Vraagstukken over waarschijnlijkheidsrekening; 2e dr.

VRAAGSTUKKEN

OVER

WAARSCHIJNLIJKHEIDSREKENING

DOOR

DR.P.J.A.KANTERS

2e

DRUK

BIBLIOTHEEK TU Delft p 1872 7023

II~mlllllm "~III ~/IIIII

c

593092

WOORD VOORAF

Dezevraagstukkenverzameling is bestemd voor studenten, die zich voor-bereiden voor het tentamen waarschijnlijkheidsrekening aan de Technische Hogeschool te Delft.

Aan de vraagstukken, waaronder verschillende tentamenopgaven, gaat een korte bespreking vooraf van de voornaamste begrippen en eigenschap-pen uit de elementaire waarschijnlijkheidsrekening. Een lijst met antwoor-den is aan de verzameling toegevoegd. Deze antwoorantwoor-den zijn soms voorzien van een vrij uitvoerige aanwijzing; in het bijzonder bij vraagstukken van combinatorische aard.

De stimulans voor het samenstellen van deze verzameling is uitgegaan van Prof. Dr. Ir. J. W. Cohen; hiervoor en voor zijn belangstelling tijdens de bewerking ondervonden zij hem gaarne dank gebracht. Deze dank betreft eveneens Dr. C. de Vroedt van wie verschillende interessante suggesties zijn ontvangen.

juli 1966

AANBEVOLEN LITERATUUR A. J. Stam Inleiding tot de Waarschijnlijkheidsrekening

De Technische Uitgeverij H. Stam N. V. 1964

INLEIDING 2e DRUK

De indeling is hetzelfde gebleven als de 1e druk. Een aantal vraagstukken voornamelijk uit de hoofdstukken 4 t/m 7 is vervangen door opgaven die wat minder bewerkelijk zijn. Er zijn bovendien wat minder vraagstukken over discrete verdelingen opgenomen en wat meer over continue verde-lingen.

Vraagstukken aangegêven met ~'; zijn in het algemeen iets lastiger, dan de overige vraagstukken.

INHOUD

Overzicht van enige definities en formules in de waar-schijnlijkheidsrekening

opgaven pagina

I.

Combinaties en permutaties 38 Il. Uitkomstenruimte en gebeurtenissen ₄₅

lIl. Symmetrisch kansveld ₄₉

IV.

Conditionele kansen ₅₆

V.

Onafhankelijkheid ₆₅

VI.

Stochastische variabelen ₇₆

VII.

Simultane verdelingsfuncties ₉₀

VIII.

Karakteristieke functies ₁₁₅

pag. 7 oplossingen pagina 120 123 125 130 134 140 149 106

OVERZICHT VAN E:r-HGE DEFThlJTIES EN FORMULES IN DE WAARSCHIJNLIJKHEIDSREKENING

I

Het aantal per m u ta tie s van N objecten over N gegeven plaatsen, is het aantal manieren, waarop deze N objecten verdeeld kunnen worden over de N plaatsen, zó dat aan iedere plaats precies één object wordt toegevoegd. Indien de N objecten verschillend zijn, d. w. z. van elkaar zijn te onder. scheiden (of: worden onderscheiden) is het aantal permutaties N!

Het aantal manieren, waarop N verschillende Objecten verdeeld kunnen worden over kC> N) gegeven plaatsen, zó dat aan iedere plaats hoogstens één object wordt toegevoegd, is kek-J)o .. (k-N+I) z

(k~~)!.

Het aantal manieren waarop k gegeven plaatsen bezet kunnen worden door N(> k) verschillende objecten, zó dat aan iedere plaats precies één object wordt toegevoegd, is N(N-I) ... (Nwk+I) z

(:.~)!

(= het aantal var ia t ie s van kuit Nobjeeten).

Het aantal c 0 m bin a tie s van k uit N obj ecten is het aantal manieren waarop er uit de Nobjeeten, k objecten gekozen kunnen worden. Zijn de N obj ecten verschillend dan is het aantal combinaties

(0:;:;' k ~ N) (1)

Betrekkingen tussen combinaties:

(2) N N N N ( 0) + (1) + ... + (N) .. 2 (N ~ 0) (3) (N ~ 1) (4) (5) N

Wegens (k) :0: 0, als k

< 0 of k

> N, (met k en N geheel) is (5) algemeen geldig.

Dit geldt ook voor de volgende betrekkingen:

(6) Herhaalde toepassing van (6) op het rechterlid van (6) voert tot

(7) Algemeen geldt, met a, b en k geheel en ~ 0,

+ ... (8)

Nemen we, a-b:ak, dan gaat (8) over in

(9)

Indien van N objecten er k l onderling gelijk zijn, d.w.z. niet van elkaar zijn te onderscheiden, en er voorts nog k2 objecten onderling gelijk zijn

k~ objecten onderling gelijk zijn, dan is het aantal permutaties van deze N objecten over N gegeven plaatsen gelijk aan:

N!

(10) Opm. : In plaats van te spreken over k l onderling gelijke objecten (enz.) kunnen we ook spreken van kl objecten (enz.) waarbij ons de onderlinge permutaties van deze kl objecten (enz. ) niet interesseert.

Het aantal manieren, waarop N verschillende objecten verdeeld kunnen worden over r personen, zó dat de Ie persoon kl objecten, de 2e persoon k2 objecten, ... _{de rde persoon k r objecten ontvangt, is gelijk aan}

~

N )(N-kJ) (N-k l-k2··· -kr_l) N! N ... k ( ) k . . . k . ,. k f k t kt· . . ~ 1 +k2+· .. k r 11

1 2 r 1· 2···· r·

N. B. Voor de berekening van faculteiten kan gebruik gemaakt worden van de door Stirling afgeleide benadering.

n n . m -n! ~ (-) 'V 2TTn .

e (12)

De procentuele fout van deze benaderingsformule gaat, voor n .... "', naar nul; de absolute fout gaat voor n ... '" naar oneindig

n werkelijke waarde Stirling

%

fout van n! 1 1 0.9221 8% 2 2 1.919 4 % 5 120 118.019 1.7% 10 3.628.800 3.598.600 0.8 % TI

Bij de eenmalige uitvoering van een experiment, waarmede de waar-schijnlijkheidsrekening zich bezig houdt, zijn er verschillende uitkomsten mogelijk. De verzameling, 0, van alle mogelijké uitkomsten, w, van een experiment heet de u itk 0 m s ten r u i m t e (U. R. ) van dit experiment.

Soms is er een kenmerk gegeven, volgens hetwelk de uitkomsten van een experiment moeten worden geclassificeerd.

De verzameling 0 van de mogelijke (geclassificeerde) uitkomsten,

w,

heet dan de U.R. van dit experiment, onder dit kenmerk.

Bij gegeven U. R. , hoe ook vastgesteld, wordt een geb e u r ten i s van een experiment geiäentificeerd met een de e 1 ver z a meI i n g van o. Bij de uitvoering van dit experiment treedt de gebeurtenis A op, in-dien en slechts inin-dien de uitkomst van het experiment tnpunt is van de deel-verzameling van 0, waarmede de gebeurtenis A geiäentificeerd is.

Bijzondere gebeurtenissen:

0: d. i. de zekere gebeurtenis

cf( : d. i. de onmogelijke gebeurtenis; deze correspondeert met de lege

deelverzameling van O.

Het aantal gebeurtenissen, bij een experiment met een U. R. bestaande uit N punten, bedraagt 2N.

Ä : d. i. de gebeurtenis dat A niet optreedt. We spreken van het c omp I e men t van de gebeurtenis A.

AB of A n B: d. i. de gebeurtenis dat A zowel als B optreedt. We spreken van de door s ne de van de gebeurtenissen A en B. Indien AB • ~ heten de gebeurtenissen A en B dis jun c t.

AUB : d. i. de gebeurtenis dat minstens één van de beide gebeurte-nissen optreedt. We spreken van de ver enig i ng van de gebeurtenissen A en B. Indien A en B disjunct zijn, schrijven we de vereniging van A en B ook wel als A + B.

De begrippen "doorsnede" en "vereniging" laten zich direct uitbreiden tot tn willekeurig eindig aantal gebeurtenissen. In het bijzonder heten de gebeur-tenissen Al' A2' .. AN disjunct, indien ieder 2-tal gebeurtenissen Ai en Aj (i'; j) disjunct is. De vereniging van de disjuncte gebeurtenissen Al, A2 ... AN wordt weer geschreven als: Al + A2 + ... + _AN·

Indien:

(13) spreken we van een v 0 11 e d i g st els e I van dis jun ct e geb e u r t e -nis sen: bij éénmalige uitvoering van het experiment zal precies één van de gebeurtenissen Ak optreden.

Gebeurtenis A imp I i c eer t gebeurtenis B, als uit het optreden van A volgt, dat ook B plaatsvindt; we geven deze relatie aan door A c B of B::> A. Twee gebeurtenissen A en B heten gel ijk (noLatie: A:o: B), indien de ge-beurtenissen elkaar impliceren, m. a. w.

A '" B ( - ) A eB en Be A (14) Als Ac B zal AB :0: A

en A U B z B.

