Seria: GÓRNICTWO z; 97 Nr kol; 597
« Norbert MUSIOŁ
Zygmunt IECY3IL
METODA PROGNOZOWANIA ROZKŁADU WIELKOŚCI WYDOBYCIA WĘGLA WEDŁUG GŁĘBOKOŚCI EKSPLOATACJI
Streszczenie: W artykule podano model rozkładu wielkości wydobycia węgla kamiennego według głębokości eksploatacji, któ
ry posłużył do wyznaczania prognoz wydobycia; Przy pomocy mode
lu można dokonać prognozy zmian w czasie udziału wydobycia z cbo- wolnego przedziału głębokości i przestrzennego rozkładu wydoby
cia dla dowolnego, niezbyt odległego w czasie roku. t,. Żarnie-- szczono przykład obliczeń dla głębokości 500-600 m;
1; Wstęp
W czasopiśmiennictwie naukowym dotyczącym przedmiotu badań spotyka się próby wyznaczania- funkcji wydobycia /l,2,5,A,6,7/ i na ich podstawie okreś
lania wartości prognozowanych; Zazwyczaj jednak wyznaczone mcdele wydobycia dotyczą wydobycia globalnego /całkowitego/; W artykule podano próbę okreś
lania prognozowanej wielkości wydobycia w zależności od głębokości eksplo
atacji;
2; Prognoza rozkładu wielkości wydobycia na lata 1976-90 Z rozważań przeprowadzonych w [ij] wynika:
1; Rozkład wydobycia węgla kamiennego według głębokości w kolejnych latach można z dużą dokładnością aproksymować rozkładem normalnym N /h, 6 /, danym równaniem:
u/z/ = exp
' ' <5 \ j2 JT
gdzie:
u/z/ - gęstość udziału wydobycia,
z - współrzędna głębokości eksploatacji
Q , h - parametry równania
2. Współczynnik determinacji określający stopień dopasowania krzywej empirycznej w latach 1960-1S75 wykazuje stałość w czasie i mały rozrzut wokół wartości średniej, co pozwala przypuszczać, że rów
nież w latach następnych rozkład wydobycia będzie podobny do roz
kładu normalnego.
/z-h/2
/!/
24 Norbert Musioł, Zygmunt Lecybil
3K Parametry rozkładu wydobycia N /h, 6 / wykazują wyraźne tendencje rozwojowe, które opisane równaniami:
/
h /t/ = 338,00698 + 0,40687 t2 /1,23740/ /O,Ot002/
6 7t/ - 164,1575 + 0,4285 t /1.407/ /O,1455/
zapewniają wysoką efektywność predykcji;
/Z/
/3/
Przeprowadzone rozważania pozwalają na obliczenie prognozy udziału wy
dobycia z dowolnego przedziału głębok9Ści /z^, z^/ dla dowolnego, niezbyt odległego w czasie roku t, następującym modelem przestrzenno-czasowym:
Z u/z1,z2/,t =
y
V2/F<S7t/
exp
[z-h/t/J
" 7 " / i / '
dz /4/
który to model równoważny j est modelowi gęstości udziału
exp
z,t r /t/
wynikającemu z założonego modelu /l:/i [z-h/t/]
Z ^ / t /
/4a/
We wzorach /2,3,4 i 4a/ występują następujące oznaczenia:
t - współrzędna czasu /t = 0 dla 1959 roku/, h/t/ - średnia głębokość w. roku t,
67t/ - odchylenie standardowe w iokur t;
Przy pomocy modelu /4/ można dokonać prognozy:
a/ zmian w czasie udziału wydobycia z dowolnego przedziału głębokości /z1, z2/,
b/ przestrzennego rozkładu wydobycia dla dowolnego, niezbyt odległego w czasie roku t
i*
ad. a
Ze względu na charakter funkcji całkowanej występującej w modelu /4/, tendencji rozwojowej udziału wydobycia z przedziału głębokości / z^, z^/
nie da się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych; Przy'obliczaniu tej całki korzysta się z rozpisania funkcji całkowanej w szereg nieskończony
-z2
* - s
Jb Ł L
iii 15/
stąd' analityczna póstate równania
/6/
jest wielomianem nieskończonym.
Wartości uyz z j dla kolejnych lat obliczań można przy pomocy tab
lic dystrybuanty1 stiindardowego rozkładu normalnego [&].
