Tr[[U(t)]ⁿρⁿ(0)[U^†(t)]ⁿ] = Tr[[U^†(t)]ⁿ[U(t)]ⁿρⁿ(0)] = Tr[ρⁿ(0)] (1.56) i stąd S(t) = S(0) na podstawie wzoru (1.53).

Czasami wygodnie jest używać nieunormowany operator gęstości ρ. Normując go do jedynki, wprowadzamy operator gęstości

ˆρ = ρ

Trρ (1.57)

Wykorzystując (1.50), otrzymujemy S = −Tr(ˆρln ˆρ) = −Tr^ ρ

Trρln^ ρ Trρ



= − lim

n→1Tr^ 1 n −1

 ρⁿ

(Trρ)ⁿ − ρ Trρ



= − lim

n→1

 1 n −1

 Trρⁿ

(Trρ)ⁿ −1^ (1.58)

Tak więc

S= − ∂

∂n

 Trρⁿ [Trρ]ⁿ

    n=1

(1.59) lub co łatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem

S= − ∂

∂n

ln Trρⁿ [Trρ]ⁿ

    n=1

(1.60)

1.6 Entropia Tsalisa i Rényiego

Nie wykonując granicy n → 1 w równaniu (1.53), otrzymujemy entropię Tsalisa S_T(n) = Trρⁿ−1

1 − n (1.61)

Możemy ją policzyć jako funkcję naturalnego n = 1, 2, . . .. Przedłużając analitycznie otrzymany wynik na zespolone n i wykonując granicę n → 1, dostajemy entropię von Neumanna

n→1limS_T(n) = lim

n→1

Tr(ρⁿ− ρ) 1 − n = Tr

"

ρlim

n→1

ρⁿ⁻¹−1 1 − n

#

= −Trρ ln ρ (1.62) gdzie wykorzystaliśmy definicję (1.50) logarytmu operatora.

Zdefiniujmy także entropę Rényiego

S_R(n) = ln Trρⁿ

1 − n (1.63)

Podobnie jak poprzednio, policzmy ją dla naturalnych n i przedłużmy analitycznie na płaszczyznę zespolonego n. Licząc granicę n → 1, otrzymamy także entropię von Neumanna. Rzeczywiście, w bazie własnej operatora ρ mamy

n→1limSR(n) = lim

n→1

ln (^Pkpⁿ_k)

1 − n = − lim

n→1

ln^Pke^{n ln pk}

n −1 (1.64)

Stosując regułę de l’Hospitala dostajemy

n→1limS_R(n) = − lim

n→1

P

ke^{n ln pk} ln pk

P

ke^{n ln pk} = − P

kp_kln pk

P

kp_k = −^X

k

p_kln pk (1.65)

Rozdział 2

Splątanie kwantowe

2.1 Definicja splątania

Mamy do czynienia z dwoma rozróżnialnymi układami kwantowymi X i Y , na przy- kład układ X i otoczenie (reszta Wszechświata) Y , których stany są opisywane przy pomocy dwóch przestrzeni Hilberta, HX i HY. Załóżmy, że całość jest opisywana czystym stanem kwantowym |zi, należącym do przestrzeni Hilberta Htot= HX⊗ H_Y. Wybierzmy dowolną bazę ortonormalną {xi} w przestrzeni HX i analogiczną bazę {y_j} w przestrzeni HY. Dowolny stan układu to kombinacja liniowa

|zi=

NX

X

i=1 NY

X

j=1

c_ij|x_i⊗ y_ji , c_ij ∈ C (2.1) Warunek unormowania stanu prowadzi do następującego warunku dla współczynni- ków rozwinięcia cij

hz|zi=

NX

X

i,i⁰=1 NY

X

j,j⁰=1

cijc^∗_i⁰_j⁰hx_i⁰⊗ y_j⁰|x_i⊗ j_ji

=

NX

X

i,i⁰=1 NY

X

j,j⁰=1

cijc^∗_i⁰_j⁰hx_i⁰|x_iihy_j⁰|y_ji

=

NX

X

i,i⁰=1 NY

X

j,j⁰=1

cijc^∗_i⁰_j⁰δ_ii⁰δ_jj⁰ =

NX

X

i=1 NY

X

j=1

|c_ij|² = 1 (2.2) Wprowadźmy następującą definicję.