Onder het ver sc h i 1 van de gebeurtenissen A en B (notatie: A-B) ver-staan we de gebeurtenis, dat A wel optreedt maar B niet:

A - B .. AB (15)

Voor de doorsnede en vereniging van gebeurtenissen, gelden soortge-lijke eigenschappen, als voor de vermenigvuldiging en optelling van getal-len:

commutatieve eigenschap: AB ,. BA

AUB BUA (16)

associatieve eigenschap: A(BC) :0: (AB)C

A U (B U C) = (A U B) U C (17) distributieve eigenschap: A(B U C) :0: (AB) U (AC)

A U (BC) '" (A U B) (A U C) (18)

De regels van de Mor g a n voor N gebeurtenissen luiden:

Het complement van de doorsnede van N gebeurtenissen, is gelijk aan de vereniging van de complementen van de N gebeurtenissen, dus

N

N

n

Ak

=

U Ak (19)

b:1 k.1

Het complement van de vereniging van N gebeurtenissen, is gelijk aan de doorsnede van de complementen van de N gebeurtenissen, dus

(20)

III

P(A) is de waarschijnlijkheid of kans, dat gebeurtenis A optreedt. Het geheel der kansen P(A), voor alle mogelijke gebeurtenissen A, die kunnen optreden bij een experiment met U. R.

n , vormt het kan s vel d van

dit experiment bij deze ·U. R. De kansen P(A) moeten daarbij zó zijn vast-gesteld, dat er voldaan wordt aan de volgende a x i 0 mat s .

1) P(A) ~ 0 voor iedere A 2)

pen)

~ 1

3) Als AB • c:> dan is P(A+B) P(A) + PCB)

Gevolgen van (21):

1) Voor iedere gebeurtenis A geldt:

P(A) + P(A) 1

o

<

P(A)

<

1 P( C:»

= 0

2)

3) Als A c B zal P(A)

<

PCB) 4) Als de gebeurtenissen Al, A2 ... AN disjunct zijn, zal

(21)

(22) (23) (24) (25)

5) Vormen Al' _A2 ... AN een volledig stelsel van disjuncte gebeurtenissen, dan is

Voor iedere gebeurtenis B geldt dan

(28) In het bijzonder geldt voor iedere gebeurtenis B en iedere gebeurtenis A

PCB)

= P(BA)

+ P(BA) 6) Voor ieder 2-tal gebeurtenissen A en B geldt

P(A U B) = P(A) + PCB) - P(AB)

De uitbreiding van (30) tot N gebeurtenissen Al' A2 ... AN is P(A_{I U} A2 ... U AN) := P(Al) + P(AÛ + ... + P(AN)

- _{P(A l A2) - P(AlA3)'" - P(AN_lAN)} + P(AlA2A3) + ... + P(AN_2AN_lAN)

... + _{(_l)N-I P(A l A2 .}._{. AN)} 7) Voor willekeurige gebeurtenissen Al A2 ... AN geldt

(29)

(30)

(31)

P(A

I U A2 U ... AN)~ P(Al) + P(A2) + ... + P(AN) (32) (ongelijkheid van Boole) Op m. Voor het geval er cc veel gebeurtenissen mogelijk zijn, dient axioma 21)3) als volgt te worden gewijzigd.

Voor iedere cc rij gebeurtenissen Al,A2 ... die 2 aan 2 disjunct zijn, geldt

P(A_I U A2 U ... ) = ~ P(Ak) k=l

21)3) (en ook 26) is te beschouwen als bijzonder geval van (33).

(33)

Voor de berekening van de kansen P(A) is speciaal van belang het geval dat de U. R. uit een eindig aantal (=N) mogelijke uitkomsten bestaat, terwijl er uitgegaan kan worden van de veronderstelling, dat ieder van deze N uit-komsten een zelfde kans heeft; deze kans is i. v. m. (27) gelijk aan l/N. Voor een willekeurige gebeurtenis A is, volgens (26),

,-als kA het aantal uitkomsten is, waarbij gebeurtenis A optreedt. We spreken in dit geval van een s y mme tri s c h kansveld.

Voor een symmetrisch kansveld geldt dus, volgens (34), dat de kans op een willekeurige gebeurtenis A, berekend kan worden, als het quotient van het aantal voor de gebeurtenis A "gunstige" uitkomsten en het totaal aantal mo-gelijke uitkomsten.

p(A/B)

=

P(AB) P(B)

IV

(mits P(B)

>

0) (35)

p(AjB) is de voo r w a a r del ij k e (of conditionele) kans op de gebeurtenis A, indien gegeven is dat gebeurtenis Boptreedt.

p(A/B) is alléén gedefinieerd, indien P(B)

>

0 1).

In tegenstelling tot p(A/B) noemt men P(A) wel de abs 0 I u t e kans op de gebeurtenis A.

Voor het bijzonder geval van een symmetrisch kansveld, gaat (35) over in het quotient van het aantal uitkomsten, die "gunstig" zijn, zowel voor de gebeurtenis A als voor de gebeurtenis B, en het aantal uitkomsten "gunstig" voor gebeurtenis B, m. a. w. dan is

p(A/B) := kAB kB

Voor conditionele kansen gelden de volgende betrekkingen: 1) Als Be A is p(A/B) 1

2) Als Ac B is p(A/B) P(A) P(B) 3) Als AB", ct> is p(A/B) 0

4) p(A U BiC) .. p(A/C) + p(B/C) _ p(AB/C) Speciaal, als AB

=

ct> (36) (37) (38) (39) (40) (41) 5) Vormen Ab A2 ' ,. AN een volledig stelsel van disjuncte gebeurtenissen,

dan geldt:

(42)

1) Overal, waar in het vervolg sprake is van een conditionele kans, wordt stilzwijgend aangenomen, dat aan deze voorwaarde is voldaan,

In het bijzonder zal

(43) Conditionele kansen kunnen in bepaalde gevallen ook gebruikt worden, voor het berekenen van absolute kansen.

1) Uit (35) volgt

P(AB) P(A)p(B

IA)

,

(44)

Evenzo zal

P(ABC) = P(A) p(B JA) P(C / AB), (45) mits de conditionele kansen in het rechterlid gedefinieerd zijn. Onder dit zelfde voorbehoud, geldt algemeen

P(A1A2' .. AN) .. P(AI)P(A2/ Al) p(A3/ A1A2) ... p(ANjA1A2· .. _{AN_1)} (46) 2) Indien Al' A2 ... AN een volledig stelsel van disjuncte gebeurtenissen is,

dan zal volgens (28), voor iedere gebeurtenis B,

In het bijzonder zal (zie (29»,

P(B) "" P(A) p( B / A) + P(A) p(B

JA)

(48) Omgekeerd kan de conditionele kans p(Ak/B) worden berekend, met de formule van Bayes

P(AwP(B/Ak) = N

v

E P(Ak)p(B/Ak) k-l

Twee gebeurtenissen A en B heten 0 n a f ha nk e I ijk als

P(AB) = P(A) P(B) 14 (49) (50) ; I ~ I

,

/

.

,

,

1) Als A en B onafhankelijke gebeurtenissen zijn, dan is

p(A/B) :: P(A)

p(B IA) '" P(B)

mits het linkerlid in (51) en (52) gedefinieerd is.

2) Als p(A/B) :c P(A) óf p(B/ A) :: P(B) dan zijn de gebeurtenissen A en Bonafhankelijk.

en (51)

(52)

3) Als A en B onafhankelijke gebeurtenissen zijn, dan zijn ook de gebeurteM nissen

A en Bonafhankelijk

A en Bonafhankelijk

A en Bonafhankelijk

De gebeurtenissen A1,A2." AN heten (onderling) onafhankelijk als voor alle combinaties

1

<

i

<

j < k . . . ~ N geldt P(AiAj) :: P(AÛ P(Aj)

P(~iAjAk)

= P(Ai) P(Aj) P(Ak)

(53)

Het totaal aantal voorwaarden (53), waaraan moet worden voldaan, opdat N gebeurtenissen (onderling) onafhankelijk zijn, is 2N-(N+1). De gebeurtenis-senA1,A2 ... AN, heten paarsgewijs onafhankelijk, als voldaan wordt aan de

(~)

voorwaarden

Toe pas sin g op het geval dat een experiment een aantal malen achter" een, onder gelijke omstandigheden wordt uitgevoerd. Neem aan dat voor dit experiment de kans dat de gebeurtenis A optreedt gelijk is aan p. Treedt gebeurtenis A op dan spreken we van een "succes"; treedt A op dan spreken we van een "mislukking".

\.' 1) de kans dat er bij N uitvoeringen van het experiment precies k(O ~ k

S,

N) I ~

I

successen zijn, is

(54)

Dit is,de bin 0 m i a lek a n s ver del i n g of de kan s ver del i n g van

Bernoulli.

2) de kans dat bij de Nde uitvoering van het experiment, het k de succes op-treedt is

(55) Dit is de neg a tie fbi n 0 m i a I e kansverdeling.

