Fizyka Pogody i Klimatu Transfer promieniowania
w atmosferze
Krzysztof Markowicz Instytut Geofizyki
Uniwersytet Warszawski
kmark@igf.fuw.edu.pl
Propagacja (transfer) promieniowania w atmosferze
Rozpatrzmy transfer promieniowania bezpośredniego przez warstwę ośrodka o grubości ds. Natężenie
promieniowania po przejściu przez tę warstwę jest mniejsze. Osłabianie to opisuje prawo Lamberta
ds I
dI
e Rozwiązanie równania Lamberta nosi nazwę prawa Lamberta-Beera
gdzie Io jest natężenie promieniowania bezpośredniego przed wejściem w warstwę.
Promieniowanie zmniejsza się wykładniczo z grubością warstwy i tym silniej im większy jest współczynnik
absorpcji i rozpraszania.
I exp ds I exp
I o e o
) exp(
T
Transmisja promieniowania
T I I o
rozpraszanie absorpcja
Natężenie promieniowania po przejściu przez warstwę jest proporcjonalne do transmisji tej warstwy
Pełne równanie transferu
• Prawo Lamberta-Beera opisuje promieniowanie bezpośrednie przychodzące z obszaru tarczy słonecznej.
• Nie może być stosowane do opisu promieniowania rozproszonego dochodzące do powierzchni Ziemi lub detektorów satelitarnych.
• Pełne równanie transferu promieniowania jest bardziej
skomplikowane gdyż musimy uwzględnić rozpraszanie, które prowadzi nie tylko do osłabienia ale i wzrostu promieniowania.
Równanie transferu
) ekstynkcja (
dI )
emisja (
dI
dI
Zmiana radiancji związana jest z dwoma procesami: emisja (zgodnie z prawem Kirchhoffa) oraz rozpraszaniem
promieniowanie, które pierwotnie poruszało się w innym kierunku.
W pierwszym przypadku wzrost radiancji wzdłuż drogi ds, wynosi
ds B dI a
gdzie B funkcja Plancka, a – współczynnik absorpcji.
• Wzrost radiancji wzdłuż drogi ds wskutek rozpraszania promieniowania w kierunku obserwacji wynosi:
gdzie Js funkcja źródłowa dla rozpraszania ma postaci
s sca
J dI
I( ')P( , ')d ' 4
Js 1
gdzie P(’) oznacza funkcję fazową na rozpraszanie
pomiędzy kierunkiem ’ a , I(’) opisuje rozkład radiancji przed rozproszeniem. Funkcja źródłowa opisuje proces wielokrotnego rozpraszania.
Pełne równanie transferu
Funkcja źródłowa
I( ,' ')P( , ; ,' ')sin 'd 'd ' B 4
) 1
( d I
dI
e a e
a e
e
s 1
I J
d dI
I( ')P( , ')d '
B 4 ) 1
( J
Albedo pojedynczego rozpraszania
cos
Przybliżenie pojedynczego rozpraszania
Załóżmy, że fotony w czasie swojej wędrówki w atmosferze ulegają rozproszeniu co najwyżej jeden raz. Radiancja na górnej granicy atmosfery ma postać delty Diraca
) (
) cos (cos
F
I o o o
Promieniowanie wchodząc w atmosferę ulega osłabieniu zgodnie z prawem Lamberta-Beera stad:
) (
) cos (cos
e F
I o / o o
Przybliżenie pojedynczego rozpraszania c.d.
I( ,' ')P( , ; ,' ')sin 'd 'd ' e 4
)
; , ( P 4 F
J os o o / o
Podstawiając do wzoru na funkcję źródłową otrzymujemy
/ o
o o s
oP( , ; )e 4 F
J
W ogólnym przypadku w funkcji źródłowej możemy
wydzielić część związaną a pojedynczym i wielokrotnym rozpraszaniem
Rozważmy promieniowanie biegnące w dół oraz w górę:
Równania transferu promieniowania opisujące je mają postać:
I ( , , ) J
d
) , , ( dI
I ( , , ) J
d
) , , ( dI
) , 2 / ,
( I ) , , (
I )
, 2 / ,
( I ) , , (
I
Mnożąc pierwsze z równania przez czynnik całkujący zaś drugie przez otrzymujemy e /
e /
1 e J d
e ) , , ( I
d / /
1 J e d
e ) , , ( I
d / /
• Całkując pierwsze równanie od poziomu powierzchni ziemi (=*) do poziomu końcowego zdefiniowanego przez
grubość optyczną oraz drugie od górnej granicy
atmosfery (=0) do tego samego poziomu końcowego mamy
*
* 1 e J d '
e ) , , ( I e
) , , (
I / * / /'
0
/'
/ 1 e J d '
) , , 0 ( I e
) , , ( I
* * 1 e J d '
e ) , , ( I ) , , (
I * ( )/ ( ' )/
człon powierzchniowy - opisuje osłabienie promieniowania
odbitego od powierzchni ziemi.
człon atmosferyczny – opisuje produkcję promieniowania
rozproszonego w kierunku obserwacji.