————————————————————————————————————–

Definicja

Stan |zi nazywamy splątanym jeśli nie istnieją wektory |xi ∈ HX and |yi ∈ HY takie, że zachodzi

|zi= |x ⊗ yi (2.3)

————————————————————————————————————–

Rozkład (2.1) stanu czystego został dokonany w bazie produktowej, która jest iloczynem tensorowym wektorów bazowych z przestrzeni HX i HY. Istnieje inna baza, która jest szczególnie dogodna do badania zagadnienia splątania stanu produktowego.

W tym celu rozważmy operator gęstości stanu czystego

ρ= |zihz| =

NX

X

i,i⁰=1 NY

X

j,j⁰=1

c_ijc^∗_i0j⁰|x_i⊗ y_jihx_i⁰ ⊗ y_j⁰| (2.4) a następnie zdefiniujmy operator gęstości dla stanu układu X wyśredniowując po stanach układów Y

ρ_X = TrH_Y(ρ) =

NX

X

i,i⁰=1 NY

X

j,j⁰=1

c_ijc^∗_i0j⁰|x_iihx_i⁰|^TrH_Y(|yjihy_j⁰|) (2.5)

Wykorzystując wektory bazy {yi} do obliczenia śladu dostajemy

TrH_Y(|yjihy_j⁰|) =

NY

X

k=1

hy_k|y_jihy_j⁰|y_ki=

NY

X

k=1

δ_jkδ_kj⁰ = δjj⁰ (2.6) co prowadzi do

ρ_X =

NX

X

i,i⁰=1

X^NY

j=1

c_ijc^∗_i⁰_j^|x_iihx_i⁰| (2.7) Elementy macierzowe operatora gęstości ρX to

[ρX]ii⁰ =

N_Y

X

j=1

c_ijc^∗_i⁰_j, i, i⁰ = 1, 2, . . . , NX (2.8) Łatwo pokazać, że jest to dodatnio określona macierz hermitowska o jednostkowym śladzie. Spełnione są więc wszystkie warunki by ρX było operatorem gęstości. Istotnie, warunek hermitowskości to

[ρX]^∗ii⁰ =

N_Y

X

j=1

c_ijc^∗_i⁰_j^∗ =

N_Y

X

j=1

c_i⁰_jc^∗_ij = [ρX]i⁰i (2.9)

Licząc natomiast ślad dostajemy

NX

X

i=1

[ρX]ii=

NX

X

i=1 NY

X

j=1

c_ijc^∗_ij =

NX

X

i=1 NY

X

j=1

|c_ij|² = 1 , (2.10)

natomiast warunek dodatniej określoności wynika z relacji

[ρX]ii=

NY

X

j=1

|c_ij|²­0 (2.11)

Oznacza to, że wszystkie wartości własne macierzy ρX są dodatnie.

Podobnie definiujemy operator gęstości dla stanu układu Y , wyśredniowując po stanach układu X,

ρ_Y = TrH_X(ρ) =

NY

X

j,j⁰=1

X^NX

i=1

cijc^∗_ij^0|y_jihy_j⁰| (2.12) oraz odpowiadającą mu macierz

[ρY]jj⁰ =

N_X

X

i=1

c_ijc^∗_ij⁰, j, j⁰ = 1, 2, . . . , NY (2.13) która spełnia wszystkie warunki macierzy gęstości. Ważne jest twierdzenie.

————————————————————————————————————

Twierdzenie 5

Operatory gęstości ρX i ρY mają te same niezerowe wartości własne pk>0.

————————————————————————————————————–

Dowód powyższego twierdzenia jest oparty na rozkładzie Schmidta stanu czystego |zi.