3) Indien in (55), in het bijzonder k = 1 wordt genomen, krijgen we de kansverdeling van Pascal:

de kans dat bij de Ne uitvoering van het experiment het Ie succes op-treedt is

pqN-1 (56)

In veel toepassingen van de kansverdeling van Bernoulli hebben we te maken met het geval, dat een experiment een groot aantal malen onder gelijke om-standigheden wordt uitgevoerd, waarbij de kans op succes (P) kIe i nis. Een goede benadering van de kansen der binomiale verdeling kan dan wor-den verkregen door gebruik te maken van de kan s ver del in g van Poisson:

-een experiment, waarbij 0,1,2, ... "successen" kunnen optreden, heeft de kansverdeling van Poisson met parameter À, als de kans dat er precies k successen optreden, gegeven wordt door de formule

(57)

Voor grote waarden van N en kleine waarden van p geldt nu, bij benadering

(N) k N-k;;:;l e-NP(Np)k _{k p q k!} Als globale richtlijn voor toepassing van (58) kan dienen:

16 p

<

1/10, N> 50, Voorbeeld N = 100 p = 1/20 N_=_30_0 _ _ p_=_1-L../_1_OO_ (N )pkqN-k e-NP(Np)k (N )pkqN-k e-NP(Npf k k k! k k! 0 0.006 1 0.031 2 0.081 3 0.139 4 0.177 0.007 0.034 0.084 0.140 0.176 0.049 0.149 0.225 0.050 0.149 0.224 (58)

U i tbr e i din g van de binomiale kansverdeling:

Al, A2 ... Ar vormen voor een zeker experiment een volledig stelsel van disjuncte gebeurtenissen; noem de kansen voor het optreden van deze

ge-r

beurtenissen PI, P2 ... Pr (zodat l; Ps=l). s=l

'Indien dit experiment N maal achtereen, onder gelijke omstandigheden wordt uitgevoerd is de kans dat daarbij de gebeurtenis As (1 ~ s :::;. r), ks

r

maal optreedt (zodat l; ks = N), s-l

N!

(59) Dit is de m u I tin 0 m i a I e kansverdeling.

N. B. : 1) Het berekenen van kansen voor bepaalde gebeurtenissen komt soms neer op het sommeren van reeksen van de volgende gedaante

00 00 00

xk = _1; l; kxk-1 = 1 . l; k(k-1)xk- 2 _ ~ (60)

I-x k=l {1_x)2' k=2 (1_x)3

Deze reeksontwikkelingen gelden voor J xl

<

1 en ontstaan uit elkaar door differentiatie.

00

Overeenkomstige reeksen (zoals l; k 2xk), kunnen worden ver-k=l

kregen door combinatie van reeksen (60), bijv.

l; k=l 00 k(k-l)xk + l; kxk = x 2

~

k=l (1_x)3 1 + x - - - = (1_x)2

Algemeen voert (N-1)-maal differentieren van l; xk = k=O x(l+x) (1_x)3 1 - tot I-x' 1 + Nx +

N(~r1)

x2 +

N(N+~)!(N+2)

x3 + ...

(l_~)N

(61) 2) Analoog aan (60) geldt voor x f. 1

N 1 N+1 N N+1 N

l; xk. -x . l; k 1<--1 = l+Nx - (N+1)x

I - x ' x'" ( 1 _ x ) 2 · .. enz. (62)

k .. O k .. 1

De met (62) corresponderende formules voor x .. l luiden

(63) VI

Een stochastische variabele bij een experiment is een reële functie gedefinieerd op de U. R. van dit experiment.

Notatie: ~ of ~(w), om aan te geven, dat de stochastische variabele afhangt van de uitkomst (w) van het experiment.

. Door aan de grootte van een stochastische variabele een voorwaarde op te leggen, wordt een geb e u r ten i s bepaald; deze is n. 1. de verzameling der w, waarvoor ~ aan de betreffende voorwaarde voldoet. Spreken we dan ook bijv. van de gebeurtenis a

<

~

<

b dan bedoelen we daarmede dever-zameling van die uitkomsten (w) van het experiment, waarvoor ~ een waarde heeft tussen a en b; de waarschijnlijkheid van deze gebeurtenis wordt aan-gegeven door P(a

<

~

<

b).

Onder de ver del i n g s f u n c tie van een stochastische variabele ~ ver .. staat men

F(a) == P (~

_<

a) (64)

De verdelingsfunctie F (a) heeft de volgende e i gen sc hap pen: 1) lim F(a) .. 1 lim F(a) '" 0

a ... co a - _ 00

2) In alle punten links continu (65)

3) Niet dalend. Voor alle a en b(b ~ a) geldt

F(b) - F(a) '" P (a ~ ~

<

b) (66) Uit (66) volgt

lim F(b) - F(a) + P~=a), (67)

b~a

zodat, mede i. v. m. (652), geldt

F(x) is continu in x-a 4=9P~.a) .. 0 (68)

18 \ j I j }

,

I I v I A Y. 1 1

We onderscheiden 3 soorten stochastische variabelen:

A) Stochastische variabelen, die slechts aftelbaar veel waarden kunnen aan-nemen: dis c r e t e s t 0 c h ast i s c h e var i ab e Ie n.

B) Stochastische variabelen, waarvan de verdelingsfunctie continu is; con-tinue stochastische variabelen.

C) Stochastische variabelen van gemengd type.

A) Onder de kan s ver del i n g van de discrete stochastische variabele b verstaan we de verzameling getallen

en geheel) Hierbij zijn ak de waarden die door ~ kunnen worden aangenomen. Volgens (65t ) is De verdelingsfunctie van ~ is F(a) '" (69) (70) (71)

De verdelingsfunctie blijft constant tussen 2 opvolgende waarden van ak en vertoont in de punten ak een sprong ter grootte van P~=ak)'

De ver w ach tin g s w a a r de of gem i d del d e van ~ is

E~)

Als Y = g~), dan is

y. wëër een discrete stochastische variabele en geldt

In het bijzonder als

E(z) N .K ~ g(ak) P~=ak) k .. 1 resp

_-

z

=

IxJN

_- is (72) (73)

1) Deze definitie geldt slechts, als de reeks in het rechterlid absoluut con-vergent is. Overal waar in het vervolg sprake is van het gemiddelde wordt aangenomen, dat aan deze voorwaarde is voldaan.

resp.

E~)

'"' E(bd N) =

~

lak

_l

N

P(~,",ak)

k=l

(74)

(75)

(74) resp. (75) is het Nde moment resp. het Nde absolute mo-ment van~.

De var i a nt i e van x is

De sta n d a a r d d e v i a tie is

a(~)

=

V

E~2)

_

(E~»2

Als

1..

aK + b zal en E(x) '"' a E~) + b a2

(r)

== a2a2~) (76) (77) (78) (79) Voorbeelden discrete kansverdeling:

l)Binomiale kansverdeling (kansverdeling van Bernoulli) (zie (54»

P~=k)

'"'

(~)pkqN-k; E~):o:

Np;

a2(~)

== Npq (80)

(0 ~ k SN en k geheel)

2) Poisson kansverdeling met parameter À (zie (57»

e-À Àk ₂

P(x",k) • ~ (k geheel en

>

0); E~)::: À; a (~) == À (81) 3) De negatief binomiale kansverdeling (zie (55»

P(~N)

'"

(~=~

)pkqN-k (N geheel én

~

k);

E~) =~;

4) De kansverdeling van Pascal: (zie (56»

P(~.N) '" pqN-1 (N geheel en ~ 1);

EW'" p'

1.

a2~)

== ki (82)

B) Indien de verdelingsfunctie continu is, geldt, wegens (68),

l)

F(a) .. P~ < a) .. P(~ ~a) (84) en algemeen

F(b) - F(a) .. p(a:S.x< b) .. P(a~~~b)=

5) (85)

.-6) 7) 8) 9) i) 30)

BI)

82) 83) P(a < X Sb) = P(a < ~ < b) Indien F(a) overal differentieerbaar is, 1) noemen we

p(a) = dF(a) da

de kan sdi c h th ei d van de stochastische variabele X.

(86)

Op m .: Om aan te geven dat F(a) resp. p(a) de verdelingsfunctie resp. kansdichtheid is van de stochastische variabele ~ is geven we deze ook wel

aan door F x(a) resp. p~(a).

Analoog aan (70) en (71) geldt

J

p(t)dt 1 (87)

a

F(a) '"

J

p(t)dt (88) -co

De verwachtingswaarde of gemiddelde van

e.

is nu

E(~)

=

J

tp(t)dt 2) (89)

-00

1) Behoudens in een eindig aantal, eventueel aftelbaar 00 aantal punten. + ..

2) Mits

J

Itlp(t)dt < co; zie voetnoot op blz. 19.

terwijl als

+'"

E~)

=

J

g(t) p(t)dt (90)

-'"

Voorbeelden continue verdelingsfuncties met kans dicht-held

1) Uniforme verdeling op (a, b)

F(t) x 0 (t ~ a) _{p(t) '" 0 (t}

<

_a) t-a ( :=: b-a a

<

t

<

b) 1 = b-a (a

<

t

<

b) (91) '" 1 (t

>

b)

o

(t> b)

Is ~ uniform verdeeld over (a, b), dan is

E~)

'" -21 (a+b)

a2~)

=

1..-

(a_b)2

12 (92)

2)De negatief exponentiële verdelingsfunctie met para-meter À

>

O. F(t) =: 0 (t

<

0) _pet)

=

₀ (t

<

0) -Àt( ) .. l-e t > 0 (93) '" Àe -Àt (t

>

0)

Is ~ negatief exponentieel verdeeld met parameter À dan is

E~) .. I/À (94)

3)De normale verdeling met parameters IJ. en a: N(iJ.,a)

(deze verdeling heet ook wel, Gaussverdeling , Laplaceverdeling of f 0 ut e nk rom me)

t (~_1L)2 (t-IL)2 1

.r

20'2 ₁

- 2(72

F(t) :0: e d;; pet) _{= - - -} e 0'",[211 0'",[ 211 (95) - 0 )

Is ~ normaal verdeeld met parameters IL en 0', dan is

(96)

Als de stochastische variabele ~ normaal verdeeld is, N(!L,a), dan is

X. a~ + b (a of 0) eveneens normaal verdeeld N(IL!, 0'1) met (zie (78) en (79)) (97)

In het bijzonder heeft de stochastische variabele

X-IL

Y

=

=--

de verdeling N(O,l)

:- 0' (98)

In verband met (98) kan het berekenen van kansen betrekking hebbend op willekeurige normaal verdeelde stochastische variabelen, worden terugge-bracht tot N(O,l) verdeelde stochastische variabelen.