• Uwzględniając, że funkcja źródłowa ograniczona jest tylko do członu związanego z pojedynczym rozpraszaniem rozkład radiancji promieniowania rozproszonego na postać
/ [( )/ / ]
o o s
o o
o
d F P( , ; ) e o e * * o
) 4 , , (
I
os o o / /
o o
d F P( , ; ) e e
) 4 , , (
I o
0
/ )' (
/ 1 e J d '
e ) , , 0 ( I ) , , ( I
człon brzegowy na górnej granicy
atmosfery człon atmosferyczny – opisuje
produkcję promieniowania rozproszonego w kierunku obserwacji.
) (
) cos (cos
F
I o o o
Podstawiając postać funkcji źródłowej w przybliżeniu pojedynczego rozpraszania i całkując po grubości optycznej otrzymujemy:
/ [( )/ / ]
o o s
o o
o F P( , ; ) e o e * * o
) 4 , , (
I
os o o / /
o o o
o /
s
o F P( , ; ) e e
) 4 (
) (
e F ) , , (
I o o
promieniowanie
bezpośrednie promieniowanie
rozproszone
Własności przybliżenia pojedynczego rozpraszania
• stosuje się do warstw cienkich optycznie (grubość optyczna rzędu 0.1)
• poprawne dla dowolnej funkcji fazowej
• łatwo daje się uogólnić uwzględniając polaryzację promieniowania
• może być zastosowane do dowolnej geometrii w szczególności geometrii sferycznej
• stosuję się go jako początkowe rozwiązanie do bardziej złożonych metod
• strumień promieniowania docierający do powierzchni Ziemi wyznaczany jest ze wzoru:
I cos( )d
F
• Rozkład radiancji nieboskłonu uzyskany przy użyciu przybliżenia pojedynczego rozpraszania. Kąt zenitalny Słońca wynosi 60o.
Przybliżenie dwustrumieniowe
• Przybliżenie opisuje efekty wielokrotnego rozpraszania w atmosferze i jest używane w wielu zastosowaniach, m.in.
w modelach ogólnej cyrkulacji atmosfery oraz w modelach prognozy pogody. Przybliżenie
dwustrumieniowe jest najprostszym przybliżeniem opisującym efekty rozproszenia wielokrotnego w atmosferze, których nie da się opisać za pomocą przybliżenia rozpraszania jednokrotnego.
Przybliżenie dwustrumieniowe
0 0 I
) I (
I
cos
• przybliżenie w którym zakłada się że, radiancja nie zależy od kąta azymutalnego oraz zenitalnego. Jednak radiancja w górę i w dół ma ogół inną wartość.
• Przybliżenie opisuje efekty wielokrotnego rozpraszania w atmosferze i jest używane w wielu zastosowaniach, m.in. w modelach ogólnej
cyrkulacji atmosfery oraz w modelach prognozy pogody. Przybliżenie dwustrumieniowe jest najprostszym przybliżeniem opisującym efekty rozproszenia wielokrotnego w atmosferze, których nie da się opisać za pomocą przybliżenia rozpraszania jednokrotnego.
Równanie transferu w przypadku azymutalnej izotropii.
) ( d ) ,' , ( 2 P
) 1 ' , ( P
2
0
I( ')P( , ')d ' ) 2
( d I
) ( dI
radiancja uśredniona po kącie azymutalnym
2
0
d ) , ( 2 I
) 1 ( I
funkcja fazowa uśredniona po kącie azymutalnym
odpowiadające im uśrednione po zenicie równanie transferu
0
1 1
0
' d I ) ' , ( 2 P ' d I ) ' , ( 2 P d I
dI
Rozpisując radiancję na część związaną z propagacją w górę i dół:
0
1 1
0
' d ) ' , ( P 2 I
' d ) ' , ( P 2 I
d I dI
I oraz I są stałe więc można je wyciągnąć przed całki
Definiujemy współczynnik rozpraszania wstecznego b
1
0
0
1 0
1
1
0
0 '
d ) ' , ( 2 P 1 1 ' d ) ' , ( 2 P 1
0 '
d ) ' , ( 2 P 1 1 ' d ) ' , ( 2 P 1 )
( b
który opisuje jaka jest część promieniowania
rozpraszanego wstecznie w stosunku do pierwotnego kierunku propagacji.
B zmienia się w zakresie od 0 do 1.
