Vloeistofmechanica b70: Collegehandleiding

Collegehandleiding

Januari 1989 J.A. Battjes

T Delft

V a k g r o e p Waterbouwkunde C o l l e g e h a n d l e i d i n g b70 VLOEISTOFMECHANICA p r o f . d r . i r . J.A. B a t t j e s b 7 0 u i t g a v e j a n u a r i 1990 203010

1 . I N L E I D I N G 1 2. VLOEISTOFEIGENSCHAPPEN 5 2 . 1 Continuümmodel 5 2.2 M a s s a d i c h t h e i d 6 2.3 C o n s t i t u t i e v e v e r g e l i j k i n g e n 6 1 . S p a n n i n g e n 6 2. S a m e n d r u k b a a r h e i d 7 3. V l o e i b a a r h e i d 10 2.4 G r e n s v l a k s p a n n i n g 15 2.5 G e l i j k v o r m i g h e i d e n d i m e n s i e - a n a l y s e 17 3. KINEKATICA 2 1 3 . 1 S n e l h e i d s v e l d 2 1 3.2 V a r i a t i e s i n r u i m t e e n t i j d 25 3.3 V e r s n e l l i n g v a n e e n d e e l t j e 30 3.4 V o l u m e s t r o o m e n m e e v o e r i n g 33 4. BALANSVERGELIJKINGEN 39 5. MASSABALANS EN VOLUMEBALANS 43 5 . 1 O n s a m e n d r u k b a a r h e i d 43 5.2 V o l u m e b a l a n s v o o r e e n s t r o o m b u i s 43 5.3 V o l u m e b a l a n s v o o r n i e t - s t a t i o n a i r e s t r o o m i n o p e n w a t e r l o o p 45

6. IMPULSBALANS VOOR EEN DEELTJE 49

6.1 I m p u l s v o o r r a a d 49 6.2 I m p u l s o v e r d r a c h t 49 6.3 I m p u l s b a l a n s v o o r e e n d e e l t j e 53 6.4 Piëzometrisch n i v e a u 54 6.5 V e r g e l i j k i n g v a n E u l e r i n n a t u u r l i j k a s s e n s t e l s e l 56 1 . V e r g e l i j k i n g l a n g s de b i n o r m a a l 57 2. V e r g e l i j k i n g l a n g s de n o r m a a l 57 3. V e r g e l i j k i n g l a n g s de s t r o o m l i j n ( B e r n o u l l i ) 6 1

2. O p e n i n g

6.7 S t r o m i n g e n m e t u n i f o r m e e n e r g i e 6.8 G e l i j k v o r m i g h e i d

ENERGIEBALANS VOOR EEN STROOMBUIS 7.1 E n e r g i e - o v e r d r a c h t 7.2 E n e r g i e - o v e r d r a c h t e n e n e r g i e h o o g t e 7.3 E n e r g i e b a l a n s 7.4 T o e p a s s i n g e n 1 . V e r n a u w i n g 2. V e n t u r i m e t e r 3. H e v e l 4. Pomp o f t u r b i n e 5. O v e r l a a t 6. S c h u i f

IMPULSBALANS VOOR EEN STROOMBUIS 8.1 I m p u l s v o o r r a a d 8.2 I m p u l s o v e r d r a c h t 8.3 I m p u l s b a l a n s v o o r w i l l e k e u r i g g e b i e d 8.4 I m p u l s o v e r d r a c h t d o o r e e n d w a r s d o o r g a n g 8.5 I m p u l s b a l a n s v o o r e e n s t r o o m b u i s 8.6 T o e p a s s i n g e n o p s t r o m e n m e t e e n v r i j o p p e r v l a k 1 . S t r a a l t e g e n s c h o e p 2. S t r a a l t e g e n v l a k k e w a n d 3. S t r o o m o v e r o v e r l a a t 8.7 T o e p a s s i n g e n o p s t r o m e n i n g e s l o t e n l e i d i n g e n 1 . V e r n a u w i n g 2. A b r u p t e v e r w i j d i n g 3. L o k a l e v e r n a u w i n g 4. C o m p r e s s i e g o l f

STROMING I N OPEN WATERLOPEN 9.1 I n l e i d i n g

9.2 I m p u l s o v e r d r a c h t

9.5 T o e p a s s i n g e n 1 2 0 1 . S t r o m i n g o n d e r s c h u i f 1 2 1

2. S t a t i o n a i r e w a t e r s p r o n g 1 2 4 3. L o p e n d e w a t e r s p r o n g 128

4. O v e r l a t e n 1 3 0

1 0 . STROMING ROND EEN STAR LICHAAM 137

1 0 . 1 I n l e i d i n g 1 3 7 10.2 I d e a l e - v l o e i s t o f b e n a d e r i n g 138 10.3 I n v l o e d v i s c o s i t e i t 1 4 0 10.4 S t e r k - v i s k e u z e s t r o m i n g (Re « 1 ) 1 4 2 10.5 Z w a k - v i s k e u z e s t r o m i n g (Re » 1 ) 1 4 4 10.6 S l e e p k r a e h t 1 5 2 10.7 V a l s n e l h e i d 156 1 1 . WEERSTAND I N P I J P L E I D I N G E N 1 5 9 1 1 . 1 I n l e i d i n g 1 5 9 11.2 V e r t r a g i n g s v e r l i e z e n 1 6 1 11.3 W e e r s t a n d i n e e n p a r i g e s t r o o m 167 1 1 . 3 . 1 O n t w i k k e l i n g t o t e e n p a r i g e s t r o o m 1 6 7 1 1 . 3 . 2 P a r a m e t e r s 167 1 1 . 3 . 3 E v e n w i c h t s v o o r w a a r d e n 1 7 0 1 1 . 3 . 4 L a m i n a i r e s t r o o m 173 11.3.5 T u r b u l e n t e s t r o o m 176 1 1 . 4 L e i d i n g s t e l s e l s 1 8 9 A p p e n d i x : B e r e k e n i n g v a n g e m i d d e l d e s n e l h e i d e n coëfficiënten 1 9 0 a e n /3 u i t l o g a r i t h m i s c h s n e l h e i d s p r o f i e l

1 2 . EENPARIGE STROOM I N OPEN WATERLOPEN 195

1 2 . 1 I n l e i d i n g 195 12.2 T w e e - d i m e n s i o n a l e s t r o m i n g m e t v r i j o p p e r v l a k 196 12.3 S t r o m i n g i n l e i d i n g m e t w i l l e k e u r i g d w a r s p r o f i e l 1 9 9 1 2 . 4 E m p i r i s c h e w e e r s t a n d s f o r m u l e s 2 0 2 12.5 S l o t o p m e r k i n g e n 207 L i t e r a t u u r 209

M e c h a n i c a i s de l e e r v a n de b e w e g i n g e n v e r v o r m i n g v a n m a t e r i e o n d e r i n v l o e d v a n u i t w e n d i g e k r a c h t e n . Een b e l a n g r i j k o n d e r s c h e i d i s d a a r b i j t e maken t u s s e n v a s t e s t o f f e n e n e r z i j d s ( E n g e l s : " s o l i d s " ) e n v l o e i -s t o f f e n ( " l i q u i d -s " ) e n g a -s -s e n ( " g a -s e -s " ) a n d e r z i j d -s ( i n h e t E n g e l -s g e z a m e n l i j k a a n g e d u i d a l s " f l u i d s " , d.w.z. s t o f f e n d i e k u n n e n v l o e i e n , o f s t r o m e n ) . D i t o n d e r s c h e i d i s h i e r i n g e l e g e n d a t e e n s c h u i f s p a n n i n g i n v a s t e s t o f f e n a a n l e i d i n g g e e f t t o t e e n e i n d i g e v e r v o r m i n g , e n i n v l o e i s t o f f e n e n g a s s e n t o t e e n v o o r t g a a n d e v e r v o r m i n g , z i j h e t m e t e e n e i n d i g e s n e l h e i d . D i t i s i n f e i t e de d e f i n i t i e v a n b e i d e categorieën v o o r z o v e r h e t h u n m e c h a n i s c h g e d r a g b e t r e f t . S t r o m i n g e n v a n v l o e i s t o f f e n e n g a s s e n z i j n v a a k i n s t a b i e l ; de b e w e g i n g k r i j g t d a a r b i j v e e l a l e e n c h a o t i s c h f l u c t u e r e n d , w e r v e l e n d k a r a k t e r ( t u r b u l e n t i e ) . V o o r de b e p a l i n g v a n de ( g e m i d d e l d e ) e i g e n s c h a p p e n v a n t u r b u l e n t e b e w e g i n g e n m o e t e e n z w a a r b e r o e p op h e t e x p e r i m e n t w o r d e n g e d a a n ( v e e l meer d a n n o d i g i s v o o r de b e p a l i n g v a n de v e r v o r m i n g v a n c o n s t r u c t i e s ) . G e l i j k v o r m i g h e i d s b e s c h o u w i n g e n s p e l e n d a a r b i j e e n b e l a n g r i j k e r o l . Een e n a n d e r r e s u l t e e r t v e e l a l i n w i s k u n d i g e m o d e l l e n v a n s e m i - t h e o r e t i s c h e a a r d , a a n g e v u l d m e t e m p i r i s c h e i n f o r m a t i e o v e r de s t r o m i n g . De b e w e g i n g v a n v l o e i s t o f f e n e n d i e v a n g a s s e n k u n n e n v o o r e e n b e l a n g -r i j k d e e l op d e z e l f d e m a n i e -r w o -r d e n b e h a n d e l d . De l e e -r v a n d i e beweg i n beweg e n h e e t " s t r o m i n beweg s l e e r " ( E n beweg e l s : " F l u i d M e c h a n i c s " ) . Een p r i n c i -p i e e l v e r s c h i l t u s s e n b e i d e m e d i a , g e z i e n u i t h e t o o g -p u n t v a n de s t r o m i n g s l e e r , i s d a t a l l e e n b i j v l o e i s t o f f e n s p r a k e k a n z i j n v a n e e n v r i j o p p e r v l a k . Een meer g r a d u e e l v e r s c h i l i s d a t g a s s e n m e e r c o m p r e s -s i b e l z i j n d a n v l o e i -s t o f f e n . I n de c i v i e l e t e c h n i e k komen z o w e l p r o b l e m e n v o o r v a n s t r o m i n g v a n g a s s e n ( v o o r a l l u c h t ) a l s v a n v l o e i s t o f f e n ( v o o r a l w a t e r ) . L u c h t -b e w e g i n g e n z i j n -b i j v o o r -b e e l d v a n -b e l a n g i n v e r -b a n d m e t w i n d -b e l a s t i n g op c o n s t r u c t i e s , w i n d h i n d e r i n de b e b o u w d e o m g e v i n g , e n k l i m a a t r e g e l i n g i n g e b o u w e n . De c o m p r e s s i b i l i t e i t v a n de l u c h t i s n i e t v a n b e t e k e n i s i n d e z e p r o b l e m e n o m d a t de h i e r i n v o o r k o m e n d e s n e l h e d e n e n d r u k v a r i a -t i e s d a a r v o o r n i e -t g r o o -t g e n o e g z i j n .

