---- bornées à coefficients réels Sur quelques problèmes extrémaux dans les classes des fonctions

ANNALES SOCIETATIS MATHEMATICAE POLONAE Series I: COMMENTATIONES MATHEMATICAE XXIV (1984) ROCZNIKI POLSKÏEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO

Séria I: PRACE MATEMATYCZNE XXIV (1984)

F. F. J

, A. W

(Lublin)

Sur quelques problèmes extrémaux dans les classes des fonctions bornées à coefficients réels

I. W. Janowski [ 6 ] et d’autres auteurs, p. ex. [3], [5], ont étudié les classes des fonctions analytiques bornées dans = (z: \z\ < 1 }, entre autres les sous-classes de la classe P des fonctions de Carathéodory p(z) = 1 + P i Z - t -

K x, qui satisfont à l’inégalité

(1.1) \ p( z) — M \< M , M ^ 1,

K x .

Soit PM la classe des fonctions représentée par la formule de Herglotz [4].

Я

f 1 -4- ZC*^

(1.2) p { z ) = — ---- j§dfi(e), z E K l t a = l / M - l

1 4- a z e

où р ( в ) est une fonction non décroissante dans l’intervalle < — те, к ) et Я

f dp(6) = 1 . Le domaine p (K J étant convexe, la relation (1.1) est satisfaite.

- Я

Désignons par PM a PM la classe des fonctions q telles que q ( z ) = 1.4- + q xz -f . . . , z e q„ = q„ pour n = 1 , 2 , . . . , et que

(1.3) q ( z ) = 1 -)-(l -ha)z cos 0 + az2

1 + 2 az cos Q + a2 z2 d p { 0 ) , z e K v

où p(0) est une fonction non décroissante dans l’intervalle < — к, к ), П

J dp(6) = 1 , a = 1 /М — 1, M ^ 1. Observons que = P, où P est la classe

" Я

des fonctions q telles que Re q ( z ) > 0,

K 1 et q„ = q„, n — 1, 2, ...

Désignons enfin par 5^ la classe des fonctions / telles que f ( z ) — z +

+ a2z2 4- ..., an — ün, n — 1 ,2 , .. . , et que

^ ~ Y - = q { z ) ,

K

q ( z ) E P M.

f ( z )

Dans la suite de ce travail nous allons déterminer le domaine de

variation de q (z)eP M, et nous établirons des limitations exactes pour arg q(z), Re g{z),\q(z)\et \f(z)\ lorsque /e S & .

II. T

2.1. Si q e P M et z est fixé, z e K t , le domaine de variation de q(z) est le domaine limité par Гаге de circonférence

(

2

1

1 + ( 1 + a) zt + az2

\+ 2azt + a2 z 2 pour t e < — 1 , 1 ) et par le segment de droite

( 2 . 2 ) w = t ■ ¹ —z

1 — az -И 1 - 0 - 1+z

1+ az’ pour 0 , 1 ) où a = 1 /М — 1 , M ^ 1 .

Observons que dans représentent le segment

le cas où Im z = 0 les formules ( 2 . 1 ) et ( 2 . 2 ) 1 - r 1 + r

1 — ar 1 + ar

D é m o n s tr a tio n . En vertu du théorème de Aschnievitsch et Ulina [2]

et de (1.3) l’ensemble des valeurs de la fonction q(z) pour z fixé, z e K 1, est l’enveloppe convexe de la courbe

(2.3) ^{1 + ( 1} +a)zt + az2

1 + 2 azt + a2z 2 où t — cos в, f g < — 1 , 1 ).

Pour t e ( — 00 , +oo) l’équation (2.3) représente la circonférence (2.4) . / 1 + 3a — За2 г2 — аъ r2 a — 1

w ~ i \ ---—— --- +i — ctg (p a { \—a r )

j a — 1 ^/(1 + a 2 r 2)2 — 4a 2 r 2 cos 2 q>

a (1 — a2r2) jsin q)\

où z = rei<p, cpe < 0 , 2n), elle coupe l’axe réel aux points

(2.5) Ml =

et passe par les points

( 2 . 6 ) w, =

1 + a

2 ^T’ u-, = 1 —z 1 — az

1 — ar2 1 — a2r2

1 +z W 2 =

1+az

Comme fe< —1, 1>, nous choisissons l’arc de la circonférence (2.4), qui est

compris entre les points Wj et w 2 et contient le point u2. Par conséquent

l’enveloppe convexe de la courbe (2.3) est le domaine limité par l’arc de

circonférence (24) et par le segment de droite joignant les points et w2,

que nous appellerons sommets de l’enveloppe. La démonstration du théorème

est donc achevée.