N. B. (87), toegepast op de kansdichtheid van de N(O,l) verdeling, levert op

+ ex>

/27T

J

(99)

-ex>

Algemeen volgt door partiele integratie uit (99~

(n geheel en ~ 0) (100)

C) Dit betreft het geval dat de verdelingsfunctie in een aftelbaar aantal pun-ten (ak) een discontinuiteit heeft, terwijl de verdelingsfunctie in de overige punten differentieerbaar is.

+'"

I

p(t)dt +

'"

~ P<K ak) :0: 1 k=l (101 ) terwijl a F(a)

J

p(t)dt + l; _{P(~ ak)} ak

<

a (102) Voorts is +'" E~)

J

tp(t)dt + ~ _{ak P(~=ak)} k=l (103)

Onder de con dit ion el everdelingsfunctie van de stochastische variabele

b indien gegeven is, dat gebeurtenis A optreedt verstaan we

P(~

<

a/A) P(CK

<

a) nA)

zo P{A) (104)

De conditionele verdelingsfunctie heeft weer de eigenschappen (65). Bere-kening van het con dit ion e e 1 gemiddelde vindt weer op overeenkomstige wijze plaats. Bijv. in geval de stochastische variabele discreet is geldt, analoog aan (72)

(105)

VII

Onder de sim u lt a n e ver del in g s f u n c ti e van de stochastische vari-abelen ~ en "i.; bij eenzelfde experiment verstaat men

F(a, b) = P~

<

a;

r

<

b) (106) I o 2 3 4 I a '] k A I f. n A

De simultane verdelingsfunctie F(a, b) heeft de volgende eigenschappen (zie ook (65»:

1) lim F(a, b) = 0 (voor alle b) a ... 00

lim F(a, b) • 0 (voor alle a) b.o.", 2) lim F(a, b) z P~

<

b) a-co (107) lim F(a, b) • P~

<

a) b -'" 3) lim F(a,b)z 1 a .... '" b-",

De stochastische variabelen 1s; en y... heten onderling onafhankelijk als voor alle waarden van a en b

Plli

<

a;

y.

<

b) P~

<

a) P~

<

b) (J08)

Twee belangrijke gevallen van de verschillende mogelijkheden, die zich kunnen voordoen, zijn

A) de stochastische variabele 1s;, zowel als y. is discreet

B) de stochastische variabelen ~ en y bezitten een sim u lt a n e. kan s w

dichtheid.

-A) Onder de sim u I t a nek a n s ver del in g van de discrete stochastische variabelen ~ en

'i

verstaan we de verzameling getallen

(k, j

2.

1 en geheel) (109)

Hierbij zijn ak en bj de waarden die door ~ resp. 'L kunnen worden aangeno-men.

Analoog aan (70) geldt:

'"

'"

~ ~ PCKz ak; (110)

terwijl de simultane verdelingsfunctie van ~ en

y.

F(a, b). E E p~ • ak; 1(111) ak

<

a bj

<

b

Voor de berekening van de kans van een gebeurtenis, die men verkrijgt door aan ~ en

y.

een zekere voorwaarde op te leggen, is het vaak voordelig gebruik te maken van een voorstelling in het platte vlak. De voorwaarde op~

gelegd aan ~ en

y.

(bijv. ~

<

y... of ~2 + y"'2

<

1) correspondeert met een be-paald gebied G in het XOY -vlak; de gebeurtenis die hierdoor wordt gedefini-eerd is nu de verzameling van die uitkomsten (w) van het experiment waarw voor het punt met coördinaten

lli(w),

lew»~ gelegen is in het betreffende ge-bied G. We spreken daarom wel van de gebeurtenis G.

Algemeen geldt nu

(112) waarbij gesommeerd wordt over die punten (ak, bj) die gelegen zijn in het gebied G van het XOY -vlak.

De voorwaarde (108) voor onafhankelijkheid van de stochastische variabelen

~ en

y.

is aequivalent met

(k,j

2:.

1 en geheel) (113) De kansverdeling van K, ook wel aangeduid als de mar gin a l e k a n s-ver del i n g is uit de simultane kansverdeling af te leiden volgens

P(~.ak)· ~ P~.ak; l..-bj)

j,.l

(114)

De con dit Ion e I e kansverdeling van K, als

y.

gegeven is

Cl.. '"

bj) is

P~- ak;

l..

bj)

P(K- akh. bj) • P~. bj) (k en j geheel en ~ 1) (115) Indien ~ en y onafhankelijk zijn, volgt uit (113), dat de conditionele kans .. verdeling van~, dezelfde is, als de marginale kansverdeling van ~ dit laatste is steeds het geval, als de gegeven conditie een voorwaarde is, die opgelegd is aan

y.

aUéén (bijv. l

<

bj,

I?

>

1).

De berekening van E~) kan plaatsvinden, volgens (72) of, aequivalent, met de simultane kansverdeling

E~) - ~ ~ ak P~. ak; (116)

Algemeen, als ~ = g(~, 1), dan is Als: ~1 E(g,) '" E k.1 E g(ak, bj) P(~

=

ak; j.l g1 (~, 1) en ~2

=

g2~,1), dan is

E(a~1 + b'?'2)- aE(g,1) + bE(g,Û

In het bijzonder volgt uit (J 17)

Elli + y) '" Elli) + E(z) Zijn ~ en

X.

onafhankelijk dan is

(117)

(118)

(119)

(120) Uit (120) volgt omgekeerd ni e t dat ~ en 'i... onafhankelijke stochastische variabelen zijn.

De co var i a nt i e van de stochastische variabelen ~ en 'i... is

Cov(~,l) = E{~ - E~) (y - E(y)~ ., E~) - E(~) E(y) (121) De co r rel a tie c 0 e f f i c ie nt voor ~ en y is

(122) Zijn ~ en 'i. onafhankelijk dan volgt uit (120)

Cov(~, l.) '" p(~, l.) :0: 0 (123)

Als z '" a~ + b'i., dan is

(124) Voor onafhankelijke stochastische variabelen ~ en .'i... geldt dus

(125) Voor de covariantie en de correlatiecoefficient van 2S. en 'i....gelden nog de volgende betrekkingen:

I

p(~,y)

I

~ 1 (127) I O'~) - O'(y)f

<

O'~ + ~)

.s

O'W + O'(y) (128)

o2F

B) Indien oaob bestaat voor alle waarden van a en b 1) noemen we

o2F

p(a, b) - oaob (129)

de sim u lt a nek a n sdi c h t hei d van x en y.

Op m. : In plaats van F(a, b) en p(a, b) wordt gebruikt de notatie F x y(a, b) en P1S y(a, b), als het wenselijk is om aan te geven, dat we te maken'tiebben met dë simultane verdelingsfunctie en kansdichtheid van ~ en :[; ook kan daartoe worden gebezigd de notatie p(x, y), die in de vraagstukken zal worden toegepast. Analoog aan (11 0) en (111) geldt

+'"

+'"

J

.r

p(u, v)dudv = 1 (130) u--CQ v=-CQ en a b F(a, b) ,.

J

J

p(u, v)dudv (131) u=-CQ v=-CQ

De waarschijnlijkheid voor een willekeurige gebeurtenis G is (vergelijk 112))

peG) '"

J

Ip(U,

v)dudv G

(132)

De voorwaarde (108) voor onafhankelijkheid van ~ en

t

is equivalent met (133) m. a. w. de simultane kansdichtheid van x en y moet gelijk zijn aan het pro-duct van de kansdichtheid van ~ (d. i. Px(a»

ëi1

de kansdichtheid van y. (d. i.

:ir

(b». - o2F

Zle voetnoot 1) blz. 21 : thans kan het bijv. voorkomen dat oaob niet be-staat voor de punten van een bepaalde kromme.

De kansdichtheid van x resp. y wordt ook wel aangeduid als de mar gin a I e kansdichtheid van x :resp. yen kan uit de simultane kansdichtheid worden afgeleid volgens -

-+00

f

resp. PL(b) '"

J'

P&L(a,b)da (134) px(a)., p~, y'(a, b)db

-co -co

De conditionele verdelingsfunctie van ~ als gegeven is dat 'L < b is te be-schouwen als bijzonder geval van (104); voor A dient nu te worden geno. men, de gebeurtenis 1.. < b. Dus

p(~ < a/__y < b) P(x < a; y. < b)

= P(i

<

b) (135)

Zijn x en y onafhankelijk, dan zal, volgens (108), de conditionele verdelings-functie van~, gelijk zijn aan de marginale verdelingsfunctie van ~.