w a t e r b e w e g i n g t e maken, d e e l s i n g e s l o t e n s y s t e m e n ( p i j p l e i d i n g e n ) , maar o v e r w e g e n d m e t e e n v r i j o p p e r v l a k ( w a t e r b e w e g i n g e n i n k a n a l e n , r i v i e r e n , e s t u a r i a e n zeeën e n d o o r / o v e r / r o n d o m d i v e r s e d a a r i n v o o r k o -mende c o n s t r u c t i e s ) ; d a a r n a a s t z i j n p r o b l e m e n v a n g r o n d w a t e r s t r o m i n g v a n b e l a n g . H e t v a k b 7 0 g e e f t e e n i n l e i d i n g i n de s t r o m i n g s l e e r , g e r i c h t op c i v i e l t e c h n i s c h e p r o b l e m e n . De s t o f h e e f t d a a r o m p r i m a i r b e t r e k k i n g op v l o e i s t o f s t r o m i n g e n ; d i t k o m t o o k i n de naam v a n h e t v a k t o t u i t i n g . D e s a l -n i e t t e m i -n z i j -n de r e s u l t a t e -n v o o r e e -n d e e l w e l v a -n t o e p a s s i -n g op bewe-g i n bewe-g e n v a n bewe-g a s s e n , z i j h e t i n de b e n a d e r i n bewe-g v a n o n s a m e n d r u k b a a r h e i d . I n h e t v e r v o l g z a l e c h t e r k o r t h e i d s h a l v e n i e t s t e e d s v a n " v l o e i s t o f f e n e n g a s s e n " w o r d e n g e s p r o k e n maar v a n " v l o e i s t o f f e n " . V e r e i s t e v o o r k e n n i s v o o r b 7 0 i s v o o r a l A n a l y s e B ( a l ) , A n a l y s e / D i f f . v g l . ( a 6 ) e n A l g e m e n e M e c h a n i c a I ( b 7 ) . U i t de a n a l y s e z i j n i n h e t b i j z o n d e r de partiële a f g e l e i d e e n de v e c t o r r e k e n i n g v a n b e l a n g ; u i t de a l g e m e n e m e c h a n i c a z i j n d a t de o n d e r w e r p e n k i n e m a t i c a v a n k r o m l i j n i g e b e w e g i n g e n , i m p u l s e n h e t b e h o u d d a a r v a n , k r a c h t , a r b e i d e n e n e r g i e . H e t o n d e r w i j s i n h e t v a k b 7 0 k e n t de v o l g e n d e c o m p o n e n t e n e n h u l p m i d d e l e n : c o m p o n e n t : m o n d e l i n g e k e n n i s o v e r d r a c h t p l a a t s j e c o l l e g e s h u l p m i d d e l j ^ h a n d l e i d i n g b e h a n d e l i n g v a n v r a a g s t u k k e n c o l l e g e s v r a a g s t u k -k e n b u n d e l d e m o n s t r a t i e s c o l l e g e s d e m o n s t r a t i e -a p p -a r -a t u u r p r a c t i c u m l a b o r a t o r i u m s t r o o m g o t e n

De k e n n i s o v e r d r a c h t i n de c o l l e g e s i s g e r i c h t op h o o f d l i j n e n v a n de t h e o r i e e n op h e t o n t w i k k e l e n v a n f y s i s c h i n z i c h t . V o l l e d i g h e i d i n ( m a t h e m a t i s c h e ) f o r m u l e r i n g e n s t a a t d a a r b i j n i e t v o o r o p ; d a a r v o o r i s de h a n d l e i d i n g e e n meer g e s c h i k t h u l p m i d d e l . De b e h a n d e l i n g v a n v r a a g s t u k k e n g e b e u r t geïntegreerd i n de c o l l e g e s om de t h e o r i e d i r e c t t o t t o e p a s s i n g t e b r e n g e n ; d i t b e v o r d e r t de m o t i v a t i e e v e n a l s h e t i n z i c h t i n de t h e o r i e e n i n de t o e p a s s i n g s m o g e l i j k h e d e n d a a r v a n . A l s o n d e r s t e u n i n g b i j de m o n d e l i n g e k e n n i s o v e r d r a c h t w o r d e n i n de c o l l e g e s r e g e l m a t i g d e m o n s t r a t i e s g e g e v e n v a n d i v e r s e t y p e n s t r o m i n g , g e b r u i k m a k e n d v a n i n de c o l l e g e z a a l a a n w e z i g e f a c i l i t e i t e n . I n v e e l g e v a l l e n g a a t h e t z o w e l om e e n k w a l i t a t i e v e i n d r u k a l s om e e n k w a n t i t a -t i e v e u i -t w e r k i n g op g r o n d v a n de -t e r p l e k k e g e m e -t e n g r o o -t h e d e n . T e n s l o t t e i s e r e e n p r a c t i c u m d a t d o o r e l k e s t u d e n t m o e t w o r d e n v o l t o o i d . H i e r g a a t h e t e r om d a t de s t u d e n t z e l f d i v e r s e s t r o m i n g e n w a a r n e e m t , d a a r a a n m e t i n g e n v e r r i c h t , e n de u i t k o m s t e n v e r g e l i j k t m e t t h e o r e t i s c h e b e t r e k k i n g e n . D i t v e r l a a g t de d r e m p e l d i e b e s t a a t v o o r h e t h a n t e r e n v a n de t h e o r i e i n c o n c r e t e s i t u a t i e s , e n g e e f t e n i g i n z i c h t i n de v o o r s p e l l e n d e w a a r d e e n de b e p e r k i n g e n v a n de t h e o r i e . V o o r de s t u d e n t i s h e t v a n b e l a n g v o l l e d i g p r o f i j t t e t r e k k e n v a n b o v e n g e n o e m d e m o g e l i j k h e d e n d o o r d i e i n h u n s a m e n h a n g t e z i e n e n d o o r a a n e l k d a a r v a n a c t i e f d e e l t e nemen. D i t v e r h o o g t h e t r e n d e m e n t v a n de z e l f s t a n d i g u i t t e v o e r e n s t u d i e w a a r h e t u i t e i n d e l i j k om g a a t . A l s h u l p m i d d e l b i j de s t u d i e e n v o o r a a n v u l l e n d e o e f e n i n g e n i n t o e p a s -s i n g e n i -s e e n b u n d e l b e -s c h i k b a a r m e t -s t u d i e v r a g e n e n v r a a g -s t u k k e n v o o r z i e n v a n u i t w e r k i n g e n o f a n t w o o r d e n . E r z i j n v e e l b o e k e n b e s c h i k b a a r d i e e e n i n l e i d i n g g e v e n i n de v l o e i -s t o f m e e h a n i c a . E n k e l e d a a r v a n w o r d e n genoemd i n e e n o v e r z i c h t o p g e n o m e n a a n h e t e i n d e v a n d e z e h a n d l e i d i n g .

2. VLOEISTOFEIGENSCHAPPEN 2 . 1 Continuümmodel T h e o r e t i s c h e m o d e l l e n k u n n e n n i e t b e t r e k k i n g h e b b e n op de t o t a l e comp l e x i t e i t v a n de w e r k e l i j k h e i d , maar s l e c h t s ocomp e n k e l e a s comp e c t e n d a a r -v a n d i e -v o o r e e n b e p a a l d e -v r a a g s t e l l i n g -v a n b e l a n g w o r d e n g e a c h t . B o v e n d i e n w o r d e n d i e a s p e c t e n i n e e n m i n o f m e e r b e n a d e r e n d e , geïdea-l i s e e r d e v o r m w e e r g e g e v e n . M e c h a n i s c h e e i g e n s c h a p p e n v a n de m a t e r i e w o r d e n b e p a a l d d o o r de m o l e c u l a i r e m a s s a ' s e n h u n o n d e r l i n g e p o s i t i e s , b e w e g i n g e n e n w i s s e l -w e r k i n g e n . De a f m e t i n g e n v a n t e c h n i s c h e s y s t e m e n z i j n v e e l a l e c h t e r v e e l g r o t e r d a n de m o l e c u l a i r e l e n g t e s c h a a l . V o o r de m e c h a n i c a v a n z u l k e s y s t e m e n k u n n e n we d a a r o m a f z i e n v a n de m o l e c u l a i r e m i c r o s t r u c -t u u r , e n op m a c r o n i v e a u d o e n a l s o f de m a -t e r i e c o n -t i n u v e r d e e l d i s i n de f y s i s c h e r u i m t e . W i j s p r e k e n d a n v a n e e n continuümmodel v a n d e m a t e r i e . Een e i g e n s c h a p d i e l o k a a l a a n h e t continuüm w o r d t t o e g e k e n d ( b i j v . m a s s a d i c h t h e i d ) i s i n f e i t e h e t r e s u l t a a t v a n de b i j d r a g e n ( b i j v . m a s s a ' s ) v a n de m o l e c u l e n i n e e n k l e i n g e b i e d j e . E n e r z i j d s m o e t z o ' n g e b i e d j e g r o o t g e n o e g z i j n om z o v e e l m o l e c u l e n t e b e v a t t e n d a t de som v a n h u n b i j d r a g e n s t a t i s t i s c h s t a b i e l i s ; a n d e r z i j d s k l e i n g e n o e g t e n o p z i c h t e v a n de a f m e t i n g e n v a n de b e s c h o u w d e s y s t e m e n om t e k u n n e n s p r e k e n v a n de e i g e n s c h a p p e n i n e e n p u n t . ( H e t f e i t d a t d i t m o g e l i j k i s v o r m t de b a s i s v a n de continuüm-benadering.) D i e e i g e n s c h a p p e n k u n n e n dus w o r d e n b e h a n d e l d a l s f u n c t i e s v a n de c o n t i n u e f y s i s c h e r u i m t e . Z u l k e f u n c t i e s h e t e n v e l d e n . V o o r b e e l d e n d a a r v a n z i j n h e t v e l d v a n de t e m p e r a t u u r , de m a s s a d i c h t h e i d e n h e t d r u k v e l d ( z . g . s c a l a r v e l d e n ) e n h e t s n e l h e i d s v e l d ( e e n v e c t o r v e l d ) . De r u i m t e l i j k e v a r i a t i e v a n e e n v e l d g r o o t h e i d i n de k l e i n e o m g e v i n g v a n e e n p u n t w o r d t m a t h e m a t i s c h b e s c h r e v e n m e t de partiële a f g e l e i d e n n a a r de v e r s c h i l l e n d e coördinaten; d i t l e i d t t o t h e t b e g r i p gradiënt ( z i e c o l l e g e a^, A n a l y s e ) . D a a r n a a s t k a n e r n o g v a r i a t i e i n de t i j d z i j n , w a a r v o o r de partiële a f g e l e i d e n a a r de t i j d e e n m a a t i s . W i j k o m e n i n h e t v o l g e n d e h o o f d s t u k h i e r o p t e r u g . E e r s t w o r d e n e n k e l e m e c h a n i s c h e e i g e n s c h a p p e n v a n v l o e i s t o f f e n b e h a n d e l d .