W tym celu należy:
- obliczyć h/t/ i ®7t/ dla roku t.. zgodnie z wzorami /2/ i /3/
- otrzymane wartości wstawić do modelu /4/, - przeprowadzić standaryzację zmiennej z,
- odczytać z tablic wartość u dladla roku t^, - powtórzyć cykl dla kolejnych lat;
Wykres tendencji rozwojowej /6/ W/ rozpatrywanych latach 1960-90 ma różny kształt dla różnych przedziałów głębokości:
- na małych głębokościach /do ok;400 m/ udział wydobycia asymptotycznie maleje do zera,
- na dużych głębokościach /ponad 700 m/ krzywa stale rośnie, lecz jej na
chylenie w początkowym okresie rośnie, a w późniejszym maleje /istnie
je punkt przegięcia/,
- wykres dla głębokości średnich posiada maksimum;
Aby obliczyć wariancję predykcji dokonanej modelem tendencji rozwojo
wej, konieczna jest znajomość macierzy wariancji i kowariancji parametrów strukturalnych modelu i błędu standardowego. W przypadku tendencji okreś
lonej modelem /6/ obliczenie macierzy nąe jest możliwe, gdyż z cha
rakteru tej funkcji wynika nieznajomość wszystkich parametrów modelu.
Dla oszacowania błędu predykcji musi więc wystarczyć obliczony na podstawie zaszłości błąd standardowy i współczynnik zbieżności;
Przeprowadzona dla różnych przedziałów głębokości analiza różnic po
między wartościami empirycznymi i obliczonymi modelem /6/, stanowiącym fragment modelu ogólnego /4/, wykazała, że:
% / im większy przedział głębokości / w y ż s z a 1 wartość udziału wydobycia/, tym mniejszy błąd względny,
2/ w poszczególnych przedziałach głębokości reszty są małe, lecz syste
matycznie większe lub mniejsze od zera, co świadczy o trwałych, lo
kalnych "niedopasowaniach" rozkładu normalnego do empirycznego.
Biorąc to pod uwagę, proponuje się:
1/ obliczać prognozy ilościowe tylko dla większych przedziałów głębokości natomiast dla małych przedziałów wyciągać tylko wnioski natury jakoś
ciowej;
26 Norbert Musioł, Zygmunt Lecybil 2/ dla danego przedziału głębokości skorygować obliczoną tendencję rozwojo-
jową zmian udziału wydobycia o wartości systematycznego błędu ustalonego na podstawie zaszłości zgodnie ze wzorem:
Gt + *t w
gdzie:
u^_ - poprawiony udział w roku t,
u^ - udział obliczony modelem /6/ dla roku t, e^ - błąd systematyczny w roku t
Wartość błędu systematycznego proponuje się obliczać na podstawie ten
dencji rozwojowej reszt modelu /6/ dla danego przedziału głębokości; W wię
kszości przypadków poprawny wynik uzyskuje się, przyjmując model liniowy
*t “ ao + *1* /8/
i szacując- jego parametry metodą najmniejszych kwadratów.
W przypadku małych wartości reszt modelu /6/ lub niskiej kore]lcji reszt' z czasem /relatywnie mała wartość współczynnika regresji w modelu /8/, wystarczająco dobrym przybliżeniem błędu systematycznego jest śred
nia wartość reszty: na
n e
A _ 1
et = const; = «t = — /9/
adib
Rozkład gęstości udziału wydobycia w prognozowanym roku t^
U - f /z/ /to/
ma postać rozkładu-normalnego N /h, 6 /, a równanie /10 / uzyskuje się wsta
wiając do modelu A a / obliczone dla roku tf wartości h/t/ i 6 / t / i
Za pomocą modelu A / można obliczyć rozdział wydobycia na dowolne prze
działy głębokości;
Błąd prognozy średniej głębokości eksploatacji oraz odchylenia standar
dowego rozkładu pkreślone są wzorami [* }]• .