Voor het geval gegeven is dat y.b, kan de corresponderende conditionele verdelingsfunctie van!. niet overeenkomstig (135) worden gevonden, omdat P(y.b).O.

Ais

echter Py(b) > 0 de fin ier en we de conditionele kansdichtheid van ~,

bij gegeven r~.b), als

p~/r.(a/b)

p~,r(a, b) p~,1..(a, b) (136) Pr.{b)

'"'

+co

I

J

p~,r(u,b)~ J

-co

Uit (136) volgt nu ;tWvY

l

a

.f

a P~,r.(u,b)du

p(~

<

a;r·b)

..

J

Px/ (u/b)du • u=-co (137)

-Y.

+00 U~-oo

J

P~, reu, b)du u=_c:o

Analoog aan (116) geldt thans

E~)

..

J

J

a Px y(a, b)dadb _-'~ (138)

-'"

terwijl, algemeen als z = g(!'l)

+'"

E~)

"".r

.r

g(a, b)

p~

,

'L(a, b)dadb (139)

a=-", b=-'"

De onder A vermelde betrekkingen (118)

tJm

(128) blijven ongewijzigd, als ! en

x..

een simultane kans dichtheid hebben.

Twee-dimensionale normale verdeling

De stochastische variabelen x en y hebben een 2-dimensionale normale

ver-deling, indien -

-Eigenschappen:

1) ~ resp. L zijn normaal verdeeld NV-L1; al) resp. N(iJ2; a2)

2) de correlatiecoëfficient van x en y is gelijk aan p.

Nodig en ook voldoende voor-onafhankelijkheid van x en y is, dat paO (zie

ook (123» -

-3) de conditionele verdeling van~, bij gegeven y(r:o:b) resp. van L bij gege-ven ,?S(e.a) is normaal

(141)

Als ~ en 'i stochastische variabelen zijn met simultanekansdichtheid p~ y(a, b)

en is

-a

:

T D VI Cl ai

W

D Ol VI Vi b:

o

w SI Zl d, h 2 u

met ps - qr f. 0 v

=

rx + sr

dan is de simultane kansdichtheid van u en v

1 p!!, y(c, d) ..

f

ps-qrl p~, rea, b) als c .. pa + qb d • ra + sb (142) (143)

Toepassing van (143) op het geval dat de simultane kansdichtheid van ~ en 1.

twee-dimensionaal normaal is, leert, dat als Y.. en Y. volgens (142) worden

af-geleid uit ~ en r ook de simultane kansdichtheid van Y.. en Y. twee-dimensio-naal normaal is.

Twee .. dimensionaal homogene verdeling

De stochastische variabelen ~ en y.... hebben een 2-dimensionaal homogene verdeling over een gebied G, indien de simultane kans dichtheid Px (a, b)

constant is, als (a, b) tot het gebied G behoort, terwijl

p~,

y(a, b) gelIjk is

aan 0, als (a, b) niet behoort tot dit gebied. -Wegens (130) is

1

p~, ~(a, b) .. opp G (144)

De waarschijnlijkheid dat (~, 1.) behoort tot een willekeurig gebied Gl is dan ook (vergelijk (132»

opp _G1 P(G 1) .. G

opp (145)

Wegens (143) zijn ook de volgens (142) getransformeerde stochastische variabelen .!!. en y.. homogeen verdeeld over het met G corresponderend ge-bied in het

lli,

y) vlak.

Op m. 1) De betrekkingen en definities kunnen in het niet discrete geval worden uitgebreid, tot het geval, dat er geen simultane kansdichtheid be-staat. Deze laatste mogelijkheid, dus géén simultane kansdichtheid, kan zelfs optreden, ook al heeft zowel ~ als y wél een kansdichtheid (bij v . als de waarden die x en y kunnen aannemen, gelegen zijn op een rechte lijn in het ~,r) vlak. -

-2) Een uitbreiding op voor de hand liggende manier, kan eveneens worden uitgevoerd voor het geval van méér dan 2 stochastische variabelen.

VIII

De kar ak ter is tie kefunctie van een stochastische variabele K is (146) Als K een discrete kansverdeling P~",ak) •

Pk

resp. een kansdichtheid p~(a)

heeft is

'"

%(u) • ~

_Pk

_eiuak (147) kz:1 resp. +'" <Px(u) ..

J

eiua p~(a)da (148) -0>

Karakteristieke functies van enige bekende verdelingen

iH

la

2

u

2

1) Normale verdeling N{J.L, a) : %(u) .. e ..,.u- 2 (149)

2) Negatief exponentieel met parameter À : fPx(u) = _À_._

- À-lU (150)

3) Homogene verdeling over (a, b) ~(u) .. eiub .. eiua _iU(b-a) (151)

4) Poisson-verdeling met EC!) .. À fPx(u) è(eiu_l) (152)

5) P~.O) .. q

q + peiu

P~.l) • P met p + q. 1 ~(u) (153)

6) P~a) • 1

P(e;ia) • 0 <Px(u) .. eiua (154)

Eigenschappen van karakteristieke functies

1) De verdelingsfunctie van een stochastische variabele is eenduidig bepaald door zijn-karakteristieke lunctie. In-hët bijzonder kunnen E(~ resp.

E(K2), indien deze bestaan, uit de karakteristieke functie worden afgeleid: (155)

32

3

2) 3) Als

IIPx(u)!

:s.

1 %(0) .. 1 %(",u) • %~u)

x...

= a + bx

CPy.(u) "" eiua

CP~(bu)

(156)

dan is

(157) In het bijzonder is de karakteristieke functie van -~, gelijk aan %(u). 4) Als.K en L onafhankelijke stochastische variabelen zijn en

~ = .~ + Y..J dan is

cp~(u) • ~(u) 4'r(u) (158)

5) Neem aan dat ~N(u) de karakteristieke functie is van de stochastische variabele AN (N geheel en ~ 1), met bijbehorende verdelingsfunctie FAN(a). Nodig en voldoende opdat er een verdelingsfunctie F(a) bestaat,

zó dat F~N(a) .... F(a) als N .... "" (voor iedere a waar F(a) continu is), is dat

~N(u) .... cp(u) als N .... "', waarbij cp(u) continu is in u=O; cp(u) is de bij F(a) behorende karakteristieke functie.

Uit de eigenschappen 1) en 4) is af te leiden:

1) Zijn lil li2 ....

lik

onafhankelijke stochastische variabelen met normale verdeling N(!.I1' 0'1), N(1"2' 0'2) ... N(l"k,O'k) dan is

k .

y' = ~ a·x· _H eveneens normaal verdeeld

j-1 (159) k volgens N( ~ ajl"j' j-1 (zie ook (97»

2) Zijn ~1 ~2 .... ~ onafhankelijke stochastische variabelen die verdeeld zijn volgens Poisson, met gemiddelde À 1, À2' ... ,Àk' dan is

k k

I

= ~ ~j eveneens volgens Poisson verdeeld, met gemiddelde ~ Àj (160)

A) Onder toepassing van de eigenschappen 4) en 5) kan het Centraal L i mie t Th e 0 rem a (in klassieke vorm) worden bewezen: als de sto. chastische variabelen .êk (k geheel en

>

I), onderling onafhankelijk zijn,

met dezelfde verdeling, terwijl E(!!k) .. m en a2C.êk} "" a 2 dan zal als N E _~

_-

Nm k ... 1 voor alle b YN .. _a'\/N b lim

_PCIN

_<

b} '" 1

J

_lt

2 dt

..J2ir

e 2 N-<:Xl -<:Xl Toepassing van (161) op de binomiale verdeling.

Nemen we in het bijzonder aan dat ~k de volgende verdeling heeft

P~;:l} p

P~k=O}

=

q

=

1-p N

dan heeft ~N:=: ~ ~k de binomiale verdeling

k=l Volgens (161) zal nu b zN-Np b} 1

J

lim _PC"'NPq

_<

>.{2" N-<:Xl -co

zodat voor grote waarden van N

_lt2 e 2

!.t

2 e -2 dt dt (161) (162)

waaruit volgt

(k_NP)2 2Npq

(163)

Als globale richtlijn voor toepassing van deze benadering kan dienen Np

>

19; de benaderingen zijn beter naarmate p dichter bij tligt. Voor kleine waarden van p(p

<

1/10) geldt ook de benadering volgens Poisson. Is voor deze kleine waarden van p, N voldoende groot, dan zal wegens (58) en (163) dus,

1

"J 27TNpq e

In het bijzonder zal voor À

>

10,

(k_NP)2 2Npq ;:::: (k_À)2 -~ e-NP(NP)k k! e-ÀÀk ~ 1 ~ .~ "J27TÀ e Voorbeeld (163) (k-Np) (N )pk qN~k . 1 e 2Npq k "J27TNpq 1 3 1 3 P-2" P"'10 p.2" P=10 N.10 k .. 3 0.117 0.267 0.113 0.275 k.5 0.246 0.103 0.252 0.106 N .. 20 ko-:7 0.074 0.164 0.073 0.173 b.lO 0.176 0.031 0.178 0.029 N ... 30 k .. 10 0.028 0.142 0.028 0.147 k .. 15 0.144 0.011 0.146 0.009 (164) (165) 2