2.2 M a s s a d i c h t h e i d De m a s s a p e r e e n h e i d v a n v o l u m e h e e t de ( v o l u m i e k e ) m a s s a d i c h t h e i d , a l g e m e e n w e e r g e g e v e n d o o r h e t s y m b o o l p. De d i m e n s i e v a n p v o l g t d i r e c t _ 3 u i t de d e f i n i t i e : [ p ] = ML ; de S l - e e n h e i d e r v a n i s 1 kg/m^. De m a s s a d i c h t h e i d v a n z u i v e r w a t e r e n a n d e r e v l o e i s t o f f e n z o n d e r t o e v o e g i n g e n i s s l e c h t s a f h a n k e l i j k v a n de h e e r s e n d e t e m p e r a t u u r e n d r u k . V o o r de v a r i a t i e m e t de t e m p e r a t u u r w o r d t v e r w e z e n n a a r h a n d -b o e k e n z o a l s Hütte ( 1 9 5 5 ) . D a a r o p w o r d t h i e r n i e t i n g e g a a n . De v a r i a t i e v a n de m a s s a d i c h t h e i d m e t de d r u k k o m t i n p a r . 2 . 3 - 1 a a n de o r d e . I n de c i v i e l — t e c h n i s c h e p r a k t i j k h e b b e n we n i e t m e t z u i v e r w a t e r t e maken, maar a l t i j d m e t o p l o s s i n g e n . G l o b a l e w a a r d e n v a n de d i c h t h e i d v a n z o e t r e s p e c t i e v e l i j k z o u t w a t e r z i j n p = 1000 kg/m^ r e s p e c t i e v e l i j k P = 1025 k g / m 3 . T e n s l o t t e v e r m e l d e n we n o g d a t de d i c h t h e i d v a n l u c h t b i j e e n t e m p e r a -t u u r v a n 20 "C e n e e n d r u k v a n 1 0 ^ Pa ( c a . 1 a -t m o s f e e r ) c a . 1,2 kg/m^ b e d r a a g t ( z i e Hütte, 1 9 5 5 , v o o r meer g e g e v e n s ) . 2.3 C o n s t i t u t i e v e v e r g e l i j k i n g e n E l k e s t o f h e e f t e e n s p e c i f i e k v e r b a n d t u s s e n de s p a n n i n g e n i n de s t o f e n e r z i j d s ( b i j v o o r b e e l d a l s g e v o l g v a n u i t w e n d i g e k r a c h t e n ) e n de d a a r m e e s a m e n h a n g e n d e v e r a n d e r i n g e n v a n v o l u m e e n v o r m a n d e r z i j d s . D i t v e r b a n d w o r d t i n geïdealiseerde v o r m w e e r g e g e v e n d o o r z o g e n a a m d e c o n s t i t u t i e v e v e r g e l i j k i n g e n . Een b e k e n d v o o r b e e l d d a a r v a n z i j n de v e r g e l i j k i n g e n , genoemd n a a r H o o k e , d i e h e t m e c h a n i s c h g e d r a g b e s c h r i j -v e n -v a n -v a s t e s t o f f e n i n de i d e a l i s e r i n g -v a n e l a s t i c i t e i t , i s o t r o p i e e n l i n e a r i t e i t ( z i e c o l l e g e b i l . T o e g e p a s t e M e c h a n i c a ) . 1 . S p a n n i n g e n _ De s p a n n i n g s t o e s t a n d i n e e n p u n t v a n de m a t e r i e w o r d t b e s c h r e v e n m e t e e n zogenaamde s p a n n i n g s t e n s o r . De n e g e n c o m p o n e n t e n h i e r v a n t e n o p z i c h t e v a n e e n r e c h t h o e k i g a s s e n s t e l s e l Oxyz z i j n t e s c h r i j v e n a l s . e n z . ( z i e b i l ) . H i e r i n s t e l l e n de d r i e c o m p o n e n t e n a , a XX x y XX y y

x y y x Wanneer i n e e n p u n t a l l e s c h u i f s p a n n i n g e n g e l i j k z i j n a a n n u l , o n g e -a c h t de oriënt-atie v -a n de b e s c h o u w d e v l -a k j e s , d -a n h e b b e n -a l l e n o r m a a l s p a n n i n g e n i n d a t p u n t d e z e l f d e w a a r d e : c r ^ ^ = a^^ = «^^z" s p r e e k t d a n v a n e e n i s o t r o p e s p a n n i n g s t o e s t a n d . I n s t i l s t a a n d e v l o e i s t o f f e n k a n g e e n s c h u i f s p a n n i n g h e e r s e n e n i s de s p a n n i n g d u s a l t i j d i s o t r o o p ( w e t v a n P a s c a l ) . I n b e w e g e n d e v l o e i s t o f f e n e n i n v a s t e s t o f f e n z i j n de s c h u i f s p a n n i n g e n i n h e t a l g e m e e n n i e t n u l , e n i s de s p a n n i n g n i e t i s o t r o o p . We k u n n e n d a n dus n i e t s p r e k e n v a n " d e " n o r m a a l s p a n n i n g i n e e n p u n t . Men k a n e c h t e r b e w i j z e n d a t h e t g e m i d d e l d e v a n de n o r m a a l s p a n n i n g e n i n d r i e o n d e r l i n g l o o d r e c h t e v l a k j e s ( n o t a t i e : = i ^°y^y^ + '^yy ^zz^^ w a a r d e h e e f t d i e o n a f h a n k e l i j k i s v a n de oriëntatie v a n d i e v l a k j e s . Men n o e m t d i t g e m i d d e l d e h e t i s o t r o p e d e e l v a n de s p a n n i n g . De a f -w i j k i n g e n v a n de -w e r k e l i j k e s p a n n i n g e n t e n o p z i c h t e v a n h e t i s o t r o p e d e e l h e t e n d e v i a t o r s p a n n i n g e n ( z i e b i l ) . De s c h u i f s p a n n i n g e n b e h o r e n i n h u n t o t a l i t e i t t o t de d e v i a t o r s p a n n i n g e n . B i j de g e b r u i k e l i j k e t e k e n a f s p r a k e n k o m t e e n p o s i t i e v e w a a r d e v a n e e n n o r m a a l s p a n n i n g o v e r e e n m e t e e n t r e k s p a n n i n g . I n g a s s e n r e s p e c t i e v e l i j k v l o e i s t o f f e n k o m t t r e k e c h t e r n i e t r e s p e c t i e v e l i j k v r i j w e l n i e t v o o r . V o o r d e z e s t o f f e n v o e r t men d a a r o m h e t b e g r i p d r u k i n , g e d e f i n i e e r d a l s h e t i s o t r o p e d e e l v a n de d r u k s p a n n i n g e n : p = - cr^ = - i (^^^x ^ "^yy ^ G ) . z z V a r i a t i e s i n h e t i s o t r o p e d e e l v a n de s p a n n i n g ( t r e k e n / o f d r u k ) v e r -o -o r z a k e n v -o l u m e v e r a n d e r i n g e n , e n de d e v i a t -o r s p a n n i n g e n v e r -o -o r z a k e n v o r m v e r a n d e r i n g e n . I n de v o l g e n d e t w e e p a r a g r a f e n w o r d t op d e c o n s t i -t u -t i e v e v e r g e l i j k i n g e n v o o r d e z e -t w e e a s p e c -t e n a f z o n d e r l i j k i n g e g a a n . 2. S a m e n d r u k b a a r h e i d B i j v e r h o g i n g v a n de d r u k w o r d e n g a s s e n e n - i n v e e l m i n d e r e m a t e - o o k v l o e i s t o f f e n ( " l i q u i d s " ) g e c o m p r i m e e r d , o f s a m e n g e d r u k t . I n e e r s t e b e n a d e r i n g k a n d i t a l s e e n z u i v e r e l a s t i s c h p r o c e s w o r d e n b e n a d e r d . D i t h o u d t i n d a t h e t p r o c e s o m k e e r b a a r i s : de a r b e i d d i e w o r d t v e r r i c h t i n

d i e b i j h e r s t e l v a n de o o r s p r o n k e l i j k e d r u k h e t v o l u m e w e e r t o t z i j n o o r s p r o n k e l i j k e w a a r d e d o e t t o e n e m e n . H e t v e r b a n d t u s s e n v o l u m e ( V ) e n d r u k ( p ) v o o r g a s s e n e n v l o e i -s t o f f e n w o r d t i n de b e n a d e r i n g v a n e l a -s t i c i t e i t u i t g e d r u k t i n t e r m e n v a n de z , g . c o m p r e s s i e m o d u l u s K v o l g e n s ^ = -1 ( 2 1 ) dp K ^ G e b r u i k m a k e n d v a n h e t b e h o u d v a n massa (pV = c o n s t a n t ) k a n d i t w o r d e n h e r l e i d t o t 1 = 1 <^-^> B l i j k b a a r h e e f t K d e z e l f d e d i m e n s i e a l s e e n s p a n n i n g ; de S I - e e n h e i d _1 _2 e r v a n i s de P a s c a l ( 1 Pa = 1 N/m^ = 1 k g m s ) . De w a a r d e v a n K n e e m t i n p r i n c i p e t o e m e t t o e n e m e n d e d r u k . I n e e n g r o o t b e r e i k v a n de d r u k i s K v o o r w a t e r ( z o n d e r g a s b e l l e n ! ) e c h t e r a l s e e n c o n s t a n t e t e b e s c h o u w e n , m e t e e n w a a r d e v a n c a . 2,2 X 10^ Pa. V o o r g a s s e n i s de v a r i a t i e v a n K m e t de d r u k n i e t v e r w a a r l o o s b a a r . V o o r i s o t h e r m i s c h e c o m p r e s s i e g e l d t i m m e r s pV = c o n s t a n t , w a t i n h o u d t d a t K = p . V o o r a d i a b a t i s c h e c o m p r e s s i e ( w a a r b i j g e e n w a r m t e — u i t w i s s e l i n g m e t de o m g e v i n g p l a a t s v i n d t ) g e l d t pV/T = c o n s t a n t , w a t k a n w o r d e n ^ 1 _{O Ic} h e r l e i d t o t pV = c o n s t a n t o f w e l p/p o = c o n s t a n t , w a a r b i j k ^ v o o r e l k . g a s e e n c o n s t a n t e i s ( v o o r l u c h t i s k = 1 , 4 0 ) . V o o r a d i a b a t i s c h e O c o m p r e s s i e g e l d t dus K = k ^ p . D a n k z i j h e t e l a s t i s c h e k a r a k t e r v a n de s a m e n d r u k b a a r h e i d k u n n e n d r u k -d r u k g o l v e n z i c h v o o r t p l a n t e n i n e e n s a m e n -d r u k b a a r m e -d i u m . Men k a n a a n t o n e n ( z i e h o o f d s t u k 8 ) d a t v o o r de v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d d a a r v a n , de z . g . g e l u i d s s n e l h e i d ( c ) , g e l d t : c ( 2 . 3 ) G e b r u i k makend v a n ( 2 . 2 ) k a n d i t w o r d e n h e r l e i d t o t

