Druga zasada dynamiki Newtona

(1)

1

Mechanika ogólna

Wykład nr 8

Podstawy dynamiki

Dynamika

n Dział mechaniki zajmujący się badaniem związków między ruchem punktów materialnych i ciał sztywnych oraz sił go wywołujących.

n Dynamika bada zależności między takimi wielkościami jak: siła,

przyspieszenie, prędkość, pęd, kręt, praca, energia itd.

2

Pierwsza zasada dynamiki Newtona

n Prawo bezwładności:

– Z punktu widzenia dynamiki jest wszystko jedno, czy ciało się porusza ruchem jednostajnym prostoliniowym, czy jest w spoczynku.

– W obu przypadkach siły działające na ciało są w równowadze.

– Można zawsze założyć istnienie nieruchomego układu odniesienia.

3

Druga zasada dynamiki Newtona

n Pod działaniem stałej siły punkt materialny porusza się ruchem jednostajnie

przyspieszonym po linii prostej.

n Przyspieszenie z jakim porusza się punkt jest wprost proporcjonalne do działającej siły (wypadkowej układu sił), a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała.

4

= mP

a ^P

a m

Trzecia zasada dynamiki Newtona

n Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych równoważą się, tj. mają jednakowe moduły i kierunki, zaś zwroty przeciwne.

5

P1

P2

2

1 P

P =

2

1 P

P =−

Prawo grawitacji

n Dwa ciała działają na siebie wzajemnie jednakowymi co do wartości i

przeciwnie zwróconymi siłami o wartości odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległości między ich środkami i wprost proporcjonalnej do iloczynu mas tych ciał.

6

1 2

2

m m r

= ⋅ P G

Zasada superpozycji

n Efekt działania kilku wpływów na ciało można wyrazić jako sumę efektów ich działania.

n Przyspieszenie z jakim porusza się ciało pod wpływem układu sił (siły

wypadkowej) może zostać obliczone jako suma przyspieszeń powodowanych przez każdą z sił składowych.

7

1 2 ... _n ... _n

ma=ma +ma + +ma =P1+P2 + +P =P

Równania ruchu punktu materialnego

n Dynamiczne równanie różniczkowe ruchu punktu materialnego:

n Dynamiczne różniczkowe równania ruchu we współrzędnych prostokątnych:

8

d d

m m m

dt dt

  = ⋅ = ⋅ =

 

 

r &&r a P

x ix

i

m x⋅ = ⋅ =^&& m a ∑P

z iz

i

m z⋅ = ⋅ =^&& m a ∑P ^y ⁱ ^iy m y⋅ = ⋅^&& m a =∑P

(2)

Skalarne równania ruchu

n Rzutowanie przyspieszenia na osie normalną, styczną i binormalną:

n Wektor przyspieszenia całkowitego leży na płaszczyźnie ściśle stycznej do toru.

9

2

n in

i

m a mv P

⋅ = ρ =

∑

^{m a}^{⋅ =}^t ^m^dv_dt ⁼

∑

_i ^P^it

b ib

i

m a⋅ =

∑

P ^a^b ⁼⁰

Pierwsze i drugie zadanie dynamiki

n Pierwsze zadanie dynamiki:

– Dana jest masa i równania ruchu punktu materialnego, należy wyznaczyć siły działające na ten punkt;

n Drugie zadanie dynamiki:

– Dana jest masa i siły działające na punkt materialny, należy wyznaczyć równania ruchu tego punktu.

10

Pierwsze zadanie dynamiki

n Równanie ruchu:

n Składowe wypadkowej we współrzędnych prostokątnych:

n Wartość i kierunek wypadkowej:

11

m⋅ = ⋅ =a m r&& P

Px =mx&& Py =my&& Px =mz&&

2 2 2

x y z

P= P +P +P ( )

cos , P^x

= P

S P i ^cos ( )^, ^P^y

= P

S P j ^cos ( ^, ) ^P^z

= P S P k

Drugie zadanie dynamiki

n Ruch punktu pod działaniem siły:

– Stałej co do wartości i kierunku;

–Zależnej od czasu;

–Zależnej od prędkości;

– Zależnej od położenia.