Problèmes extrémaux dans les classes des fonctions 71

(2.7)

T héorème 2.2. Si q(z)eP M, on a pour z fixé, z e K x, la limitation exacte (

(1 — a)|Im z\

arc tg

1 —(1 + a) Re z + a|z| < arg q(z)

^ arc tg ⁽¹ -a )|Im z\

1 + (1 + a) Re z + a\

L ’égalité a lieu pour la fonction q (z) = ---, et pour la fonction l + az

<h(z)'=

La démonstration du théorème résulte directement de l’interprétation géométrique du théorème 2.1. Il suffit de remarquer que l’ensemble des valeurs de q (z) e PM est contenu dans l’angle limité par les demi-droites qui joignenu l’origine aux sommets Wj et vv2.

T héorème 2.3. Si q (z)eP M, on a pour z fixé, z e K l5 les limitations exactes

(2.8) Re ~ —— ^ Re q (z) ^ Re

1 — az l+ a z

n , 1 \ 4|z |2 —(z — z )2 si — Re ( ---- 1 - a z ) ^ ---— —2--- ,

az

^ J I

2

(2.9) min ( R e --- , R e --- 1 < Re q(z) 1 — az l+ a z

^ 1 + 3a — (3 — a)a2 |z |2 _ a — 1 \az— \/az\

^ ~ ~ (-■

4 a ( l—a 2 |z|2) 4a |Im (az+ l/az)|

si Re ( az+- ¹ az

4 |z |2 — (z — z )2

2|z ² ’

(2.10) Re ^ ~*~Z ^ Re q(z) ^ Re ———

l + az 1 — az

. n , 1 , \ ^ 4 \ z \ 2- ( z - z ) 2 S, R e | - + « | > --- j r j ï ---

az La fonction extrémale est la fonction

1 + ( 1 +a)zt + az2

( 2 . 11 ) q(z) =

1 + 2 azt + a 2 z 2 , t e { - 1 , 1 ).

Légalité dans les cas ( 2 . 8 ), ( 2 . 10 ) et dans celui du premier membre de (2.9) est

atteinte par la fonction (2.11), respectivement pour t= + 1. Dans le second

membre de ( 2 . 9 ) l'égalité est atteinte par la fonction ( 2 . 1 1 ) pour t donné par la formule

•(1 -fa 2 \z\2) + \ l - a 2 z 2\ |z -z |/a|z |

(

2

12

t =

2a Re z Si z e K x et Im z = 0, on a

1 - 1 z

— 1 < f < 1 .

(2.13) ^ Re q (z) ^ l + \z\

1 — a|z| ’1 ' 1 + a|z|

D é m o n s tr a tio n . Posons

(2.14) Im S0 = Im w

où S о est le centre de la circonférence (2.4) et w est défini par la formule (2.1).

A partir de l’équation (2.14) on détermine le paramètre t (2.15) —(1 + a2r2) + |sin q>\ x/(l + a2r2)2 — 4a2r2cos2 tp

2ar cos cp où r = |z|, <p — arg z, z e K 1, a — 1/M —1, M ^ 1.

Un calcul facile montre que t, donné par la formule (2.15), appartient à l’intervalle < — 1 , 1 > si la condition suivante est vérifiée

(2.16) ^{1 -F} a2r2

2 ar cos

^ 1 -F sin2 <p.