2.2 Rozkład Schmidta

Rozważmy stan czysty

|zi=

N_X

X

i=1 N_Y

X

j=1

c_ij|x_i⊗ y_ji , c_ij ∈ C (2.14)

gdzie NX ¬ N_Y. Zapiszmy operator ρX w bazie stanów własnych {˜xi} ∈ H_X

ρ_X = TrH_Y(|zihz|)) =

NX

X

i=1

p_i|˜xiih˜xi| p_i ­0 (2.15) Stan czysty (2.14) w nowej bazie to

|zi=

NX

X

i=1 NY

X

j=1

d_ij|˜xi⊗ y_ji (2.16) gdzie dij ∈ C to nowe współczynniki rozwinięcia. Definiując wektory

|Y_ii=

NY

X

j=1

dij|y_ji , i= 1, 2, . . . , NX (2.17) otrzymujemy

|zi=

NX

X

i=1

|˜xi⊗ Y_ii (2.18)

Licząc ρX dla dowolnej ortonormalnej bazy zupełnej {yk} ∈ H_Y, otrzymamy

ρX =

NX

X

i,i⁰=1

|˜xiih˜xi⁰|

NY

X

k=1

hy_k|Y_iihY_i⁰|y_ki (2.19) Wykorzystując warunek zupełności bazy {yk}

NY

X

k=1

|y_kihy_k|= 1 (2.20)

dostajemy

ρX =

NX

X

i,i⁰=1

hY_i⁰|Y_ii |˜xiih˜xi⁰| (2.21) Z jednoznaczności rozkładu spektralnego (2.15), znajdujemy

hY_i⁰|Y_ii= piδ_ii⁰ (2.22) Otrzymujemy N ¬ NX niezerowych i ortogonalnych wektorów {Yi} ∈ H_Y, dla niezerowych wartości własnych pi >0. Po unormowaniu do jedynki,

|Y_ii → |˜yii= |Y_ii

√pi (2.23)

stan czysty (2.16) przyjmuje postać

|zi=

N ¬NX

X

i=1

√p_i|˜xi⊗˜yii (2.24)

Jest to rozkład Schmidta stanu produktowego.

2.3 Entropia splątania

Policzmy operator gęstości ρY dla stanu (2.24), licząc ślad w bazie {˜xi ∈ H_X}

ρY = TrHX(|zihz| =

N ¬NX

X

i,i⁰=1

√pip_i⁰|˜yiih˜y⁰i|

NX

X

k=1

h˜xk|˜xi⁰ih˜xi|˜xki

=

N ¬NX

X

i,i⁰=1

√pipi⁰|˜yiih˜y⁰_i| δ_ii⁰

=

N ¬NX

X

i=1

pi|˜yiih˜yi| (2.25) Z jednoznaczności rozkładu spektralnego ρY wynika, że ρY ma te same niezerowe wartości własne co ρX dany wzorem (2.15). Entropie von Neumanna operatorów ρX

i ρY są więc takie same

SX = −Tr(ρXln ρX) = −

N

X

k=1

p_kln pk= −Tr(ρY ln ρY) = SY (2.26) Stąd następująca definicja.

————————————————————————————————————–

Definicja

Wspólna wartość entropii, SX = SY, nazywa się entropią splątania.

————————————————————————————————————–

Jest to dobra miara splątania, gdyż nie zależy od tego czy obliczamy ją z perspektywy układu X czy Y . Wymieńmy jej podstawowe własności.

1. SX = SY tylko dla stanu czystego, ρ = |zihz|. Dla dowolnego operatora gęstości ρ na ogół SX 6= SY.

2. Dla stanu niesplątanego, |zi = |x ⊗ yi, entropia splątania wynosi zero. Licząc bowiem ρX oraz ρY otrzymujemy

ρ_X = |xihx| , ρ_Y = |yihy| (2.27) Wybierając |xi ∈ HX oraz |yi ∈ HY jako wektory bazowe widzimy, że jedyne niezerowe wartości własne to px = py = 1 i stąd SX = SY = 0.

