Matematyka 0 WCh, 2020/2021 ćwiczenia 37. – rozwiązania

Matematyka 0 WCh, 2020/2021 ćwiczenia 37. – rozwiązania

25. stycznia 2021

1. Oblicz:

a) ∫ sin²x dx, Przez części:

∫ sin²x dx= − sin x cos x + ∫ cos²x= − sin x cos x + ∫ (1 − sin²x) dx =

− sin x cos x + ∫ 1dx − ∫ sin²x dx= − sin x cos x + x + C − ∫ sin²x, zatem przenosząc na lewą stronę i dzieląc przez 2

∫ sin²x dx= − sin x cos x + x

2 + D.

b) ∫ x sin x dx,

Wskazówka: przez części dla f^′= sin x oraz g = x.

c) ∫ xarctgx dx,

Liczymy przez części dla f^′= x oraz g = arctgx. Wtedy f = ^x₂² oraz g^′= _1+x¹2, zatem

∫ xarctgx dx =x²arctgx

2 −1

2∫ x²

1+ x²dx= x²arctgx

2 −1

2∫ (1 − 1

1+ x²) dx = x²arctgx

2 −x− arctgx

2 dx+ C =(x²+ 1)arctgx − x

2 + C.

d) ∫ x sin x²dx,

Wskazówka: podstaw t= x². e) ∫ sin³x dx,

Wskazówka: sin³x= sin x ⋅ sin²x= sin x(1 − cos²x). Następnie podstaw t = cos x.

f) ∫ dx sin x,

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne, to t= tg^x₂. Wtedy _dx^dt = ^1+tg₂^{2 x2} = ^1+t₂² oraz sin x= _1+t^2t2 i cos x=^1−t_1+t²2.

Stosując to podstawienie tutaj, mamy:

∫ dx

sin x = ∫ 1+ t² 2t ⋅ 2

1+ t²dt= ∫ 1

t dt= ln ∣t∣ + C = ln ∣ tg x/2∣ + C.

g) ∫ sin x− cos x sin x+ cos xdx,

Wskazówka: przetestuj podstawienie t= sin x + cos x.

h) ∫ ^√_1−x^x 4dx,

Stosujemy podstawienie t= x². Wtedy _dx^dt = 2x oraz

∫ x

√1− x⁴dx= 1

2∫ 1

√1− t²dt=arcsin t

2 + C =arcsin x² 2 + C.

1

i) ∫ e^x e^x+ 2dx,

Wskazówka: podstaw t= e^x. j) ∫ dx

x²− 5,

Wskazówka: x²− 5 = (x − 5)(x + 5), więc ten ułamek rozkłada się na dwa ułamki proste.

k) ∫ dx

x²+ x + 1,

Wskazówka: mianownik nie ma pierwiastków, więc trzeba skorzystać z podstawienia t=^√x+p/2_−∆/4 = ^2x√+1₃ . Wtedy x²+ px + q = −^∆₄(1 + t²) = −³₄(1 + t²) oraz _dx^dt =^√_−∆/4¹ = ²₃.

l) ∫ x³+ 2 x²− 1dx.

Wskazówka: mamy:

x³+ 2

x²− 1= x(x²− 1) + x + 2

x²− 1 = x + x+ 2 (x + 1)(x − 1) i ułamek rozkłada się na dwa ułamki proste.

2