Berekeningsmethoden van hydrodynamische coefficienten van schepen op ondiep water

BEREKENINGSMETHODEN

VAN HYDRODYNAMISCHE COËFFICIËNTEN

VAN SCHEPEN OP ONDIEP WATER

R a p p o r t n r . 5 7 1 J a n u a r i 1 9 8 3

D e l f t U n i v e r s i t y of T e c h n o l o g y Ship Hydromechanics Laboratory Mekelweg 2

2628 0 0 D E L F T The Netherlands Phone 015-786882

waterloopkundig laboratorium

delft hydraulica laboratory Maritime Research Institute Netherlands P.O. Box 28 • 6700 AA - WAGENINGEN

"Dil lopporl i l opgtlUid door THD/WL/NSP ingevolge opdraiM no. B2/IS28/7.3. von de Slichling Coördinalit Moiiliem Ondeiioek". • © THP/Wl/NSP,

I9e2.'-"Nieli uil deie uitgave mog worden verveelvoudigd en/o( openboor gemooH door middel von drul, folocopie, microlilm ol op nelke ondere MÏjie ook, londir voorofgoonde sthrillelijke loeilemming von THD/WL/NSP."

BEREKENINGSMETHODEN VAN HYDRODYNAMISCHE C O Ë F F I C I Ë N T E N VAN SCHEPEN OP ONDIEP WATER S a m e n g e s t e l d d o o r : . i 1. T e c h n i s c h e H o g e s c h o o l D e l f t (THD) A f d e l i n g d e r M a r i t i e m e T e c h n i e k V a k g r o e p S c h e e p s h y d r o m e c h a n i c a (W. B e u k e l m a n ) 2. W a t e r l o o p k u n d i g L a b o r a t o r i u m ( P . J . K e u n i n g ) 3. M a r i t i e m R e s e a r c h I n s t i t u u t N e d e r l a n d (R.H.M. H u i j s m a n s )

INHOUD S Y M B O L E N L I J S T 1. I N L E I D I N G 1.1. D o e l e n o p z e t v a n h e t p r o j e c t 1.2. A c h t e r g r o n d 2. PROEVEN 3. BEREKENINGSMODELLEN 3.1. M e t h o d e WL en THD 3 . 2 . M e t h o d e MARIN 4. V E R G E L I J K I N G RESULTATEN 5. C O N C L U S I E S EN AANBEVELINGEN R E F E R E N T I E S . APPENDIX A M e t h o d e WL: t w e e - d i m e n s i o n a l e b r o n b e l e g g i n g s m e t h o d e APPENDIX B M e t h o d e TH D e l f t M e t h o d e K e i l : t w e e - d i m e n s i o n a l e v e e l p o o l b e n a d e r i n g s m e t h o d e APPENDIX C M e t h o d e MARIN B e s c h r i j v i n g 3-D d i f f r a c t i e t h e o r i e T a b e l l e n ( 2 ) F i g u r e n

S Y M B O L E N L I J S T b r o n s t e r k t e ^ k j ' t o e g e v o e g d e m a s s a e n d e m p i n g s c o ë f f i c i ë n t voör h e t g e h e l e s c h i p a.J.., b ' . t o e g e v o e g d e m a s s a e n d e m p i n g s c o ë f f i c i ë n t v o o r e e n s e c t i e met v o o r w a a r t s e s n e l h e i d V a ^ j , b ^ j t o e g e v o e g d e m a s s a en d e m p i n g s c o ë f f i c i ë n t v o o r e e n s e c t i e v o o r s n e l h e i d n u l B b r e e d t e v a n model, d e m p i n g s m a t r i x G h y d r o s t a t i s c h e r e a c t i e m a t r i x Cg b l o k c o ë f f i c i ë n t d a a n d u i d i n g v o o r d i f f r a c t i e p o t e n t i a a l F . k r a c h t F ^ h y d r o d y n a m i s c h e r e a c t i e k r a c h t i n de k® r i c h t i n g F ^ g e t a l v a n F r o u d e g v e r s n e l l i n g v a n de z w a a r t e k r a c h t h w a t e r d i e p t e j mode y a n b e w e g i n g k g o l f g e t a l ( = 2ÏÏ/A)> r i c h t i n g s a a n d u i d i n g L l e n g t e v a n model M m a s s a m a t r i x v a n m o d e l Mg h y d r o d y n a m i s c h e m a s s a m a t r i x nj^ r i c h t I n g s n o r m a a l p d r u k r o s c i l l a t i e a m p l i t u d e , a a n d u i d i n g v o o r s t r a l i n g s p o t e n -t i a a l S o p p e r v l a k t e v a n m o d e l T d i e p g a n g v a n h e t m o d e l T j ^ j h y d r o d y n a m i s c h e r e a c t i e k r a c h t i n d e k® r i c h t i n g v o o r de j® b e w e g i n g s m o d e t t i j d V v o o r w a a r t s e s n e l h e i d v a n s c h i p V w a t e r s n e l h e i d , f u n c t i e d i e de i n v l o e d b e s c h r i j f t v a n de b r o n s t e r k t e v e r d e l i n g

p o s i t i e v e c t o r b e w e g i n g i n r i c h t i n g , j = 1 ( 1 ) 6 d r i f t h o e k f r e q u e n t i e v a n i n k o m e n d e g o l f o n t m o e t i n g s f r e q ü e n t i e , o s c i l l a t i e f r e q u e n t i e g o l f r i c h t i n g t o t a l e s n e l h e i d s p o t e n t i a a l s t a t i o n a i r e b e w e g i n g s p o t e n t i a a l o s c i l l e r e n d e s n e l h e i d s p o t e n t i a a l v o o r s n e l h e i d o n g e l i j k a a n n u l r e s p e c t i e v e l i j k g e l i j k a a n n u l o s c i l l e r e n d e s n e l h e i d s p o t e n t i a a l i n de r i c h t i n g v o o r s n e l h e i d o n g e l i j k a a n n u l r e s p e c t i e v e l i j k g e l i j k a a n n u l s t r o o m f u n c t i e l o k a t i e v e c t o r u i t w i j k i n g v a n h e t g o l f o p p e r v l a k c o m p l e x e b r o n s t e r k t e v e r d e l i n g v o o r mode j b e w e g i n g s a m p l i t u d e v o o r mode j g o l f l e n g t e f r e q u e n t i e g e t a l (= / g ) g o l f g e t a l d a t a a n de o p p e r v l a k t e v o o r w a a r d e v o l d o e t

1. I N L E I D I N G

l ^ l ^ _ D o e l _ e n _ o p z e t v a n h e t p r o j e c t

H e t l i g t i n de b e d o e l i n g om d o o r u i t v o e r i n g v a n d i t p r o j e c t e e n b e g i n t e maken met de; b e p a l i n g v a n h e t g e d r a g v a n e e n s c h i p i n

o n d i e p w a t e r t e n g e v o l g e v a n g o l v e n en m a n o e u v r e r e n . H e t o n d e r z o e k i s v o o r a l g e r i c h t op h e t b e p a l e n v a n de h y d r o d y n a m i s c h e c o ë f f i c i ë n -t e n v a n de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n . D a a r t o e z i j n d o o r h e t L a b o r a t o r i u m v o o r S c h e e p s h y d r o m e c h a n i c a v a n de A f d e l i n g d e r M a r i t i e m e T e c h n i e k v a n de T e c h n i s c h e H o g e s c h o o l t e D e l f t (THD) gedwongen o s c i l l a t i e p r o e v e n u i t g e v o e r d om d e z e c o ë f f i c i ë n t e n v o o r d e v e r t i c a l e e n h o r i z o n t a l e r i c h t i n g en v o o r v e r s c h i l -l e n d e w a t e r d i e p t e n t e m e t e n , D e z e r e s u l t a t e n w o r d e n v e r g e l e k e n met d i e v a n d r i e b e r e k e n i n g s -m e t h o d e n t e w e t e n : 1. E e n m e t h o d e o n t w i k k e l d d o o r P r o f . K e i l ( z i e [ l | v a n A p p e n d i x B) e n a a n g e p a s t d o o r de THD. 2. E e n t w e e - d i m e n s i o n a l e d i f f r a c t i e m e t h o d e o n t w i k k e l d d o o r h e t W a t e r l o o p k u n d i g L a b o r a t o r i u m (WL) t e D e l f t . 3. E e n d r i e - d i m e n s i o n a l e d i f f r a c t i e m e t h o d e o n t w i k k e l d d o o r h e t M a r i t i e m R e s e a r c h I n s t i t u u t N e d e r l a n d (MARIN) t e W a g e n i n g e n . V a n de d r i e b e r e k e n i n g s m e t h o d e n z i j n de e e r s t e t w e e g e b a s e e r d op e e n t w e e d i m e n s i o n a l e b e r e k e n i n g w a a r i n de s t r i p m e t h o d e i s t o e g e p a s t om de w a a r d e v o o r h e t g e h e l e m o d e l i n c l u s i e f de s n e l h e i d s i n -v l o e d t e b e p a l e n . D e z e s n e l h e i d s i n -v l o e d i s op de b e k e n d e w i j z e i n r e k e n i n g g é b r a c h t z o a l s a a n g e g e v e n i n [ 1 ] en H o o f d s t u k 3 * 1 . I n de d r i e d i m e n s i o n a l e methode v a n h e t MARIN i s de s n e l h e i d s i n -v l o e d g e ï n t r o d u c e e r d -v o l g e n s e e n b e n a d e r i n g s m e t h o d e a l s w e e r g e g e -v e n i n H o o f d s t u k 3.2.

