Wyniki numerycznych badań algorytmu wyznaczania parametrów ruchu

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z.97

_______ 1989 Nr kol. 979

Konrad WOJCIECHOWSKI Andrzej POLAŃSKI

WYNIKI NUMERYCZNYCH BADAlf ALGORYTMU WYZNACZANIA PARAMETRÓW RUCHU*)

Streszczenie. V/ pracy przedstawiono wyniki badań numerycznych algorytmu wyznaczania parametrów ruchu. Podano sposób generowania danych wejściowych, kryteria oceny pracy algorytmu oraz sklasyfiko­

wano zbiór czynników wpływających na jego prace. Dla wyróżnionych czynników wybrano zbiory wartości, w zakresie których prowadzono badania numeryczne. Badania wykazały poprawną pracę algorytmu w przypadku idealnego pola przemieszczeń, dużą wrażliwość na zakłó­

cenia pola oraz zawartą w nim wielkość translacji.

1. Wprowadzenie

Wyznaczanie parametrów ruchu na podstawie pola przemieszczeń jest zada­

niem trudnym. W aspekcie teoretycznym wiąże się to z brakiem dowodu na istnienie i jednoznaczność rozwiązania. Rezultaty przedstawione w £

1

] uzyskano dla zlinearyzowanej macierzy rotacji, stąd istnienie i jedno­

znaczność są zagwarantowane jedynie dla niewielkich wartości kątów. Prob­

lemem numerycznym jest podanie efektywnego algorytmu rozwiązania zadania.

Algorytm nazywany dalej MP, podany w C3l, opiera się na dekompozycji pola przemieszczeń na pole rotacji i pole translacji oraz wykorzystuje proce­

durę minimalizacji względem wyznaczonych kątów funkcji określającej "ja­

kość" składowego pola translacji. Na obecnym etapie badań brak jest da­

nych teoretycznych odnośnie do minimalizowanej funkcji. Dotyczy to w szczególności warunków jej unimodalności oraz zależności od ewentualnych zakłóceń pola;

Podane powyżej fakty stanowią przesłankę do podjęcia badań numerycz­

nych. Ich wyniki przedstawione w pracy potwierdzają ogólną poprawność badanego algorytmu MP. Wskazują również na istnienie tzw. przypadków trudnych, pojawiających się w szczególności przy jednoczesnym wyznacza­

niu trzech kątów i niewielkich wartościach translacji. Wyniki te ukierun­

kowują dalsze teoretyczne badania nad algorytmem.

Praca finansowana z Centralnego Programu Badań Podstawowych CPBP

02.13 "Układy ze sztuczą inteligencją do maszyn roboczych i pojazdów".

78 K. Wojciechowski, A« Polański

2. Algorytm wyznaczania parametrów ruchu

Informacją wejściową algorytmu wyznaczania parametrów ruchu jest pole przemieszczeń. Pole to Jest określone przez parę macierzy (X, X ł), gdzie:

~x i v ^{~ x ;}

^y

^;'

X =

Xn \ < *ń_

Wierszami macierzy X, X' są współrzędne rzutów zbioru punktów pA , i » 1 , n na płaszczyznę obrazu kamery przed i po jej przemieszczeniu.

Idea algorytmu polega na:

- rozkładzie, dla przyjętych kątów <p pola przemieszczeń (X, X 1) na pole obrotu (X, XR) i pole translacji (JC1*, Z 7), gdzie:

yR vR A

1

’

ł 1

X R n ’ n

(cosycostfcosy -sinysin^ X^ + (sin^cos#cosy -cosysin^ Y^ - cosy

8

i n # X ^ + siny e i n # Y ^ + cos# cosysin#!^ +

- s i n # cos

łp

+ siny sin # Y ^ + c o s #

( - c o s y c o s # s i n y - s i n y t 0 8 y ) X ^ + ( - s i n y c o s # s i n y ) Y ^ + c o s y s i n # X^ + s i n y e i n # Y^ + c o s #

(cosyco sy) Y^ + sin#siny

cosysin# + sinysin#Y^+ c o s #

( 1 )

(2)

- ocenie stopnia niezgodności pola (XR , x') z polem translacji.

Wyniki numerycznych badań algorytmu.. 79

Miarą oceny jest kwadrat normy euklidesowej różnicy E = A - M W w punk­

cie W° = ( M M ) -1 M ^ A • Macierze A I M określone aą jako:

A =

X * » Y 1

-

^{Y 1}

i

_ y ; - ^{y r}

yR

^{1 X}_{_}k M 1 M S3

_X n Y i - Y nR x " _ _y ; - ^yr , x R

- poszukiwaniu minimum funkcji

f ( ( X , P) = I|E(W°) | | =

II

A T(I-M(MTM)”1MT )AII

(3)

W przypadku gdy pole (XR , X ’) jest polem translacji zachodzi, [

3

], IIBII2 = 0

(4)

względem kątów ,

1

?>, y przy ustalonych (X, x ’), F.

Podsumowując algorytm MP w sensie funkcjonalnym sprowadza się do minimalizacji funkcji (4) względem <p ,#,</> przy podstawieniach (1), (2), (3) dla zadanego pola przemieszczeń (X, X ) oraz ogniskowej F,

Przedstawiony powyżej skrótowy opis algorytmu MP miał na celu pod­

kreślenie złożoności funkcji , fi , , (X, x'), F).