V2 - S2 /0,0000096179 t4 - 0,00179856 t2 + 1,14658 / A t / dla t >16
- 2,232
V® - S2 /0,00294 t2 - 0,05 t + 1,275/ /1 2 /
dla t > 16 Sff - 2,663
Błędy te są niewielkie i do roku 1990 nie przekraczają odpowiednio 1,5 % i 2,5 Znacznie większe, lecz trudne do określenia,' są błędy udzia
łu wydobycia z poszczególnych przedziałów głębokości. Zależą one od wiel
kości przedziału, jego średniej głębokości /lokalne "niedopasowanie" rozkł
adu normalnego do empirycznego/, a także do czasu /wpływ niedokładności h/t i & /t/. W celu zmniejszenia tych błędów proponuje się zastosować pos
tępowanie opisane w punkcie ad a/i wprowadzić w każdym przedziale głębokoś
ci poprawkę równą e^. Gdy = e^ dla wszystkich przedziałów, korygowanie wartości obliczonych modelem /4/ zapewnia sumowanie się udziałów z poszcze
gólnych przedziałów do jedności
gdzie:
U _ ilość przędz, głębokości,
Cn - poprawiony udział przedziału' i-tego,
gdyż suma poprawek poszczególnych przedziałów obejmujących całą głębokość eksploatacji jest w każdym roku równa zero
3; Przykład wykorzystania modelu /4/ do predykcji
Zastosowanie modelu /4/ do predykcji przedstawiono na przykładzie ten
dencji rozwojowej udziału wydobycia z przedziału głębokości 500-600 mi W tablicy 1 zestawiono rzeczywiste i obliczone modelem /6/ udziały wy
dobycia z rozpatrywanego przedziału w latach 1960-1975 oraz przedstawiono tok obliczania udziałów poprawionych;
Model tendencji rozwojowej błędów systematycznych /poprawek zmiennych/
ma postać
e = - 0,0034 - 0,0001 t
Obliczone tym modelem poprawki zestawiono w kolumnie 6 tabl. 1, a w kolumnie 7 podano poprawione udziały wydobycia. Udziały te tylko nieznacz
nie różnią się od wartości poprawionych poprawką stałą /kolumna 8/
e = - 0,004
dlatego też tę poprawkę uznano za wystarczającą;
Porównanierzeczywistegoi obliczonegoudziału v?ydobyciaz przedziału głębokości500-600m
2g________ '_____________________ Korbęrt liusioł, Zygmunt Lecybil
rH EHd
Resztymodelu poprawionego
c^vo r--d-vp c^co cm t*- k w rOCMOOOO r I M O r ó O O O r- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 0 0 0o o o o o o o o
1 I I 1 1 1 1 1 1
Udział poprawiony poprawką stjiłą CM K\ CA CO t~ IT\ LA f C'--3‘ CM ę—(T»CO O O O O v- t- t— CM KM^4 CAVOvO C^CD T“ r-r-T-r*r"t-T-t“ t“ r-r“ T-r-r-r“
O O O O O O O O O O O O O O O O
Udział poprawi poprawką zmienną
IAKMT\CDT-lACr»lAT” ts--4'T-OCOC^VD O O O O T-r- r- CM (A CAVOVO CO rTTTTTT^rT-łrę-T-r-r-T-ę- 0 0 * 0 0 0 0 0 0 0 0*0*0 0*0*o*o*
rt -P
^ p rt C + f-i o o
P< -H rt o d n IU N<©
-ai-ai CA CAIA CA CA
o o o o o o o o o o o o o o o o
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
o c T o o o * o o o o o o o 0*0* 0*0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
IA jP CM <3
l>i *-P +> 3 N03 II
© +» oi a>
V CM C*- CO O KW rAAt^-COCOCMT-C^-O CM O r O r O O r- CM O r- O O t- O r- O O O O O O O O O O O O O O O O
» • • « ■ » » « • . » • • t K t k » O «>
o o o o o o o o o o o o o o o o
* I I 1 1 1 1 1 1 1
udziałobli czeniowy mo delem/25/
MDC^-C^CMA^rACr\ir»r-COvDlAiAęMT“
O O O r r r C M CM JA-i lAlD CO CTn r-ę—t—r-r~T—r—ę—t-r-v-T-VT-T-x—
« » » • » » » « « « « » • . • i « ! * . O O O O O O O O O 0,0o o o o o
udział rzeczywisty «t IA O*V0 -4- CA CM C"> CM 0^-0 GOrACMlAr- COOCMOO CM CM -d" r* rAtA-d" V0 vD O O r r r r r r r r r r r r r r N O O O O O O 0*0 O 0*0 O 0*0o o
•P T” CM fA-d CAVD C"* CO CT\0 r- CMłA-d CAVO T“ T~ t“ r~ r* t-
Rok
O v CM KVd“lAv£> t*- CO C^O r~ CM lA-d" IA IACT> CT>
r- *=■
<5 o 01
i a
oo o 01
W
+> -p Q) - |fl>
vOco O OI
i aC\l
01
•p , -p 0) I 0)
W
VD IA
rA •*
<r- CD
n n _-p |+>
W
#
Rysi li Tendencja rozwojowa udziału wydobycia z przedziału głębokości 500-600 m.