Równanie transferu przyjmuje postać:
) ( b I )]
( b 1 [ I d I
dI
Równanie to zależy od zmiennej kątowej =cos
pomimo, że radiancja I oraz I nie zależy od niej.
Uśredniamy więc równanie względem
1 dId I I[1 b( )] Ib( ) d0
co prowadzi do równania:
b I ]
b 1 [ I d I
dI 2
1
) I I
( b I
) 1
d ( dI 2
1
lub
1
0
d ) ( b b
2 g b 1
g – parametr asymetrii
Analogicznie dla promieniowania odgórnego
) I I
( b I
) 1
d ( dI 2
1
) I I
2 ( ) g 1 I (
) 1
d ( dI 2
1
wyrażając parametr b przez parametr asymetrii
) I I
2 ( ) g 1 I (
) 1
d ( dI 2
1
dodając i odejmując równania stronami
) I I
)(
1 ( ) I I
d ( d 2
1
) I I
)(
g 1
( ) I I
d ( d 2
1
• Różniczkując jedno z równań a następnie
wykorzystując drugie możemy rozdzielić zmienne
) I I
)(
1 )(
g 1
( 4 ) I I
d ( d
2
2
) I I
( y lub ) I I
(
y
) I I
)(
1 )(
g 1
( 4 ) I I
d ( d
2
2
Oba równania mają taką samą postać i można je łatwo rozwiązać:
g 1
1
2
e e
y
Ogólne rozwiązanie ma postać:
r
1 g
1
1 g
1 )
g 1 (
g 2
D B D
C
() Ae Be
I I() Ce De
Okazuje się, że współczynniki A-D nie są niezależne i relacje pomiędzy nimi mogą wyznaczone po
podstawieniu do równań transferu promieniowania.
Można pokazać, że spełniona jest relacja:
co prowadzi do równań:
() Ae r De
I I() rAe De
Warunki brzegowe
• Stałe A i D wyznaczane są na podstawie warunków brzegowych na powierzchni ziemi i na górnej granicy atmosfery. Załóżmy, że albedo ziemi jest zerowe:
( ) ( )
2
o * *
*
*
e e
e r e
I ) r
(
I
0 ) (
I * I( 0) Io
co prowadzi do dwóch równań
*
* r De
Ae
0 Io rA D
( ) 2 ( )
2
o * *
*
*
e r e
e r e
) I (
I
ostatecznie:
Przypadek grubej optycznie chmury
*
() I r e
I o I() Ioe Albedo takiej chmury wynosi:
r
) 0 ( I
) 0 ( I F
A F
1 g 1
1 g
r 1
Przypadki:
1 =1 wówczas albedo chmury niezależnie od parametru asymetrii g wynosi 1 (100%), r=1.
2) g=1 wówczas albedo jest zerowe r =0 (niezależnie od wartości albeda pojedynczego rozpraszania ).
3 =0.999, g=0.85, wówczas r =0.85 co oznacza, że 15%
promieniowania jest absorbowane przez chmurę!
Wynika to z wielokrotnego rozpraszania fotonów w chmurze.
Albedo chmury w zależności od albeda pojedynczego rozpraszania
Petty, A First Course in Amospheric radiation
Albedo i transmisja nieabsorbującej (=1) chmury o skończonej grubości optycznej
*
*
) g 1 ( 1
) g 1 ( )
0 ( I
) 0 ( I F
A F
*
*
) g 1 ( 1
1 )
0 ( I
) ( T I
Transmisja promieniowania
bezpośredniego, rozproszonego oraz transmisja całkowita chmury o parametrze asymetrii g=0.85.
Własności przybliżenia 2-strumieniowego
• Rozwiązanie wykazuje dobrą dokładności, ale w ograniczonym przedziale zmienności parametrów optycznych.
• Jest bardzo efektywną metodą rozwiązywania równania transferu (metoda bardzo szybka).
• Znacznym ograniczaniem jest kształt funkcji fazowej. Dla dużych cząstek funkcja fazowa ma silne maksimum dla zerowych kątów rozpraszania (rozpraszanie do przodu).
Taka postać funkcji jest bardzo słabo przybliżana w metodzie 2-strumieniowej dlatego stosuje się przybliżenie delta-
Eddingtona. Polega ono na modyfikacji polegający na
założeniu ze fotony rozproszone blisko zerowego kąta nie ulegają rozproszeniu i wchodzą w strumień promieniowania rozproszonego.
Modele transferu promieniowania
• służą do numerycznego rozwiązania równania transferu promieniowania.
• Istnieje wiele modeli, które różnią się metodą
rozwiązania transferu, rozdzielczością spektralną, parametryzacją własności optycznych atmosfery itd.
• Model Fu-Liou
http://snowdog.larc.nasa.gov/cgi-bin/rose/flp200503/flp200503.cgi