Voorbeeld (165) eÀ Àk e _k~ À=10 À=:15 k .. 5 0.038 k .. 10 0.125 0.049 k=15 0.035 0.102 k=20 0.042 0.036 0.126 0.045 0.036 0.103 0.045

B) Onder toepassing van de eigenschappen 4) en 5) kan de zwakke wet

van de gr ote aan ta 11 e n worden bewezen:

Als de stochastische variabelen 1%. (k geheel en

>

1), onderling onafhankelijk zijn, met dezelfde verdeling, terwijl E~)=m dan zal als

voor iedere 8

>

0 N ~ .2!:k k .. 1 IN =: N lim p(Iw-m J

>

8) .. 0 N -- '"

Toepassing van (166) op de binomiale verdeling Nemen we in het bijzonder aan dat

P~k'.r:1) '" p P~ .. O) :or: q ;::: 1-p zodat N ~N .. ~ 2!:k k=1 (166)

het aantal successen voorstelt in een N maal herhaald experiment met iedere keer de kans p op succes, dan zal volgens (166) voor iedere 8

>

0

lim N-",

zN

Ongelijkheid van Chebyshev

Als m resp. 0'2 het gemiddelde resp. de variantie is van een stochastische variabele ~ dan zal voor iedere h

>

0

1 P(j

x-mI

>

ha)

<

-2

- h (168)

Met (168) kan een bovengrens worden afgeleid voor de uitdrukking

P(J m-m J

>

e:), optredend in (166). We moeten daartoe echter wel aanne-men dat de ~k een eindige variantie 0'2 hebben. Toepassing van (168) op de stochastische variabele

W

voert tot

(169) In het bijzonder vinden we voor het geval van de binomiale verdeling

p(J

~N

_ p J

>

e:)

<

p(1-p)

N Ne:2 (170)

Omkeertheorema

Volgens eigenschap 1 is de verdelingsfunctie van een stochastische variabele eenduidig bepaald door zijn karakteristieke functie. Voor iedere verdelings-functie ge ldt

P(K=a) = lim F x(t)

-U.a

-+U

FK(a)

=

lim

2~

f

e-iua

~(u)du

U-al .

-U

(171 )

Voor het geval van een discrete stochastische variabele is hiermede de kansverdeling ondubbelzinnig vastgelegd.

Indien <Px(u) absoluut integreerbaar is, d. w. z. als +'"

-

'"

heeft ~ steeds een kansdichtheid p(x), en dan is

+cc

p(x)

2~

_"

J'

_{e- iux <Px(u)du} (172)

-cc

I COMBINATIES EN PERMUTATIES

1) Hoeveel getallen van a) 5 cijfers b) 5 verschillende cijfers c) 3

ver-schillende cijfers kan men vormen van de cijfers 1, 2, 3, 4 en 5? 2) Hoeveel even getallen van a) 4 cijfers b) 4 verschillende cijfers kan men

vormen van de cijfers 1, 2, 4 en 6?

. 3) Hoeveel even getallen van 6 cijfers kan men vormen van de cijfers 1, 2, 3, 4 en 5, zó dat er geen 2 gelijke cijfers naast elkaar staan?

4) Hoeveel getallen (> 100) van 3 verschillende cijfers kunnen gevormd

worden van de cijfers 0, 1, 2, 3 en 4?

5) Hoeveel natuurlijke getallen zijn er,

<

1000, waarin geen cijfers her-haald worden?

6) Op hoeveel manieren kan uit 8 personen een bestuur worden samenge., steld van 3 personen, als onderscheid gemaakt wordt naar de functie in

het bestuur; dezelfde vraag voor het geval slechts 4 van de B personen

in aanmerking komen voor de voorzittersfunctie.

7) 5 personen maken een reis per auto. Indien deze auto 5 zitplaatsen heeft en indien 3 van de 5 personen een auto kunnen besturen, op hoeveel manieren kunnen deze 5 personen dan in de auto plaatsnemen?

8) 4 personen, A, B, C en D begeven zich, op dezelfde dag, per trein van

E naar F. Er lopen op één dag 7 treinen van E naar F.

a) Wat is het aantal manieren, waarop de 4 personen kunnen reizen, zó dat ieder een verschillende trein heeft?

b) Dezelfde vraag voor het geval noch A noch B één van de eerste 3 treinen neemt.

9) Een vaas bevat 6 witte en 6 rode ballen; de witte en de rode ballen zijn

genummerd 1 tlm 6. Achtereenvolgens worden 5 ballen uit de vaas

ge-trokken. Op hoeveel manieren is dit mogelijk, zodanig dat

a) de laatst getrokken bal rood is b) de 2 laatst getrokken ballen rood zijn c) alle getrokken ballen een even nummer hebben d) de 1e, 3de en 5de getrokken bal wit zijn e) alle getrokken nummers ~ 4 zijn.

Maak onderscheid tussen de gevallen, dat het trekken van een bal plaats vindt mét en zonder teruglegging.

10) a) Beredeneer betrekking 6) en evenzo betrekking 8) van de inleiding. b) Toon betrekking R) door berekening aan, door toepassing van het

c) Leid af met behulp van betrekking 6)

N N-l N-2 k k 1

(k) x (k-1) + (k-1)+ ····(k-I) +

~:1)

en geef van deze laatste betrekking een rechtstreekse verklaring.

a) door berekening b) beredeneer de betrekking. 12) Bewijs voor N

>

1 N a) L;

k~)

.. N 2N- 1 k.d N b) L; k(k-l)

(~)

'" N(N-1) 2N-2 k.1 I

13) a) Gegeven N (~2) niet-evenwijdige lijnen in het platte vlak, waarvan er niet 3 door één punt gaan.

Bereken het aantal snijpunten.

b) Dezelfde vraag voor het geval r(~ 2) van de N lijnen onderling even-wijdig lopèn. Er gaan wederom niet 3 lijnen door één punt.

c) Evenzo voor het geval r(~ 3) van de N niet-evenwijdige lijnen door één punt gaan.

14) a) Van N(> 3) punten in de ruimte is gegeven dat er niet 4 punten zijn, die in éen plat vlak liggen. Hoeveel platte vlakken kunnen worden aan-gebracht door 3 van de N punten te kiezen?

b) Dezelfde vraag voor het geval er precies 4 van de N punten zijn, waardoor In plat vlak kan worden aangebracht.

15) a) M mannen staan opgesteld in In rij naast elkaar. Op hoeveel manie-ren kunnen V vrouwen in deze rij geplaatst worden, zó dat iedere vrouw tussen 2 mannen staat; neem aan dat

M

>

V.

b) Dezelfde vraag voor het geval de M mannen in een kring staan opge-steld; nu is M

>

V.

16) Een lift start met 6 personen en kan stoppen op 10 verdiepingen.

a) Wat is het totaal aantal manieren, waarop deze 6 personen de lift kunnen verlaten?

Op hoeveel manieren kunnen deze 6 personen de lift verlaten zó dat b) geen 2 personen op dezelfde etage uitstappen

c) precies 2 personen uitstappen op de 4de verdieping

d) precies 2 personen uitstappen op de 4de verdieping en van de andere 4 personen er niet 2 uitstappen op dezelfde etage

I

e) precies 2 personen uitstappen op de 4de etage en er precies 2 op de 8ste etage uitstappen.

17) Van een partij van 100 lampen zijn er 20 defect.

Op hoeveel manieren kan men er uit deze partij 20 kiezen a) die alle 20 in orde zijn

b) waarvan er hoogstens 1 defect is c) waarvan er minstens 1 defect is.

18) Uit een groep van 4 Belgen, 4 Zweden, 4 Zwitsers en 4 Nederlanders wordt een commissie van 4 gevormd.

Op hoeveel manieren kan deze commissie gevormd worden zo, dat hier-in

a) minstens één Nederlander zit b) precies één Nederlander zit c) hoogstens één Nederlander zit

d) alléén België èn Nederland vertegenwoordigd zijn e) Zweden en Zwitserland niet vertegenwoordigd zijn

f) minstens 1 persoon uit België, uit Zweden en uit Zwitserland zit. 19) Hoeveel getallen van a) 5 cijfers b) 5 verschillende cijfers kan men vor.

men van de cijfers 1 t /m 9, zó, dat 3 van de gekozen cijfers oneven zijn en 2 even.

c) Dezelfde vragen voor het geval het gevormde getal oneven moet zijn. 20) 6 Echtparen vormen samen een tennisclub. Hoeveel partijen zijn er

mogelijk van a) 2 mannen en 2 vrouwen b) zonder echtparen c) 2 man-nen en 2 vroqwen, maar géén echtparen?

21) Op hoeveel manieren kan men uit een volledig kaartspel een groep van

13 kaarten vormen '

a) zonder ruiten b) zonder azen c) met de 4 azen d) zonder azen maar met 4 boeren e) zonder ruiten maar met 3 azen f) met 2 azen g) met 5

schoppen, 4 harten, 3 klaveren en 1 ruiten h) met 4 schoppen, 3 harten, 3 klaveren en 3 ruiten i) met minstens· 2 azen j) met 2 boeren en 2 vrou_ wen k) met 2 boeren en 2 harten 1) met 2 boeren, 2 vrouwen en 2 harten m) met hoogstens 1 ruiten n) met minstens 1 ruiten 0) met minstens 1 boer p) met minstens 1 boer en -rheren.