3. Stan czysty |zi jest maksymalnie splątany, gdy entropia splątania jest mak- symalna. Odpowiada to równym wartościom własnym, pi = 1/NX dla i = 1, 2, . . . , NX. Rozkład Schmidta stanu maksymalnie splątanego to

|zi= √1 Nx

NX

X

i=1

|˜xi⊗˜yii (2.28) 4. Entropia splatania nie jest wielkością ekstensywną.

2.4 Przykład 2

Rozważmy dwa nieoddziałujące spiny 1/2 i niech | ± i oznacza ich stany z rzutami

±1/2 na oś z, zdefiniowanymi w dwóch niezależnych przestrzeniach Hilberta H1/2, w których stany te tworzą bazę zupełną. Rozważmy stan czysty

|ψi= |+ −i ± | − +i√

2 ∈ H_1/2 ⊗ H_1/2 (2.29)

Odpowiadający mu operator gęstości to

ρ= |ψihψ| = |+ −ih + −| ± | + −ih − +| ± | − +ih + −| + | − +ih − +|

2 (2.30)

Wprowadzając w przestrzeni produktowej stany bazowe

|1i = | + −i , |2i = | − +i , |3i = | + +i , |4i = | − −i (2.31) możemy ten stan zapisać w postaci

ρ= |1ih1| ± |1ih2| ± |2ih1| + |2ih2|

2 (2.32)

co daje następującą macierz gęstości

ρij =











1/2 ±1/2 0 0

±1/2 1/2 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0











(2.33)

Jej niezerowe wartości własne to λ = 1, gdyż

(¹₂ − λ)²−(¹₂)² = λ(λ − 1) = 0 (2.34) co potwierdza, że ρ jest stanem czystym z zerową entropią von Neumanna.

Licząc entropię splatania dla pierwszego spinu obliczmy ślad po stanach drugiego spinu otrzymując operator gęstości

ρ1= Tr2(ρ) = ¹₂|+ i_{1 1}h+ | + ¹₂| − i_{1 1}h − | (2.35) gdzie zaznaczyliśmy, że oba stany należą do przestrzeni Hilberta pierwszego spinu.

Podobnie licząc operator gęstości dla drugiego spinu, średniując po stanach pierwszego otrzymujemy

ρ2= Tr1(ρ) = ¹₂|+ i_{2 2}h+ | + ¹₂| − i_{2 2}h − | (2.36) W obu przypadkach macierze gęstości są takie same

[ρ1]ij = [ρ2]ij = 1/2 0 0 1/2

!

(2.37)

a entropia splatania wynosi

S₁ = S2 = −¹₂ln¹₂−¹₂ln¹₂ = ln 2 (2.38) Stany te są maksymalnie splątane, gdyż prawdopodobieństwa są równe i wartość entropii splątania jest maksymalna.

2.5 Ewolucja unitarna w przestrzeni H

⊗ H

Rozważmy ewolucję unitarną stanu czystego (2.4),

|z(t)i = U(t)|zi =

NX

X

i=1 NY

X

j=1

c_ijU(t) |xi⊗ y_ji (2.39)

Wprowadźmy elementy macierzowe operatora unitarnego U(t)

U(t) |xi⊗ y_ji=

N_X

X

I=1 N_Y

X

J =1

U_{(IJ )(ij)}(t) |xI⊗ y_Ji (2.40)

Tak więc

|z(t)i =

NX

X

i,I=1 NY

X

j,J =1

U_{(IJ )(ij)}c_ij|x_I⊗ y_Ji (2.41) gdzie

U_{(IJ )(ij)}= U(IJ )(ij)(t) (2.42)

Operator gęstości

ρ(t) = |z(t)ihz(t)| (2.43)

przyjmuje postać ρ(t) = ^X

iji⁰j⁰

X

IJ I⁰J⁰

U_{(IJ )(ij)}cijU_(I^∗0_J⁰_)(i⁰_j⁰₎ci⁰j⁰|x_I⊗ y_Jihx_I⁰ ⊗ y_J⁰| (2.44) natomiast macierz gęstości operatora ρ(t) to