3. Idea i organizacja badań numerycznych

Jak przypomniano w p.2, informację wejśoiową dla badanego algorytmu MP stanowi pole przemieszczeń (X, X 1). W przeprowadzonych, badaniach numerycznych pole to było generowane przez losowy wybór punktów p^, i = 1, HPK w przestrzeni trójwymiarowej, stosowano generator o roz­

kładzie jednostajnym, wartości x^, y^, współrzędnych losowych punktów Ograniczone były do przedziału £-5, 5], z± fjjj, 1*^] . Współrzędne punktów

Pj_ przeliczono na współrzędne ich rzutów w płaszczyźnie obrazu według zależności:

Ł = F fi

y

, - F ^ 1 = 1 , HPK (5)

zi 1 zi

Współrzędne x^, y^, z^ i = 1, ... , HPK punktów p^ wyznaczano dla przyjętych wartości kątów 9 T, 1?^, 9 T i przyjętego wektora translacji Ax, Ay, A z według zależności:

V ^Ax

a R y i + Ay

-zi . _zi_ Az

80 K. ’ .'/oj Ciechowski, A. Polański.

a następnie przeliczano na współrzędne ich rzutów X^, Y i 1 = 1,..., NPK, w płaszczyźnie obrazu kamery.

Informację wejściową dla algorytmu MP .stanowią również początkowe wartości kątów t p . ą K y . '!! przeprowadzonych badaniach przyjmowano je zawsze jako zerowe.

Działanie algorytmu MP oceniano na podstawie:

- różnic <P T - •& , - V pomiędzy rzeczywistymi wartościami kątów 1?’T , a wartościami ^ w y z n a c z o n y m i z algorytmu, - różnic A x ^ / A z ^ - A x / Az, A y T / A z T - Ay / Az pomiędzy rzeczywis­

tymi względnymi wartościami składowych wektora translacji a wartościami wyznaczonymi z algorytmu, (wo

1

, woż).

- wartości funkcji określającej jakość składowego pola translacji, (

f

) - charakteru zbieżności kolejnych iteracji algorytmu MP.

W przypadku badanego algorytmu MP jego działanie, oceniane według wymienionych powyżej kryteriów, zależy od wielu parametrów (czynników).

Są nimi:

- struktura wektora kątów. Określa ona, względem których z kątów , “W prowadzona jest minimalizacja, a które należy traktować jako dane, - wartości kątów. Ze względu na nieliniowość minimalizowanej funkcji (4)

wartości kątów mają wpływ na przebieg procesu minimaliza­

cji,

- struktura wektora translacji, Określa ona, które ze składowych wektora translacji są różne od zera. Ogólnie badana wersja algorytmu wymaga założenia A z 4 0,

- wartości składowych wektora translacji.

Ze względu na nieliniowość minimalizowanej funkcji (4) wartości Ax^,, Ay^, A z ^ mają wpływ na przebieg procesu minimalizacji,

- liczba wektorów pola. Decyduje ona w połączeniu z ich przestrzennym rozkładem o uwarunkowaniu macierzy M M występującej w minimalizowa­

T

nej funkcji,

- ogniskowa. Minimalizowana funkcja (4) jest nieliniowa również względem ogniskowej F kamery, stąd jej wpływ na działanie algorytmu,

- zakłócenia. Wprowadzono je dodając do wektorów wygenerowanego dla da­

nych ^ T , ^ T , V T , A

x

t , A y ? , A

z t

idealnego pola przemieszczeń (X, X ) wielkości losowe,

- metoda minimalizacji. Podstawowym elementem algorytmu MP jest proce­

dura minimalizacji funkcji (4). Jej wybór ma decydujący wpływ na dzia­

łanie algorytmu.

Opisane powyżej czynniki warunkujące działanie algorytmu MP wraz z przyjętymi dla nich zbiorami wartości przedstawia tab.

1

.

Na podstawie tab.

1

widać, że nie jest możliwe przebadanie działania

algorytmu dla wszystkich możliwych kombinacji "wartości" wyróżnionych

czynników. Stąd w przedstawionych dalej wynikach badań ograniczono się do

pewnych tylko przypadków.

Wyniki numerycznych badań algorytmu...

₈₁

Tabela

1

Czynnik Zbiór wartości

Struktura wektora kątów [-] ■ Wartośó kąta [rad]

Struktura wektora translacji [-]

Wartośó składowej [cm]

Liczba wektorów pola [-]

Ogniskowa [cm] .

Metoda minimalizacji [-]

(cp,

0

,

0

), ($,#',

0

), (<?,&, y )

0

.

0

, 0.05,

0

.

1

, 0.2

(0, 0, Az), (Ax, 0} Az), (Ax, Aj, Az)

0

.

0

,

1

.

0

,

4

.

0

,

5 . 0

3 0

, 60 1, 5,

20

Fletchera-Powella, Neldera-Meada

4. Wyniki badań numerycznych

Przedstawiane dalej wyniki ujęte są w postaci kolejnych tabel. Nagłó­

wek każdej tabeli podaje "wartości" czynników, przy których prowadzono obliczenia.