22) a) Hoeveel getallen kan men vormen uit het getal 111233444 door om-zetting van de cijfers?

b) Hoeveel getallen zijn er even?

c) Hoeveel getallen zijn er, die beginnen en eindigen met hetzelfde cijfer?

23) a) Bereken het aantal permutaties, dat kan worden gevormd van de letters van het woord "geheelonthouder".

40

b) Hoe groot is het aantal permutaties, indien de medeklinkers in de~

I c) Op hoeveel manieren kunnen de letters gerangschikt worden, zó dat

de 4 letters "e" naast elkaar komen?

d) Wat is het aantal mogelijke rangschikkingen, indien de 4 letters "e" paarsgewijze naast elkaar komen, maar niet alle 4 naast elkaar, ter-wijl de medeklinkers in dezelfde volgorde moeten voorkomen als in het gegeven woord?

24) Men doet een worp met 10 dobbelstenen. Op hoeveel manieren kan een worp tot stand komen, die bestaat uit

a) 4 x 6, 1 x 4, 1 x 3, 3 x 2, 1 x 1 b) 2 x 6, 2 x 5, 2 x 4, 2 x 3, 2 x 2 c) 5 maal 2 gelijke ogen

d) 2 maal 5 gelijke ogen

25) Men doet een worp met 3 dobbelstenen. Op hoeveel manieren kan een worp tot stand komen, die bestaat uit

a) 3 gelijke ogen

b) 2 gelijke ogen, maar niet 3 gelijke ogen c) 3 verschillende ogen

*

26) Op hoeveel manieren kan een getal worden gevormd van 6 verschillende cijfers, die gekozen zijn uit de cijfers 1

tlm

8, zó dat

a) 3 van de gekozen cijfers even zijn en 3 oneven

b) als a) maar bovendien moeten de even cijfers monotoon toenemend en de oneven cijfers monotoon afnemend vermeld staan

c) als a) maar de even cijfers moeten monotoon vermeld staan

d) de laatste 2 cijfers even zijn en de oneven cijfers monotoon vermeld staan.

*

27) a) Wat is het aantal getallen van 6 cijfers dat men kan vormen van 6 negens en 4 zevens?

b) Hoeveel codes van 3 letters kan men vormen van de letters van het woord "rabarber"?

*28) a) Een autobus heeft 32 zitplaatsen waarvan 16 vooruit en 16 achteruit rijden. Op hoeveel manieren kan een gezelschap van 16 personen zich over deze zitplaatsen verdelen, indien er 6 personen zijn die niet willen achteruitrijden en 4 personen, die niet vooruit willen rijden. b) Indien zowel van de 16 plaatsen "vooruit", als van de 16 plaatsen

"achteruit" er 8 zijn aan een raam, op hoeveel manieren kan een ge-zelschap van 16 personen zich dan over de zitplaatsen verdelen, in-dien er 3 personen zijn die vooruit willen rijden, 2 die achteruit wil-len rijden, 2 die niet een raamplaats wilwil-len hebben en 3 die een raamplaats wensen en bovendien vooruit willen rijden.

29) Bij een bevolkingsonderzoek worden de onderzochte personen gesplitst in 12 verschillende klassen. Indien een groep van 24 personen zich aan dit onderzoek onderwerpt, hoeveel verdelingen zijn er dan mogelijk, waarbij

I

b) in klasse 1 en ook in klasse 2, 12 personen komen

c) er 2 klassen zijn, zodat in ieder van deze beide klassen 12 personen komen

d) alle personen in klasse 1 of in klasse 2 komen, maar niet alle 24 in

dezelfde klasse komen

e) er 2 klassen zijn, zodat alle personen in één van deze 2 klassen

ko-men, maar niet alle 24 in dezelfde klasse komen

f) er 3 personen komen in ieder van de klassen 1

tjm

6 én 1 persoon in ieder van de klassen 7 t/m 12

g) er 6 klassen zijn, zodat in ieder van deze 6 klassen 3 personen

ko-men, terwijl in ieder van de overige 6 klassen 1 persoon komt h) in klasse 1 en in klasse 2 ieder precies 7 personen komen, terwijl van

de overige personen er niet meer dan één in eenzelfde klasse komt i) in klasse 1 én in klasse 2, ieder precies 7 personen komen

j) in klasse 1 én in klasse 2, ieder precies 7 personen komen, terwijl

de overige 10 personen in éénzelfde klasse komen

k) in klasse 1 en in klasse 2 ieder precies 7 personen komen, terwijl de

overige 10 personen in 2 klassen, maar niet in éénzelfde klasse komen.

'" 30) 9 ballen genummerd 1 t /m 9 worden verdeeld over 3 vazen. Hoeveel verdelingen zijn mogelijk, waarbij

a) ieder van de vazen 3 ballen bevat

b) geen 2 vazen éénzelfde aantal ballen bevat en geen enkele vaas leeg

blijft

c) de Ie vaas minstens 3 ballen bevat

d) de 9 ballen zich in 2 vazen, maar niet in éénzelfde vaas bevinden

e) iedere vaas zowel een bal bevat met even rangnummer, als met on. even rangnummer

f) er geen enkele vaas is, die zowel een bal bevat met even rangnummer als met oneven rangnummer.

31) a) Op hoeveel manieren kan men uit een volledig kaartspel een groep van 13 kaarten vormen, waarbij de verdeling van de kleursoorten als volgt is, (5,4,3, 1), (2,2,4, 5), (5, 5, 3), (7,6), resp. (3, 3, 3, 4). b) Dezelfde vraag als a), maar bovendien moeten alle 13 hoofden voor_

komen.

;:. 32) a) Hoeveel stenen komen voor in een dominospel?

42

b) Bereken ook het aantal stenen, dat voorkomt in een "dominospel", als er op iedere steen 4 cijfers (i. p. v. 2 cijfers) vermeld staan (ge-kozen uit de cijfers 0

tfm

6).

c) Op hoeveel van de onder b) bedoelde stenen, staan 2 even en 2 oneven cijfers vermeld?

d) Indien er onderscheid gemaakt zou worden tussen de volgorde, waar-in de cijfers op de stenen vermeld staan, hoe groot zou dan het aantal stenen zijn van de onder b) bedoelde soort?

I

*

33) Men ontwerpt een code van 6 tekens; voor ieder teken is er keuze uit 26 letters en 10 cijfers.

Hoeveel codes zijn er mogelijk, bestaande uit a) 3 cijfers en 3 letters

b) 3 cijfers en 3 letters, waarbij ieder cijfer en ook iedere lette:.' maar 1 keer wordt toegelaten

c) als b) maar de cijfers moeten monotoon en de letters moeten al-phabetisch vermeld staan

d) 4 cijfers en 2 letters, waarbij de letters niet naast elkaar staan e) 4 cijfers en 2 letters, waarbij éénzelfde cijfer hoogstens 2-maal

voorkomt

f) als e) maar de cijfers moeten niet afnemend vermeld staan.

*34) 3 publicaties, A, B en C, ieder van 5 bladzijden, worden in een tijd-schrlit gepubliceerd; de 15 bladzijden worden echter in een willekeurige volgorde afgedrukt.

*

Bereken het aantal manieren, waarop dit mogelijk is, indien

a) voor A geldt dat de 5 bladzijden bij elkaar blijven en de juiste volg-orde van deze 5 bladzijden behouden blijft

b) voor alle 3 publicaties het in a) omschrevene geldt c) van alle 3 publicaties de 5 bladzijden bij elkaar blijven

d) van alle 3 publicaties de juiste volgorde van de 5 bladzijden behouden blijft

e) voor precies 2 van de 3 publicaties het in a) omschrevene geldt f) geen 2 bladzijden van A direct na elkaar worden afgedrukt

g) van de 5 bladzijden van A er 2 direct na elkaar worden afgedrukt, terwijl ook de 3 andere bladzijden direct na elkaar worden afgedrukt; de 5 bladzijden van A komen echter niet direct na elkaar. Voor de artikels B en C afzonderlijk blijft bovendien de juiste volgorde der bladzijden gehandhaafd.

;L5) Een examen is samengesteld uit 10 onderdelen; hiervan zijn er 3 in wiskunde en 2 in natuurkunde. Op hoeveel manieren kan een examen~ rooster worden opgesteld, zó dat

a) geen 2 zittingen voor wiskunde direct na elkaar komen

b) geen 2 zittingen voor wiskunde en ook geen 2 zittingen voor natuur-kunde direct na elkaar komen

c) tussen 2 zittingen wiskunde tn zitting natuurkunde moet plaatsvinden d) vóór de eerste zitting natuurkunde, minstens 2 zittingen wiskunde

hebben plaatsgevonden

e) de 3 zittingen wiskunde voorafgaan aan de 2 zittingen natuurkunde, terwijl bovendien de 2 zittingen natuurkunde niet direct na elkaar komen.

*

36) Een vaas bevat 8 witte, 8 zwarte en 8 rode ballen; de ballen van ieder van deze kleuren zijn genummerd 1

tlm

8.

Er worden zonder teruglegging 6 ballen uit de vaas getrokken.