En tenant compte de la définition du domaine de variation de la fonction q (z) e PM (théorème 2.1) et des relations (2.15) et (2.16) on constate que

1 + a 2 r 2

1° Re vtq < Re q(z) < Re w2 s i --- — cos cp ^ 1 -F sin 2 <p, 2 ar

q _l-a 2r2 2° min (Re w l5 Re w2) ^ Re q(z) < Re S0 + R si I— ---cos (p

2ar 5$ 1

-F sin (p,

1 -F a2 r2

3° Re vv 2 ^ Re q(z) ^ Re w, si —--- cos (p ^ 1 4-sin 2 cp, 2 ar

où w, et w 2 sont donnés par les formules (2.6), S0 et R sont respectivement le centre et le rayon de la circonférence (2.4). Les conditions 1°, 2° et 3°, exprimées au moyen de z, fournissent la conclusion du théorème dans le cas où I m z # 0 .

Si Im z = 0, le domaine de variation de q(z) se réduit au segment

—— —, - i i — , ce qui achève la démonstration du théorème.

1 — ar 1 -F ar j

T héorème 2.4. Si q (z)eP M, on a pour z fixé, z e K x, Im z Ф 0, les

Problèmes extrémaux dans les classes des fonctions 73

limitations exactes 1 — z (2.17)

(2.18)

(2.19)

1 —az si

< \q(z)\ < _{i+ a z} ^{1 +z}

(1 —a2 \z\2 Re z |Im z\

(l + 3a — 3a2\z\2 — a3\z\2) Im z 1 +(1 + a) Re z + a |z|

|Im ( 1 /az — z)|

| az — l/az|

1

<

4|a|

+ ( 1 — a)

'(1 +3a — 3a2 \z\2 — a 3 |z |2)2 ~ / R e z 42 --- — + ( l - a )2

(1 —a 2 |z |2)2

| az — l/az|

si — —

|Im (az + l/az)|

|Im z|

Im z

(1 — a2 |z|2) Re z 1 +(1 +a) Re z + a|z|‘

<

(1 +3a — 3a2 |z |2 — a3 |z|2) Im z

|Im z|

1 -f (1 + a) Re z + u |z| ² ’ 1 + z

1 4-az < \q(z )I ^ ^{1 —z} SI

1 — az

(1 — a2 |z|2) Re z

> |Im z|

(l + 3a — 3a2\z\2— a3 \z\2) Im z l + ( î + a ) Re z + a\ ¹² • Si Im z = 0, z e X l5 on a

( 2 . 20 ) ₁ ¹ _{— я Izl} ^{- И} < ^{\ q ( z . . .} )I ^ _{1 + я Izl} ^{1 + kl}

Dans les cas (2.17), (2.19), ( 2 . 20 ) et dans celui du second membre de T inégalité (2.18), la fonction extrémale est la fonction donnée par la formule ( 2 . 1 1 ) pour t = ± 1 et pour la valeur correspondante te ( — 1 , 1 ). L ’égalité dans le premier membre de Гinégalité (2.18) est réalisée par la fonction

( 2 . 21 ) q(z) ¹ —z 1 + z

r + ( l - f )

1 — az 1 + az' te< 0 , 1 >.

D é m o n s tra tio n . Les valeurs extrémales de \q(z)\ résultent directement de l’interprétation géométrique de l’ensemble des valeurs de la fonction q{z)ePM. Nous aurons donc à considérer les cas suivants:

1° si arg S0 ^ arg w2, on a K | ^ \q(z)\ ^ |w2|,

2° si arg Wi ^ arg S0 ^ arg w2, on a d ^ \q(z)\ ^ |S0| + R,

3° si arg S0 < arg wu on a \w2\ ^ \q(z)| ^ |wJ,

où wl et w 2 sont définis par les formules (2.6), S0 et R sont respectivement le centre et le rayon de la circonférence (2.4) et d est la distance de l’origine au segment de droite donné par l’équation (2.2). Dans le cas où Im 2 = 0, z e K i, l’ensemble des valeurs de la fonction q(z) se réduit, comme on le sait,

1 — r 1 + r au segment de droite

ainsi achevée.

1 — or ’ 1 + ar . La démonstration du théorème est III. Soit f e S h , z e K 1. De l’égalité (1.4) il résulte que l’ensemble des valeurs de la fonctionelle zf'{z)/f{z) se confond avec l’ensemble des valeurs de la fonction q (z)eP M. Par conséquent les limitations auxquelles satisfont

z f'(z) z f'(z ) n z f'{ z )

les grandeurs arg , Re et

f(z) se confondent avec celles que

m f(z )

vérifient arg q(z), Re q(z) et \q{z)\.