1 ^ 2 ^ _ A c h t e r g r o n d H e t i s a l g e m e e n b e k e n d d a t de a f s t a n d t u s s e n k i e l en bodem v a n i n - . v l o e d i s op h e t g e d r a g v a n e e n s c h i p i n g o l v e n . I n o n d i e p w a t e r h a n g t de a f s t a n d v a n k i e l t o t bodem i n de e e r s t e p l a a t s a f v a n de t r i m e n i n z i n k i n g v a n h e t s c h i p d i e e e n f u n c t i e z i j n v a n de v o o r w a a r t s e s n e l h e i d . D a a r b i j komt d a n nog d e v e r t i c a l e v e r p l a a t s i n g v a n h e t s c h i p t e n g e v o l g e v a n de b e w e g i n g i n g o l v e n . I n h o r i -z o n t a l e r i c h t i n g v e r a n d e r e n de s t u u r m a n o e u v r e s e v e n e e n s t e n g e v o l g e v a n e e n b e p e r k t e w a t e r d i e p t e . K e n n i s o v e r h e t g e d r a g v a n e e n s c h i p i n g o l v e n op o n d i e p w a t e r ook t e n g e v o l g e v a n h e t m a n o e u v r e r e n i s b e l a n g r i j k v o o r o n t w e r p e r s , s c h e e p s r e d e r s , h a v e n a u t o r i t e i t e n e n h a y e n o n t w e r p e r s . H e t b e t r e f t h i e r i n e e r s t e p l a a t s h e t o p e r e r e n v a n s c h e p e n op o n d i e p w a t e r om c r i t e r i a t e k u n n e n o p s t e l l e n t e n a a n z i e n v a n t o e l a a t b a r e " k e e l -c l e a r a n -c e " e n b r e e d t e n v a n a a n l o o p r o u t e s . Ook i s h e t m o g e l i j k h e t s i m u l e r e n v a n h e t b i n n e n l o p e n v a n e e n h a v e n v o o r e e n s c h i p op e e n m e e r r e a l i s t i s c h e w i j z e u i t t e v o e r e n , mede t e n b e h o e v e v a n de s t u d i e v a n h e t s c h e e p v a a r t v e r k e e r . B o v e n d i e n w o r d e n b i j v o o r b e e l d de k o s t e n v o o r h e t b a g g e r e n v a n e e n h a v e n i n g a n g v o o r e e n b e l a n g r i j k g e d e e l t e b e p a a l d d o o r de m i n i m a a l t o e l a a t b a r e a f s t a n d t u s s e n k i e l e n bodem v o o r a l met b e t r e k k i n g t o t g r o t e s c h e p e n . K e n n i s v a n g e d r a g v a n b i j v o o r b e e l d b a k k e n en c u t t e r -z u i g e r s i n g o l v e n op o n d i e p w a t e r i s n o d i g -z o w e l v o o r o p t i m a l i s a t i e t e n a a n z i e n v a n h e t o n t w e r p a l s v o o r h e t g e b r u i k ( b i j v o o r b e e l d v o o r c r i t e r i a e n h e t a a n t a l w e r k b a r e d a g e n p e r j a a r ) . I n de t w e e d e p l a a t s i s k e n n i s v a n h e t gedrag, v a n s c h e p e n op o n d i e p w a t e r b e l a n g r i j k v o o r h e t o n t w e r p e n . H e t i s m o g e l i j k om b e p a a l d e c r i t e r i a i n t e bouwen b i j de o p t i m a l i s a t i e v a n h e t s c h e e p s o n t w e r p . Maar ook b i j h e t o n t w e r p e n v a n h a v e n s e n h a v e n i n g a n g e n i s h e t n o o d -z a k e l i j k om d e v e r e i s t e b r e e d t e e n d i e p t e t e k u n n e n b e p a l e n . A l l e b e r e k e n i n g s m e t h o d e n g a a n u i t v a n dC' p o t e n t i a a l t h e o r i e z o n d e r v i s c e u z e i n v l o e d e n i n r e k e n i n g t e b r e n g e n . V o o r o n d i e p w a t e r i s b e ^

w e z e n d a t op d e z e w i j z e b e v r e d i g e n d e r e s u l t a t e n z i j n t e b e r e i k e n v o o r a l l e b e w e g i n g e n met u i t z o n d e r i n g v a n de s l i n g e r b e w e g i n g e n . H i e r b i j b l i j k t de v i s c e u z e i n v l o e d i n de m e e s t e g e v a l l e n e e n d o m i -n a -n t e r o l t e s p e l e -n . V o o r o -n d i e p w a t e r w e r d i -n hèt a l g e m e e -n e e -n s t e r k e t o e n a m e v a n de v i s c e u z e i n v l o e d ook op de a n d e r e b e w e g i n g e n v e r w a c h t . T e v e n s l e e k h e t w a a r s c h i j n l i j k d a t t w e e - d i m e n s i o n a l e b e r e k e n i n g e n o n v o l d o e n d e z o u d e n z i j n i n v e r b a n d met de s t e r k e r v e r w a c h t e o m s t r o -m i n g b i j v o o r - en a c h t e r s c h i p d a n v o o r d i e p w a t e r . I n d a t g e v a l z o u h e t g e b r u i k v a n de s t r i p m e t h o d e n i e t g e o o r l o o f d z i j n . Door h e t h u i d i g e o n d e r z o e k i s g e t r a c h t om d o o r m e t i n g e h b e r e k e n i n g v a n de h y d r o d y n a m i s c h e m a s s a en demping meer i n z i c h t t e k r i j g e n i n de i n -v l o e d -v a n de bo-vengenoemde -v e r s c h i j n s e l e n . Om t o t e e n b e t e r i n z i c h t t e komen z i j n v o o r e e n i n z e v e n s e g m e n t e n v e r d e e l d m o d e l d e z e h y d r o d y n a m i s c h e c o ë f f i c i ë n t e n p e r s e g m e n t g e m e t e n a f h a n k e l i j k v a n w a t e r d i e p t e ! | o s c i l l a t i é f r e q ü e n t i e j / a m p l i -t u d e e n v o o r w a a r -t s e s n e l h e i d . J i . ' D e z e p r o e v e n z i j n u i t g e v o e r d i n t w e e f a s e n . De e e r s t e f a s e h a d b e -t r e k k i n g op de h o g e r e g o l f f r e q u e n -t i e s , -t e r w i j l i n de -t w e e d e f a s e o s c i l l a t i e s met l a g e r e m a n o e u v r e e r f r e q u e n t i e s w e r d e n u i t g e v o e r d * De m e e t r e s u l t a t e n t e z a m e n met de b e r e k e n i n g e n v o l g e n s dé methode v a n P r o f . K e i l z i j n i n h e t k a d e r v a n d i t p r o j e c t g e p r e s e n t e e r d i n r a p p o r t No, 546 A v a n h e t L a b o r a t o r i u m v o o r S c h e e p s h y d r o m e c h a n i c a (THD) e n i n I n t e r n a t i o n a l S h i p b u i l d i n g P r o g r e s s ( I S P , n o v e m b e r 1 9 8 2 ) , t e r w i j l d e z e r e s u l t a t e n v o o r de l a g e r e m a n o e u v r e e r f r e q u e n -t i e s z i j n w e e r g e g e v e n i n r a p p o r -t No. 562 v a n h e -t b o v e n g e n o e m d e L a b o r a t o r i u m . U i t h e t o n d e r z o e k i s g e b l e k e n d a t b e i d e genoemde v e r s c h i j n s e l e n d i e v e r w a c h t w e r d e n e e n t e v e r w a a r l o z e n i n v l o e d h e b b e n op de h y d r o -d y n a m i s c h e c o ë f f i c i ë n t e n v a n -de b e s c h o u w e n -d e b e w e g i n g e n op o n -d i e p w a t e r . H i e r u i t v o l g t d a t ' d e s t r i p m e t h o d e g e b a s e e r d op de p o t e n -t i a a l -t h e o r i e n i e -t a l l e e n v o o r d i e p w a -t e r maar ook v o o r o n d i e p w a -t e r b e v r e d i g e n d e r e s u l t a t e n k a n o p l e v e r e n met b e t r e k k i n g t o t de b e w e -g i n -g " v a n ~ s c h e p e n ~ i n ^ -g o l v e n " r

2. PROEVEN. V o o r e e n g e d e t a i i l e e r d ê b e s c h r i j v i n g v a n de p r o e f o p s t e l l i n g , de p r o e v e n e n de o n d e r z o c h t e p a r a m e t e r s , z i e de r e e d s e e r d e r v o o r d i t p r o j e c t u i t g e b r a c h t e r a p p o r t e n No. 546 A, I S P ( n o v e m b e r 1 9 8 2 ) en N ö . 562 v a n h e t L a b o r a t o r i u m v o o r S c h e e p s h y d r o m e c h a n i c a , A f d e l i n g d e r M a r i t i e m e T e c h n i e K v a n de T e c h n i s c h e H o g e s c h o o l t e D e l f t ( T H D ) . H i e r o n d e r v o l g t v o l l e d i g h e i d s h a l v e e e n k o r t e b e s c h r i j v i n g v a n de i n b o v e n g e n o e m d e r a p p o r t e n w e e r g e g e v e n e x p e r i n i e h t e n . i 2