1. Wyznaczanie pojedynczego kata w przypadku idealnym i przy występo­

waniu zakłóceń

- Wartości kątów 'ff' ^ i V ^ są ustalone, procedura minimalizacji prowa­

dzona jest względemcp.

- Pole przemieszczeń jest dodatkowo zakłócane ze względną intensywnością

^ 5 Dis/10.

- Metoda minimalizacji: Fletchera-Powella, dopuszczalna tolerancja EPS.

Tabela 1.1

= O.Oj = 0.0} KPK =* 30, POC = 1.0} DIS =» 0.0} A x = 0.0 A y = 0.0} A z = 1.0} EPS =

10

^

' \ W y n i k i

<P wo

1

wo

2

xF Uwagi

0 .0 0 .0 0

-

8

.

5

e

-8

-1.58e-7 1.67e-12

0.05 0.05 1.85e-7 1.04e-7 2.l7e-12

0 . 1 0 . 1 0

-1.05e-7 -1.88e-7 7.47e-12

0.15 0.15 -3.13e-8 -2.56e-7 3.78e-12

0 . 2 0 .2 0

1.41e-7 -

6

.

0 1

e

- 8 8

.

1

e-

12

82 K. W o j c i e c h o w s k i , A. Polański

Tabela i.2

= 0.0, V T » 0.0, N P K » 30, FOC = 1.0, DIS = 0 . 1

A x

=

o.o, Ay

»

o.o.

A z =

i.o,

e p s =

io

- 4

^ \ w y n i k i

^ T

•

wo l wo2 F Uwagi

0.0 -.00 0 49 1 -4 .0 4 O- 2 4 . 2 9e-2 2 . 89e-l

0.05 .04765 5 . 4 6a-2 1. 148-1 2 . 95e-l

0. 1 0 . 10 02 4 1.0 8e - 2 -3 . 76 e- 2 4. 91e-l

0.15 0 .151369 7 . 22e-2 3.41e - 2 2 . 0 9 e - l

0.2 0.200 6 2 - 4 . 03 e- 2 - 1 . 2 06 -1 2 . 32e-l

W pr ow a d z e n i e l osowego zakłó ce ni a o a mp li tu d zi e w zg lę dn e j 0.01 \J5 (~0.7*) zakresu zmienn o śc i skład o wy ch wek t or a pola pow od u je po j aw ie ni e się błędu w yz n ac za ni a kęta

$

. A l g o r y t m prac uj e poprawnie.

Tabela 1.3

= 0.0, V T > 0.0, NPK = 30, EDG - 1.0

DIS « 1.0, A x = 0.0, Ay = 0.0 A z = 1.0 EPS = 10-4

W yniki

9

wo l wo2 F Uwagi

0 .0 0.00 8 40 4 -7 . 87 50 -2 - 5 . 9 7e-l 3. 24 e 1

0.05 0.01404 7. 88e-l - 3 . 77 0- 1 1.72 el

0. 1 - - - - Nie uzy sk a no

z b i e ż n o ś c i po 50 It e ra cj ac h

0.15 0.18 1 88 5 5 . 88e-l 3 . 5 3 e - 1 2 . 16el

0.2 0 .2054 - 1.313-1 -1. 57e-l 1,53el

W p r o wa dz en i e l osowego z a k ł ó c e n i a o am pl it u d z i e w z gl ędnej O. 1 \|"5 ( ru

7%)

zakresu zmien n oś ci skład ow yc h wek to ra pola pow o du je w y z n a c z a n i e kęta ze znac zn y m błędem, zaś w J e dn ym z pr z yp a d k ó w nie z a o b s e r w o w a n o z b i e ż n o ś ­ ci algorytmu.

Dla z i l u s t r o w a n i a ' e f e k t u los ow e go za kł óc e n i e pola p r z e m i e s z c z a ń na rys. 1, 2, 3 p r z e ds ta w io no w e k t o r y tego pola uz yskane o d p o w i e d n i o dla pr z yp ad ku i de alnego oraz p r z y z a k ł ó c e n i a c h o a m p l i t u d a c h w z g l ę d n y c h 0.5 \J 0 . 5 /10, 1 \|~0. 5 /10.

Wyniki n u m er yc zn y ch badań algorytmu.. 83

Paranetry przenieszczenia fi =8,100880 teta=0.008800 psi =8,808000 dx =4.000000 dy =4,008000 dz =5,000000

Rys. 1. Obraz i d ea l n e g o pola pr ze m i e s z c z e ń Fig. 1. The image of the ideał d l s p l s c e m e n t field

2. W y z n a c z a n i e dwu kątów. W p ł y w w i e l k o ś c i tr a ns l a c j i na z bi e żność procesu

- Wartość kęta

P j

jest ustalona, pro ce du r a m i n i m a l i z a c j i p rowadzone jest w z g l ę d e m ęp 1

&

-

Pole p r z e m i e s z c z e ń d o d a t k o w o z ak łó c a n e ze w z g l ę d n ę in te ns y wn oś ci ? DIS/10.

* Metoda m i n i m a l i z a c j i : F l e t c h e r a - P o w e l l a , d o p u s z c z a l n e tolerancja EPS.