I

hoeveel trekkingen zijn dan mogelijk a) van 3 oneven en 3 even nummers

b) als a) waarbij de getrokken oneven nummers onderling verschillend zijn, maar de getrokken even nummers niet alle 3 verschillend c) zodat alle getrokken nummers verschillend zijn en van iedere kleur

2 ballen zijn getrokken.

Als wél gelet wordt op volgorde, hoeveel trekkingen zijn dan mogelijk d) van 3 oneven en 3 even nummers, waarbij zowel de getrokken on.

even, als de getrokken even nummers toenemend zijn

e) zodat de eerste en de laatst getrokken bal een even rangnummer heeft. f ) zodat de eerste en de laatst getrokken bal van gelijke kleur is; terwij I

voorts van deze kleur geen 2 ballen direct na elkaar zijn getrokken g) van 2 rode, 2 witte en 2 zwarte ballen

h) als g) maar bovendien moeten 3 getrokken nummers even en 3 getrok-ken nummers oneven zijn.

II UITKOMSTENRUIMTE (u. R. ) EN GEBEURTENISSEN

1) A en B zijn gebeurtenissen, die kunnen optreden bij uitvoering van een experiment.

a) Schrijf de gebeurtenis (D), dat er bij eenmalige uitvoering van het experiment, precies één van de 2 gebeurtenissen van A en Boptreedt, als som van disjuncte gebeurtenissen.

b) Dezelfde vraag voor de gebeu.'tenis (E), dat er bij eenmalige uitvoe-ring van het experiment minstens één van de 2 gebeurtenissen van A en Boptreedt.

2) A, B en C zijn gebeurtenissen, die kunnen optreden bij uitvoering van een experiment.

Schrijf als som van disjuncte gebeurtenissen

a) de gebeurtenis (D), dat er bij éénmalige uitvoering van het experi-ment, precies 2 van de gebeurtenissen van A, B en C doorgaan b) de gebeurtenis (E), dat er bij éénmalige uitvoering van het

experi-ment precies één van de gebeurtenissen van A, B en C doorgaat c) de gebeurtenis (F), dat er bij éénmalige uitvoering van het

experi-ment minstens 2 van de gebeurtenissen van A, B en C doorgaan d) de gebeurtenis (G), dat er bij éénmalige uitvoering van het

experi-ment minstens één van de gebeurtenissen van A, B en C doorgaat, 3) A en B zijn gebeurtenissen, die kunnen optreden bij uitvoering van een

experiment. Bewijs:

a) Uit C .. A - B volgt dan en slechts dan A ;:: B + C als B c A. b) A - B .. A - AB :s (A U B) - B c) (A U B) - (A - B) ;:: B - (A - B) '"' B d) A - (A - B) ... B -

(A - 13) ..

AB e) (A U B) - (Ä - B) '" A f ) A U

(1\ -

B) .. A U B g) (A U B) - (AB) .. AB + AB h) A - { (A U B) - AB

r

'"'

AB.

4) A, B, C en D zijn gebeurtenissen die kunnen optreden bij uitvoering van een experiment. Bewijs: a) (A U B) (C U D) '" (AC) U (AD) U (BC) U (BD) b) (AB) U (CD) .. (A U C) (A U D) (B U C) (B U D) c) (A U B) (A I:J C) (A U D) .. A U (BCD) d) (A U B) (A U C) (B U C) == (AB) U (AC) U (BC) e) ABC - D .. (A .... D) (B - D) (C - D)

Il

f) A - BCD = (A - B) U (A - C) U (A - D)

g) (A U B

u

C) (A

u

B) (B

u

C) (c

u

A) = ABC

h)

(A

u

B U C) (A U

B

U C) (A U B U

C)

= (AB) U (AC) U (BC) U

(ABC)

i) (A -

BC)

(B -

AC)

(c -

AB)

= ABC

j) (A - B) - C

=

A - (B U C)

=

(A ~ B) (A - C).

5) In een fabriek worden apparaten vervaardigd door 4 verschillende ma-chines. Deze apparaten worden (foutieve, zowel als goede), opgeslagen in een magazijn.

Men neemt een willekeurig exemplaar uit de voorraad.

Geef voor dit experiment aan, uit hoeveel punten de U. R. bestaat en geef tevens aan, hoeveel gebeurtenissen bij dit experiment mogelijk zijn, in ieder van de volgende gevallen.

a) er wordt géén onderscheid gemaakt tussen de apparaten van de 4 ma_ chines, maar er wordt alléén op gelet, of een exemplaar "goed" dan we I "foutief" is

b) er wordt allÉén onderscheid gemaakt tussen de 4 machines

c) er wordt zowel onderscheid gemaakt tussen de 4 machines, als tus-sen het "goed" of "foutief" zijn van een apparaat

d) er wordt alléén op gelet of een apparaat, al dan niet afkomstig is van machine 4. Kan in dit geval ook gesproken worden van de gebeurtenis, dat een apparaat afkomstig is van machine 1 of machine 4 ?

e) t. a. v. de goede apparaten wordt er onderscheid gemaakt tussen de

4 machines, terwijl er t. a. v. 'de foutieve apparaten slechts op gelet wordt, of dit apparaat, al dan niet afkomstig is van machine 4. Uit hoeveel punten van de U. R. bestaat de gebeurtenis, dat een apparaat "goed" is of afkomstig van machine 4? Dezelfde vraag voor de ge-beurtenis, dat een apparaat "foutief" is, of afkomstig van machine 4. 6) De apparaten van vraagstuk 5) worden afgeleverd in sets van 4 exem~

plaren: van iedere machine is daarbij 1 exemplaar afkomstig. Men kiest een willekeurige set. Uit hoeveel punten bestaat de U. R. van dit experi-ment in de volgende gevallen:

a) er wordt alléén gelet op het aantal foutieve exemplaren in de set van 4 b) er wordt niet alléén gelet op het aantal foutieve exemplaren, maar

bovendien wordt er onderscheid gemaakt tussen de machines.

c) uit hoeveel punten van de U. R. in het onder b) bedoelde geval, be-staat de gebeurtenis, dat van de gekozen set het apparaat van ma-chine 1 goed is en van de machines 2, 3 en 4 minstens 1 apparaat foutief is. Dezelfde vraag voor de gebeurtenis, dat van de gekozen set, hoogstens 1 van de 2 apparaten van de machines 1 en 2 foutief is én minstens 1 van de 2 apparaten van de machines 3 en 4 foutief is.

7) In het geval van vraagstuk 6b)geeft men de gebeurtenis, dat het apparaat afkomstig van de Ie machine "goed" resp. "fout" is, aan door Gl resp. Fl. Het punt w van de U. R. waarbij het apparaat van machine 1 goed en de 3 andere apparaten foutief zijn, wordt aangegeven door GIF2F3F4. Uit hoeveel punten bestaat ieder van de volgende gebeurtenissen:

II a) G1 F3 F4 b) G1 F3 c) F4 d) minstens één apparaat goed e) G1 U F2

U G3 f) (Gl F2> U (G3 F 4) g) precies één apparaat goed h) minstens 2 apparaten goed.

8) Men trekt een kaart uit een volledig kaartspel. Uit hoeveel punten be-staat de U. R., indien

a) gelet wordt op kleur én nummer van de getrokken kaart b) alléén gelet wordt op het getrokken nummer

c) alléén gelet wordt op de kleur

Is in deze gevallen het trekken van "harten 7 of harten 8" een gebeurte-nis en zo ja uit hoeveel punten van de U. R. bestaat deze gebeurtenis? Dezelfde vraag voor het trekken van "6, 7 of 8"; evenzo voor "ruiten of klaveren" .

*

9) Men trekt uit een volledig kaartspel achtereenvolgens 2 kaarten zonder teruglegging.

Uit hoeveel punten bestaat de U. R., indien

a) gelet wordt op kleur en nummer van de beide kaarten, maar niet op de volgorde van trekking

b) alléén gelet wordt op de kleur van de beide kaarten

c) gelet wordt op het nummer van de beide kaarten én op de volgorde van trekking.

Bepaal het aantal punten van de U. R. volgens a) voor de volgende ge-beurtenissen

d) 7, 8 of 9 wordt getrokken

e) 7 wordt getrokken of 8 èn 9 wordt getrokken f ) tn ruitenkaart of tn aas wordt getrokken g) tn ruitenkaart of heer èn aas wordt getrokken h) tIklaveren" of "harten" wordt getrokken

Bepaal eveneens het aantal punten van de U. R. volgens b) van de onder h) omschreven gebeurtenis; eveneens het aantal punten van de U. R. volgens c) van de onder d) en onder e) omschreven gebeurtenis.

*10) Men trekt uit een volledig kaartspel achtereenvolgens 4 kaarten met teruglegging.

Uit hoeveel punten bestaat de U. R., indien

a) gelet wordt op kleur en nummer van de 4 kaarten èn op de volgorde van trekking

b) gelet wordt op de kleur van de 4 kaarten én op de volgorde van trek-king

c) alléén gelet wordt op het nummer van de getrokken kaarten.

Bepaal het aantal plinten van de U. R. volgens a) voor de volgende ge-beurtenissen

d) 7 én 8 wordt getrokken e) 7 of 8 wordt getrokken

f) 7 of 8, alsmede 9 of 10 wordt getrokken g) tn ruitenkaart én tn aas wordt getrokken h) tn ruitenkaart of heer èn aas wordt getrokken