WeryﬁkacjaliniowegomodelujednorównaniowegoJakubMućk Ekonometria

(1)

Poprawna specyfikacja modelu

Ekonometria

Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego

Jakub Mućk

Katedra Ekonomii Ilościowej

Jakub Mućk Ekonometria Wykład 2 Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego 1 / 28

(2)

KMNK – przypomnienie Mierniki dopasowania modelu Test istotności zmiennych Współliniowość Poprawna specyfikacja modelu

Agenda

1

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

2 Mierniki dopasowania modelu

Współczynnik R

²

Kryteria informacyjne

3 Test istotności zmiennych

Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

4 Współliniowość

5 Poprawna specyfikacja modelu

Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

(3)

Agenda

1

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

2

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

²

Kryteria informacyjne

3 Test istotności zmiennych

Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

(4)

Agenda

1

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

2

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

²

Kryteria informacyjne

3

Test istotności zmiennych Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

(5)

Agenda

1

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

2

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

²

Kryteria informacyjne

3

Test istotności zmiennych Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

4

Współliniowość

Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

(6)

Agenda

1

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

2

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

²

Kryteria informacyjne

3

Test istotności zmiennych Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

4

Współliniowość

5

Poprawna specyfikacja modelu Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

(7)

Outline

1

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

2

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

²

Kryteria informacyjne

3

Test istotności zmiennych Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

4

Współliniowość

5

Poprawna specyfikacja modelu Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

(8)

Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

Oznaczenia

Zapis ogólny:

y = β

0

+ β

1

x

1

+ β

2

x

2

+ . . . + β

k

x

k

+ (1) Zapis macierzowy

y = Xβ + ε (2)

gdzie

y =





 y

1

y

2

. . . y

n





 X =







1 x

1,1

x

1,2

. . . x

1,k

1 x

2,1

x

2,2

. . . x

2,k

. .

. . . . . . . . . . . . . 1 x

n,1

x

n,2

. . . x

n,k







β =





 β

0

β

1

. . . β

k





 ε =





 ε

1

ε

2

. . . ε

n







k – liczba zmiennych objaśniających; n – liczba obserwacji.

(9)

Estymator MNK

Załóżmy, że badane zjawisko można opisać modelem postaci [lub prawdziwy proces generujący zmienną y jest następujący]:

y = β0+ β1x1+ β2x2+ ... + βkxk+ ε (3) Nieznane parametry można uzyskać przy pomocyMetody Najmniejszych Kwa- dratów (OLS – ordinary least squares). Idea tej metody polega na znalezieniu takich wartości nieznanego wektora parametrów β, który minimalizują sumę kwa- dratów reszt, czyli różnic pomiędzy wartościami obserwowanymi a teoretycznymi:

β = arg minˆ

β e^Te (4)

gdzie e = y − ˆy = y − X ˆβ.

Ostatecznie estymator OLS (MNK) dla wektora β:

βˆ^OLS= (X^TX)⁻¹X^Ty (5)

Szczegóły

β a ˆβ

β oznaczanieznany i prawdziwy wektor parametrów, a ˆβ jestoszacowaniem punktowym wektora parametrów.

(10)

Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

Załóżmy:

1

rz(X) = k + 1 ≤ n

2

Zmienne x

i

są nielosowe, a zatem są niezależne od składnika losowego

3

E() = 0

4

D

²

(ε) = E(εε

^T

) = I σ

5

ε

i

∼ N (0, σ

²

)

Twierdzenie Gaussa - Markowa

Estymator ˆ β uzyskany Klasyczną Metodą Najmniejszych Kwadratów jest estymatorem

BLUE [best linear unbiased estimator], tj. zgodnym, nie-

obciążonym i najefektywniejszy w klasie liniowych estymatorów wektora β.

nieobciążoność, czyli E( ˆ β) = β

najefektywniejszy, czyli posiadający najmniejszą wariancję w swojej kla- sie

zgodny, czyli lim

n→∞

P(| ˆ β

n

− β|) < δ

(11)

Interpretacja

Załóżmy, że oszacowaliśmy parametry modelu ekonometrycznego:

ˆ

y = ˆ β

0

+ ˆ β

1

x

1

+ ˆ β

2

x

2

+ . . . + ˆ β

k

x

k

(6) Interpretacja:

Wzrost x

i

o jednostkę powoduje wzrost y o β

i ceteris paribus

jednostek.