W przypadku n i e z a d o w al aj ą ce j z b i e ż n o ś c i s t o s ow an o m etodę m i n i m a l i z a c j i Neldera-Meada (n. M . ) z o d n o t o w a n i e m w uwagach.

84 K. W o j c i e c h o w s k i , A. Polańilii

Param try przenieszczenia fi =0i teta=0.

psi =0.

dx =4, dy =4, dz =5,

Rys. 2. Ob ra z pola p r z e m i e s z c z e ń z a k ł ó c a n e g o z i n t e n s y w n o ś c i ą 0.5\Jo. 5/10 Fig. 2. The image of the ideal d i s p l a c e ment field d i s t u r b e d w i t h intensi­

ty \foT5* / 1 0

V j

= O.O, N P K » 30, FOC « 10, DIS « 0 . 0

A x

« 0

.

0

,

A y - 0

.

0

, Az

« 1

.

0

,

EPS « le-4

R E Q M I N « 1 . 0 1 0 " 1 0 , S T E P « 0 . 1

^ \ W y n i k l

^ T * > \

<P

^{w ol w o 2 * F}

0 . 0 ; 0.0 0.0 0.0 7 . 7 7 S- B - 2 . 0 7 0 - 7 1.8 0 e- 1 2 0.02; 0.0 0 . 0 2 0 0 0 6 0 . 0 0 3 4 0 3 1.4 9 e - 2 - 7 . 7 9e -4 7 . 00 e -5 0.05; 0.0 0 . 0 50 0 1 0 . 0 0 1 7 8 9 8 . 0 9 0- 3 - 4 . 0 9 0 - 4 1.55e-5 0.1 ! 0.0 0 . 1 0 0 0 5 2 0 . 0 0 5 8 1 1 2 . 4 9 0 - 2 - 4 . 76e-4 2 . 6 2e -4 0.0 ; 0 . 02 - 0 . 0 0 0 1 0 2 - 0 . 0 0 0 0 5 6 - 9 . 51 e -2 1 . 18e-2 3 . 0 5e - 3 0 . 0 ; 0.1 - 0 . 0 1 2 3 9 0 - 0 . 0 0 3 2 8 - 8 . 05 e -l - 9 . 4 6 0 - 1 4 . 4 le-1 0.02; 0 . 02 0 . 0 1 9 9 6 6 - 0 . 0 0 3 1 3 5 - 9 . 12e-2 - 3 . 89 e- 3 7 . 30e-3 0 . 0 ; 0 . 02 0 . 0 0 0 . 0 1 9 8 9 9 1 - 4 . 62e-4 - l , 8 1 e - 5 4 . 8 9 e - 8 0 .0 ; 0.02 0 . 0 0 0 . 0 9 9 8 9 9 — 4 . 2 2 e — 4 - 1 . 58e-5 5 . 6 5e -8 0.02; 0.02 0. 02 0 . 0 1 9 9 0 2 1 - 4 . 4 6 e - 4 9 . 3 4 e — 6 4 . 7 4e -8

Uwagi T abela 2.1

Wyniki n u m e r y c z n y c h b ad ań algorytmu. 85

gdzie :

N.M - z a s t o s o w a n o metod ę m i n i m a l i z a c j i N e l d e r a - M e a d a 1) - proce s I t e r a c j i w y k a z u j e oś cy la cj e

Zerowa w a r t o ś ć s k ł a d o w y c h t r a n s l a c j i w k i e r u n k a c h 0 x , O y po wo du je złe z a ch ow an i e się w e r s j i a l g o r y t m u o p a r t e g o na m e t o dz ie m i n i m a l i z a c j i Fletchera-Powella. P rz ej ś ci e na w e r s j ę w y k o r z y s t u j ę c ę m e t o d ę N e l d e r a - M e a ­ da usuwa trudności.

Rys. 3. O b r a z pola p r z e m i e s z c z e ń z a k ł ó c a n e g o z i n t e n s y w n o ś c i ą x|o.5 /10 Fig. 3. The image of the id ea l d i s p l a c e ment field d i s t u r b e d w i t h i n t e n s i ­

ty / i O

ParaMetry przenieszczenia fi =0,108800 teta=0,008800

PSi =0,000000

=4,000000

=4,000000

=5,000000

86

K, W o j c i e c h o w s k i , A. Polański

Tabela 2.2

V’T = 0.0, N P K - 30 FOC • 1.0, DIS = 0 . 0

Ax

= 4.0, A y - 4 . 0

Az

= 5.0 EPS = 10-4

^ \ J V y n i k i T '

1? wOl w02 * F Uwagi

0.05, 0.0 0 . 0 5 0 0 0 2 - 0. 00 0 0 3 8 . Oe- 1 7 . 99e-l 2 . 25e-9 0. 1 0.0 0 . 1 0 0 0 1 - 0 . 0 0 0 0 1 8 . Oe-1 8 .0 e-i 4 . 6 1 e - 1 0 0.2 0 .0 0 . 2 0 0 0 1 - 0 . 0 0 0 0 1 8 . Oe-1 8 . 0 e-1 2 . 6 2 e- 10

