Pojemność elektryczna
Ryszard J. Barczyński, 2018
Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego
Pojemność elektryczna
Umieśćmy na pewnym przewodniku ładunek Q.
Przyjmijmy zero potencjału w nieskończoności.
Potencjał przewodnika będzie proporcjonalny do ładunku - dlaczego?
Ponieważ...
A=
∫
∞ A
E dl F ∝Q⇒ E ∝Q⇒ ∝Q V
q
O
q = CV
Pojemność elektryczna
Potencjał przewodnika jest proporcjonalny do ładunku.
Współczynnik proporcjonalności pomiędzy ładunkiem i potencjałem zależy od kształtu i wymiarów przewodnika,
a jest tak przydatny, że nadano mu nazwę:
pojemność elektryczna.
Qprzewodnika=C przewodnika
V
q
O
q = CV
Pojemność elektryczna
Współczynnikowi proporcjonalności nadano nazwę:
pojemność elektryczna.
C=∣ Q
∣
Jednostkę pojemności [C/V] przyjęto nazywać faradem i oznaczać literą F.
Pojemność elektryczna
Potrafimy łatwo policzyć pojemność elektryczną kuli.
Jej potencjał wynosi wszak
zatem jej pojemność jest proporcjonalna do promienia i wynosi
= Q 4
0r
C=4
0r
Wstawiając promień kuli ziemskiej otrzymujemy pojemność około 700mF.
Farad jest niepraktycznie wielką jednostką...
Kondensator
Kondensator składa się z dwóch przewodników (zwanych okładkami)
rozdzielonych izolatorem (lub próżnią...).
Taki układ przewodników skuteczniej niż pojedynczy przewodnik
gromadzi ładunek elektryczny.
Kondensator
Pojemność kondensatora zdefiniujemy jako stosunek zgromadzonego ładunku do napięcia (różnicy potencjałów) między okładkami
C= Q
U
Kondensator
Pierwsze kondensatory
miały kształt butelki oklejonej z zewnątrz i od wewnątrz
folią metalową. Nadano
im nazwę butelek lejdejskich (choć może bardziej stosowna
byłaby nazwa „butelka gdańska”).
Daniel Gralath
(1708-1767)
Napisał pierwsze na świecie dzieło poświęcone elektrostatyce - ujętą w trzy tomy Historię elektryczności, uzupełnioną Biblioteką elektryczną
- bibliografią wszystkich dzieł poświęconych elektrostatyce. Prowadził doświadczenia
z butelką lejdejską, wynalezioną w 1745 r.
przez Ewalda Kleista w Kamieniu Pomorskim.
Jako pierwszy na świecie przy pomocy
zestawionej baterii butelek lejdejskich mierzył oddziaływanie naładowanych elektrod (na 40 lat zanim uczynił to Coulomb).
Ufundował lipową Wielką Aleję Lipową (aktualnie ul. Grunwaldzka).
Kondensator
Obliczymy na przykład pojemność kondensatora płaskiego.
Składa się on z równoległych płytek o powierzchni S umieszczonych w odległości d, małej w stosunku
do wymiarów płytek.
Natężenie pola między różnoimiennie naładowanymi
płaszczyznami już liczyliśmy. Pole elektryczne jest jednorodne:
E=
0= Q
0S
Kondensator
Zatem różnica potencjałów wyniesie
U=Ed= Q d
0S
i ostatecznie pojemność
C=
0S
d
Jeszcze o energii...
Zajmijmy się jeszcze na chwilę energią potencjalną naładowanego przewodnika. W ogólności możemy napisać wyrażenie na energię
potencjalną układu ładunków
E
p= 1
2 ∑
i=1 n
q
i 1
4
0∑
j=1 ; j≠i
q
jr
ij
Wyrażenie w nawiasie jest potencjałem wytworzonym w miejscu gdzie znajduje się ładunek qi przez wszystkie pozostałe ładunki:
E
p= 1
2 ∑
i=1 n
q
i
iJeszcze o energii...
Nasze wyrażenie możemy łatwo uogólnić
na ciągły rozkład ładunku o gęstości s na powierzchni S
Jeżeli interesuje nas ładunek na przewodniku, to potencjał jest stały i możemy go wyciągnąć przed całkę
E
p= 1 2 ∫
S
dS
E
p= 1
2 ∫
S
dS E
p= Q
2 = C
22
Jeszcze o energii...
Podobnie rozważając energię potencjalną naładowanego kondensatora otrzymujemy
Elektrostatyka nie daje oczywistej odpowiedzi gdzie zmagazynowana jest ta energia, ale jak później zobaczymy
może być ona transportowana przez fale
elektromagnetyczne bez pośrednictwa ładunków. To zaś sugeruje, że zgromadzona jest w polu elektrycznym.
E
p= QU
2 = C U
22
Jeszcze o energii...
Powróćmy jeszcze do naładowanego kondensatora płaskiego:
napiszmy równanie na energię potencjalną i podstawmy wyrażenie na jego pojemność
gdzie V jest objętością ograniczoną okładkami kondensatora.
E
p= C U
22 = 1 2
0S
d E d
2=
0E
22 S d=
0E
22 V
Jeszcze o energii...
Wyrażenie
możemy uważać za objętościową gęstość energii pola elektrycznego. Wyprowadziliśmy je dla szczególnego
przypadku, ale okazuje się, że jest słuszne dla pola wytworzonego przez dowolny układ ładunków.
w
e=
0E
22
Jeszcze o energii...
Energię potencjalną układu ładunków można zawsze obliczyć znając jedynie przestrzenny rozkład pola elektrycznego:
E
p= ∫
V
0E
22 dV
gdzie V jest całą objętością, w której znajduje się pole elektryczne.
Do przemyślenia
w oczekiwaniu na wiosnę
● Wyprowadźmy znane (?...) wzory na równoległe i szeregowe łączenie kondensatorów.
● N punktów połączono kondensatorami o pojemności C systemem każdy z każdym. Jaka jest wypadkowa pojemność układu pomiędzy dwoma wybranymi punktami?
(zadanie pochodzi z Olimpiady Fizycznej).
!["Historia i kultura Żydów polskich : słownik", Alina Cała, Hanna Węgrzynek, Gabriela Zalewska, Warszawa 2000 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)