De p r o e v e n met gedwongen o s c i l l a t i e z i j n u i t g e v o e r d met e e n m o d é l v a n de T o d d - 6 0 s e r i e z o n d e r r o e r e h v o o r t s t u w e r . De h o o f a f m e t i n g e n Lj^j^ X B X T z i j n 2,258 x 0,322 x 0.129 m met C g = 0,70,. ' H e t m o d e l i s v e r d e e l d i n zéven s e c t i e s e l k a f z o n d e r l i j k e v e r b o n d e n a a n e e n s t i j v e b a l k d o o r m i d d e l v a n e e n r e k s t r o ó k d y n a m o m e t é r . D e z e d y n a m o m e t e r s m e t e n a l l e e n v e r t i c a l e o f h o r i z o n t a l e k r a c h t e n a f h a n ^ k e l i j k v a n de b e w e g i n g . U i t h e t i n ^ f a s e en ü i t f a s e g e d e e l t e v a n deze. k r a c h t e n z i j n r e s p e c -t i e v e l i j k de -t o e g e v o e g d e m a s s a e n de demping: o f h e -t b i j b e h o r e n d e moment v o o r e l k e s e c t i e b e p a a l d . U i t g e v o e r d z i j n de v e r t i c a l e , domp-e h s t a m p b ë w domp-e g i n g domp-e n domp-e n ddomp-e h o r i z o n t a l domp-e v domp-e r z domp-e t - domp-e n g i domp-e r b domp-e w domp-e g i n g domp-e n . :Met h e t oog op de v e r g e l i j k i n g met b e r e k e n i n g e n i s h e t m o d e l v a s t

-g e h o u d e n z o d a t -g e e n t r i m o f i n z i n k i n -g t e n -g e v o l -g e v a n s n e l h e i d k o n p l a a t s v i n d e n . De e x p e r i m e n t e h b e t r e f f e n de v o l g e n d e w a t e r d i e p t e ^ d i e p g a n g v e r h o u -d i n g e n : h/T = 2,40; 1,80; 1,50; 1,20; 1,15 t w e e s n e l h e d e n , n a m e l i j k : = 0,1 en 0,2 v i j f o s c i l l a t i e f r e q u e n t i e s : (ü = 4, 6,, 8, 1 0 , 12 De l a a t s t e f r e q u e n t i e a l l e e n v o o r dé v e r t i c a l e b e w e g i n g e n t e r w i j l v o o r d e h o r i z o n t a l e b e w e g i n g e n ook u = 9 g e m e t e n i s .

M i n i m a a l d r i e a m p l i t u d e n z i j n b e s c h o u w d om de i n v l o e d v a n e v e n t u e l e n i e t - l i n e a r i t e i t e n t e k u n n e n b e p a l e n . De o s c i l l a t i e s met m a n o e u v r e e r f r e q u e n t i e s z i j n u i t g e v o e r d v o o r d e z e l f d e w a t e r d i e p t e - d i e p g a n g v e r h o u d i n g e n m a a r v o o r t w e e l a g e r e s n e l h e d e n , n a m e l i j k : F „ = 0,0675 en O,103 e n d r i e o s c i l l a t i e f r e q u e n t i e s , n a m e l i j k : tü = 0,26; 0,50; 0,75 B o v e n d i e n z i j n s t a t i s c h e d r i f t h o e k p r o e v e n u i t g e v o e r d v o o r h e t b e -r e i k -10° < e < 10° i n s t a p p e n v a n 1 g -r a a d . M e e t - e n b e r e k e n i n g s r e s u l t a t e n v a n d e z e l a n g z a m e o s c i l l a t i e s z i j n w e e r g e g e v e n i n h e t r e e d s genoemde r a p p o r t No. 5 6 2 . V e r d e r z u l l e n d e z e l a a g f r e q u e n t e o s c i l l a t i e s n i e t meer w o r d e n b e h a n d e l d i n d i t r a p p o r t . A l s de h y d r o d y n a m i s c h e coëfficiënten v a n de s e c t i e g e d e e l d w o r d e n d o o r de l e n g t e v a n de s e c t i e w o r d e n de g e m i d d e l d e h y d r o d y n a m i s c h e s e c t i e c o ë f f i c i ë n t e n g e v o n d e n . De c o ë f f i c i ë n t e n a j ^ j e n b j ^ j z i j n v o o r e l k v a n de b e s c h o u w e n d e b e w e g i n g e n b e p a a l d d o o r i n t e g r a t i e o v e r de m o d e l l e n g t e v a n de u i t de m e t i n g a f g e l e i d e r e s u l t a t e n v a n de a f z o n d e r l i j k e s e c t i e . De z é v e n g e m i d d e l d e s e c t i e w a a r d e n v a n de h y d r o d y n a m i s c h e c o ë f f i -c i ë n t e n z i j n t e z i e n i n F i g u r e n 2 en 3 v o o r h/T = 1,5 en 1,15 op b a s i s v a n w. V o o r d e z e l f d e c o n d i t i e s z i j n ook de t o t a l e m o d e l w a a r d e n w e e r g e g e v e n i n F i g u u r 4 v o o r F ^ = 0,1 e n i n F i g u r e n 5 t/m 8 v o o r F ^ = 0,2. H i e r b i j moet b e d a c h t w o r d e n d a t de h y d r o d y n a m i s c h e c o ë f f i c i ë n t e n i n F i g u r e n 7 en 8 n i e t d i r e c t b e p a a l d z i j n , maar a f g e l e i d u i t de me-t i n g e n . De r e s u l t a t e n i n bovengenoemde f i g u r e n h e b b e n b e t r e k k i n g op e e n o s -c i l l a t i e a m p l i t u d e r = 0,01 m.

3 . BEREKENINGSMODELLEN B i j h e t b é s c h r i j v e n v a n dé b e w e g i n g e n v a n e e n s c h i p v a r e n d op on-d i e p w a t e r g a a n we u i t van h e t v o l g e n on-d e a s s e n s t e l s e l :

y

r é

h :

De t o t a l e p o t e n t i a a l * ( x , y , z , , t ) moet v o l d o e n a a n L a p l a c e e n a a n e e n g e s c h i k t e s t r a l i n g s c o n d i t i e op o n e i n d i g . V o o r * ( x , y , z , t ) k a n g e s c h r e v e n w o r d e n [ s ] : i<^ t ( 1 ) * ( x , y , z , t ) = -Vx + « ( x , y , z ) + <t>. e , w a a r i n *g de s t a t i o n a i r e b e w e g i n g s p o t e n t i a a l v o o r s t e l t . V e r d e r g e l d e n de v o l g e n d e r a n d v o o r w a a r d e n : 1. H e t _ v r i 2 e _ v l o e i s t o f _ o g g e r v l a ^ §t p = 5 t ^ ^ 1 ^ * 1 ' + g ^ } = O op z = ? ( x , y , t ) w a a r i n de materiële a f g e l e i d e e n ? ( x . > y , t ) h e t g o l f o p p e r v l a k i s . H e t g e e n o p l e v e r t : ( 3 ) + 2V* . V* + ijV^^ . V(V4^.V$^) + g$ = O 3 t op z = C ( x , y , t ) d i t i s e e n n i e t - l i n e a i r e r a n d v o o r w a a r d e . . 2. S c h e e g s g e e e r v l a k ( 4 ) ( V g - v ) . n = O op h e t s c h e e p s o p p e r v l a k E r i s g e e n t r a n s p o r t v a n v l o e i s t o f d o o r de s c h e e p s h u i d . V i s de s c h e e p s s n e l h e i d , v i s de w a t e r s n e l h e i d e n n i s de r i e h t -i -i -i g s n o r m a a l •

3. Z e e b o d e m ( 5 ) 3 ^ = O op z = I n d i e n u i t g e g a a n w o r d t v a n k l e i n e b e w e g i n g e n e n de g e o m e t r i e v a n de s c h e e p s h u i d z o d a n i g i s d a t h e t a a n d e e l v a n i n de p o t e n t i a a l ï k l e i n v e r o n d e r s t e l d w o r d t , dan i s h e t m o g e l i j k om de r a n d v o o r w a a r -den t e l i n e a r i s e r e n [ s ] . De o s c i l l e r e n d e p o t e n t i a a l k a n dan g e s c h r e v e n w o r d e n a l s : 6 ( 6 ) 4" = I '1^'1>- / met j de b e w e g i n g s m o d e en j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 s t a a t v o o r de b e w e g i n g e n : ( s c h r i k k e n , v e r z e t -t e n , dompe a m p l i t u d e , t e n , dompen, s l i n g e r e n , s t a m p e n en g i e r e n e n Tij i s de b e w e g i n g s -Op h e t v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k g e l d t nu: ( 7 ) - 2 V $ ^ ^ + V ^ t ^ ^ + g $ ^ = O op z = O o f ook: ( 8 ) { ( i < ^ g - V + g | _ } 4 , = o o p z = 0 Aannemende d a t de o n t m o e t i n g s f r e q u e n t i e , w , h o o g i s t e n o p z i c h t e 3 . e v a n V -g^ k u n n e n we d e z e v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k r a n d v o o r w a a r d e n h e r s c h r i j v e n a l s : 2 -bi ^ + g(t) = 0 op z = O D i t i s nu de g e l i n e a r i s e e r d e v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k t e c o n d i t i e v o o r s n e l h e i d n u l .