Uwagi:

Należy pamiętać o zasadzie ceteris paribus.

Oszacowanie wyrazu wolnego zazwyczaj nie ma interpretacji ekonomicznej (dlaczego?).

Pułapka przyczynowości.

(12)

Przykład

[Greene, 2003] Funkcja konsumpcji została oszacowana dla gospodarki amerykańskiej w latach 1970-1979. Wydatki konsumpcyjne (C ) są objaśniane dochodem do dyspozycji (Y ) [obie zmienne w mln USD w cenach bieżących]:

C = −67.58 + 0.979Y ˆ (7)

750 800 850 900 950 1000

700750800850900

Dochod

Konsumpcja

3.6636 1.3359

11.181

−11.291

−9.3407

−9.78 2.6814

8.5299 2.4815

0.53924

Obserwowane wartości,wartości teoretyczne,reszty.

(13)

Estymacja błędów szacunku

W przypadku MNK, możemy wyznaczyć estymator macierzy wariancji-kowariancji dla parametrów ˆ β

^OLS

:

D ˆ

²

( ˆ β

^OLS

) = S

²ε

(X

^T

X)

⁻¹

(8) gdzie

S

²

= ε

^T

ε

n − (k + 1) = SSE ( ˆ β

^OLS

)

df (9)

gdzie SSE ( ˆ β

^OLS

) to suma kwadratów reszt, a df to

liczba stopni swobody.

Element diagonalne macierzy wariancji-kowariancji (oznaczmy jako ˆ d

ii

), sta- nowią wariancję estymowanych parametrów. Zatem błąd szacunku dla i-tego parametru jest równy:

S( β ˆ

i

) = √

d

ii

(10)

Względny błąd szacunku

S( β ˆ

i

) β ˆ

i

(11)

(14)

Współczynnik R2 Kryteria informacyjne

Outline

1

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

2

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

²

Kryteria informacyjne

3

Test istotności zmiennych Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

4

Współliniowość

5

Poprawna specyfikacja modelu Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

(15)

Współczynnik determinacji R

²

Współczynnik determinacji R

²

pozwola zmierzyć

jaką częścią zmien- ności (wariancji) zmiennej objaśnianej

jest wyjaśniana zmiennością wartości teoretycznych wynikających z modelu.

R

²

=

n

X

i=1

(ˆ y

i

− ¯ y)

²

n

X

i=1

(y

i

− ¯ y)

²

(12)

gdzie:

yi - empiryczna (obserwowana) wartość zmiennej y dla i-tej obserwacji, ˆ

yi - teoretyczna wartość zmiennej y dla i-tej obserwacji,

¯

y - średnia wartość zmiennej objaniającej.

Zazwyczaj R

²

∈ (0, 1)

Konstrukcja współczynnika determinacji R

²

posiada

dwa mankamenty:

i) faworyzuje modele z większą liczbą zmiennych egzogenicznych

ii) jego konstrukcja opiera się o uwzględnienie wyrazu wolnego w modelu.

(16)

Niescentrowany współczynnik R

²_N

W przypadku, gdy w specyfikacji modelu ekonometrycznego nie uwzględ- niono wyrazu wolnego, współczynnik R

²

może przyjmować wartości powyżej jedności.

Rozwiązaniem tego problemu jest niescentrowany R

²_N

: R

²N

= 1 − ee

^T

yy

^T

(13)

e - wektor reszt.

y - wektor obserwacji zmiennej endogenicznej.

R

²_N

∈< 0, 1 >

Interpretacja: większa wartość R

²_N

oznacza większa rola zmiennych egzoge- nicznych w wyjaśnianiu zmienności zmiennej objaśnianej.

(17)

Skorygowany współczynnik ¯ R

²

Współczynnik determinacji R

²

zawsze będzie faworyzował modele z większą liczbą zmiennych.

W porównaniu z podstawowym współczynnikiem R

²

,

skorygowany współ- czynnik ¯R²

uwzględnia również

liczbę stopni swobody:

R ¯

²

= R

²

− k

n − (k + 1) (1 − R

²

) (14) Skorygowany współczynnik R

²

przyjmuje zazwyczaj niższe wartości:

R ¯

²

≤ R

²

(15)

w szczególności możliwe jest przyjmowanie wartości poniżej 0.

R ¯

²

jest

pozbawiony standardowej interpretacji.

