Approximation and Complexity, I December 9, 2019 Each problem is worth 5 points.

Approximation and Complexity, I

December 9, 2019 Each problem is worth 5 points.

1. Let

Pb₄ = {v ∈ P₄ : v(2) = 0}.

Find coefficients aj of the polynomial v(x) =^P3_j=0a_jx^j ∈P^b₄ that best approximates the function

f (x) = x³− x²− x − 1 in the uniform norm on [−1, 1].

2. Let f ∈ C([0, 1]) and g ∈ C_2π(R) be correspondingly defined as f (x) = 4x² and g(t) = 2(1 + cos t) − sin²t.

Show that

dist(f, P₂) = dist(g, V₃).

3. For f ∈ C([0, 1]), let pn be the polynomial that best approximates f in the uniform norm on [0, 1] among all algebraic polynomials p ∈ Pn+1 satisfying

p(0) = f (0) and p(1) = f (1).

Show that

kf − p_nk ¬ 2 dist(f, P_n+1).

4. Let x_i = i/n for 0 ¬ i ¬ n. Let V_n be the linear subspace of C([0, 1]) consisting of functions that are polynomials of degree ¬ 1 on each subinterval [xi−1, xi]. Define the operator Ln : C([0, 1]) → Vn in such a way that Lnf is the element in Vn that interpolates f at the points xi; that is,

(L_nf )(x_i) = f (x_i) for 0 ¬ i ¬ n.

(a) Is L_n a projection onto V_n? (b) What is the norm of L_n?

(c) Does L_nf converge to f for all f ∈ C([0, 1])?

(d) If the answer to (c) is ‘yes’; can the convergence be arbitrarily slow?

1

Aproksymacja i złożoność, I

9 grudnia 2019 Każde zadanie warte jest 5 punktów.

1. Niech

Pb₄ = {v ∈ P₄ : v(2) = 0}.

Znajdź współczynniki aj wielomianu v(x) =^P3_j=0a_jx^j ∈P^b₄ który najlepiej aproksy- muje funkcję

f (x) = x³− x²− x − 1 w normie jednostajnej na [−1, 1].

2. Niech f ∈ C([0, 1]) i g ∈ C_2π(R) będą zdefiniowane nastepująco:

f (x) = 4x² and g(t) = 2(1 + cos t) − sin²t.

Pokaż, że

dist(f, P₂) = dist(g, V₃).

3. Dla f ∈ C([0, 1]), niech pn będzie wielomianem najlepiej aproksymującym f w nor- mie jednostajnej na [0, 1] wśród wszystkich wielomianów algebraicznych p ∈ Pn+1

spełniających

p(0) = f (0) oraz p(1) = f (1).

Wykaż, że

kf − p_nk ¬ 2 dist(f, P_n+1).

4. Niech xi = i/n gdzie 0 ¬ i ¬ n. Niech Vn będzie liniową podprzestrzenią C([0, 1]) składającą się z funkcji, które są wielomianami stopnia ¬ 1 na każdym podprze- dziale [xi−1, xi]. Zdefiniujmy operator Ln: C([0, 1]) → Vn w taki sposób, że Lnf jest elementem w Vn interpolującym f w punktach xi, tzn.,

(L_nf )(x_i) = f (x_i) gdzie 0 ¬ i ¬ n.

(a) Czy L_n jest projekcją na V_n? (b) Ile wynosi norma L_n?

(c) Czy L_nf zbiega do f dla wszystkich f ∈ C([0, 1])?

(d) Jeśli odpowiedź na pytanie (c) wynosi ‘tak’ to czy zbieżność może być dowolnie wolna?