[ρ(t)](IJ )(I⁰J⁰)= ^X

iji⁰j⁰

U_{(IJ )(ij)}U_(I^∗0J⁰)(i⁰j⁰)c_ijc_i⁰_j⁰ (2.45) Obliczając operator gęstości ρX(t), otrzymujemy

ρX(t) = TrH_Y(ρ(t)) = ^X

II⁰J

[ρ(t)](IJ )(I⁰J )|x_Iihx_I⁰| (2.46) Załóżmy, że stan początkowy jest niesplątany. Bez straty ogólności możemy go zdefiniować jako

|zi= |x1⊗ y₁i (2.47)

co oznacza, że przyjęliśmy stany |x1i oraz |y1i jako wektory bazowe. Operatorowi gęstości ρ = |zihz| odpowiada macierz gęstości o współczynnikach

[ρ](ij)(i⁰j⁰) = cijci⁰j⁰ = δi1δi⁰1δj1δj⁰1 (2.48) Tak więc, po czasie t, macierz gęstości (2.45) przyjmuje postać

[ρ(t)](IJ )(I⁰J⁰) = U(IJ )(11)U_(I^∗0J⁰)(11), (2.49) natomiast macierz gęstości operatora (2.46) to

[ρX(t)]II⁰ =^X

J

U_{(IJ )(11)}U_(I^∗0J )(11) (2.50) Nie ma powodu by była to macierz stanu czystego w przestrzeni HX, tzn. jedyna niezerowa wartość własna tej macierzy była równa 1. Tym samym entropia splątania S_X nie musi być równa zeru, co oznacza, że stan |z(t)i może być splątany.

Udowodniliśmy, że ewolucja unitarna stanów w przestrzeni HX ⊗ H_Y może splątywać stany. Odwrotna sytuacja także nie jest wykluczona: ewolucja unitarna może również rozplątywać stany.

2.6 Twierdzenie o puryfikacji

Rozważmy operator gęstości ρX dla układu X reprezentujący stan mieszany. Powstaje pytanie czy można "oczyścić" stan mieszany ρX poprzez dołączenie otoczenia Y do układu X tak, że powstaje czysty stan splątany układu+otoczenia: |zi ∈ HX ⊗ H_Y, dla którego zachodzi

ρX = TrH_Y (|zihz|) (2.51)

Odpowiedź na tak postawione pytanie jest pozytywna.

Wybierzmy bowiem w przestrzeni HX ortonormalną bazę własną {xi} operatora gęstości ρX, w której ma on postać diagonalną

ρX =

NX

X

i=1

pi|x_iihx_i| , pi ­0 (2.52) W przestrzeni HY o wymiarze NY ­ N_X wybierzmy dowolną bazę ortonormalną {y_j} i utwórzmy stan czysty należący do przestrzeni HX⊗ H_Y

|zi=

NX

X

i=1

√p_i|x_i⊗ y_ii (2.53)

Jest on poszukiwanym stanem "oczyszczającym", gdyż spełnia równanie (2.51). Do- wód polega na policzeniu śladu operatora gęstości

ρ= |zihz| =

NX

X

i,i⁰=1

√p_ip_i⁰|x_i⊗ y_iihx_i⁰⊗ y_i⁰| (2.54)

Dostajemy bowiem po wykorzystaniu ortonormalności bazy {yj}

TrH_Y(ρ) =

NX

X

i,i⁰=1

√p_ip_i⁰

NY

X

k=1

hy_k|y_iihy_i⁰|y_ki|x_iihx_i⁰|

=

N_X

X

i,i⁰=1

√p_ip_i⁰δ_ii⁰|x_iihx_i⁰|

=

NX

X

i=1

p_i|x_iihx_i|= ρX (2.55)

Zauważmy, że stan |zi nie jest określony jednoznacznie, gdyż baza w przestrzeni HY

jest wybrana dowolnie.