c2 = ^ ( 2 . 4 ) P S u b s t i t u t i e v a n b o v e n g e n o e m d e g e t a l s w a a r d e n l e v e r t v o o r z u i v e r w a t e r r e s p e c t i e v e l i j k l u c h t b i j e e n d r u k v a n 1 0 ^ Pa ( c a . 1 a t m o s f e e r ) de w a a r d e n c - 1480 m/s r e s p e c t i e v e l i j k c - 340 m/s. S t e l n u d a t i n e e n g e b i e d v a n e e n s t a t i o n a i r e s t r o m i n g v a n e e n v l o e i -s t o f o f ga-s de -s t r o o m -s n e l h e i d i n de r u i m t e v a r i e e r t t u -s -s e n de w a a r d e n n u l e n u. Z o a l s we n o g z u l l e n z i e n z a l de d r u k i n d a t g e b i e d d a n variëren m e t e e n w a a r d e ( A p ) d i e o n g e v e e r g e l i j k i s a a n hpu"^ . I e t s g l o b a l e r u i t g e d r u k t g e l d t d a t Ap v a n de g r o o t t e - o r d e p u ^ i s ( n o t a t i e : Ap - 0 ( p u 2 ) . De h i e r m e e o v e r e e n k o m e n d e v a r i a t i e v a n de m a s s a d i c h t h e i d ( A p ) l s v o l g e n s ( 2 . 3 ) v a n de o r d e p u ^ / c ^ . De v e r h o u d i n g v a n s t r o o m s n e l h e i d ( u ) t o t g e l u i d s s n e l h e i d ( c ) h e e t h e t k e n t a l v a n Mach: Ma = u / c . De r e l a t i e v e d i c h t h e i d s v a r i a t i e ( A p / p ) i s dus v a n de g r o o t t e - o r d e u ^ / c ^ o f w e l Ma^ ( n o t a t i e : Ap/p ~ u ^ / c ^ r e s p e c t i e v e l i j k Ap/p ~ M a ^ ) . S t r o m i n g e n w a a r v o o r Ma < 1 r e s p e c t i e v e l i j k Ma > 1 h e t e n s u b s o o n r e s p e c t i e v e l i j k s u p e r s o o n . A l s Ma « 1 g e l d t d e s t e m e e r Ma^ « 1 , e n z i j n de r e l a t i e v e d i c h t h e i d s v e r s c h i l l e n v e r w a a r l o o s b a a r . I n c i v i e l -t e c h n i s c h e -t o e p a s s i n g e n i s d e z e b e n a d e r i n g v r i j w e l a l -t i j d g e o o r l o o f d . Nemen we v o o r de s n e l h e i d 1,5 m/s v o o r s t r o m e n d w a t e r , e n 35 m/s v o o r de w i n d ( i n g e v a l v a n e e n o r k a a n ) , d a n z i j n de b i j b e h o r e n d e w a a r d e n v a n _ 3 _ i h e t g e t a l v a n Mach c a . 10 , r e s p e c t i e v e l i j k 10 , o v e r e e n k o m e n d m e t - 6 - 2 Ap/p i n de o r d e v a n 10 r e s p e c t i e v e l i j k 10 . H e t w a t e r r e s p e c t i e v e -l i j k de -l u c h t z i j n d a n a -l s o n s a m e n d r u k b a a r t e b e n a d e r e n . M e r k op d a t d e z e i d e a l i s e r i n g e e n o n e i n d i g g r o t e w a a r d e v a n K i n h o u d t , e n d u s o o k v a n c. Een s t o r i n g e r g e n s a a n g e b r a c h t i s v o l g e n s d e z e b e n a d e r i n g i n s t a n t a a n i n h e t h e l e g e b i e d m e r k b a a r . D i m e n s i e l o z e k e n t a l l e n z o a l s d a t v a n Mach s p e l e n e e n b e l a n g r i j k e r o l i n de s t r o m i n g s l e e r . H e t b e l a n g v a n d i v e r s e f y s i s c h e g r o o t h e d e n i n e e n s t r o m i n g s p r o b l e e m i s n a m e l i j k n i e t g e l e g e n i n de g r o o t t e e r v a n a l s z o d a n i g ( b i j v o o r b e e l d de w a a r d e v a n de s t r o o m s n e l h e i d u ) , m a a r i n de v e r h o u d i n g d a a r v a n t o t e e n a n d e r e v o o r h e t p r o b l e e m r e l e v a n t e p a r a m e t e r ( z o a l s de g e l u i d s s n e l h e i d ) o f c o m b i n a t i e v a n p a r a m e t e r s ( z o a l s ( K / p ) )

v a n d e z e l f d e d i m e n s i e . D i t l e i d t p e r p r o b l e e m - s c h e m a t i s a t i e t o t e e n o f m e e r k e n t a l l e n . D i e z i j n p e r d e f i n i t i e d i m e n s i e l o o s , Hun w a a r d e i s d u s o n a f h a n k e l i j k v a n h e t g e b r u i k t e e e n h e d e n s t e l s e l . Twee s t r o m i n g e n w a a r -v o o r a l l e o -v e r e e n k o m s t i g e r e l e -v a n t e k e n t a l l e n d e z e l f d e w a a r d e h e b b e n ( b i j v o o r b e e l d i n b e i d e d e z e l f d e w a a r d e v a n h e t g e t a l v a n Mach) z i j n g e l i j k v o r m i g , n i e t a l l e e n i n m e e t k u n d i g e z i n maar o o k i n d y n a m i s c h e z i n . H i e r o p b e r u s t h e t g e b r u i k v a n s c h a a l m o d e l l e n ( z i e p a r . 2 . 5 ) . 3. V l o e i b a a r h e i d I n v a s t e s t o f f e n v e r o o r z a a k t e e n s c h u i f s p a n n i n g ( h i e r k o r t h e i d s h a l v e a a n g e d u i d m e t r ) e e n e i n d i g e v e r v o r m i n g . A l s m a a t d a a r v o o r nemen we de v e r a n d e r i n g ( 7 ) v a n de h o e k t u s s e n t w e e v l a k k e n d i e i n o n b e l a s t e t o e s t a n d h a a k s op e l k a a r s t a a n , i n h e t v l a k v a n de a f s c h u i v i n g r e s p e c -t i e v e l i j k h a a k s d a a r o p ( F i g . 2 . 1 a ) . I n de l i n e a i r e b e n a d e r i n g ( w e -t v a n H o o k e ) z i j n r e n 7 r e c h t e v e n r e d i g a a n e l k a a r ; de e v e n r e d i g h e i d s f a c t o r h e e t g l i j d i n g s m o d u l u s ( G ) . I n z o ' n v a s t e s t o f g e l d t d u s r = G7. V l o e i s t o f f e n e n g a s s e n d a a r e n t e g e n w o r d e n g e k e n m e r k t d o o r h e t f e i t d a t e e n s c h u i f s p a n n i n g v e r o o r z a a k t d a t de s t o f g a a t v l o e i e n , d.w.z. d a t e r z i c h e e n v o o r t g a a n d e v e r v o r m i n g v o o r d o e t , m e t e e n e i n d i g e v e r v o r m i n g s -s n e l h e l d ( d 7 / d t ) . Figuur 2.1 H e t v e r s c h i l l e n d g e d r a g v a n v a s t e s t o f f e n e n e r z i j d s e n v l o e i s t o f f e n o f g a s s e n a n d e r z i j d s , o n d e r i n v l o e d v a n e e n s c h u i f s p a n n i n g , i s geïllu-s t r e e r d i n F i g . 2.2.

p l a s t i s c h e s t o f B i n g h a m s e s t o f n i e t - N e w t o n s e v l o e i s t o f N e w t o n s e v l o e i s t o f ^ T = 0 ( i d e a l e v l o e i s t o f ) Él d t Figuur 2.2 V o o r e e n v a s t e s t o f g e l d t d 7 / d t = O o n g e a c h t d e w a a r d e v a n T, m i t s d e z e k l e i n e r i s d a n e e n z e k e r e k r i t i e k e w a a r d e w a a r b i j v l o e i g a a t o p t r e d e n ( p l a s t i s c h g e d r a g ) . Wanneer T i n h e t p l a s t i s c h g e b i e d l i n e a i r v a r i e e r t m e t d 7 / d t s p r e k e n we v a n e e n B i n g h a m s e s t o f . V o o r v l o e i s t o f f e n e n g a s s e n g e l d t ( p e r d e f i n i t i e ) d a t d 7 / d t = O alléén a l s T = 0. I n e e n s t i l s t a a n d e v l o e i s t o f o f g a s h e e r s e n d u s g e e n s c h u i f -s p a n n i n g e n , e n i -s de -s p a n n i n g -s t o e -s t a n d i -s o t r o o p ( w e t v a n P a -s c a l ) . Een s c h u i f s p a n n i n g h e e f t i n e e n v l o e i s t o f o f g a s e e n v o o r t g a a n d e v e r v o r m i n g t o t g e v o l g ( d 7 / d t ^ O z o d r a T ^ 0). W a n n e e r r d a a r b i j r e c h t e v e n r e d i g i s m e t d 7 / d t s p r e k e n we v a n e e n Newtonse v l o e i s t o f . D i t i s ( o . a . ) v o o r w a t e r e e n r e a l i s t i s c h m o d e l . De e v e n r e d i g h e i d s f a c t o r t u s s e n s c h u i f s p a n n i n g e n v e r v o r m i n g s s n e l h e i d h e e t (coëfficiënt v a n ) d y n a m i s c h e v i s c o s i -t e i -t (ri): T = n d7 _{d t} ( 2 . 4 ) U i t ( 2 . 4 ) v o l g t d a t v o o r de d i m e n s i e v a n f? g e l d t [r}] = ML T . De S I -_ i -_ i e e n h e i d v a n i s 1 k g m s = 1 P a . s . I n sommige s t r o m i n g s p r o b l e m e n h e e f t de v i s c o s i t e i t s l e c h t s e e n z e e r g e r i n g e i n v l o e d . W a n n e e r , i n e e n m a t h e m a t i s c h m o d e l v a n z u l k e s t r o -m i n g e n , de v i s c o s i t e i t b i j b e n a d e r i n g g e l i j k a a n n u l w o r d t g e s t e l d ,