(18)

Wartości wpółczynnika R

²

Typowe wartości R

²

zależą od rodzaju danych empirycznych, tj. :

Dane makroekonomiczne oparte na surowych (poziomach) szeregach cza- sowych: R

²

> 0.9

Dane makroekonomiczne oparte na przyrostach szeregów czasowych:

R

²

∈ (0.7, 0.9)

Dane przekrojowe o wyższym poziomie agregacji: R

²

∈ (0.3, 0.7) Dane przekrojowe dla jednostek indywidualnych: R

²

∈ (0.05, 0.4)

(19)

Kryterium Akaike’a

Kryterium Akaike’a (AIC) jest miernikiem, który uwzględnia zarówno dopaso- wanie do obserwacji (funkcja wiarygodności) oraz liczbę stopni swobody:

AIC = ln1 n

n

X

i=1

e²_i

| {z }

funkcja wiarygodności

+ 2(k + 1)

n

| {z }

liczba stopni swobody

(16)

gdzie n to liczba obserwacji, k + 1 to liczba oszacowanych parametrów oraz ei to reszta dla i-tej obserwacji.

Kryterium AICmaleje wraz ze wzrostem funkcji wiarygności orazrośnie wraz ze wzrostem liczby parametrów.

Kryterium AIC nie posiada interpretacji i jest wykorzytywane do porównania dopasowania modeli.

W większośći pakietów ekonometryczny dostępne są inne kryteria informacyjne, jak np. bayesowskie kryterium Schwarza (BIC ), Hannana-Quinna (HQ). Kryteria te różnią się od AIC, ponieważ w większym stopniu uwzględniają liczbę stopni swobody. Ogólnie:

AIC ≤ HQ ≤ BIC (17)

(20)

Mierniki dopasowania modelu ekonometrycznego do danych

Miernik Opis

R

²

Ogólny miernik,

interpretacja, rośnie wraz z liczbą

zmiennych

Skorygowany R

²

uwzględnia korektę na liczbę zmiennych, porówna- nie modeli

Niescentrowany R

²

model bez wyrazu wolnego

Kryterium AIC uwzględnia korektę na liczbę zmiennych, porówna- nie modeli

Powyższe mierniki kwantyfikują jedynie dopasowanie modelu do obserwowanych danych. Wspomniane dopasowanie do danych ma charekter informacyjny i

nie stanowi głównego kryterium w wybo- rze modelu.

(21)

Outline

1

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

2

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

²

Kryteria informacyjne

3

Test istotności zmiennych Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

4

Współliniowość

5

Poprawna specyfikacja modelu Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

(22)

Błąd I rodzaju Test t-Studenta Test Walda

Błąd I i II rodzaju a p-value

Zgodnie z zasadami wnioskowania statystycznego można wyróżnić dwa ryzyka wy- nikające z wykorzystania testów statystycznych, których konstrukcja opiera się na klarownie sformułowanych hipotezach:zerowej (H0)orazalternatywnej (H1):

Błąd pierwszego rodzaju

toodrzucenieH₀, która w rzeczywistości jestprawdziwa.

Błąd drugiego rodzaju

toprzyjęcieH₀, która w rzeczywistości jestfałszywa.

W pakietach ekonometryczno-statystycznych szeroko stosowane jestp-value, które mierzyprawdopobieństwo błędu pierwszego rodzaju.

W praktyce ekonometrycznej nie rozważa się minimalizacji obu ryzyk i wnioskowa- nie statystyczne jest najczęściej przeprowadzane na podstawie analizy prawdopodo- bieństwa błędu pierwszego rodzaju.

Poziom krytycznyoznacza arbitralnie wybrany poziom prawdopodobieństwa błędu I rodzaju, który można uznać za akceptowalny. Najczęściej jest równy: 0.01, 0.05 lub 0.1.

(23)

Test t-Studenta

Test t-studenta pozwala zweryfikować istotność oszacowania parametru dla każdej zmiennej objaśniającej (x

j

) osobno, tj.:

H

0

: β

j

= 0 H

1

: β

j

6= 0 (18) Statystyka testowa:

t

j

= β ˆ

j

S( β ˆ

i

) (19)

gdzie ˆ β

j

to oszacowanie punktowe parametru β

j

, a S( ˆ β

i

) to błąd szacunku.

Statystyka testowa testu t-studenta jest odwrotnością względnego błędu sza- cunku.

Wartości krytyczne pochodzą z rozkładu t-studenta i można je uzyskać dla określonej liczby stopni swobody (df = n − (k + 1)) oraz przyjętego poziomu krytycznego (α).

