Geometria z algebrą liniową, 2019/2020 ćwiczenia 6. – rozwiązania pracy domowej 2

Geometria z algebrą liniową, 2019/2020 ćwiczenia 6. – rozwiązania pracy domowej 2

18 lub 22 października 2019

1. Oblicz wyrażenie:

z = (−1 +√

3i)¹⁰¹⁷⋅i²⁰¹⁹ (1 − i)²⁰¹⁶ , zapisując tę liczbę w postaci a + bi.

x ∣x∣ Argx

−1 +√

3i 2 ^2π₃

(−1 +√

3i))¹⁰¹⁷ 2¹⁰¹⁷ 678π ∼ 0

i 1 π/2

i²⁰¹⁹ 1 1009π +^π₂ ∼ ^3π₂

1 − i √

2 −π/4

(1 − i)²⁰¹⁶ 2¹⁰⁰⁸ −504π ∼ 0

L 2^{1017 3π}₂

z 2⁹=512 ^3π₂

A zatem z = −512i.

2. Następnie wylicz √⁹

+z oraz zaznacz orientacyjnie na płaszczyźnie zespolonej pozostałe √⁹

z. Liczbę √⁹

+z zapisz w postaci wykładniczej.

Mamy więc ∣√⁹

+z∣ = 2 oraz Arg√⁹

+z =^π₆. Zatem √⁹

+z =√

3 + i = 2e^iπ/6. Pozostałe pierwiastki są rozmiesz- czone równomiernie, co ^2π₉ =40^○na okręgu o promieniu 2, czyli:

3. Znajdź rozwiązanie ogólne następującego układu równań liniowych o współczynnikach w C.

⎧⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

(i + 1)x + y + (2i + 1)z = 2i − 1 (2i + 2)x + (i − 1)y + (1 + i)z = −3 + i (−1 − i)x + 2y + (i − 1)z = i + 1 Wpisujemy w macierz:

⎡⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

i + 1 1 2i + 1 2i − 1 2i + 2 i − 1 1 + i −3 + i

−1 − i 2 i − 1 i + 1

⎤⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

w2−2w1, w3+w1

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→

⎡⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

i + 1 1 2i + 1 2i − 1 0 i − 3 −1 − 3i −1 − 3i

0 3 3i 3i

⎤⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

w2⋅1/(i − 3) ÐÐÐÐÐÐÐÐ→

1

⎡⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

i + 1 1 2i + 1 2i − 1

0 1 i i

0 3 3i 3i

⎤⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

w₁−w₂, w₃−3w₂ ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→

⎡⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

i + 1 0 i + 1 i − 1

0 1 i i

0 0 0 0

⎤⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

w₁⋅1/(i + 1) ÐÐÐÐÐÐÐÐ→

⎡⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

1 0 1 i 0 1 i i 0 0 0 0

⎤⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦ Zatem rozwiązanie ogólne to:

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

x = i − z y = i − iz

4. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu x⁶+x², rozłożyć ten wielomian nad C na czynniki stopnia 1 oraz rozłożyć go nad R na czynniki stopnia ≤ 2.

Mamy x⁶+x²=x²(x⁴+1). Zatem pierwiastki to 0 (podwójny) oraz pierwiastki czwartego stopnia z −1 czyli√

2/2 + i√ 2/2, −√

2/2 + i√ 2/2, −√

2/2 − i√ 2/2,√

2/2 − i√

2/2. Zatem:

x⁶+x²=x ⋅ x ⋅ (x −√

2/2 − i√

2/2)(x +√

2/2 − i√

2/2)(x +√

2/2 + i√

2/2)(x −√

2/2 + i√ 2/2).

W liczbach rzeczywistych daje to:

x⁶+x²=x ⋅ x ⋅ (x²−

√

2x + 1)(x²+

√ 2x + 1).

5. Niech z1, z2, . . . , zn∈C będą wszystkimi pierwiastkami stopnia n z 1. Wykazać, że z1+z2+. . . + zn=0.

Niech z = e^2iπ/n zatem

z1+z2+. . . + zn=1 + z + z²+. . . + zⁿ⁻¹= zⁿ−1

z − 1 =0.

2