ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH

ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH

WYKŁAD 10 Kopiec Grażyna Mirkowska

PJWSTK, semestr zimowy 2002

Plan wykładu

 Kopiec (sterta)

– Definicja

– Operacja wkładanie elementu do kopca – Usuwanie elementu minimalnego

– Koszty operacji

 Zastosowanie - algorytm Heap_sort

 Implementacja kopca w tablicy

– Konstrukcja kopca w tablicy – Przykład

– Koszt konstrukcji kopca



Kopiec czyli sterta, czyli heap

Kopcem nazywamy etykietowane, doskonałe drzewo binarne częściowo uporządkowane.

Etykietowane drzewo binarne D = <V, E, et> jest kopcem wtedy i tylko wtedy, gdy

(1) D jest drzewem częściowo uporządkowanym:

et(v) < et(v.lewy) i et(v)< et(v.prawy) dla wszystkich wierzchołków v V,

(2) D jest drzewem doskonałym:

wszystkie poziomy drzewa, z wyjątkiem co najwyżej ostatniego poziomu, są maksymalnie zapełnione, a na ostatnim poziomie wszystkie liście są zgrupowane maksymalnie na lewo.

Przykład kopca

1 2 5

4 3 7 8

9 10

To nie jest kopiec , bo nie jest to drzewo

doskonałe(chociaż jest to drzewo cz. uporządkowane)

1 4 7

2 3 5 8

9 10

To nie jest kopiec , bo nie jest to drzewo częściowo uporządkowane (chociaż jest to drzewo doskonałe)

1 2 5

4 3 7 8

9 10 6

Kopiec

Własności:

1.

2. Element najmniejszy wśród etykiet wierzchołków

znajduje się w korzeniu drzewa.

Wstawianie elementu

Insert : Heap

Insert : Heap   Et Et   Heap Heap

(1) Dowiązać nowy wierzchołek x do pierwszego z lewej wierzchołka na przedostatnim poziomie drzewa, którego rząd jest <2.

(2) Nadać nowemu wierzchołkowi etykietę e.

(3) Jeżeli tak otrzymane drzewo nie jest częściowo uporządkowane, to przechodząc wzdłuż drogi od liścia x do korzenia, poprawić etykiety zamieniając etykietę ojca z etykietą syna, jeśli etykieta ojca jest większa niż etykieta syna.

Zadanie: Do zbioru etykiet danego kopca D dołączyć nową etykietę e, czyli wykonać operację insert(D,e)

Przykład - dołączanie nowego elementu

1 2 5

4 3 7 8

9 10 6

Po dołączeniu

nowego wierzchołka

0

1 2 5

4 3 7 8

9 10 6 0

Zero „wędruje” wzdłuż drogi do korzenia

3 02

01

0

Usuwanie minimum

delmin : Heap delmin : Heap   Heap Heap

Niech e będzie etykietą liścia x znajdującego się najbardziej na prawo na ostatnim poziomie

kopca.

(1) Usunąć wierzchołek x z drzewa d.

(2) Zastąpić etykietę w korzeniu drzewa przez e.

(3) Jeśli tak otrzymane drzewo nie jest kopcem, to zaczynając od korzenia i idąc w kierunku liścia, zamieniać etykietę ojca z etykietą tego z jego synów, którego etykieta ma mniejszą

wartość, tak długo aż zostanie otrzymane drzewo częściowo uporządkowane.

Przykład - usuwanie minimum

0

1 5

4 3 10 8

9 7 6 20 12

12

12

1

12 3

12 6

Usuwamy najmniejszy element zbioru.

pokaz

pokaz

Koszt operacji

h-1 h

n - wierzchołków

Stąd 2 ^h -1 < n  2 ^h+1 -1 Czyli 2 ^h < n +1  2 ^h+1











 ^h

i h i

i

i n

0 1

0

2 2

Mamy

Wniosek Wniosek

Koszt operacji insert i Koszt operacji insert i delmin wynosi

delmin wynosi O

O( (   lg(n+1) lg(n+1)   ). ).