De b e w e g i n g s p o t e n t i a a l (fij moet a a n r e l a t i e f c o m p l e x e r a n d v o o r w a a r -d e n v o l -d o e n . Z o a l s e c h t e r -d o o r S a l v e s e n e t a l [ 3 ] i s a a n g e t o o n -d , i s h e t m o g e l i j k om de b e w e g i n g s p o t e n t i a l e n u i t t e d r u k k e n i n s n e l -h e i d s o n a f -h a n k e l i j k e p o t e n t i a l e n : <t>j = <l>j v o o r j = l , 2 , 3 , 4 *5 = *5 ^ T ^ *3 e rf, = rf,» _

JL-

De v e r s c h i l l e n komen met name n a a r v o r e n d a a r w a a r de b e w e g i n g s p o -t e n -t i a l e n &l-t;{ij g e l d e n d v o o r s n e l h e i d n u l b e r e k e n d w o r d e n e n de w i j z e • w a a r o p de v o o r w a a r t s e s n e l h e i d i n r e k e n i n g g e b r a c h t w o r d t . V o o r de b e r e k e n i n g v a n (j)^ v o l g d e de THD e n WL e e n t w e e - d i m e n s i o n a l e o p l o s m e t h o d i e k , h e t MARIN v o l g d e e e n 3-D b e r e k e n i n g s m e t h o d e . De b e n a d e r i n g s m e t h o d i e k z o a l s g e v o l g d d o o r THD e n WL h e e f t a l s e x t r a e i s v o o r de g e o m e t r i e y a n h e t s c h i p d a t de a f m e t i n g e n L/B *» ö ' ( e~ ^ ) m o e t e n z i j n .

3 . 1 . M e t h o d e WL e n THD U i t g a a n d e v a n e e n t w e e - d i m e n s i o n a l e b e w e g i n g s p o t e n t i a a l <)i ° k a n v o o r de h y d r o d y n a m i s c h e r e a c t i e k r a c h t F^^ met i n a c h t n e m i n g v a n ( 1 0 ) g e -s c h r e v e n w o r d e n : Fj^ = + ƒƒ +P ( i % - V

1^) ^n^

( 1 3 ) <f'J(x,y,z) = * J ( y . z ) . f ( x )

C ^ ( x ) ^ dx

met: T^^ = ƒ \ j ( x ) dL I n d i e n v o o r <t>j de v e r g e l i j k i n g ( 9 ) i n g e v u l d w o r d t : ( 1 6 ) T . ( x ) = iü) ƒ n .<t);n dC - V | - ƒ n .<t.;n dC ^ C ^ ( x ) => ^ C ^ ( x ) ^ ^ ^ j = 1 , 2, 3, 4 T,,5(x) = ia>^ ƒ n5 (*° + ï ^ , * - ) n ^ dC + - V - b ƒ n , (0.° + f ; ) a n a l o o g v o o r j = 6. jj e V o o r j = 1, 2, 3, 4 g e l d t d a t de e e r s t e t e r m i n ( 1 6 ) h e t s n e l h e i d s -o n a f h a n k e l i j k e d e e l v a n de h y d r -o d y n a m i s c h e r e a c t i e k r a c h t v -o -o r s t e l t e n d a t h e t t w e e d e d e e l de s h e l h e i d s a f h a n k e l i j k h e i d w e e r g e e f t . B i j de b e r e k e n i n g y a n <j>j v o l g t de THD de methode v a n K e i l ; d e z e m a a k t g e b r u i k v a n L e w i s t r a n s f o r m a t i e s , de methode v a n h e t WL g a a t u i t v a n e e n t w e e - d i m e n s i o n a l e b r o n b e l e g g i n g s r a e t h o d e . U i t w e r k i n g e n v a n d e z e methoden z i j n t e v i n d e n i n de A p p e n d i x A e n A p p e n d i x B. Twee v e r s i e s v a n de s t r i p t h e o r i e k u n n e n w o r d e n g e b r u i k t : - V e r s i e 1 l e i d t t o t de gewone methode v a n de s t r i p t h e o r i e w a a r b i j e n k e l e v a n de s y m m e t r i e r e l a t i e s o n t b r e k e n i n de k o p p e l c o ë f f i -c i ë n t e n v o o r de d e m p i n g . - V e r s i e 2 b e z i t e x t r a t e r m e n w a a r d o o r de s y m m e t r i e r e l a t i e s w e l o p g a a n ; [ l ] e n [ 2 ] . A l s r e s u l t a a t v o o r de t o e g e v o e g d e m a s s a ' s en d e m p i n g e n p e r s e c t i e g e l d t nu:

Dompen; I _ _ O ( 1 7 a ) '33 ^ 3 3 ^35 ^ 3 5 ^ i 3 M 2 , "^33 dx b " - V ^ a° 33 dx 33 = - a ° 3 X - [ 2 ] b 2 "33 X -X_ d _ O L e d - b - 3 X + 2 V a°3 + X V ^ a»3 + dx + ^ ^ a» 2 , ^33 v 2 d (Ji) dx e _ 2 ^ " 3 3 (ü dx L e S t a m p e n ; ^55 ^ 5 5 ( 1 7 b ) +a» x^ + 2 b ' X - ^ X ^ a ° + •^^ bi •^•^ lü dx •^•^ e _, e bi ^ X^ ^ b ° 2 33 = - ^ 3 5 ^ = b°.,x - 2 y X a ° ^ - V X 2 d '33 ^ 3 5 ^ 33 dx '33 V d . O 2 ^ r 33 (o_ dx '53 -X a 33 ü) ^ dx -^-^ e = -x a ₃₃ '53 ^33-^ ^ ^ ^33 = •X b ' 3 V e r z e t t e n ; '22 ( 1 7 c ) ^ 2 2 '26 ^ 2 6 ^22 V d 2 , " 2 2 0) dx e ^22 ^ dx ^ 2 2 = -X a ₂₂ - [ 2 ] - ^ b 0) 2 "22 2 ^^22 -X b ° 2 + 2 V a » 2 + X V ^ a-2 + , d 2 ^22 ii) " dx e -V^ d , O

G i e r e n ; ( 1 7 d ) ^ 6 6 ^ 6 6 '62 '62 a ^ ^ x ^ + 2 X + '22' 2 "22 x^ ^ ^ b ° ^ 2 ^ ° 2 2 ü) dx e = X a ₂₆ 2 „ d = b° x " - 2 X V a° - x ' V ^ a° - X '22 ^ ^ 2 6 - ^ 2 2 ^ '22 dx 22 ^ 2 ^ ^22 ü) dx e d - O ~ 2 ~ ^ 2 2 (jü dx e X ^ b ° , 2 ^ . 22 = X a 22 - ^ 2 2 ^ ^ ^ d ï ^ 2 2 = ^ ^ 2 2 V e r s i e 1 = G o ë f f i c i ë n t e n z o n d e r t e r m e n t u s s e n de v i e r k a n t e , "haken. V e r s i e 2 = c o ë f f i c i ë n t e n i n c l u s i e f de t e r m e n t u s s e n v i e r k a n t e h a k e n . De t o e g e v o e g d e m a s s a en de demping v o o r h e t s c h i p v o l g t u i t i n t e -g r a t i e v a n de c o ë f f i c i ë n t e n u i t ( 1 7 ) o v e r de l e n -g t e . De b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g v o o r h e t s c h i p v o l g t u i t N e w t o h : dMV d t ' — e x c i t a t i e — r e a c t i e w a a r u i t d a n v o l g t : ( 1 8 ) M de m a s s a m a t r i x e n C de h y d r o s t a t i s c h e r e a c t i e m a t r i x i s . V o o r Mg g e l d t : (M + M^)x + Bx + Cx = F w a a r i h : Ma = ^22 0 0 ^ 2 6 G ^33 ^35 0 0 _{^ 5 3} 0 ^62 0 0 ^ 6 6

e n : "^21 0 0 b 0 ^33 ^ 3 5 0 0 ^53 ^ 5 5 0 ^62 0 0 b 66 V o o r h e t i n H o o f d s t u k 2 genoemde T o d d 6 0 m o d e l z i j n ook dé h y d r o -d y n a m i s c h e c o ë f f i c i ë n t e n b e r e k e n -d en v e r g e l e k e n met -de m e t i n g e n . De s e c t i e w a a r d e n en de w a a r d e n v o o r h e t g é h e l e model v a n de h y d r o d y n a m i s c h e c o ë f f i c i ë n t e n z i j n v o o r v e r s i e 1 W e e r g e g e v e n i n de F i -g u r e n 2 t/m 8 met b e t r e k k i n -g t o t t w e e w a t e r d i e p t e n ( h / T = 1,5 e n 1 , 1 5 ) e n v i j f f r e q u e n t i e s (w = 4, 6, 8, 10 e n 1 2 ) en dé a a h g e g v e h s n e l h e d e n . V o o r s n e l h e i d n u l z i j n de t o e g e v o e g d e m a s s a e n d e m p i n g Voor dompen en v e r z e t t e n w e e r g e g e v e n i n de T a b e l l e n 1 en 2 e v e n a l s de b i j b e -h o r e n d e k o p p e l c o ë f f i c i ë n t e n v o o r d e z e b e w e g i n g e n .