0. 0 0. 0 5 0.0 0.05 8 . Oe - 1 8 .0 e-1 9 . 3 9 e-12

0. 0 0. 1 0.0 0.1 8.Oe- 1 8 .0 e-1 1 . 2 8 e-ll

0.0 0 .2 0.0 0.2 8 . Oe-1 8.0 e-1 1.0 9 e - 1 0

0 .0 5 0.05 0.05 0.05 8.0e-l 8 .0 e-1 1.6 5 e- 1 2

0.05 0. 1 0: 04 9 9 9 7 0 . 1 0 0 0 0 8.Oe -1 8.0 e-1 3 , 52e-9 0.05 0.2 0 .0 4 9 9 9 9 0 . 1 9 9 9 9 9.Oe-1 8 . 0 e-1 2 . 0 8e-8

0.1 0 .2 0.1 0 . 2 8 . Oe-1 8 . 0 e-1 2 . 3 2 e- 1 0

0.2 0 .2 0 . 2 0 0 0 0 3 0 . 19 99 4 8 . Oe-1 8 .0 e-1 1.88e-6

Z w i ę k s z e n i e w e k t o r a t ra ns l a c j i powo du je popr aw ę z b i e ż n o ś c i a lg orytmu w y k o r z y s t u j ę c e g o metod ę m i n i m a l i z a c j i w e d ł u g Fletche ra -P ow e ll a.

3. W y z n a c z a n i e dwu kętów. W p ł y w w i e l k o ś c i z a k ł ó c e ń na d z i a ł a n i e a l g o ry t mu

- W a r t o ś ć kęta V T u st a lona, p ro ce d ur a m i n i m a l i z a c j i wzgl.

f i ‘ O’

- O od at k o w e z a k ł ó c e n i e ze w z g l ę d n ą i n t e n s y w n o ś c i ą 0.5 D I S /1 0 - M e t od a m i n i m a l i z a c j i F le t ch e r a - P o w e l l a , toler an cj a EPS

T a b e l a 3 . i

y T = 0 . 0 N PK = 3 0 FOC = 1 . 0 , DIS = 0.1 A x * 4 . 0 A y ■= 4 . 0 A z = 5.0 EPS = 1 0~3

— .Wyniki

'i

T ’ T

wOl w 0 2 X F Uwagi

0.05, 0 . 0 0 . 0 52 5 3 - 0 . 0 0 4 7 2 9 7. 55e-l 7 . 72e-l 1. 75e-l

0 .1 , 0 . 0 0 . 0 9 1 4 2 0 . 0 0 5 8 8 0 7 . 99e-l 7 . 9 8 S- 1 2.4 2 e - 1 (1) 0 .2 , 0 .0 0.19 99 9 1 0. 001204 8.06 e- l 7 . 90e-l 6 . 0 4e - l

0.05, 0.05 0 . 0 5 5 4 0 0 . 0 3 8 8 2 5 8 . 14e-l 8 . 1 4e— 1 1. 7 9 e - l

i1}

0.1 , 0.05 0 . 0 9 9 6 4 0 . 0 4 9 0 3 4 8 . 3 0e - l 7 . 9 5 e- l 5 . 81e-l li 0.2 . 0.05 0 . 1 9 1 8 7 0 . 0 5 6 6 7 6 7 . 9 1e -l 8 . 12e-l 3 . 57e-l (l) 0.05, 0. 1 0 . 0 5 32 8 0 . 0 9 3 2 0 0 7 . 7 9e -l 8 . 3 9e-l 1. 84 e- l

0.1 , 0. 1 0 . 1 0 5 5 0 0 . 1 0 6 1 9 7 8 . 30e-l 7. 5 0e-l 9 . 10e-l (1) 0.2 , 0. 1 0.19 32 3 0 . 1 0 7 3 2 7 7 . 6 0e-l 8 . 06 e- l 4 . 02e-l

0.05, 0.2 0 . 0 77 9 8 0. 18 1 0 5 9 9 . 37e-l 7 . 1 0 3 - 1 3 . 78e-e (i) 0.1 , 0.2 0 . 0 87 4 3 0 .1 87 5 5 4 8 . 22e-l 8 . 76e-l 1.28e o 0.2 , 0.2 0 . 2 21 6 8 0. 18 2 8 9 8 9 . 17e-l 7 . 17e-l 3 . 81e o 11

Wyniki n um e r y c z n y c h badań algorytmu.. 87

T abe l a 3.2

V T A x

=

0 . 0

NPK

«

4 . 0 A y

«

30

FOC

4 . 0

A z «

-

1.0

DIS

5. 0

EPS

=

0.5

«

10~3 Wyniki

V * T ; f

wO l w o 2

*F

Uwagi

0.05, 0 .0 0. 05 72 7 5 - 0 . 0 0 3 8 8 2 8 . 17e-l 7 . 3 2 e- l 1. 52e 1 (1) 0.1 0 .0 0 .1 36 3 9 6 - 0 . 0 7 3 8 6 8 9 . 0 3e -l 7 . 3 8 |- 1 4. 55e 0 (1) 0.2 0 .0 0 . 2 3 7 3 0 1 - 0 . 0 5 7 7 5 6 . 7 8 e - l 7 . 22e-l 8.68e 0

(

1

)

0.05 0.05 0 . 0 9 2 4 0 7 0 . 0 0 2 7 9 4 8.64)1-1 8 .48 0 -1 5. 36e 0

(

1

)

0.1 0.05 0 . 1 2 05 19 0 . 0 2 9 6 0 8 8 . 6 ? e - l 8 . lle-1 6. 67e 0

(

1

)

0.2 0.05 0 . 2 6 62 11 - 0 . 0 1 5 2 2 0 8. 5 3e-l 7.76 e -l 9. 29e 0

(

1

)

0.05 0.1 0 . 0 6 8 7 0 0 0 . 1 0 6 9 0 0 8 . 8 5 e - l 8.70 e -l

7.