g e l d t ( i n d a t m o d e l ) r = O o n g e a c h t de w a a r d e v a n d 7 / d t . We s p r e k e n d a n v a n ( h e t m o d e l v a n ) e e n n i e t — v i s k e u z e o f i d e a l e v l o e i s t o f c . q . g a s . H e t i s g e b r u i k e l i j k de s c h u i f s p a n n i n g i n s t r o m e n d e v l o e i s t o f f e n o f g a s s e n u i t t e d r u k k e n i n gradiënten v a n de s t r o o m s n e l h e i d . B e s c h o u w d a a r t o e e e n v l a k k e p a r a l l e l s t r o m i n g , w a a r i n de ( x , y , z ) — c o m p o n e n t e n v a n de s n e l h e i d de w a a r d e n ( u , O, 0 ) h e b b e n , e n w a a r i n u s l e c h t s m e t z v a r i e e r t . De s t r o o m s n e l h e i d i n t w e e d i c h t b i j e l k a a r g e l e g e n v l a k k e n z = Zj^ r e s p e c t i e v e l i j k z = Z j = + Az i s Uj^ r e s p e c t i e v e l i j k xx^ = u ^ + Au ( z i e F i g . 2 . 1 b ) . H e t v e r s c h i l i n v e r p l a a t s i n g v a n de v l o e i s t o f i n b e i d e l a g e n i n e e n t i j d A t i s As = ( U j - u ^ ) A t = Au A t ; d i t g e e f t e e n v e r d r a a i i n g v a n de a a n v a n k e l i j k e n o r m a a l o v e r e e n h o e k A7 = As/Az o f w e l A7 = A u A t / A z , o v e r e e n k o m e n d m e t e e n h o e k s n e l h e i d A 7 / A t = Au/Az. I n de l i m i e t A t O e n Az ^- O i s d 7 / d t g e l i j k a a n de snelheids-gradiënt d u / d z ( d e z . g . " s c h e r i n g " , i n h e t E n g e l s " r a t e o f s h e a r " ) . V o o r de s c h u i f s p a n n i n g g e l d t d a n a = r = r,p^ ' ( 2 . 5 ) x z ' dz B o v e n s t a a n d e f o r m u l e r i n g ( 2 . 5 ) b r e n g t m a t h e m a t i s c h h e t f y s i s c h e k a r a k -t e r v a n de v i s c o s i -t e i -t -t o -t u i -t d r u k k i n g . V i s c o s i -t e i -t i s n a m e l i j k h e -t r e s u l t a a t v a n m o l e c u l a i r e d i f f u s i e v a n i m p u l s : d o o r v e r s c h i l l e n i n s t r o o m s n e l h e i d t u s s e n n a b u r i g e v l o e i s t o f l a g e n w o r d t t u s s e n d i e l a g e n tangentiële i m p u l s u i t g e w i s s e l d . De s n e l s t s t r o m e n d e l a a g s t a a t i m p u l s a f a a n de l a n g z a m e r s t r o m e n d e l a a g , w a a r d o o r s n e l h e i d s v e r s c h i l l e n w o r d e n v e r e f f e n d . V e r g e l i j k i n g ( 2 . 5 ) h o u d t i n d a t de g e m i d d e l d e o v e r -d r a c h t v a n tangentiële i m p u l s p e r e e n h e i -d v a n o p p e r v l a k t e e n t i j -d , -d i e we s c h u i f s p a n n i n g noemen, e v e n r e d i g i s m e t de snelheidsgradiënt ( z o a l s h e t w a r m t e t r a n s p o r t d o o r g e l e i d i n g e v e n r e d i g i s m e t de gradiënt v a n t e m p e r a t u u r ) . De coëfficiënt v a n v i s c o s i t e i t h e e f t d u s de b e t e k e n i s v a n e e n diffusie—coëfficiënt v o o r i m p u l s . V o o r de i n v l o e d v a n de v i s c o s i t e i t op de r e s u l t e r e n d e s n e l h e i d ( = i m p u l s p e r m a s s a - e e n h e i d ) i s n i e t z o z e e r de u i t w i s s e l i n g v a n i m p u l s z e l f v a n b e l a n g ( T ) a l s w e l de u i t w i s s e l i n g v a n i m p u l s p e r m a s s a -e -e n h -e i d (T/P). D a a r o m w o r d t m e e s t a l n i e t g e w e r k t m e t d e coëfficiënt v a n d y n a m i s c h e v i s c o s i t e i t maar m e t d i e v a n de zogenaamde k i n e m a t i s c h e v i s c o s i t e i t , g e d e f i n i e e r d a l s

>/ = ri/p ( 2 . 6 ) V o o r de d i m e n s i e v a n u g e l d t [v] = [r)]/[p] = L'^ T . D e S l - e e n h e i d e r v a n i s 1 m^/s. De w a a r d e n v a n r) en i/ v e r s c h i l l e n s t e r k t u s s e n v e r s c h i l l e n d e s t o f f e n , e n variëren n o g a l m e t de t e m p e r a t u u r E n k e l e w a a r d e n v o o r l u c h t e n w a t e r z i j n g e g e v e n i n b i j g a a n d e t a b e l . T e m p e r a t u u r - 2 0 «C O «G 10 °C 20 °C > 7 / ( 1 0 ~ % a . s ) 1,80 1,33 1,00 W a t e r u/(lO^^ m V s ) 1,80 1,33 1,00 f / / ( 1 0 ~ ^ P a . s ) 16,2 17,2 17,2 1 8 , 1 L u c h t u/aO"^ m V s ) 11,6 13,3 14,2 1 5 , 1 Z o a l s a l i s o p g e m e r k t a a n h e t e i n d e v a n p a r . 2.3.2 i s h e t b e l a n g v a n d i v e r s e g r o o t h e d e n v o o r e e n s t r o m i n g s p r o b l e e m n i e t g e l e g e n i n d e w a a r d e n e r v a n a l s z o d a n i g , m a a r i n ( d i m e n s i e l o z e ) v e r h o u d i n g s g e t a l l e n , de z . g . k e n t a l l e n ( z o a l s d a t v a n Mach v o o r de c o m p r e s s i b i l i t e i t ) . We z u l l e n d i t u i t w e r k e n m e t b e t r e k k i n g t o t de v i s c o s i t e i t . We g a a n d a a r b i j e e n v o u d i g h e i d s h a l v e u i t v a n de s t r o m i n g r o n d o m e e n v o o r w e r p , d a t m e t e e n c o n s t a n t e s n e l h e i d b e w e e g t i n e e n n a a r a l l e r i c h t i n g e n o n e i n d i g u i t g e -s t r e k t e v l o e i -s t o f i n r u -s t ( a f g e z i e n v a n de v e r -s t o r i n g a a n g e b r a c h t d o o r h e t b e w e g e n d e v o o r w e r p ) . We g a a n e r v a n u i t d a t h e t s t r o o m b e e l d g e h e e l i s b e p a a l d d o o r de v o l g e n d e g r o o t h e d e n : • m a s s a d i c h t h e i d ( p ) e n d y n a m i s c h e v i s c o s i t e i t (tj) v a n de v l o e i s t o f ( d i e a l s o n s a m e n d r u k b a a r w o r d t g e ï d e a l i s e e r d ) . H s n e l h e i d ( U ) , a f m e t i n g ( i ) , v o r m e n oriëntatie v a n h e t v o o r w e r p . U i t de d i m e n s i e s v a n de g r o o t h e d e n p, »y, U e n i i s a f t e l e i d e n d a t d i e v i e r g r o o t h e d e n t o t s l e c h t s één o n a f h a n k e l i j k , d i m e n s i e l o o s v e r h o u -d i n g s g e t a l z i j n t e g r o e p e r e n , h e t z . g . k e n t a l v a n R e y n o l -d s :

Re = ( 2 . 7 ) I n t e r m e n v a n de k i n e m a t i s c h e v i s c o s i t e i t (v = r]/p) w o r d t d i t ( 2 . 8 ) De v o r m v a n h e t s t r o o m b e e l d r o n d o m h e t v o o r w e r p w o r d t v o o r g e g e v e n v o r m e n oriëntatie v a n h e t v o o r w e r p d u s b e p a a l d d o o r de w a a r d e v a n Re, o n -g e a c h t de w a a r d e n v a n p, rj, U e n i a f z o n d e r l i j k . E e n v o o r b e e l d v a n de v a r i a t i e v a n e e n s t r o o m b e e l d m e t Re i s g e g e v e n i n F i g . 10.3 v o o r h e t g e v a l v a n e e n c i r k e l c y l i n d e r ( d e g e t a l s w a a r d e n v a n Re i n d e z e f i g u u r g e l d e n v o o r i = D, de d i a m e t e r v a n de c y l i n d e r ) . I s Re z e e r k l e i n t . o . v . één (Re « 1 ) ( z o a l s i n F i g . 1 0 . 3 a ) d a n i s de v i s c o s i t e i t r e l a t i e f v a n g r o t e i n v l o e d . We k u n n e n d a a r b i j d e n k e n a a n de l a n g z a m e s t r o m i n g v a n e e n s t r o p e r i g e v l o e i s t o f r o n d e e n k l e i n v o o r w e r p , maar de e s s e n t i e v a n h e t k e n t a l v a n R e y n o l d s i s j u i s t d a t " l a n g z a a m " , " s t r o p e r i g " e n " k l e i n " r e l a t i e v e b e g r i p p e n z i j n , d i e r e s p e c t i e v e l i j k i n h o u d e n : U « 1^/2, i / » U i e n i « m/U, a l l e n s a m e n g e v a t i n de v o o r w a a r d e Re « 1 . V o o r Re » 1 g e l d t n a t u u r l i j k h e t t e g e n d e e l . O s b o r n e R e y n o l d s ( 1 8 8 3 ) was de e e r s t e d i e wees op de b e t e k e n i s v a n de n a a r hem genoemde d i m e n s i e l o z e p a r a m e t e r . H i j d e e d d a t i n de c o n t e x t v a n de s t r o m i n g d o o r e e n c i r k e l v o r m i g e b u i s . Z o ' n s t r o m i n g k a n op t w e e v e r s c h i l l e n d e m a n i e r e n v e r l o p e n : o r d e l i j k , g e l a a g d ( z . g . l a m i n a i r e s t r o -m i n g ) o f c h a o t i s c h , w e r v e l e n d ( z . g . t u r b u l e n t e s t r o -m i n g ) . R e y n o l d s c o n s t a t e e r d e d a t h e t vóórkomen v a n h e t ene d a n w e l h e t a n d e r e t y p e b e -p a a l d w o r d t d o o r de w a a r d e v a n U D / i / , w a a r i n U de o v e r h e t d w a r s -p r o f i e l g e m i d d e l d e s t r o o m s n e l h e i d i s e n D de i n w e n d i g e d i a m e t e r v a n de b u i s . V o o r Re = U D / i ^ < c a . 2300 i s de s t r o m i n g l a m i n a i r ; v o o r g r o t e r e w a a r d e n v a n Re w o r d t de s t r o m i n g t u r b u l e n t ; e e n p r e c i e z e w a a r d e i s n i e t a a n t e g e v e n o m d a t de o m s l a g v a n l a m i n a i r n a a r t u r b u l e n t e e n i n s t a b i l i t e i t s v e r -s c h i j n -s e l i -s , e n d a a r o m e r g g e v o e l i g v o o r k l e i n e , n i e t m e e t b a r e i n v l o e d e n . V o o r s t r o m i n g e n m e t e e n v r i j o p p e r v l a k e n m e t e e n b r e e d t e d i e v e e l g r o t e r i s d a n de d i e p t e i s e e n g e t a l v a n R e y n o l d s t e definiëren d o o r