Nous avons encore à trouver une limitation exacte pour \f{z)\.

T héorème 3.1. Si f (z )e S h , M ^ 1 , a — 1 /Adf 1 , оvi u, роит z fixe, zœ K^, Im z Ф 0, les limitations exactes

(3.1) kl

11 — az\

^ \f(z)\ < N

|1 +az\ (a- ¹ )/a

SI n , 1 , R e | _ + a z i ^ \ ^ 4 \ z \ 2- ( z - z ) 2

(3.2) mm kl kl

|1 —az](a~ 1)/a’ jl+ fl2 |(û" 1)/e ^ \f(z)\

< kl

|1 + 2azt + a2 z2\{a l)la si Rel — \-az

az

4\z\2 — (z — z)2 2|z|2

t étant donné par la formule ( 2 . 12 ), (3.3)

|l + az| Z|

1/001 « |Z

|1 —az\{a~1)/fl

• d / 1 , \ ^ 4 \ z \ 2- ( z - z ) 2 s, R e l - + « * ) > ■ г . Si Im z = 0, on a

(3.4) kl

(1 — a|z|)(e~ 1)/fl ^ \f(z)\ ^ ____ k[

(l + a k l )1

Problèmes extrémaux dans les classes des fonctions 75

La fonction extrémale est la fonction

(3.5) f{z) =

(1 + 2 azt + a2 z 2f a l)la

respectivement pour t = ± 1 et t donné par la formule ( 2 . 12 ).

D é m o n s tr a tio n . Soit z = rel<p, Im z Ф 0, q>e(0, 2n}, re< 0, 1). En dérivant par rapport à la variable r membre à membre l’identité bien connue

l n / M = ln f{z)

+ i arg №

W = i ,

on obtient

d’où (3.6)

= 1 + r î r ln

f(z ) dr

/ » , . S f{z) + 1Г -Г- a rg ---- ,

dr z

Ке7 й Г = 1 a 7 n

Hz)

De cette égalité et de la relation (1.4) on tire:

(3.7)

dr ln [ / » = - (Re q(z) — l).

En tenant compte des inégalités (2.8), (2.9), (2.10) et en intégrant la dernière égalité dans l’intervalle de 0 à r on obtient la conclusion du théorème.

Signalons encore que le second membre de l’inégalité (2.9) est atteint par z f'{ z )

Re où la fonction / (z) est donnée par la formule (2.11), t est défini par la formule ( 2 . 12 ) et z satisfait à la condition

Re( az+- ¹ az

4\z\2 — (z — z)2 2 |z |2 Si Im z = 0, le résultat est immédiat, puisque

1 — a d ---ln

1 — car

dr

f ( z ) < ¹ —a 1 +ar La démonstration du théorème est donc achevée.

Si M — ► oo , les résultats obtenus se confondent avec ceux du travail [1]

pour к — 1 .

Travaux cités

[1] I. A. A le k s a n d r o v et V.V. C e r n ik o v , Propriétés extrémales des représentations étoilées (en russe), Sib. Mat. Zurn. T. I N o 2 (1963), 241-267.

[2] I. Ya. A SnieviC et G. V. U lin a, Sur les domaines de valeurs des fonctions analytiques représentées par une intégrale de Stieltjes (en russe), Vestnik L. G. U. 11 (1955), 31-42.

[3] J. C lu n ie , On meromorphic schlicht functions, J. London Math. Soc. 34 (1959), 215-155.

[4] G. M. G o lu z in , Théorie géométrique de la variable complexe (en russe), Moscou 1966.

[5] Z. J a k u b o w s k i, On some applications o f the Clunie method, Ann. Polon. Math. 26 (1972), 211-216.

[6] W. J a n o w s k i, Extremal problems for a family of functions with positive, real parts and for some related families, Bull. Acad. Sci, Ser. Sci. math. astr. et phys. 17 (1969), 129-155.

ZAKLAD MATEMATYKI STOSOWANEJ POLITECHNIKI LUBELSKIEJ

ZAKLAD ZASTOSOWAN MATEMATYKI, UNIWERSYTET MARII CURIE-SKLODOWSKIEJ LUBLIN, POLOGNE