58e 0

0.1 0.1 0. *¿1438 0 . 0 2 24 61 7 . 2 7 e- l

7.

4 0e -l 1. 70e 0 (1)

0.2 0.1 O . 2 3 4 4 1 7 0 . 0 4 7 1 0 9 9 . 09 e- l 8 . 59e-l 4 . 94e 0 0.05 0.2 0. 1 63 5 8 1 0 . 5 5 1 6 2 6 4 . 5 2 e - l 1.30e-l 2. 70e 2 0.1 0.2

0.

138127 0 . 1 0 1 8 2 8 9 . 96 e -l 9 . 2 70 -1

1. 34e

1

C D

(

1

)

0.2 0.2 0 . 2 3 1 9 9 1 0 . 1 9 2 4 6 0 9 . 9 20 -1 9 . 6 4 e- l

'4.63e

1 1) proces I t e r a c j i w y k a z u j e oscylacje.

Tabela 3.3 V T - 0 .0 N P K - 3 0 FOC - 1.0 DIS « 0 . 5

A x

« 4 . 0 0

A y

« 4 . 0

A z

- 5 .0 R E Q M I N ■ 1. 10 -10 S T E P - 0.1

9V ^* r

^{w Ol w02}

*F

Uwagi

0.05

'o.o

0.05 5 72 2 0 . 0 0 00 6 '1.026 e 0 9 . 2 1e-10 1.62e 0 0.1 0.0 0 . 0 8 8 5 2 4 - 0 . B 20 05 8.01 e-1 7 . 61e-l 6 . 15e 0

0.2 0.0 0 . 2 23 14 6 - 0 . 0 34 12 7.3 9 e-1 6.84 e -l 7.07e 0

0.05 0.05 0 . 0 7 7 3 9 8 0 . 0 2 0 5 2 9 8.50 e-1 6 . 8 9 0- 1 1. 74e 1

0.1 0.05 0 . 0 8 69 06 0..017577 8.05 e-1 8 . 12o-l 7.45e 0

0.2 0.05 0 . 2 2 6 8 9 7 0 . 0 1 7 0 6 0 7.79 e-1 6 . 4 0e - l 7 . 19o 0 0.05

o.a

0 . 0 6 9 8 2 0 0 . 0 2 2 3 4 2 8.40 e-1 8 , 92e-l 1.37e 1 0.1 0.1 0 . 1 25 25 4 0 . 0 5 1 9 0 7 6.87 e-1 7 . 9 1 0 - 1 1 , 19e 1 0.2 0.1 0 . 2 4 6 0 6 4 0 . 0 6 8 7 7 0 9.31 e-1 4 . 3 2e -l 1.08o 1 0.05 0.2 0 . 0 8 22 51 0 . 1 2 8 8 8 8 7.35- e-1 9 . 3 4e - l 8.44e 0 0.1 0.2 0 . 1 6 3 7 1 2 0 . 1 1 49 89 8.79 e-1 7 . 4 60 - 1 9.32e 0 0.2 0.2 0 . 2 68 40 6 0 . 1 4 0 8 9 4 8.25 e-1 6.19 0- 1 9. 59e 0

Zastosowanie m e t o d y m i n i m a l i z a c j i N e l d e r a - M e a d a p owoduje uzyskanie zadowalającej z bi e ż n o ś c i prz y w a r t o ś c i a c h błęd ów z b l i ż o n y c h Jak w m e t o ­ dzie mi ni ma li z ac ji F-P.

88

K. W o j c i e c h o w s k i , A. Polańik]

4. W y z n a c z a n i e trzech kątów. W p ł y w w i e l k o ś c i z a k ł ó c e ń na dz i ałanie a lg or yt m u

- P r oc edura m i n i m a l i z a c j i w z g l ę d e m

$ , ty,

- D od at k ow e z a kł óc a n i e pola ze w z g l ę d n ą i n t e n s y w n o ś c i ą 0 .5 DIS/10.

- M e to da m i n i m a l i z a c j i Nelder a- Me ad a .

Tabela 4.1

A x = 4.