5 j L 2 i _ M e t h g d e _ M A R I N I n d i e n u i t g e g a a n w o r d t v a n de d r i e - d i m e n s i o n a l e b e w e g i n g s p o t e n t i a a l ijij k a n e r g e s c h r e v e n w o r d e n ( z i e ( 1 2 ) ) : ( 1 9 ) 3 V o o r "tj k a n de s n e l h e i d i n x r i c h t i n g g e l e z e n w o r d e n , d e z e s n e l -h e i d i n x - r i c -h t i n g w o r d t i n -h e t MARIN programma d i r e c t b e p a a l d , z o d a t t e n g e v o l g e v a n e e n h e i d s o s c i l l a t i e b e w e g i n g e n l o k a a l de x s n e l -h e d e n op -h e t o p p e r v l a k v a n -h e t s c -h i p b e k e n d z i j n . Na i n t e g r a t i e o v e r h e t o p p e r v l a k v a n <t>jnj^ e n ^ j\, "^kj b e k e n d . H e t b e p a l e n v a n de i n f a s e r e s p e c t i e v e l i j k u i t f a s e c o m p o n e n t e n v a n T j ^ j l e v e r e n d e t o e g e v o e g d e m a s s a r e s p e c t i e v e l i j k d e m p i n g : 2 - l i ) ^ a ^ . = reëel d e e l T^^.j + 1 Ü ) _{g b ^ j = i m a g i n a i r d e e l T^^j} De b e r e k e n i n g v a n de b e w e g i n g s p o t e n t i a a l (j)^ g e s c h i e d t met e e n d r i e -d i m e n s i o n a l e b r o n b e l e g g i n g s m e t h o -d e , v o o r -de b e s c h r i j v i n g z i e Appen-d i x C . Ook v o o r d e z e methode z i j n de a f g e l e i d e s e c t i e w a a r d e n e n d e w a a r d e n v a n de h y d r o d y n a m i s c h e c o ë f f i c i ë n t e n v o o r h e t g e h e l e m o d e l w e e r g e -g e v e n i h d e F i -g u r e n 2 t/m 8 met b e t r e k k i n -g t o t t w e e w a t e r d i e p t e n ( h / T = 1,5 e n 1 , 1 5 ) en v i e r f r e q u e n t i e s ((u^ = 4, 6., 8 e n 1 0 ) e n d e a a n g e g e v e n s n e l h e d e n . V o o r s n e l h e i d n u l z i j n d e z e l f d e c o ë f f i c i ë n t e n w e e r g e g e v e n i n d e T a b e l l e n 1 e n 2 a l s a a n g e d u i d i n H o o f d s t u k 3.1.

4. V E R G E L I J K I N G RESULTATEN

1. V o o r de l i n e a i r e b e w e g i n g e n , v e r z e t t e n e n dompen, b l i j i k e n i n h e t a l g e m e e n de g e m e t e n e n b e r e k e n d e w a a r d e n v a n de h y d r o d y n a m i s c h e c o ë f f i c i ë n t e n goed o v e r e e n t e komen, met u i t z o n d e r i n g v a n t w e e g e v a l l e n . H e t e e r s t e g e v a l b e t r e f t de t o e g e v o e g d e m a s s a op o n d i e p w a t e r . B i j de v e r d e l i n g b l i j k e n u i t F i g u r e n 2 e n 6 v o o r de l a g e f r e -q u e n t i e s de b e r e k e n i n g e n v a h MARIN n o g a l a f t e w i j k e n . De t w e e d e u i t z o n d e r i n g b e t r e f t d e d e m p i n g s c o ë f f i c i ë n t v o o r h e t v e r z e t t e n . U i t F i g u u r 5 b l i j k t d a t v o o r F^^ = 0,2 de g e m e t e n w a a r d e n 20 t o t 3.0% l a g e r z i j n d a n a l l e b e r e k e n d e r e s u l t a t e n . H i e r u i t v o l g t ook ( z i e F i g u u r 8 ) d a t v o o r h e t g i e r e h de g e m e t e n d e m p i n g s c o ë f f i c i ë n t e n l a g e r z i j n d a n de b e r e k e n d e w a a r d e n . Op^ m e r k e l i j k i s d a t d e b e r e k e n d e r e s u l t a t e n v o l g e n s MARIN n o g a l a f -w i j k e n v a n de béide a n d e r e b e r e k e n i n g e n e n g u n s t i g e r l i g g e n t e n o p z i c h t e v a n de m e e t r e s u l t a t e n . D e z e l f d e t e n d e n z e n k u n n e n i n m i n d e r e mate ook g e c o n s t a t e e r d w o r d e n v o o r de d e m p i n g s c o ë f f i c i ë n t v a n de s t a m p b e w e g i n g , z i e F i g u u r 7. 2. B i j de m a s s a k o p p e l c o ë f f i c i ë n t e n b l i j k t e r v o o r a l v o o r de h o r i -z o n t a l e b e w e g i n g e n g o e d e o v e r e e n s t e m m i h g t e b e s t a a n t u s s e n d e g e m e t e n e h b e r e k e n d e w a a r d e n . 3. De k o p p e l c o ë f f i c i ë n t e n vooir de d e m p i n g t o n e n met b e t r e k k i n g t o t de v e r t i c a l e b e w e g i n g g o e d e o v e r e e n k o m s t t u s s e n g e m e t e n e n b e r e -k e n d e w a a r d e n . V o o r de h o r i z o n t a l e bewegihgen., e c h t e r , b l i j k e n de a f w i j k i n g e n t u s s e n de b e r e k e n d e w a a r d e n o n d e r l i n g e n de g e m e t e n w a a r d e n zéér g r o o t t e z i j n . D a t v e r s c h i j n s e l i s ook t e z i e n a a n de v e r d e l i h g v a n d e z e c o ë f -ficiënt o v e r d e raodellengte, z i e F i g u u r 2. U i t d e z e f i g u u r i s d u i d e l i j k d a t de g e m e t e n w a a r d a i v o o r b i j v o o r b e e l d b 2 g i n h e t a c h t e r s c h i p v e e l l a g e r t e z i j n d a n de b e r e k e n d e r e s u l t a t e n , v o o r a l ^ V ö ö r ^ h y T - ^ l V l ' S T

4. De v e r s c h i l l e n t u s s e n de b e r e k e n d e r e s u l t a t e n v o o r de k o p p e l -c o ë f f i -c i ë n t e n b 3 5 , 3 3 5 en bgg v o o r h/T - 1,15 e n 1,5,0 z i j n h o o f d z a k e l i j k t e r u g t e v o e r e n t o t d e z e l f d e v e r s c h i l l e n , g e v o n d e n b i j b e r e k e n i n g e n v o o r s n e l h e i d nul,, z i e T a b e l l e n 1 e n 2. 5. A a n g e z i e n de o p l o s m e t h o d e n v a n MARIN en WL g e b a s e e r d z i j n op e e n b r o n - p u t t e n v e r d e l i n g , i s h e t f r e q u e n t i e b e r e i k v a n d e z e metho-d i e k e n v o o r metho-d i t s c h i p b e p e r k t t o t u = 10 r a metho-d / s , metho-d i t t e n g e v o l g e v a n n u m e r i e k e i n s t a b i l i t e i t e n , d i e i n h e r e n t z i j n a a n d e z e o p l o s -m e t h o d e n .