v o o r " i " de d i e p t e ( d ) t e nemen. Z u l k e s t r o m i n g e n z i j n l a m i n a i r a l s Re = Vd/u k l e i n e r i s d a n c a . 5 0 0 . D o o r e n k e l e r e a l i s t i s c h e w a a r d e n t e k i e z e n v o o r U e n D o f d i s t e z i e n d a t v o o r de s t r o m i n g v a n w a t e r i n g e s l o t e n o f o p e n l e i d i n g e n h e t k e n t a l v a n R e y n o l d s a l gauw de w a a r d e 10^ o f z e l f s 1 0 ^ h e e f t , o v e r e e n k o m e n d m e t t u r b u l e n t e s t r o m e n . S t r o m i n g v a n w a t e r o f o l i e d o o r e e n p a k k e t v a n f i j n z a n d i s d a a r e n t e g e n l a m i n a i r . ,4 G r e n s v l a k s p a n n i n g A a n w e e r s z i j d e n v a n e e n g r e n s v l a k t u s s e n t w e e v e r s c h i l l e n d e v l o e i s t o f f e n , o f t u s s e n e e n v l o e i s t o f e n e e n g a s , h e e r s e n v e r s c h i l l e n d e m o l e c u -l a i r e a t t r a c t i e k r a c h t e n . H e t e f f e c t h i e r v a n u i t z i c h op continuüm-n i v e a u a l s e e continuüm-n t r e k s p a continuüm-n continuüm-n i continuüm-n g i continuüm-n h e t g r e continuüm-n s v l a k , de z . g . g r e continuüm-n s v l a k s p a continuüm-n continuüm-n i continuüm-n g (CT), m e t de d i m e n s i e v a n e e n k r a c h t p e r l e n g t e e e n h e i d . Een a l t e r n a t i e v e f o r m u l e r i n g i s d a t h e t g r e n s v l a k e e n potentiële e n e r g i e h e e f t w a a r v a n de w a a r d e p e r e e n h e i d v a n o p p e r v l a k t e g e l i j k i s a a n a. H e t g r e n s -v l a k z a l d a a r d o o r e e n m i n i m a l e o p p e r -v l a k t e a a n n e m e n ( b i j -v . e e n b o l -v o r m i n g e v a l v a n e e n d r u p p e l , i n a f w e z i g h e i d v a n u i t w e n d i g e k r a c h t e n ) . Om h e t u i t z o ' n c o n f i g u r a t i e t e b r e n g e n m o e t a r b e i d w o r d e n v e r r i c h t . De w e r k i n g v a n de g r e n s v l a k s p a n n i n g i s a n a l o o g a a n d i e v a n e e n g e s p a n n e n v l i e s . I n h e t g r e n s v l a k t u s s e n z u i v e r w a t e r e n l u c h t , b i j 20 °C, i s a === 0,073 N/m, o f w e l a = 0,073 J/m^. De f e i t e l i j k e w a a r d e i s e r g g e v o e l i g v o o r de a a n w e z i g h e i d v a n a n d e r e s t o f f e n , z o a l s e e n f i l m v a n v u i l op h e t w a t e r , o f z e e p i n h e t w a t e r . Waar h e t g r e n s v l a k g e k r o m d i s v e r o o r z a a k t de g r e n s v l a k s p a n n i n g e e n g r o t e r e d r u k a a n de h o l l e z i j d e ( p . ) d a n a a n de b o l l e (p, ) •

B e s c h o u w e e n i n f i n i t e s i m a a l e l e m e n t j e v a n z o ' n g r e n s v l a k , d a t s l e c h t s i n één r i c h -t i n g g e k r o m d i s , m e -t k r o m -t e s -t r a a l R e n b o o g l e n g t e RS9 ( z i e s c h e t s ) . De g r e n s -v l a k s p a n n i n g a a n b e i d e r a n d e n h e e f t e e n n a a r h e t k r o m t e m i d d e l p u n t g e r i c h t e r e s u l -t a n -t e d i e p e r e e n h e i d v a n b r e e d -t e g e l i j k i s a a n aS6. E v e n w i c h t v e r e i s t d a n d a t ( p ^ - p ^ ) R S e = aSe o f w e l ( 2 . 9 ) B i j k r o m m i n g i n t w e e r i c h t i n g e n , m e t h o o f d k r o m t e s t r a l e n R^ e n R j , g e l d t ( 2 . 1 0 ) H e t r e l a t i e v e b e l a n g v a n de g r e n s v l a k s p a n n i n g a v o o r e e n s t r o m i n g m e t k e n m e r k e n d e s n e l h e i d U e n k e n m e r k e n d e g r o o t t e v a n de k r o m t e s t r a a l v a n h e t g r e n s v l a k g e l i j k a a n i i s b e p a a l d d o o r h e t k e n t a l v a n Weber: W e = ^ ( 2 . U ) _5 V o o r h e t g r e n s v l a k w a t e r - l u c h t g e l d t a/p = 7,3 X 10 m^/s^, z o d a t de g r e n s v l a k s p a n n i n g a l l e e n v a n b e l a n g k a n z i j n b i j z e e r k l e i n s c h a l i g e e n l a n g z a m e b e w e g i n g e n ( U ^ i = 7,3 X l O " m V s ^ a l s We = 1 ) . R i m p e l s a a n h e t w a t e r o p p e r v l a k m e t e e n g o l f l e n g t e v a n e n k e l e m i l l i m e t e r s o f m i n d e r z i j n d a a r v a n e e n v o o r b e e l d . B i j de d o o r s n i j d i n g v a n e e n v l o e i s t o f - o p p e r v l a k d o o r e e n w a n d v a n v a s t e s t o f t r e e d t a d h e s i e o p , d.w.z. o n d e r l i n g e a a n t r e k k i n g t u s s e n v l o e i s t o f e n v a s t e s t o f . D a a r d o o r w o r d t h e t g r e n s v l a k i n de o m g e v i n g v a n d e a a n -r a k i n g g e k -r o m d e n o n t s t a a t de z . g . m e n i s c u s ( F i g . 2 . 3 a ) . V o o -r h e t c o n t a c t t u s s e n w a t e r , l u c h t e n g l a s i s de m e n i s c u s h o l n a a r de z i j d e v a n de l u c h t , e n ( v o o r z u i v e r w a t e r ) r a k e n d a a n h e t g l a s . H i e r d o o r w o r d t w a t e r i n e e n o p e n , nauw b u i s j e ( e e n z . g . c a p i l l a i r ) g e z o g e n ( F i g . 2 . 3 b ) .

l u c h t w a t e r ( a ) m e n i s c u s ( b ) c a p i l l a i r e o p s t i j g i n g F i g u u r 2.3 De c a p i l l a i r e s t i j g h o o g t e k a n i n g e v a l v a n e v e n w i c h t m e t h e t g e w i c h t v a n h e t o p g e z o g e n w a t e r w o r d e n b e r e k e n d u i t (7rD)a = (i7rD2h^)pg z o d a t a pgD Deze c a p i l l a i r e s t i j g h o o g t e h ^ i s dus o m g e k e e r d e v e n r e d i g m e t de d i a -m e t e r . ( V o o r w a t e r - l u c h t - g l a s e n D = 1 -m-m i s h ^ 3 c-m.) Ook h i e r u i t v o l g t d a t de g r e n s v l a k s p a n n i n g a l l e e n b i j k l e i n s c h a l i g e v e r s c h i j n s e l e n v a n b e l a n g i s . G e l i j k v o r m i g h e i d e n d i m e n s i e - a n a l y s e I n h e t v o o r g a a n d e z i j n e n k e l e ( d i m e n s i e l o z e ) k e n t a l l e n geïntroduceerd w a a r v a n de w a a r d e e e n m a a t i s v o o r h e t r e l a t i e v e b e l a n g v a n eèn b e p a a l de- v l o e i s t o f e i g e n s c h a p ( b v . Mach v o o r s a m e n d r u k b a a r h e i d ) . Een b e k e n d k e n t a l d a t n i e t a a n e e n v l o e i s t o f e i g e n s c h a p i s v e r b o n d e n i s h e t k e n t a l v a n F r o u d e , F r = U / T g l , d a t e e n m a a t i s v o o r de r e l a t i e v e i n v l o e d v a n de. z w a a r t e k r a c h t i n e e n s t r o m i n g m e t k e n m e r k e n d e s n e l h e i d U e n k e n -m e r k e n d e l e n g t e i ( b v . v a n e e n v a r e n d s c h i p - de s i t u a t i e w a a r v o o r F r o u d e ( 1 8 1 0 - 1 8 7 9 ) de g e l i j k v o r m i g h e i d o n d e r z o c h t i . v . m . s c h a a l p r o e v e n v o o r de b e p a l i n g v a n de w e e r s t a n d v a n s c h e p e n ) . B i j v l o e i s t o f s t r o m e n

m e t e e n v r i j o p p e r v l a k s p e e l t d i t k e n t a l m e e s t a l e e n b e l a n g r i j k e r o l . Weer e e n a n d e r e g r o e p v a n d i m e n s i e l o z e p a r a m e t e r s w o r d t g e v o r m d u i t v e r h o u d i n g e n v a n l e n g t e n ( b v . d i e v a n d i e p t e t o t b r e e d t e v a n e e n k a n a a l , o f d i e v a n b r e e d t e t o t k r o m t e s t r a a l v a n e e n r i v i e r b o c h t ) , v a n t i j d e n , v a n s t r o o m s n e l h e d e n , e n z . Twee v e r s c h i l l e n d e s t r o m i n g e n ( v e r s c h i l l e n d e v l o e i s t o f f e n , v e r s c h i l l e n de a b s o l u t e a f m e t i n g e n ) z i j n a l l e e n d a n g e l i j k v o r m i g a a n e l k a a r ( g e o -m e t r i s c h , k i n e -m a t i s c h e n d y n a -m i s c h ) w a n n e e r e l k e r e l e v a n t e d i -m e n s i e l o z e p a r a m e t e r d e z e l f d e w a a r d e h e e f t l n b e i d e s t r o m i n g e n . Om v a s t t e s t e l l e n w e l k e d i m e n s i e l o z e p a r a m e t e r s e e n r o l s p e l e n i n e e n g e g e v e n p r o b l e e m w o r d t e e r s t op g r o n d v a n de b e s c h i k b a r e vóórkennis e e n o p s o m m i n g g e m a a k t v a n de b e l a n g r i j k g e a c h t e o n a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e n w a a r u i t v e r v o l g e n s d i m e n s i e l o z e p a r a m e t e r s w o r d e n g e f o r m e e r d . We l i c h t e n d i t t o e a a n de h a n d v a n h e t v o o r b e e l d v a n e e n g e g e v e n s t r o -m i n g d o o r e e n l e i d i n g , w a a r b i j h e t g a a t o-m de w a n d w e e r s t a n d a l s a f h a n k e l i j k e g r o o t h e i d . I n c o n c r e t e g a a n we u i t v a n e e n r u w e l e i d i n g m e t r e c h t h o e k i g e d w a r s d o o r s n e d e . We v e r o n d e r s t e l l e n d a t d a a r v o o r de g e m i d d e l d e w a n d s c h u i f s p a n n i n g r ( g e m i d d e l d o v e r h e t h e l e w a n d o p p e r v l a k ) s l e c h t s v a n de v o l g e n d e o n a f h a n k e l i j k e g r o o t h e d e n a f h a n g t : • i n w e n d i g e b r e e d t e ( b ) e n h o o g t e ( h ) v a n h e t d w a r s p r o f i e l ; • a f m e t i n g w a n d r u w h e i d ( k ) ; • m a s s a d i c h t h e i d ( p ) e n v i s c o s i t e i t ( f ; ) v a n de v l o e i s t o f ; • de o v e r h e t d w a r s p r o f i e l g e m i d d e l d e s t r o o m s n e l h e i d ( U ) . S y m b o l i s c h w e e r g e g e v e n : We g a a n n a w a t de d i m e n s i e s v a n d e z e g r o o t h e d e n z i j n , u i t g e d r u k t i n de b a s i s d i m e n s i e s M, L e n T v o o r m a s s a , l e n g t e e n t i j d : r = f i ( b , h , k, p, rj, U) ( 2 . 1 2 ) 1 2 7- = ML T 1 [ k ] = L [ U ] = LT