30 Norbert Musioł, Zygmunt Lecybll
Parametry zmienności stochastycznej poprawionej tendencji rozwojowej wynoszą: i--- ■£->
/ et s
s . ||_±T---- = 0,0128 W = 100 — = 9,57 #
2
f 2 5- S 0,156547 R m V1 2 » 0,91-8
^ v V
Relatywnie dobre wartości parameti>aw zmienności stochastycznej pozwa
lają darzyć znacznym zaufaniem prognozę dla przedziału głębokości 500-600 mi Z wykresu tendencji /rysi 1/ wynika, że udział wydobycia będzie wzrastał tylko do roku 1981, kiedy to osiągnie wartość maksymalną, po czym zacznie maleć asym
ptotycznie do zerai Prognozy dla wybranych lat przedstawia tablica 2i
Tablica 2
Prognoza wydobycia z przedziału głębokości 500 - 600 m
Lpi Prognoza R o k
1976 1977 1978 1979 1980 1985 1990"
1i Wydobycie pw /min \ J
179,3 1861,2 194|,30 202,89 211,87 262,58 322,95
2i Udział obliczo
ny 500-600 m
M
20,0 20,8 21,6 22,2 22,6 21,3 13,5
3i Udział poprawio
ny 500-600 m
[% ]
19,C 20,4 21,2 21,8 22,2 20,9 13,1
4ti Wydobycie 500-600 m
/min 1'J
35,14 37,98 41,19 4ł*,23 47,04 54,88 42,31
Podane w tablicy 2 wydobycie w min t zostało obliczone w oparciu o wyprowadzony w pracy [ \ ] model tendencji rozwojowej wydobycia węgla kamiennego w pw o postaci
W = 104,3904 + 1,0611 t + 0,1932 t2
gdzie.:
t - czaa w latach, t = 0 w 1959 r;
W - roczne wydobycie EiT /min t7
Przytoczona w artykule metoda prognozowania wielkości wydobycia wed
ług głębokości eksploatacji pozwala uzyskiwać wyniki', zachęcające dr prowa
dzenia dalszych badań w kierunku doskonalenia przedstawionego modelu;
LITERATURA
/j] Gumuła Sti: Ekonometryczne metody prognozowania wydobycia i zbytu węgla kamiennego w Polsce na lo-ta 1966-1985. Projekty - Problemy, Biuletyn BPPW, Katowice 1967, nr 4
O z ] Musioł N;: Wyznaczenie optymalnych nakładów czynników produkcji;
Zeszyty Naukowe: Pol;Sląskiej. Seria Górnictwo, z;71, 1976r; 1
O b ] Musioł N;, Sitko W;: Prognozowanie wartości wskaźników techniczno-
-ekonomicznych w kopalniach węgla kamiennego. Zeszyty Naukowe WSI Lublin I976r;
[ k ] Musioł N;, Lecybil Z;: Modele tendencji rozwojowej wydobycia węgla
kamiennego; Zeszyty Naukowe Pol;Lubelskiej / w druku/.
O b ] Musioł N., Lecybil Z;: Model rozkładu wielkości wydobycia węgla ka
miennego według głębokości eksploatacji.
f 6 ] Praca zbiorowa pod kier; Musioła N;: Prognozowanie nowej techniki w
aspekcie wzrostu produkcji górniczej; Inst.Org.i Zarządz;Pol.Lubels
kiej; /Praca nie opublikowana/;
C l] Praca zbiorowa pod kier;Musioła N;: Opracowanie prognozy wartości wskaźników ekonomicznej efektywności planowania perspektywicznego w kopalni węgla metodą prognozowania marginalnego; Ins+,Org;i Za
rządzania Pol.Lubelskiej /Praca nie: opublikowana/;
/07 Volk W;; Statystyka stosowana dla Inżynierów WNT, Warszawa 1973;
METOÄ IIP0rH030BAHHH FACnPĘĘEJIEHHS BEJUBfflHH ßOEHRH y m OTHOCHTEJIBHO TJiyEHHH SKCIUDTATAUHH
Pe3B»te
B ciaTte npiiBe^eHa Mogejit pacnpe^ejieHM BejnuiHHŁi ro ó w tr KaueHHoro yrJibH OTHOCHTejibHO rayÓHHH SKCiuryaTauHH, kotopas óy^eT npHMeHena r iw onpe- yejieHHa nporHoaoB R O Ó m n. IIpH noMomn MogejiK mokho npoH3BecTH nporH03 H3ł.ie- HeHHß bo BpeneHH .noÖuqH H3 jcoóoro ięae|*yTKa rayÓHHti h npocTpaHCTBeHHoro pacnpeAeieHHa j,oÓtraz r r r jdoÓobo, He c.iheikou r r k sHoro bo Bpet.is to r a T^. Ilpn- Be^eHHHe npHMepu pacnSTOB r jla rjiyÓHHH 500 - 600 a.
32 Musioł Norbert, Lecybll Zygmunt
THE f®TH0D OF FORECASTING THE DISTRIBUTION OF THE RATE OF OUTPUT ACCORDING TO THE DEPTH OF EXPLOITATIONS' S u m m a r y
This paper presented the model of forecasting the distribution of the rate of output according to the depth of exploitation which served to determinate the forecast of output; Basing on this model, it is pos
sible to forecast the time-variated rate of output from any range of depths or any spatial distribution of output for any year, not too dis
tant in time; The example of calculations for the depths from 500 - 600m is contained;