5. C O N C L U S I E S EN AANBEVELINGEN U i t h e t g e p r e s e n t e e r d e o n d e r z o e k z i j n de v o l g e n d e c o n c l u s i e s e n a a n b e v e l i n g e n a f t e l e i d e n : 1. De o n d e r l i n g e v e r s c h i l l e n t u s s e n de r e s u l t a t e n v a n de d r i e g e -p r e s e n t e e r d e b e r e k e n i n g s m e t h o d e n z i j n o v e r h e t a l g e m e e n k l é i n met a l l e e n d u i d e l i j k e v e r s c h i l l e n t u s s e n de r e s u l t a t e n v a n MARIN e h d i e v a n THD/WL: a . v o o r de v e r d e l i n g v a n dé m a s s a b i j l a g e f r e q u e n t i e s i n h e t g e v a l v a n h o r i z o n t a l e b e w e g i n g e n , b. v o o r de t o t a l e w a a r d e n b i j de t o e g e v o e g d e m a s s a i n h e t g e v a l v a n domp.eh op o n d i e p w a t e r , en v r i j g r o t e o h d e r l i n g e v e r s c h i l l e n b i j dë d e m p i h g s c o ë f f i c i ë n t e n v a n de g i e r b e w e g i n g en de d a a r b i j b e h o r e n d e k o p p e l c o ë f f i -ciëhten, d i e t e r u g t e v o e r e n z i j n n a a r v e r s c h i l l e n g e v o n d e n v o o r b e r e k e n i n g e n b i j s n e l h e i d h u l . 2. De v e r s c h i l l e n t u s s e n m e t i n g e n b e r e k e n i n g e n z i j n v o o r a l v a n b e l a n g v o o r de h o r i z o n t a l e b e w e g i n g e n b i j de d e m p i n g en de d a a r -b i j -b e h o r e n d e koppelcoëfficiënten., w a a r -b i j de -b e r e k e n i h g e n t e h o g e w a a r d e n a a n g e v e n . 3. De r e s u l t a t e n v a n d e z e g e d e t a i l l e e r d e v e r g e l i j k i n g v a n b e r e k e n d e w a a r d e n o n d e r l i n g en met de g e m e t e n w a a r d e n v a n t o e g e v o e g d e m a s s a en d e m p i n g g e v e n a a n , d a t h e t g é b r u i k v a n de p o t e n t i a a l t h e o r i e om met t w e e o f d r i e ^ d i m e n s i o n a l e m e t h o d e n d e z e c o ë f -ficiënten t e b e p a l e n , van b e l a n g k a n z i j n v o o r de b e r e k e n i n g v a n de r e s p o n s i e v a n e e n s c h i p op g o l v e n i n o n d i e p w a t e r , i n h e t b i j i z o n d e r v o o r t e c h n i s c h e t o e p a s s i n g e n . 4. A l s v e r v o l g op d i t o n d e r z o e k k a n v e r i f i c a t i e v a n de b e r e k e n i n g s -m e t h o d e n -met b e h u l p v a n -m e t i n g e n t e r b e p a l i n g v a n g o l f k r a c h t e n en r e s p o n s i e s v a n e e n s c h i p op o n d i e p w a t e r b e l a n g r i j k z i j n om d e _ b r J a i k b a . a r : h e . i d _ v a n _ d e z : e _ b e r . e k e n i n g s m e t h o d i e k e n _ . t e _ t o e t s . e n . .

5, U i t de o n d e r l i n g e v e r g e l i j k i n g v a n de b e r e k e n d e h y d r o d y n a m i s c h e c o ë f f i c i ë n t e n k a n , v o o r de i n d e z e s t u d i e b e s c h o u w d e s c h e e p s vorm, g e e n d u i d e l i j k e v o o r k e u r v o o r e e n d e r d r i e p r o g r a m m a ' s g e -c o n -c l u d e e r d w o r d e n . B i j e e n a f w e g i n g v o o r de b e r e k e h i h g v a n de h y d r o d y n a m i s c h e c o ë f -f i c i ë n t e n d i e n t t e v e n s de b e n o d i g d e r e k e n t i j d b e t r o k k e n t e w o r d e n . B i j h e t K e i l - p r o g r a m m a v a n de THD i s d e z e t e n g e v o l g e v a n de t o e p a s s i n g v a n de v e e l p o o i b e n a d e r i n g s m e t h o d e a a n z i e n l i j k l a g e r d a n v o o r de p r o g r a m m a ' s v a n h e t WL en h e t MARIN, w e l k e ge-^ b a s e e r d z i j n op b r o n b e l e g g i n g s m é t h o d i e k e n . V a n d e z e l a a t s t e twee v e r g t de t w e e r d i m e n s i o n a l e m e t h o d i e k g e -c o m b i n e e r d met s t r i p t h e o r i e (WL) w e e r m i n d e r r e k e n t i j d d a n de v o l l e d i g d r i e - d i m ê h s i o n a l e b r o n b e l e g g i n g s m e t h o d e ( M A R I N ) .

R E F E R E N T I E S l ] : G e r r i t s m a , J . , B e u k e l m a n , W. en G l a n s d o r p , C.C. 2 ] : B e u k e l m a n > W. en G e r r i t s m a , J . . 3 ] : S a l v e s e n , N. e t a l 4 ] : V u g t s , J . [ 5 ] : I n g l i s , R.B. [ e ] : V . O o r t m e r s s e n , G, [ 7 ] : S e m j e n o v T j a n -S c h a n s k i , B l a g o v e h c h e n s k y , W.W.S.N. en T h e e f f e c t o f beam on t h e h y d r o d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s o f s h i p h u l l s , 1 0 t h O f f i c e o f N a v a l R e s e a r c h , Symposium, B o s t o n , U.S.A., 1 9 7 4 . De v e r d e l i n g v a n de h y d r o d y n a m i s c h e m a s s a en d e m p i n g o v e r e e n i n o n d i e p w a t e r o s c i l l e r e n d e s c h e e p s m o d e l , R a p p o r t No. 546 A, L a b o r a t o r i u m v o o r S c h e e p s h y d r o m e c h a n i c a , A f d e l i n g d e r M a r i t i e m e T e c h n i e k , T e c n i s c h e Hoges c h o o l D e l f t , I n t e r n a t i o n a l S h i p b u i l d -i n g P r o g r e s s , V o l u m e 29, No, 339, November 1 9 8 2 . S h i p m o t i o n s and s e a l o a d s . T r a n s . SNAME, V o l . 78, 1 9 7 0 , p 2 5 0 - 2 8 7 . T h e h y d r o d y n a m i c f o r c e s a n d s h i p m o t i o n s i n o b l i q u e w a v e s , TNO r e p o r t 150 S, 1 9 7 1 . A t h r e e - d i m e n s i o n a l a n a l y s i s o f t h e m o t i o n o f a r i g i d s h i p i n w a v e s , PHD t h e s i s 1980, U n i v e r s i t y C o l l e g e . , L o n d o n . T h e m o t i o n s o f s h i p s i n s h a l l o w w a t e r . O c e a n E n g i n e e r i n g > V o l . 3, 1976, p 2 2 1 - 2 5 5 . M o t i o n s o f s h i p s , L e n i n g r a d , 1 9 6 9 .

APPENDIX A thode_WLir t w e e - d i m e n s i o n a l e _ b r o n b e l e 2 2 i n 2 s m e t h o d e De t o e g e v o e g d e m a s s a ' s en d e m p i n g e n w o r d e n b e r e k e n d u i t de p o t e n -t i a a l 41 j , w e l k e g e r e l a t e e r d l s a a n de g o l v e n d i e w o r d e n o p g e w e k t d o o r e e n o s c i l l e r e n d v o o r w e r p . V o o r e e n s i t u a t i e a l s i n F i g u u r 1 moet ifr^ v o l d o e n a a n : 3 x ' 3 y 2 ) r. = O , o v e r a l l n de v l o e i s t o f op zeebodem 36° I 3n = f ( s ) , g 3(|.° =1 ü)^ 3 z op s c h i p op h e t v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k s t r a l i n g s c o n d i t i e v o o r 4 ) ^ op o n e i n d i g . De w a a r d e f ( s ) w o r d t g e v o n d e n u i t de v e r p l a a t s i n g A f ( s ) s i n u t v a n e e n p u n t s op h e t o p p e r v l a k v a n h e t s c h i p i n de r i c h t i n g v a n d e n o r m a a l b i j e e n s i n u s v o r m i g e b e w e g i n g v a n h e t s c h i p v a n A s i n u t . De g e g e n e r a l i s e e r d e r a n d v o o r w a a r d e v o o r a c h t e r e e n v o l g e n s v e r z e t t e n e n dompen i s d u s : 34.» 3n " j j = 2, 3

H i e r i n i s ifrj de p o t e n t i a a l geïnduceerd d o o r de j® mode v a n b e w e g i n g e n n ^ i s de g e g e n e r a l i s e e r d e r i c h t i h g s n o r m a a l .

V o o r de o p l o s s i n g v a n de s t e l s e l s v e r g e l i j k i n g e n w o r d t e e n b r o n b e -l e g g i n g s t e e h n i e k t o e g e p a s t . D i t h o u d t i n d a t dè r a n d v a n h e t s c h i p w o r d t v e r d e e l d i n e e n a a n t a l r e c h t e l i j n s e g m e n t e n , w a a r b i j i e d e r s e g m e n t e e n b e p a a l d e b r o n s t e r k -t e h e e f -t , me-t P i n h e -t m i d d e n v a n h e -t l i j n s e g m e n -t . De s n e l h e i d s p o t e n t i a a l ij)^ w o r d t dan g e d e f i n i e e r d a l s : <ti^(x) = ƒ y .(£) v ( £ , x ) dS_ , X i n v l o e i s t o f w a a r i n : P j C ^ ) = c o m p l e x e b r o n s t e r k t e v e r d e l i n g i n £ € S t e n g e -v o l g e -v a n b e w e g i n g i n j® mode -v a n h e t s c h i p • v(_£ , x ) = f u n c t i e d i e de i n v l o e d b e s c h r i j f t v a n de b r o n -s t e r k t e v e r d e l i n g v o o r £ S £ , X : l o k a t i e v e c t o r e n . De f u n c t i e v ( £ , x ) i s z o d a n i g g e k o z e n d a t a a n de r a n d v o o r w a a r -d e n op -de z e e b o -d e m en op h e t v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k en a a n -de s t r a l i n g s c o n d i t i e op o n e i n d i g v o l d o e t . De b r o n s t e r k t e i j(c) moet z o d a n i g w o r d e n b e p a a l d d a t ook a a n de r a n d v o o r w a a r d e n op h e t s c h i p w o r d t v o l d a a n . De f u n c t i e v U # x ) '^^^ g e v o n d e n w o r d e n b i j W e h a u s e n Sc L a i t o n e [ 2 j . D o o r d e z e r a n d e n i n e l e m e n t e n ( l i j n s t u k k e n ) t e v e r d e l e n en t e v e r -o n d e r s t e l l e n d a t de b r -o n s t e r k t e p e r l i j n s t u k c -o n s t a n t i s , -o n t s t a a t e e n s t e l s e l c o m p l e x e l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g e n met de b r o n s t e r k t e n a l s o n b e k e n d e n ( z i e H a r t e n en E n f r o n y [ l ] ) . D e z e w o r d e n u i t d i t s t e l s e l o p g e l o s t d o o r e e n L U - d e c o m p o s i t i e op de c o ë f f i c i ë n t e n m a t r i x t o e t e p a s s e n .