Zastosowanie

(1) Z danego n elementowego zbioru utworzyć kopiec.

(2) Dopóki kopiec nie jest pusty, wypisywać i usuwać element

minimalny kopca.

Algorytm Heap_sort Algorytm Heap_sort

Koszt sortowania = koszt utworzenia kopca + n * O(lg n)

O ile wkładamy kolejno

elementy stosując

operacje insert : O(n lg n)

= O(n lg n)

Implementacja kopca w tablicy

Reprezentujemy kopiec jako parę Tab + idx

Organizacja elementów w tablicy:

Organizacja elementów w tablicy:

Tab[1] = etykieta korzenia

Tab[2i] = etykieta lewego syna wierzchołka i-tego o ile 2i  idx

Tab[2i+1] = etykieta prawego syna wierzchołka i-tego o ile 2i+1 idx

tablica etykiet

aktualna liczba elementów w tablicy

Przykład

1 2 5

4 3 7 8

9 10 6

Kopiec Tab: 1 2 5 4 3 7 8 9 10 6 n : 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Reprezentacja

Reprezentacja

tablicowa kopca

tablicowa kopca

Operacja insert w implementacji tablicowej

Kopiec D

5 7 12

10 8 14 19

16 9 11 20

5 7 12 10 8 14 19 16 9 11 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tab:

Insert(D,3)

5 7 12 10 8 14 19 16 9 11 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tab:

3 7 5 10 8 12 19 16 9 11 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tab:

3 14

3 12

35 3

Delmin w implementacji tablicowej

3 7 5 10 8 12 19 16 9 11 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tab:

3 7 5

10 8 12 19

16 9 11 20 14

Delmin(D)

14 7 5 10 8 12 19 16 9 11 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tab:

Ostatecznie :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tab:

14

14 5

14 12

Konstrukcja kopca w tablicy

Założenie: Znamy z góry liczbę elementów tworzonego kopca.

A B

i

2i 2i+1

1.Tworzymy tablice zawierającą wszystkie elementy.

2.Jeżeli są już utworzone kopce A i B o korzeniach w 2itej i 2i+1szej pozycji, to - albo tab[i] <tab[2i] oraz tab[i]<tab[2i+1] i wtedy mamy już kopiec o korzeniu w i,

- albo tak nie jest i wtedy poprawiamy

ścieżkę „w dół” tak jak w algorytmie delmin.

Algorytm tworzenia kopca

For i:= n div 2 downto 1 do downheap(i) od;

Procedure downheap (k:integer);

/* utwórz kopiec o korzeniu w pozycji k zakładając, że 2k i 2k+1 są korzeniami kopców w tablicy*/

begin

v := tab[k];

while (k<= n div 2 ) do j := 2*k;

if (j<n) then if (tab[j] > tab[j+1] )then j := j+1 fi fi;

if v<tab[j] then exit fi;

tab[k] := tab[j];

k := j;

od;

tab[k] := v;

end;

Przykład - konstrukcja kopca

5 7 1

6 2 8 4

3 9

5 7 1 6 2 8 4 3 9 Tab:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

To są liście

5 7 1 6 2 8 4 3 9 Tab:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 7 1 3 2 8 4 6 9 Tab:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 7 1 3 2 8 4 6 9 Tab:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 2 1 3 7 8 4 6 9 Tab:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 5 3 7 8 4 6 9 Tab:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Koszt konstrukcji kopca

Załóżmy, że n jest liczbą elementów w kopcu, a h jego wysokością.

W(n) = lw * lp

liczba wierzchołków które trzeba być może

poprawić

liczba porównań, które trzeba wtedy wykonać

i n

W

h i

i

h

2

2 )

(

1



 





Gdyby to było pełne drzewo

binarne Nie trzeba

poprawiać liści

Liczba

wierzchołków na poziomie h-i

Co najwyżej dwa porównania dla każdego elementu na ścieżce do liścia.

Razem W(n) = O(n)

Razem W(n) = O(n)