N P K = 3 . 0 0 A y ■ 4 . 0 A z ■ 5

FOC - 1.0 .0 R OM I N

DIS « 0 - I D " 10

1

S T E P = C). 1

<p

T' * T - ^ T «P V wol w 02

0. 0 0.0 0. 1 -1 . 03 53 59 0 . 0 0 9 7 7 4 1. 13 2297 8 . 2 40 -1 8 . 0 5 O - 1 5.728-1 0.0 0.0 0.2 0. 141971 0 . 0 0 1 8 2 0 0 . 0 5 8 9 2 6 8 . 7 3 e- l 7 . 2 9e - l 2.728-1 0.0 0.1 0.0 - 0 . 2 6 27 77 0 . 0 8 59 04 0 . 2 6 9 3 3 8 8 . 55 e- l 7 . 62 e- l 4.62e-l 0.0 0.1 0.1 - 0 .2 0 6 8 1 5 0 . 111721Ć 0 . 2 9 4 3 7 2 7 7 . 8 5e -l 7 . 86e-l 7.448-1 0 .0 0.1 0.2 0 .0 21 9 0 6 0 . 1 0 4 2 1 2 0 . 1 6 4 6 0 5 7. 98 e- l 8 . 31e-l 3.808-1 0 .0 0.2 0 .0 0 .0 28 0 9 4 0 . 1 8 9 7 4 4 - 0. 01 8 9 5 1 8 . 3 2e-l 7 . 7 7e -l 6.518-1 0 .0 0.2 0. 1 - 0 .0 6 1 7 5 6 0. 193145 0 . 1 7 0 4 1 6 7 . 9 6 e - l 7 . 4 6 e - l 1.04e 0 0 .0 0.2 0.2 0 . 0 2 7 9 9 7 0 . 1 9 0 4 9 8 0 . 1 8 1 0 1 8 8 8 . 52e-l 8.4 0 e - l 1.02e 0 0.0 0.1 0.0 - 0 . 1 2 0 0 8 0 0 . 1 08 3 09 0 . 2 0 7 8 4 3 3 7 . 86e-l 7 . 89 e -l 7.47e-l 0.1 0. 1 0.1 0 .2 43 3 5 2 0. 10 4464’ - 0 .0 43 38 8 7 . 9 2e -l 7 . 9 6e -l 9 . 13e-l 0. 1 0. 1 0.2 0 . 1 2 2 0 0 3 0 . 0 8 1 7 6 1 0 . 1 8 7 7 1 7 . 70 O- 1 8 . 08 0- 1 6.30e-l 0. 1 0 . 2 0.2 0 . 0 7 87 8 0 . 1 7 5 6 3 5 0 . 2 1 8 6 5 9 8 . 69e-l 8 . 5 3e -l 1.34e 0

Tabela 4.2

NPK = 3 0 FOC - 1.0 DIS = 0 . 0

A x = 4 . 0 A y = 4 . 0 A z = 5 . 0 R Q M I N = 10“ 10 S T E P = 0.1

-■‘S -i >

f &

_V ^{w ol wo2 * F Uwa g i}

0 . 0 0 .0 0.1 0 . 0 5 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 5 0 0 0 0 7 . 9 9 0 - 1 8 . O O e- l 1.52e-5 0.0 0 .0 0.2 0 .0 76 8 5 3 0 . 0 0 0 0 1 4 0 . 1 2 3 0 3 4 7. 9 9 e - l 8 . O O e - l 2 . lle-5 0 . 0 0. 1 0.0 0 . 0 0 0 2 7 5 0 . 1 0 0 0 5 3 -0.000353 7 . 9 9e -l 8 . 0 0e - l 4 . 6 5 e -6 0 . 0 0.1 0.1 0 . 0 0 0 2 3 5 0 . 1 0 0 0 3 7 0 . 0 9 9 6 7 0 7 . 9 9 o - l 8.O O e - l 1.2 4e-5 0 . 0 0. 1 0.2 0 . 0 0 0 3 9 7 0. 100019 0 . 1 9 9 5 3 4 8 . 01 e -l 8 . 0 1e - l 9 . 9 7 e- 6 0. 0 0.2 0 .0 0 . 0 0 0 0 3 0 0 . 1 9 99 97 -0.000117 8 . O Oe -l 8. 0 e-1 1.9 8e-5 0 . 0 0 .2 0. 1 -0.000891 0 . 1 9 9 7 8 7 0 . 1 0 0 8 6 0 7 . 9 9 0 - 1 B . O O e- l - (1) 0. 0 0.2 0.2 -0.000006 0 . 1 9 9 9 1 7 0 . 1 9 9 9 9 3 8 . O O e - l 8 . O O e - l 1. 3 1e-5 0. 1 0. 1 0 .0 0 . 0 9 99 69 0 . 1 0 0 0 1 2 -0.000009 7 . 99 e -l 8 . O Oe -l 1.51e-5 0 .1 0 .1 0 .1 0.. 100000 0 . 1 0 0 0 0 0 0 . 0 9 9 9 0 0 7 . 9 9 e - l 8.O O e - l 1.0 8 e- 5 0.1 0 . 1 0 . 2 0.09 98 34 0 . 1 0 0 0 1 8 0 . 2 0 0 0 4 7 7 . 89e-l 8 . O O e- l 1.3 6e -5 0.1 0.2 0.2 0 . 1 0 0 0 0 0 . 1 9 9 9 9 7 0 . 1 9 9 8 2 8 . O O e- l 8 . O O e - l 2 . 13e-5

Wyniki n u m e r y c z n y c h ba d ań algorytmu.- 89

5. W n i o s k i końcowe

Przepr ow ad z on e badan ia n u m e r y c z n e p o t w i e r d z a j ą pop r aw ne d z i a ła n ie a l g o ­ rytmu MP. N a j ł a t w i e j s z y Jest p r z y p a d e k w y z n a c z a n i a J e d ne go kąta p r z y braku zakłóceń oraz d u ż y c h w a r t o ś c i a c h s k ł a d o w y c h w e k to ra translacji.