L l t e r a t u u r l ] : H a r t e n , A. en P a r t i t i o n t e c h n i q u e f o r t h e s o l u t i o n E n f r o n y , S. o f p o t e n t i a l f l o w p r o b l e m s b y i n t e g r a l e q u a t i o n s , J . Compt. P h y s . , 27, 1 9 7 8 , p 7 1 - 8 7 . [ 2 ] : W e h a u s e n Sc L a i t o n e H a n d b u c h d e r P h y s i k , D e e l I X .

A P P E N D Ï X B M e b h o d e _ T H _ D e l f t M e t h o d e K e i l ; t w e e - d i m e n s i o n a l e v e e l p o o l b e n a d e r i n g s m e t h o d e I n h e t h i e r n a v o l g e n d e w o r d t e e n k o r t e b e s c h r i j v i n g g e g e v e n v a n de m e t h o d e a l s o p g e s t e l d d o o r K e i l [ l ] om de t o e g e v o e g d e m a s s a e n d e m p i n g v a n e e n t w e e - d i m e n s i o n a l e s e c t i e t e b e r e k e n e n , z i e ook [ 2 ] . A l s v o o r b e e l d w o r d t h i e r b i j u i t g e g a a n v a n de h o r i z o n t a l e asymme-t r i s c h e b e w e g i n g e n v e r z e asymme-t asymme-t e n en g i e r e n . V o o r s y m m e asymme-t r i s c h e beweg i n beweg e n a l s s t a m p e n e n dompen beweg e l d t i n p r i n c i p e e e n z e l f d e s o o r t a f -l e i d i n g . U i t g a n g s p u n t h i e r b i j i s de p o t e n t i a a -l t h e o r i e d i e a a n e e n a a n t a l r a n d v o o r w a a r d e n moet y o l d o e n . De s n e l h e i d s p o t e n t i a a l , d i e de t o e s t a n d b e s c h r i j f t a l s g e v o l g v a n de a a n w e z i g h e i d v a n e e n b e w e g e n d l i c h a a m i n g o l v e n w o r d t i n d r i e d e l e n g e s p l i t s t : 4 = 4 + + 4 w d r de g o l f p o t e n t i a a l de d i f f r a c t i e p o t e n t i a a l de s t r a l i n g s p o t e n t i a a l . De g o l f p o t e n t i a a l i s de p o t e n t i a a l v a n de o n g e s t o o r d e g o l f , de d i f -f r a c t i e p o t e n t i a a l g e e -f t de v e r s t o r i n g v a n de g o l -f p o t e n t i a a l d o o r de a a n w e z i g h e i d v a n h e t s c h i p . Met b e h u l p v a n d e z e t w e e p o t e n t i a l e n w o r d e n d e e x c i t a t i e k r a c h t e n e n -momenten b e r e k e n d , w a a r b i j h e t s c h i p i n de b e s c h o u w d e c o n d i t i e w o r d t v a s t g e h o u d e n . ^ -De s t r a l i n g s p o t e n t i a a l o n t s t a a t d o o r d a t h e t s c h i p b e w e e g t . V o o r de b e r e k e n i n g v a n d e z e p o t e n t i a a l w o r d t v e r o n d e r s t e l d d a t h e t s c h i p g e o s c i l l e e r d w o r d t met e e n f r e q u e n t i e g e l i j k a a n de o n t m o e t i n g s f r e -q ü e n t i e met de g o l f . w a a r b i j : *w = *d = * r =

De k r a c h t n o d i g v o o r d e z e o s c i l l a t i e s w o r d t g e s p l i t s t i n t w e e d e l e n . H e t i n f a s e g e d e e l t e g e e f t de t o e g e v o e g d e m a s s a en h e t 90 g r a d e n u i t f a s e g e d e e l t e g e e f t de d e m p i h g s k r a c h t . B e r e k e n i n g v a n de t o e g e v o e g d e m a s s a eii d e m p i n g V o o r de b e r e k e n i n g v a n d e t o e g e v o e g d e m a s s a e h d e m p i h g w o r d t de s t r a l i n g s p o t e n t i a a l b e p a a l d . D e z e p o t e n t i a a l o n t s t a a t d o o r de o s c i l l e r e n d e b e w e g i n g v a n h e t s c h i p . V o o r h e t v e r z e t t e n w o r d t h e t s c h i p i n de y - r i c h t i n g g e o s c i l l e e r d . Om de s t r o m i n g t e b e s c h r i j v e n w o r d t h e t l i c h a a m v e r v a n g e n d o o r d r u k f l u c t u a t i e s i n de w a t e r l i j n i h e e n s m a l l e s t r o o k om h e t m i d d e n . A a n g e z i e n de b e w e g i n g e n a s y m m e t r i s c h z i j n , i s de s t r o m i n g om h e t l i c h a a m ook a s y m m e t r i s c h e v e n a l s v o o r de v e r o n d e r s t e l d e d r u k f l u c t u a t i e s . V o o r de b e r e k e n i n g v a n de coëfficiënten v a n de s t r i p t h e o r i e v è r g e -l i j k i n g e n i s e e n t w e e - ^ d i m e n s i o n a -l e b e s c h o u w i n g v o -l d o e n d e . D a t w i -l z e g g e n d a t a a n g e n o m e n w o r d t d a t e r a l l e e n nog g o l v e n i n de y - r i c h t i n g w o r d e n u i t g e z o n d e n . De p o t e n t i a a l w o r d t d a n : A = f » i « ^ t , r k c o s h i k ( z - h ) [ s i n k y , o r ^ O V c o s h ( k h ) - k s i n h ( k h ) w a a r i n : A Q = s t e r k t e v a n de d r u k f l u c t u a t i e t . p . y . x k = g o l f g e t a l i n y - r i c h t i h g (= 2m/\) h = w a t e r d i e p t e V - f r e q u e n t i e g e t a l ( = u / g ) . D e z e p o t e n t i a l e n z i j n z o d a n i g o p g e s t e l d d a t v o l d a a n w o r d t a a n de r a n d v o o r w a a r d e n a a n h e t o p p e r v l a k , de bodem e n a a n de c o n t i n u ï -t e i -t s v o o r w a a r d e n . . H e -t v e r s c h i l me-t de d i e p w a -t e r p o -t e n -t i a l e n i s d a -t d e z e p o t e n t i a a l v o l d o e t a a n de b o d e m v d o r w a a r d e . De d i e p w a t e r p o t e n -t i a a l k a n w o r d e n a f g e s p l i -t s -t z o d a -t de p o -t e n -t i a a l a l s y o l g -t w o r d -t s a m e n g e s t e l d :

4 = 4 + 4 o r o r " o , r a d Met i n a c h t n e m i n g v a n de s t r a l i n g s v o o r v / a a r d e k a n h e t i m a g i n a i r e d e e l v a n de p o t e n t i a a l w o r d e n g e v o n d e n : • ^ c o s h (v h ) c o s h {v ( z - h ) } s i n v y — Q A TT V ^ ~ Q o j O O v ^ h + s i n h (^Q^) c o s h ( v ^ h ) H i e r b i j i s = h e t g o l f g e t a l d a t h o o r t b i j de d o o r de o s c i l -l a t i e o p g e w e k t e g o -l v e n en d a t v o -l d o e t a a n de r a n d v o o r w a a r d e n v o o r h e t o p p e r v l a k . V o o r g e l d t : V c o s h ( v ^ h ) - s i n h ( v ^ h ) = 0 De t o t nu t o e g e v o n d e n o p l o s s i n g v a n de p o t e n t i a a l , 4^^. + *Qj» v o l d o e t a a n a l l e r a n d v o o r w a a r d e n , b e h a l v e a a n d i e op de r a n d v a n h e t l i c h a a m . E r w o r d e n nu nog v e e l p o o l p o t e n t i a l e n t o e g e v o e g d g e b a s e e r d op druk-f l u c t u a t i e s s y m m e t r i s c h ora de o o r s p r o n g . Ook d e z e p o t e n t i a l e n m o e t e n a a n a l l e r a n d v o o r w a a r d e n v o l d o e n . De v e e l p o o l p o t e n t i a l e n w o r d e n n u : *nr« = - « ^ " ^ ('^+^> (^V) " O 4„ = - e ^ " t A„