12

const

= P

( )

^t

= P P

( )

^v

= P P

( )

^x

= P P

Ruch pod działaniem stałej siły

⁽¹⁾

n Rzut ukośny:

n Równania ruchu:

n Składowe przyspieszeń:

n Składowe prędkości:

n Równania ruchu:

13

( ) 2

vy t = − +gt C

( ) 1 3

x t =C t+C

v0

0

mx&&= my&&= −mg

x 0

a = a_y= −g

1

vx=C

( ) ² 2 4

2

y t = −gt +C t+C mg v

xmax

ymax

Ruch pod działaniem stałej siły

⁽²⁾

n Warunki brzegowe:

n Stałe całkowania:

n Równania prędkości:

n Równania ruchu

14

1 0cos

C =v α

( ) 0sin v t = − +gt v α

0 0

( 0) cos

x x

v t= =v =v α

0 0

( 0) sin

y y

v t= =v =v α

( 0) 0

x t= = y t( =0)=0

2 0sin

C =v α C3=0 C4=0

0cos vx=v α

( ) 0 cos

x t =v t α ( ) ² 0 sin 2

y t = −gt +v t α v0

mg v

ymax

xmax

Ruch pod działaniem siły zależnej od położenia

n Drgania liniowe:

n Różniczkowe równanie ruchu:

n Rozwiązanie ogólne:

(Równanie ruchu harmonicznego prostego)

15

0 P _m x

x

x x

P =ma =mx&&= −kx k 0

x x

+m =

&& k

ω = m

1sin 2cos

x=C ωt+C ωt

( ⁰)

sin

x=a ω ϕt+ C1=acosϕ0 C2=asinϕ0

Ruch nieswobodnego punktu materialnego

n W przypadku, gdy warunki zewnętrzne ograniczają swobodę ruchu, w

równaniu ruchu należy uwzględnić także siły bierne (reakcje więzów):

16

ma= mr&&= +P R

X Y

N

=m

G g

µ

=

T N

x x

m^a =∑^P

0=m^a_y=∑^P_y

(3)

Siła bezwładności

n Równanie ruchu:

n Siła bezwładności (d’Alemberta):

n Zasada d’Alemberta:

– Siły rzeczywiste działające na punkt materialny równoważą się z siłą bezwładności tego punktu.

17

=m

P a P−ma=0

= −m

B a

+ =0 P B

0 r

v

an

0

r P

t 0 a =

const

= v

2 n

a v

= r

m

m B

Zasady zachowania w dynamice

n Zasada:

– zachowania pędu;

– zachowania momentu pędu (krętu);

– równoważności energii i pracy;

– zachowania energii mechanicznej.

18

Pęd,

zasada zachowania pędu

n Zgodnie z drugim prawem Newtona:

– Pochodna pędu punktu materialnego względem czasu równa jest sumie sił działających na ciało.

n Pęd (ilość ruchu) pozostaje wielkością stałą, jeżeli siły działające na ciało pozostają w równowadze:

19

( )

d d m

m m

dt dt

= = v = v

P a

mv=const

Moment pędu, zasada zachowania krętu

n Momentem pędu (kręt) punktu materialnego względem bieguna jest iloczyn wektorowy promienia wodzącego punktu względem bieguna i pędu:

n Kręt punktu materialnego względem

bieguna jest wielkością stałą, jeśli moment sił działających na punkt materialny

względem tego bieguna jest równy 0.

20

0 = ×m

K r v

0 r

m mv

Praca

n Praca stałej siły na prostoliniowym

przesunięciu równa jest iloczynowi wartości bezwzględnej przesunięcia przez miarę rzutu siły na kierunek przemieszczenia.

n Praca wypadkowej układu sił działających na ciało równa jest sumie prac

poszczególnych sił działających na ciało.

21

m α

P

m α

P

l W = ⋅P l

cos W = Pl α

Zasada równoważności energii i pracy

n Energia kinetyczna:

n Zasada równoważności energii i pracy:

– Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego (ciała) równy jest pracy wykonanej przez siły działającej na ciało.

22

2

2 E= mv

2 1

E E E W

∆ = − =

Zasada zachowania energii mechanicznej

n Potencjalne pole sił:

– Praca wykonana przez siły w potencjalnym polu sił nie zależą od drogi po której

wykonane zostało przemieszczenie a jedynie od położeń początkowego i końcowego.

n Energia mechaniczna ciała w potencjalnym polu sił pozostaje wielkością stałą.