Omdat e r h i e r d r i e b a s i s d i m e n s i e s z i j n k i e z e n we d r i e o n a f h a n k e l i j k e n , z o d a n i g d a t de b a s i s d i m e n s i e s d a a r i n i n v e r s c h i l l e n d e v e r h o u d i n g e n vóórkomen, b v , h , U e n p. De o v e r i g e n g a a n we d i m e n s i e l o o s m a k e n i n t e r m e n v a n d e z e d r i e g e k o z e n g r o o t h e d e n . D a t k a n l a n g s e e n f o r m e l e weg m a a r o o k m e e r d i r e c t v i a i n s p e c t i e o f s t a p v o o r s t a p . De d i m e n s i e v a n de s c h u i f s p a n n i n g T b v . b e v a t M i n de e e r s t e m a c h t . V a n de d r i e g e k o z e n v a r i a b e l e n ( h , U, p) b e v a t a l l e e n p de d i m e n s i e M, e n w e l i n de e e r s t e m a c h t . We z u l l e n r d u s m o e t e n d e l e n d o o r p. De v e r h o u d i n g r/p h e e f t de 1 2 3 2 2 d i m e n s i e (ML~ T~ )/ML~ = L T~ ; d i t i s j u i s t de d i m e n s i e v a n z o d a t T/pU2 de g e z o c h t e d i m e n s i e l o z e g r o o t h e i d i s v o o r T . Zo v o o r t g a a n d g a a t ( 2 . 1 2 ) o v e r i n de v o l g e n d e d i m e n s i e l o z e v o r m : ^ = f k _ n _ . ( 2 . 1 3 ) H e t l i n k e r l i d h i e r i n noemen we de w e e r s t a n d s f a c t o r A ( z o d a t T = A p U ^ ) . Deze f a c t o r i s i n h e t g e g e v e n g e v a l dus u i t s l u i t e n d a f h a n k e l i j k v a n de v o r m v a n h e t d w a r s p r o f i e l ( b / h ) , de r e l a t i e v e r u w h e i d ( k / h ) e n e e n k e n t a l v a n R e y n o l d s ( R e ^ = pUh/f/) . ( H e t f e i t d a t i n f e i t e de r e c i p r o k e v a n Re, i n 2.13 s t a a t d o e t n i e t s a f a a n d e z e u i t s p r a a k . ) E r g e l d t dus h De k e u z e v a n de d r i e g r o o t h e d e n h , p e n U om d a a r i n a l l e a n d e r e u i t t e d r u k k e n h a d i e t s w i l l e k e u r i g s . We h a d d e n b v . b k u n n e n k i e z e n i n p l a a t s v a n h . I n d a t g e v a l z o u h e t v o l g e n d e v e r b a n d z i j n o n t s t a a n i . p . v . ( 2 . 1 4 ) : D i t v e r s c h i l t u i t e r l i j k v a n ( 2 . 1 4 ) maar i s i n w e z e n d a a r a a n g e l i j k w a a r -d i g o m -d a t -de g r o o t h e -d e n v a n ( 2 . 1 5 ) z i j n u i t t e -d r u k k e n i n -d i e v a n ( 2 . 1 4 ) ; i m m e r s , Z o l a n g we a l l e o n a f h a n k e l i j k e g r o o t h e d e n i n r e k e n i n g b r e n g e n z i j n d i t s o o r t o m r e k e n i n g e n m o g e l i j k e n d o e t h e t e r i n w e z e n n i e t t o e w e l k e

v a r i a b e l e n we k i e z e n om de a n d e r e n d a a r i n u i t t e d r u k k e n . D i t v e r a n d e r t z o d r a we b e n a d e r i n g e n g a a n i n v o e r e n . A l s b i j v o o r b e e l d h e t r e c h t -h o e k i g p r o f i e l -h e e l b r e e d i s ( b / -h «> o f -h/b 0 ) z a l de f e i t e l i j k e b r e e d t e v r i j w e l g e e n i n v l o e d h e b b e n op A. I n ( 2 . 1 4 ) g a a n we d a n de i n v l o e d v a n b / h v e r w a a r l o z e n : A ^ f s ( ^ , Re^) a l s ^ ^ O ( 2 . 1 6 ) H e t z o u e c h t e r o n j u i s t z i j n om i n ( 2 . 1 5 ) de i n v l o e d t e v e r w a a r l o z e n v a n a l l e t e r m e n d i e b b e v a t t e n ( d a t z o u d e n a l l e t e r m e n i n h e t r e c h t e r l i d z i j n ) . Een b u i s m e t c i r k e l v o r m i g d w a r s p r o f i e l h e e f t g e e n v a r i a b e l e v o r m f a c t o r ; d a a r v o o r g e l d t i . p . v . ( 2 . 1 4 ) : A = f , ( ^ , R e j j ) ( 2 . 1 7 )

H i e r i n i s D de I n w e n d i g e d i a m e t e r , e n i s Re^^ = pUD/rj = UD/M . V o o r e e n g l a d d e b u i s ( k / D -+ 0 ) r e s t e e r t s l e c h t s h e t k e n t a l v a n R e y n o l d s a l s o n a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e ( z i e p a r . 2 . 3 . 3 ) . W a a r d e n v a n A v o o r b u i s l e i d i n g e n z i j n d e e l s t h e o r e t i s c h , d e e l s e m p i -r i s c h b e p a a l d a l s f u n c t i e v a n k/D e n Re^- I n h o o f d s t u k 1 1 g a a n we d a a r o p i n . H e t w e e r s t a n d s p r o b l e e m was h i e r s l e c h t s a l s v o o r b e e l d g e b r u i k t v o o r h e t w e r k e n m e t d i m e n s i e b e s c h o u w i n g e n e n h e t d e n k e n i n t e r m e n v a n d i m e n s i e l o z e g r o o t h e d e n e n g e l i j k v o r m i g h e i d . D i t i s i n de v l o e i s t o f m e e h a n i c a v a n g r o o t b e l a n g ; we z u l l e n e r r e g e l m a t i g mee i n a a n r a k i n g komen.

3. KINEMATICA 3.1 S n e l h e i d s v e l d I n h e t continuümmodel v a n s t r o m e n d e m a t e r i e i s de s t r o o m s n e l h e i d ( u ) g e d e f i n i e e r d a l s f u n c t i e v a n c o n t i n u e r u i m t e e n t i j d . Deze s n e l h e i d i s i n i e d e r p u n t e n op i e d e r t i j d s t i p g e l i j k a a n de s n e l h e i d ( t . o . v . de g e k o z e n r e f e r e n t i e ) v a n h e t m a s s a c e n t r u m v a n de m a t e r i e d i e z i c h op h e t b e s c h o u w d e t i j d s t i p b e v i n d t i n e e n z e e r k l e i n e o m g e v i n g v a n h e t b e -s c h o u w d e p u n t . De v e r z a m e l i n g v e c t o r e n u op e e n w i l l e k e u r i g t i j d s t i p i n e e n g e b i e d G h e e t h e t s n e l h e i d s v e l d i n G op d a t t i j d s t i p . Wanneer de s n e l h e i d i n e e n z e k e r g e b i e d n i e t v a r i e e r t m e t de p l a a t s h e e t h e t s n e l h e i d s v e l d i n d a t g e b i e d u n i f o r m o f h o m o g e e n . Wanneer h e t s n e l h e i d s v e l d i n e e n z e k e r t i j d s i n t e r v a l n i e t m e t de t i j d v a r i e e r t h e e t de s t r o m i n g g e d u r e n d e d a t i n t e r v a l s t a t i o n a i r ; d a a r b i j i s de s n e l h e i d i n e l k v a s t p u n t d u s c o n s t a n t i n de t i j d . B i j e e n s t a t i o -n a i r m a a r -n i e t - u -n i f o r m s -n e l h e i d s v e l d z a l e e -n b e w e g e -n d w a t e r d e e l t j e e c h t e r i n de l o o p v a n de t i j d w e l e e n variërende s n e l h e i d k u n n e n h e b b e n ; de v e r s n e l l i n g v a n de d e e l t j e s i s d a n n i e t g e l i j k a a n n u l . H i e r o p komen we t e r u g i n p a r . 3.3.

Een b e w e g i n g w a a r i n de v e r s n e l l i n g e n n u l z i j n noemen we e e n p a r i g . Een v o o r b e e l d d a a r v a n i s de s t a t i o n a i r e s t r o m i n g d o o r e e n p r i s m a t i s c h e l e i d i n g ( b v . e e n p i j p l e i d i n g m e t c o n s t a n t e d i a m e t e r ) . (De s n e l h e i d v a r i e e r t d a a r b i j w e l m e t de a f s t a n d u i t de w a n d , z o d a t d i t s n e l h e i d s -v e l d n i e t u n i f o r m i s -v o l g e n s b o -v e n s t a a n d e d e f i n i t i e , m a a r -v o o r e e n d e e l t j e , d a t e v e n w i j d i g m e t de w a n d b e w e e g t , i s de s n e l h e i d c o n s t a n t . ) T u r b u l e n t e s t r o m i n g I n h e t v o r i g e h o o f d s t u k i s a l o p g e m e r k t d a t e e n s t r o m i n g l a m i n a i r o f t u r b u l e n t k a n z i j n , a f h a n k e l i j k v a n de w a a r d e v a n h e t k e n t a l v a n R e y n o l d s ( z i e p a r . 2 . 3 ) . A l l e e n e e n l a m i n a i r e s t r o m i n g k a n i n s t r i k t e z i n u n i f o r m e n s t a t i o n a i r z i j n . B i j e e n t u r b u l e n t e s t r o m i n g t r e d e n p e r d e f i n i t i e o n r e g e l m a t i g e f l u c t u a t i e s op i n de momentane s n e l h e i d .