r

4 = A ( 4 ) ' +({)' + i d ) ' , ) + r a d 00 + I A (4) ' + (j)' + i è ' . ) n = l " " r a d w a a r b i j de c o ë f f i c i ë n t e n a l s o n b e k e n d e n o v e r b l i j v e n , d i e t e b e -p a l e n z i j n u i t de r a n d v o o r w a a r d e n v o o r de c o n t o u r . H i e r b i j w o r d t g e b r u i k g e m a a k t v a n de s t r o o m f u n c t i e a f g e l e i d u i t de p o t e n t i a a l mét : dy De s t r o o m f u n c t i e op de r a n d k a n b e r e k e n d w o r d e n met a l s o n b e k e n d e de A j ^ ' s . D o o r d e z e o p l o s s i n g g e l i j k t e s t e l l e n a a n d e s t r o o m f u n c t i e z o a l s d i e v o l g t u i t de r a n d v o o r w a a r d e k u n n e n de c o ë f f i c i ë n t e n w o r d e n b e r e k e n d . A l s l i c h a a m w o r d t e e n c i l i n d e r g e k o z e n d i e itiet e e n L e w i s t r a n s f o r -m a t i e p r o c e d u r e o-m t e vor-men i s n a a r e e n s c h e e p s v o r -m . Op d e z e m a n i e r i s de p o t e n t i a a l f u n c t i e v o o r de o s c i l l e r e n d e c i l i n d e r b e -p a a l d e n h i e r u i t k a n de v o o r de o s c i l l a t i e b e n o d i g d e k r a c h t w o r d e n b e r e k e n d . V o o r de b e r e k e n i n g v a n de p o t e n t i a l e n w o r d e n r e e k s e n o n t -w i k k e l d a l s a a n g e g e v e n i n | l ] .

L i t e r a t u u r [ l ] : K e i l . H. D i e h y d r o d y n a m i s c h e K r S f t e b e i d e r p e r i o d i s c h e n Bewegung z w e i d i m e n -s i o n a l e r Körper a h d e r O b e r f l a c h e f l a c h e r G e w a s s e r , I n s t i t u t f u r S c h i f f b a u d e r U n i v e r s i t a t Hamburg, . B e r i c h t n r . 305, F e b r u a r 1 9 7 4 . 2 ] : V . D o o r n , J . H o r i z o n t a l e s c h e e p s b e w e g i n g e h i n o n d i e p w a t e r en de b e r e k e n i n g v a h de b e w e g i n g e n v a n e e n L N G - t a n k e r i n o n d i e p w a t e r . I n g e n i e u r s w e r k , THD, m a a r t 1 9 8 2 .

APPENDIX C B e s c h r i j v i n g 3-D d i f f r a c t i e t h e o r i e B i j de b e r e k e n i n g v a n de b e w e g i n g s p o t e n t i a a l ^° w o r d t u i t g e g a a n v a n e e n 3-D b r o n b e l e g g i n g s m e t h o d e . De p o t e n t i a a l 4)° b e s t a a t u i t : 6 "t"" = I l. i | > ^ , met j de mode v a n b e w e g i n g e n j = l 3 l i j de a m p l i t u d e v a n de b e w e g i n g . De p o t e n t i a l e n 4)j m o e t e n v o l d o e n a a n de L a p l a c e v e r g e l i j k i n g , de g e l i n e a r i s e e r d e v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k t e c o n d i t i e , e e n g e s c h i k t e s t r a l i n g s c o n d i t i e op e i n d i g e n de r a n d v o o r w a a r d e n op de bodem e n op de s c h e e p s h u i d . De p o t e n t i a a l k a n g e s c h r e v e n w o r d e n a l s e e n b r o n b e l e g g i n g [ 2 ] . op de s c h e e p s h u i d :

(*) -fr^Cx) = ƒƒ P . U ) v U , x) dS^

De o n b e k e n d e b r o n s t e r k t e u(£) moet z o d a n i g b e p a a l d w o r d e n d a t a a n de r a n d v o o r w a a r d e op de s c h e e p s h u i d v o l d a a n w o r d t . D i t l e v e r t : (**) +10)

n.(x)

u.(x) + ^ ƒƒ

.(O 1 ^

x)

«tjCx)

L i t e r a t u u r

l ] : W e h a u s e n & L a i t o n e H a n d b u c h d e r P h y s i k , D e e l I X .

[ 2 ] : V . O o r t m e r s s e n , G. _{T h e m o t i o n s o f s h i p i h s h a l l o w w a t e r .} O c e a n E n g i n e e r i n g , V o l . 3, 1 9 7 6 ,

THD WL MARIN THD WL MARIN THD WL MARIN THD WL MARIN 4 6 8 10 12 78,5 82,2 88,7 98,5 109,1 79,1 82,7 89 ,0 97,5 t 85 , 2 81,6 82 ,9 84,8 5 1 4 , 3 427,7 3 0 9 , 3 182 ,3 88,1 5 2 2 , 7 437,2 320,8 192,6 5 2 5 , 4 429,6 320 ,8 193,2 183,1 186,5 192,1 200,5 210,9 183,8 186,9 191,4 194,8 162,9 161,1 16 3,3 177,5 598,0 513,5 396,5 260,4 1 3 6 , 8 601,4 518,0 402 ,5 2 5 8 , 1 559 , 0 4 9 3 , 3 405 ,2 378,4 h/T = 1,50 h/T = 1,15 ( J L ) 1 / s ) 2 2 (Ns /m) b22 (Ns/m) (Ns^/m) b2 2 (Ns/m)

THD WL MARIN THD WL MARIN THD WL MARIN THD WL MARIN

4 6 8 10 12 6 6 , 3 36,2 18,5 9,6 7,5 66 ,6 36,1 19,2 11,1 70,1 39,0 22,0 12,5 32 3,0 412 ,9 434,1 391,5 317,2 329,9 4 1 4 , 3 4 2 8 , 7 386 ,3 321,2 396 ,1 4 1 9 , 1 388,1 4 5 , 0 22 ,3 12 ,3 8,1 7,8 43,8 22,0 13,2 9,8 4 7 , 3 26,0 15,7 10,7 4 5 3 , 5 4 7 5 , 5 455,4 400,1 303,9 465,2 4 7 9 , 8 456 ,5 405,9 445,5 4 6 9 , 1 4 5 3 , 1 407,0

h /T =1,1 5 rq ; XI MARI N +3Q, i + 31, 5 + 32, 3 +29, 2 1 h /T = 1,1 5 Ül VO CN XI MARI N -12, 7 -20, 4 -23, 7 -20, 3 h /T =1,1 5 rq ; XI W L +50, 7 +49, 1 +46, 7 + 42, 2 1 h /T = 1,1 5 Ül VO CN XI Wl i +0, 3 +0, 3 + 1, 5 +4, 6 h /T =1,1 5 rq ; XI TH D + 30, 3 +30, 2 +29, 7 +28, 3 +25, 0 1 h /T = 1,1 5 Ül VO CN XI Eh' -19, 0 -18, 8 -15, 1 -9, 6 : -3, 3 h /T =1,1 5 CN) , w , m ; (0 MARI N _{r~ O ^ cn} H ^ K ^ O iH iH iH : :l 1 1 '1 h /T = 1,1 5 CN Ul VO CN nJ MARI N -1, 0 +0, 2 +1, 5 +2, 4 h /T =1,1 5 CN) , w , m ; (0 W L +2, 2 +2, 2 +2, 2 +2, 2 h /T = 1,1 5 CN Ul VO CN nJ W L +2, 9 +3, 2 + 3, 3 +3, 4 h /T =1,1 5 CN) , w , m ; (0 TH D 0 0 O rH CN CS OM fo ro 1 I I I 1 h /T = 1,1 5 CN Ul VO CN nJ TH D +0, 7 +1, 9 +2,3 . +2, 3 +2, 0 h /T = 1,5 0 Ul in ro XI MARI N +27, 1 +27, 7 +29, 6 +29, 3 h /T = 1,5 0 Ul i Vö CM XI MARI N -8, 4 -17, 7 -28, 3 -27, 6 h /T = 1,5 0 Ul in ro XI ^ +44, 3 +43, 1 + 41, 1 +37, 6 ( h /T = 1,5 0 Ul i Vö CM XI W L -1, 3 -7, 9 -8, 2 -2, 9 h /T = 1,5 0 Ul in ro XI TH D — +26, 8 +27, 0 +26, 8 +25, 4 +21, 6 ₁ h /T = 1,5 0 Ul i Vö CM XI TH D in VO ro in ro i-t CN ">* VO iH O l CM rH i 1 1 j 1 h /T = 1,5 0 CN Ul in ro' MARI N +0, 8 +0, 5 +0, 1 -0, 2 1 h /T = 1,5 0 CM Ul H VO CN (d MARI N -2, 0 -1, 2 +0, 3 +2, 1 h /T = 1,5 0 CN Ul in ro' W L 0 0 0 0K ^ K K oo oo iH 1 - t I-H. H + + + + 1 h /T = 1,5 0 CM Ul H VO CN (d ro o^ a^ ro ^ V ^ rH 1-1 CM ro + + + + h /T = 1,5 0 CN Ul in ro' TH D •iH CN ro in o o o o o l l l l l 1 h /T = 1,5 0 CM Ul H VO CN (d -TH D VO rH t-~ ( N CTl rH O rH CM rH 1 + + + + Ul 3 \ VX) oo O CN ü) 3 / ^ iH ' S ' VO .00 O O l rH rH