23

1 1 2 2

E + =V E +V

Zasada zachowania energii – przykład

⁽¹⁾

n Wyznaczyć miejsce oderwania punktu materialnego zsuwającego się po gładkiej półkuli:

24

2

mv cos

r =mg ϕ mv2

r

( )

2

2 cos

mv =mg r−r ϕ

cos 2 ϕ = 3 r

mg

ϕ ϕ

r cosϕ

(4)

Zasada zachowania energii – przykład

^(2a)

n Na jaką wysokość po gładkiej równi wjedzie ciało, któremu nadano prędkość

początkową v:

25

h v

2

2 mv =mgh α

Energia

kinetyczna Energia potencjalna Początek

Koniec

2

mv 0

0 mgh

Zasada zachowania energii – przykład

^(2b)

n Na jaką wysokość po równi wjedzie ciało, któremu nadano prędkość

początkową v (z uwzględnieniem tarcia):

– Praca siły tarcia:

26

h

N

2

mv =mgh Ts+

µ

mg T

W =Ts

s v

α

T =µN cos N=mg α

2

cos sin

2

mv =mgh+µmg α⋅h α

Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

n Druga zasada dynamiki w ruchu obrotowym bryły sztywnej:

n Kręt w ruchu obrotowym:

n Energia kinetyczna:

27

t =Iω K

2

2 E= Iω

0

R ^r

r v ω vR

vR

M0=Iε

Dynamika układu

punktów materialnych

n Zasady zachowania w ruchu układu punktów materialnych:

– Ruchu środka masy;

– Zachowania pędu;

– Zachowania krętu;

– Zasada d’Alemberta;

– Zachowania energii mechanicznej.

28

Zasada ruchu środka masy

n Jeżeli siły zewnętrzne działające na układ ciał równoważą się, to środek masy

układu pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

29

Zasada zachowania pędu

n Pęd układu punktów materialnych – suma wektorowa pędów wszystkich punktów.

n Przyrost pędu układu punktów materialnych jest równy popędowi wypadkowej sił zewnętrznych.

n Pęd układu punktów materialnych pozostaje niezmienny, jeżeli siły działające na układ równoważą się.

30

Zasada zachowania pędu – przykład

n Określić prędkość ciała po uderzeniu kuli:

31

m v2 2

m v1 1

(^m¹⁺^m²)^v

m v2 2

m v1 1

v2

v1

v

Zasada zachowania momentu pędu

n Moment pędu (kręt) układu punktów materialnych – suma wektorowa krętów wszystkich punktów układu względem bieguna.

n Pochodna krętu układu punktów po czasie równa jest wypadkowemu momentowi sił względem bieguna.

n Kręt układu punktów materialnych pozostaje niezmienny, jeżeli wypadkowy moment sił względem bieguna jest równy zero.

32

(5)

Zasada zachowania krętu – przykład

n Po cięciwie tarczy zaczyna poruszać się punkt materialny z prędkością v. Z jaką prędkością kątową poruszać się będzie tarcza?

33

0 m α R

w

vr

r

M ω

x(t)=wt

d

=0

K Kt =Iω

p=mwd−mur

K

0 mwd−mur−Iω=

2

2 0

2 mwd−m rω −MR ω=

(

² ^{2 2}

)

^MR₂² ⁰

mwd−mω d +w t − ω=

Zasada zachowania energii mechanicznej

n Energia mechaniczna układu punktów materialnych w potencjalnym polu sił pozostaje niezmienna.

n Przyrost energii kinetycznej układu punktów materialnych równy jest sumie prac wykonanych przez wszystkie siły (zewnętrzne i

wewnętrzne) działające na ten układ.

34

Zasada zachowania energii mechanicznej

⁽¹⁾

n Na dwa współśrodkowe walce o masach m₁ i m₂ nawinięte są nieważkie nici na których

zawieszono dwa ciała.

Obliczyć z jaką prędkością uderzy o ziemię ciało M.

35

m1

R r m2

m

M

H

Zasada zachowania energii mechanicznej

⁽²⁾

36

m1

m2

m

M

h2 Hh1

Energia kinetyczna Energia potencjalna Początek

Koniec

0 MgH+mgh1

2 2

1 2

2 2

mv MV

Iω Iω

+ +

mgh2

φ

Zasada zachowania energii mechanicznej

⁽³⁾

37

2 2

1 2

2 2 2 2

I I

mv MV

MgH+mgh = + + ω + ω +mgh

( ² ¹) ^mv₂² ^MV₂ ² ^I¹₂² ^I²₂²

MgH−mg h −h = + + ω + ω

2

1 1

1

I =2m R 2 2 ²

1

I =2m r h² h¹ H

r R

φ= − = v V

r R ω = =

2 2 2

2 2

2 1 2

1 1

2 2

2 2 2 2

Vr V V

m m R m r

Hr R MV R R

MgH mg R

     

     

     

− = + + +