W p r zypadku w z r o s t u p o z i o mu z a k ł ó c e ń w e r s j a a l g o ry t mu w y k o r z y s t u j ą c a

■etodę m i n i m a l i z a c j i F-P w y k a z u j e t e n d en cj ę do z a t r z y m y w a n i a się w p u n k ­ tach nie b ę d ą cy ch m i n i m u m globalnym. Proces k o le j n y c h it e ra cj i w y k a zu j e duże os cylacje z w i ą z a n e p r a w d o p o d o b n i e ze s k o m p l i k o w a n y m k s z t a ł t e m m i n i ­ malizowanej funkcji. P o w yż sz e z j a w i s k a z n i ka j ą w wyni ku z a s t o s o w a n i a m e ­ tody m i n i m a l i z a c j i Nelder a- Me 8 da .

W pr z ypadku w y z n a c z a n i a trzech kątów, w a r t o ś c i

<f

,

y

są w z a j e m n i e eub- stytutywne. Z j a w i s k o to Jest p o p ra wn e 1 w i ą ż e się to z p r z yj ęt ą de finicją kątów

<f) tfjiy

.

L ITERATURA

[l] Fang 3 . Q . , H ua ng T . S . : S o l v i n g t h r e e - d i m e n s i o n a l s m a l l - r o t a t i o n m o ­ tion e q u a ti on s : Un i qu e n e s s , A l g o r i t h m s end n u m e r i c a l results. Compgt Vision G r a p h i c s and Image P ro c es si ng , vol. 26, 1984, p p . 183-206.

[2j Horn B.K.P. , S c h u n c k B.G. : D e t e r m i n i n g o p t ic al flow. A r t i f i c i a l I n t e l ­ ligence, vol. 17, 1981, p p . 185-203.

[3] Polański A . : A l g o r y t m w y z n a c z a n i a p a r a m e t r ó w ruphu na p od s t a w i e pola przemieszczeń. Z e s z y t y N a u k o w e Pol. ś l . , (przyjęte do druku).

[4] Prazdny K . : D e t e r m i n i n g the i n s t a n t a n e o u s d i r e c t i o n of m o t i on from optical flow g e n e r at ed by c o u r v l l i n e a r y m o vi ng observer. Comput G ra ph ic s and Image Proc es si n g, vol. 17, 1981, p p.238-248.

t5j Tsai R . Y . , H ua n g T . H . , Zha W e i - l e : E s t i m a t i n g t h r e e - d i m e n s i o n a l m o ­ tion p a r a m e t e r s of a rigid p l a n a r patch, II: S i n g u l a r value d e c o m p o ­ sition. IE EE Trans., A c o u s t . , Sp eed, S i g n a l Pr ocessing, vol. A S SP-29, 1981, p p . 1147-1152.

R ec en z e n t : Doc. dr hab. inż. M a r i u s z N i e n i e w e k i

Wpłynęło

do R e d a k c j i 3 . 1 1 . 1 9 8 7 r.

90 K. W o j c l e c h o w a k i , A. Polariakl

BE3yJIHTAIU MAHIKHHilX HCCJE^OBAHHil AJirOPHTMA 0I1PE£EJIEHHH. H APAMETPOB ABUSE HH

P e 3 w m e

B padoxe npftflaiaBjijiMxo« peaynBTaiii uamH HH H x HCoaeAOBaHHit a j i r o p M M a onpe- fleneHHH n apaMarpoB hbkxohhh. A a a onoooO rsHapHpoBaraiH Bxoflmcc «aHRttx, KpHlepHH ORQHKH ^aitcXBJlH ajtrOpKTMa a TaKJfCS KJiaCCHlJlHKaHHH U H O K e O T B a (JiaKIOpOB bjikhmuhx H a ero padoxy.

JSjm

y n a a a n n u i $aiciopoB BuSpaiiH MH ox a c x B a BeitHHiiH, b flnana30He KOTopttx npoHSBoaHJinoB MafflHKHua HccnaflOBaHHH» HcaneflOBaHHit noxa- 3ajiH Hcnpaanyio p a doxy ajtropnxna a cjiynaa icseaji&Horo noun nepaMeiteitail, IonBiuyio HyoiHBMTejiBKooxB n a BosuymeHHH nona a x aicsa HMaiomyioc.il b hbu Beujriit- Hy TpaHCUHUMH.

RESULTS OF NU ME R IC AL TESTS OF THE A L G O R I T H M FOR M O T I O N PARAMETERS ES TI MA T I O N

S u m m a r y

Reeu l t8 of n um erical teata of the a l g o r i t h m for m o ti o n pa ra m e t e r s esti­

mati on are preaented. A way of input data ge n eration, p er f or m a n c e criteria of the a l g o r it hm and c l a s s i f i c a t i o n of factors eff ec t in g ite op er at i on are diacuaaed. The ranges of v a lu e s for i n di c a t e d factors are ch osen for- the n u m e r ic al experiments. The test indicate a correct o p e r a t i o n of the a lg or it h m in the caeo of an ideal d is p la c e m e n t field, grat

s en si t i v i t y to the field d l e t u r b a n c a a and the encl os ed va lu e of t r a n sl a­

tion.