H e t o p t r e d e n v a n t u r b u l e n t i e h e e f t e e n s t e r k e v e r g r o t i n g t o t g e v o l g v a n m e n g i n g e n v a n e n e r g i e v e r l i e s ( e i g e n l i j k : o n o m k e e r b a r e o m z e t t i n g v a n m a c r o s c o p i s c h e k i n e t i s c h e e n e r g i e i n m i c r o s c o p i s c h e k i n e t i s c h e e n e r g i e , o f w e l i n w a r m t e ) . D a a r d o o r i s h e t e e n z e e r b e l a n g r i j k v e r s c h i j n s e l . I n de b e s c h r i j v i n g v a n t u r b u l e n t i e maken we o n d e r s c h e i d t u s s e n e e n g e m i d d e l d e w a a r d e v a n de s n e l h e i d e n de f l u c t u a t i e s r o n d o m d a t g e m i d -d e l -d e . De -d e f i n i t i e v a n -de o v e r -de t i j -d g e m i -d -d e l -d e w a a r -d e v a n -de s n e l h e i d ( u ) i n e e n p u n t k a n g e s c h r e v e n w o r d e n a l s t -H T O 1 T u ( t ) d t ( 3 . 1 ) t O H i e r i n i s u ( t ) de momentane s n e l h e i d i n e e n g e k o z e n r i c h t i n g , t ^ h e t a a n v a n g s t i j d s t i p v a n de m i d d e l i n g , e n T de d u u r e r v a n ( F i g . 3 . 1 ) . u ( t ) u=0 t = t t = t +T o

Figuur 3.1 Snelheid in turbulente stroom

De m i d d e l i n g s d u u r T m o e t z o g r o o t g e k o z e n w o r d e n d a t h e t r e s u l t a a t v a n de m i d d e l i n g s t a t i s t i s c h s t a b i e l i s . Een d u u r v a n e n k e l e m i n u t e n i s d a a r t o e v o o r s t r o m i n g e n i n o p e n e n g e s l o t e n l e i d i n g e n v e e l a l v o l d o e n -d e . M e r k op -d a t h e t r e s u l t a a t ( u ) -d a a r b i j n o g w e l m e t t ^ k a n variëren, b i j v o o r b e e l d a l s g e v o l g v a n h e t g e t i j . V o o r l o p i g g a a n we ons b e p e r k e n t o t h e t o v e r de t u r b u l e n t i e g e m i d d e l d e s n e l h e i d s v e l d . De h i e r b o v e n i n g e v o e r d e b e g r i p p e n z o a l s u n i f o r m i t e i t e n s t a t i o n a r i t e i t z u l l e n o o k d a a r o p b e t r e k k i n g h e b b e n . We z u l l e n z e l f s z o n d e r meer o v e r "de s n e l h e i d " s p r e k e n , e n de o v e r s t r e p i n g w e g l a t e n , o o k a l b e d o e l e n we i n f e i t e d e z e g e m i d d e l d e s n e l h e i d .

S t r o o m l i j n e n Een b e l a n g r i j k h u l p m i d d e l i n de b e s c h r i j v i n g v a n e e n s n e l h e i d s v e l d i s de s t r o o m l i j n , d . i . e e n z o d a n i g e l i j n d a t de s t r o o m s n e l h e i d i n e l k p u n t e r v a n r a a k t a a n d i e l i j n ( F i g . 3 . 2 ) . Figuur 3.2 Stroomlijn Een s t r o o m l i j n g e e f t d u s e e n b e e l d v a n de r i c h t i n g v a n de s t r o o m -s n e l h e i d ( a f g e z i e n v a n h e t t e k e n ) . S t r o o m l i j n e n z i j n g e d e f i n i e e r d op e l k w i l l e k e u r i g t i j d s t i p . Een v e r z a m e l i n g s t r o o m l i j n e n g e e f t e e n g o e d e i n d r u k v a n de s t r o m i n g i n h e t b e t r e f f e n d e g e b i e d ; h e t g e b r u i k e r v a n i s e e n o n m i s b a a r h u l p m i d d e l i n de a n a l y s e v a n v e e l s t r o m i n g s p r o b l e m e n , i n h e t b i j z o n d e r d i e v a n s t e r k n i e t u n i f o r m e s t r o m i n g e n z o a l s d i e z i c h v o o r d o e n r o n d o m c o n s t r u c -t i e s e n b i j a b r u p -t e v e r a n d e - r i n g e n i n h e -t p r o f i e l v a n e e n l e i d i n g . F i g u u r 3.3 g e e f t d a a r v a n e n k e l e v o o r b e e l d e n . Eén d a a r v a n i s a f k o m s t i g v a n L e o n a r d o d a V i n e i ( 1 4 5 2 - 1 5 1 9 ) , d i e v e e l s t r o o m b e e l d e n h e e f t g e o b s e r v e e r d e n g e t e k e n d . B i j s t a t i o n a i r e s t r o m e n l i g g e n de b u i t e n s t e s t r o o m l i j n e n i n p r i n c i p e i n de g r e n s v l a k k e n ( b o d e m , z i j w a n d , o p p e r v l a k e n z . ) . B i j a b r u p t e v e r a n d e r i n g e n i n h e t p r o f i e l k a n de h o o f d s t r o o m e c h t e r v a n e e n v a s t e w a n d l o s l a t e n ( F i g . 3 . 3 ) . D i t g a a t g e p a a r d m e t w e r v e l i n g e n e n e n e r g i e -v e r l i e z e n . De -v o o r s p e l l i n g -v a n de e i g e n s c h a p p e n -v a n de s t r o m i n g i n z u l k e s i t u a t i e s i s e e n m o e i l i j k p r o b l e e m . V o o r e e n b e l a n g r i j k d e e l m o e t h i e r e m p i r i s c h t e w e r k w o r d e n g e g a a n . I n v e r v o l g h o o f d s t u k k e n k o m e n we h i e r op t e r u g .

d e k n e e r

y//AW>/AVr/y/

s t r o m i n g o n d e r s c h u i f

s t r o m i n g i n v e r w i j d i n g m e t o b s t a k e l , g e t e k e n d d o o r L e o n a r d o d a V i n e i ( o n t l e e n d a a n Rouse e n I n c e , 1 9 6 3 )

De s t r o o m l i j n e n d i e g a a n d o o r a l l e p u n t e n v a n e e n g e s l o t e n kromme ( C ) v o r m e n t e z a m e n e e n b u i s v o r m i g o p p e r v l a k d a t e e n z . g . s t r o o m b u i s i n s l u i t

( F i g . 3 . 4 a ) . ( H i e r b i j i s s t i l z w i j g e n d a a n g e n o m e n d a t de kromme n i e t g e h e e l i n h e t v l a k v a n de s t r o m i n g l i g t . )

Figuur 3.4 Stroombuis (a) en stroomstrook(b)

P e r d e f i n i t i e v i n d t e r g e e n s t r o m i n g p l a a t s d o o r de z i j d e l i n g s e , b u i s -v o r m i g e b e g r e n z i n g -v a n de s t r o o m b u i s , o n g e a c h t o f d e z e b e g r e n z i n g s l e c h t s e e n d e n k b e e l d i g v l a k i s , m i d d e n i n de s t r o m e n d e m a t e r i e , o f d a t d e z e b e s t a a t u i t e e n f y s i s c h g r e n s v l a k z o a l s bodem, w a n d o f o p p e r v l a k . I n sommige s i t u a t i e s v i n d t de s t r o m i n g p l a a t s i n o n d e r l i n g e v e n w i j d i g e p l a t t e v l a k k e n , a l t h a n s b i j b e n a d e r i n g . Een v o o r b e e l d h i e r v a n i s de s t r o m i n g h a a k s o v e r e e n p r i s m a t i s c h e d r e m p e l op e e n h o r i z o n t a l e bodem. I n z u l k e g e v a l l e n v a n e e n z . g . t w e e - d i m e n s i o n a l e s t r o m i n g w e r k e n we n i e t m e t e e n s t r o o m b u i s m a a r m e t e e n s t r o o m s t r o o k , d . i . e e n d e e l v a n e e n v l a k w a a r i n de s t r o m i n g p l a a t s v i n d t d a t z i j d e l i n g s b e g r e n s d w o r d t d o o r t w e e s t r o o m l i j n e n ( F i g . 3 . 4 b ) . S t r o o m l i j n e n g e v e n e e n b e e l d v a n de r i c h t i n g e n v a n h e t m o m e n t a n e s n e l -momentane s n e l h e i d s v e l d . Z i j m o e t e n n i e t w o r d e n v e r w a r d m e t de b a n e n d i e w a t e r d e e l t j e s i n de l o o p v a n de t i j d a f l e g g e n . A l l e e n w a n n e e r de s t r o m i n g s t a t i o n a i r i s v a l t de b a a n v a n e e n d e e l t j e samen m e t e e n s t r o o m l i j n . ( H i e r b i j z i e n w i j a f v a n t u r b u l e n t i e . ) 3.2 V a r i a t i e s i n r u i m t e e n t i j d I n d e z e p a r a g r a a f g a a n we a c h t e r e e n v o l g e n s i n op v e r a n d e r i n g e n i n de r u i m t e , i n de t i j d e n i n de c o m b i n a t i e d a a r v a n z o a l s e r v a r e n d o o r e e n

b e w e g e n d e w a a r n e m e r . We b e g i n n e n m e t h e t v e l d v a n e e n w i l l e k e u r i g e s c a l a i r e g r o o t h e i d ( b i j v o o r b e e l d m a s s a d i c h t h e i d , d r u k , t e m p e r a t u u r ) . I n de v o l g e n d e p a r a g r a a f ( 3 . 3 ) v o l g t h e t meer g e c o m p l i c e e r d e g e v a l v a n h e t vectoriële s n e l h e i d s v e l d . D a t l e i d t t o t u i t d r u k k i n g e n v o o r d e v e r s n e l -l i n g .van e e n d e e -l t j e v a n de s t r o m e n d e m a t e r i e . V a r i a t i e s ^ r u m t e V o o r de b e s c h r i j v i n g v a n de r u i m t e l i j k e v a r i a t i e v a n e e n v e l d s p e e l t h e t b e g r i p gradiënt e e n b e l a n g r i j k e r o l . - * • - > - + - > L a a t l n e e n g e b i e d G m e t p l a a t s v e c t o r r = x e - l - y e - I - z e e e n b r X y z s c a l a i r v e l d f ( r ) o f w e l f ( x , y , z ) z i j n g e d e f i n i e e r d . Om de v a r i a t i e v a n f i n de o m g e v i n g v a n e e n w i l l e k e u r i g p u n t t e b e r e k e n e n b e k i j k e n we b e h a l v e d i t p u n t e e n n a b u r i g p u n t P j ( F i g . 3.5) d a t op e e n a f s t a n d A i v a n P^ i s g e l e g e n , i n e e n w i l l e k e u r i g e r i c h t i n g e^ v a n u i t P^ ( z o d a t r g -r,= Ar = Mt.). P 2 Figuur 3.5 De a f s t a n d ( A i ) t u s s e n Pg e n P^ i s i n f i n i t e s i m a a l . V o o r h e t ( i n f i n i t e -s i m a a l v e r o n d e r -s t e l d e ) v e r -s c h i l i n de t w e e w a a r d e n v a n de v e l d g r o o t h e i d f , g e d e f i n i e e r d a l s A f = f ( ? 2 ) - f ( ^ i ) = f ( x 2 , y2> Z 2 ) - Y l ' ^ i ) g e l d t d a n a f , ^ a f ^ ^ a f . =^ a ^ + a ^ a ^