Zadanie 5. (Optymalna wielkość produkcji) Piekarnia piecze dwa rodzaje chleba: Mazowiecki i Podkarpacki z dwóch rodzajów mąki: pszennej i Ŝytniej, których moŜe zuŜyć w ciągu godziny ograniczoną ilość. UŜywane są takŜe droŜdŜe, których naleŜy wykorzystać w ciągu godziny przynajmniej 100 g. PoniŜsza tabela przedstawia zuŜycie kaŜdego rodzaju mąki (w kg) i droŜdŜy (w g) na wyprodukowanie bochenka chleba:
Chleb Mazowiecki Chleb Podkarpacki Zasób
Mąka pszenna 0,2 0,3 27
Mąka Ŝytnia 0,5 0,2 40
DroŜdŜe 2 5 min 100
Na podstawie analizy popytu wiadomo, Ŝe ilość chleba Mazowieckiego do ilości chleba Podkarpackiego powinna być nie mniejsza niŜ 3/7.
Minimalna wielkość produkcji chleba Mazowieckiego to 15 bochenków.
a) Jaka powinna być godzinna produkcja chlebów, aby uzyskać maksymalny przychód przy cenie chleba Mazowieckiego równej 1,5 zł oraz Podkarpackiego 3,5 zł? Oblicz osiągany przychód.
b) WskaŜ rozwiązanie optymalne, jeśli oba chleby kosztowałyby tyle samo.
Zadanie 6. (Zagadnienie inne – „rolniczo-gospodarskie”) Sformułuj poniŜszy problem w postaci zadania PL:
Rolnik posiadający 10 ha ziemi moŜe hodować tuczniki, uprawiać ziemniaki i jęczmień. Plon z 1 ha ziemniaków wynosi 200 q, a z 1 ha jęczmienia 60 q, natomiast koszt uprawy 1 ha ziemniaków to 1800 zł, a 1 ha jęczmienia 1300 zł. Rolnik dostaje dopłaty bezpośrednie do 1ha upraw w wysokości 250 zł. Tucznik w okresie tuczu zjada 4 q jęczmienia, 10 q ziemniaków i 2 q preparatu „Provit”. Cena zakupu 1 q „Provitu” wynosi 400 zł, cena sprzedaŜy tucznika - 2000 zł, a 1 q ziemniaków 50 zł. Jęczmień uprawiany jest tylko na paszę. Rolnik jest zainteresowany maksymalizacją swojego dochodu.
Zadanie 7. RozwiąŜ graficznie:
a) 3x1-4x2→min x1≤x2
3x1+2x2≤12 x1+2x2≥6 x1≤0, x2≥0
b) 2x1+4x2+6→min 3x1-4x2≤12 2x1+2x2≥4 x1≥0
c) 2x1+3x2→max x1-2x2=6 1,5x1+2x2≤12 x1≤2 x1,x2≥0
Zadanie 8. RozwiąŜ metodą simplex zadanie 2 „odchudzone” do dwóch warunków – na wosk i szkło.
Zadanie 9. (D) RozwiąŜ metodą simplex:
12x1+15x2+5x3→max 4x1+5x2+x3≤20 6x1+3x2+0,5x3≤12 x1,x2,x3≥0
Zadanie 10. Przedsiębiorstwo rozwaŜa moŜliwość podjęcia produkcji trzech wyrobów: W1, W2, W3. Produkcję ograniczają dwa surowce s1 i s2, których dzienne moŜliwości przerobu wynoszą odpowiednio 24 i 28 ton. Normy zuŜycia surowców [t/jedn] podaje tabela:
W1 W2 W3
s1 3 4 1
s2 1 3 2
Szacuje się, Ŝe wyroby będzie moŜna sprzedać za 6, 4, 3 tys. zł/jednostkę
a) Skonstruować model matematyczny zagadnienia zakładając, Ŝe celem firmy jest maksymalizacja przychodu. Zinterpretuj zmienne swobodne.
b) Wyznacz plan produkcji maksymalizujący przychód i wartość maksymalnego przychodu
c) Czy wzrost ceny wyrobu W2 o 6 zł wpłynie na optymalny plan produkcji zakładu? W jakim przedziale powinna pozostać ta cena aby rozwiązanie optymalne nie uległo zmianie?
d) Okazało się, Ŝe zakup dodatkowej maszyny pozwoli na przetworzenie na wyroby w ciągu dnia zamiast 24 ton 30 ton surowca s1. Jak wpłynie to na przychód i plan produkcji?
e) Jak moŜe zmieniać się zasób surowca s2, by struktura rozwiązania nie zmieniła się?
Zadanie 11. (D) Rozwiązując pewne zadanie PL metodą simplex otrzymano następującą tablicę:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 max
cj 4 3 6 10 0 0 b
1 -2 0 2 -1/2 7/2 30
0 2 1 3 1/2 -3/2 20
a) Podaj rozwiązanie bazowe i sprawdź czy jest ono optymalne.
b) W jakich granicach moŜna zmieniać współczynnik c4, aby rozwiązanie pozostało optymalne?
c) Współczynnik b1 zadania wyjściowego jest równy 115. Ile wynosi współczynnik b2? (x5 i x6 to zmienne swobodne)
Zadanie 12. (D) Istnieje moŜliwość podjęcia produkcji trzech produktów: A, B, C. W procesie produkcji zuŜywane są środki produkcji, z których dwa są limitowane: stal (3600 kg dziennie) i kauczuk (4800 kg).Normy zuŜycia podaje tabela:
ZuŜycie w kg/jedn
A B C
stal 5 3 -
kauczuk 1 2 4
zysk – zł/jedn 10 24 12
a) Skonstruuj model matematyczny zagadnienia zakładając, Ŝe waŜna jest maksymalizacja zysku. Podaj interpretację zmiennych swobodnych.
b) Wyznacz plan produkcji maksymalizujący zysk i wartość maksymalnego zysku
c) Dokonaj analizy wraŜliwości dla zysku z wyrobu A oraz dla zasobów stali i kauczuku. Dokonaj interpretacji otrzymanych przedziałów.
d) Jak wpłynie na plan produkcji i zysk zwiększenie zasobu stali do 5400kg?