Jeżeli |t

j

| > t

^{df ,α}

- to są podstawy do odrzucenia H

0

na rzecz H

1

. Jeżeli |t

j

| < t

^{df ,α}

- to nie ma podstaw do odrzucenia H

0

na rzecz H

1

.

(24)

Test Walda

Łączna istotność oszacowań parametrów może być weryfikowana przy po- mocy testu Walda, tj.:

H

0

: β

1

= β

2

= . . . = β

k

= 0 (20)

H

1

: ∃

j∈{1,...,k}

β

j

6= 0 (21)

Statystyka testowa:

F = R

²

/k

(1 − R

²

)/(n − (k + 1)) (22) Statystyka testowa F ma rozkład F-Snedecora z r

1

= k oraz r

2

= n − (k + 1) stopniami swobody.

Jeżeli F > F

^r¹^,r²^,α

- to są podstawy do odrzucenia H

0

na rzecz H

1

. Jeżeli F < F

^r¹^,r²^,α

-to nie ma podstaw do odrzucenia H

0

na rzecz H

1

.

(25)

Test Walda

Test Walda umożliwia przede wszystkimszersze testowanie restrykcji linio- wych.

H0: R × β = q (23)

Macierz restrykcji R jest wymiarów r × (k + 1), gdzie r to liczba restrykcji. Re- strykcje są zapisywane wierszowo, a test Walda pozwala na weryfikację koniunkcji wszystkich restrykcji.

Statystyka testowa:

F =(SSE( ˆβ) − SSE( ˆβ^R))/r

SSE( ˆβ)/(n − (k + 1)) (24)

ma rozkład F-Snedecora z r1= r oraz r2= n − (k + 1).

SSE( ˆβ^R) - jest sumą kwadratów reszt modelu z restrykcjami;

SSE( ˆβ) - jest sumą kwadratów reszt modelu bez restrykcji;

Przykłady wykorzystania testu Walda:

Weryfikowanie restrykcji ekonomicznych.

Test pominiętych zmiennych.

(26)

Przykłady zapisu macierzowego w teście liniowych restrykcji Walda

Przykład #1: test Walda na istotność zmiennych w modelu:

R =







0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0

.. .

..

. . .. ... 0 0 0 . . . 1







^oraz ^{q =}







0 0 .. . 0







Przykład #2: załóżmy, że mamy cztery zmienne egzogeniczne oraz

1 β1= β3 2 β2= ν

3 β1+ β4= γ.

Wtedy:

R =

"

0 1 0 −1 0

0 0 1 0 0

0 1 0 0 1

#

oraz q =

"

0 ν γ

#

(27)

Outline

1

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

2

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

²

Kryteria informacyjne

3

Test istotności zmiennych Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

4

Współliniowość

5

Poprawna specyfikacja modelu Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

(28)

Współliniowość deterministyczna to sytuacja, w której jedna ze zmiennych objąśniających może zostać przedstawiona jako kombinacja liniowa pozostałych re- gresorów. Wówczas niemożliwe jest uzyskanie estymatora β^OLS.

Współliniowość stochastycznapolega na wysokiej zależności statystycznej po- między zmiennymi objaśniającymi.

Problem współliniowości (stochastycznej) może powodować zwiększeniewariancji estymatora MNK (zmniejszenie efektywności).

Współliniowość może zostać zidentyfikowana przy pomocyczynnika inflacji wa- riancji CIW (ang. Variance Inflation Factor). Dla każdej ze zmniennych objaśniających konstruowany jest model xj, w którym zmienną objaśnianą jest ona sama, a zmiennymi objaśniającymi pozostałe zmienne z wyjściowego zbioru regre- sorów, czyli:

∀_{j∈J −{j}}xj= β0+ β1x1+ ... + βJxJ+ ε (25) Dla każdego modelu jest obliczany współczynnik determinacji R², a następnie CIWj:

CIWj= 1

1 − R²_j (26)

Wartości CIW powyżej 10 sugerują problem współliniowości. Wtedy R² z regresji pomocniczej jest większe od 0.9.

(29)

Współliniowość– rozwiązanie

W przypadku współlniowości kluczowa jest identyfikacja źródeł tego pro- blemu, tj. czy wynika z jakości danych czy też specyfikacji modelu ekonome- trycznego.

Brak zmian.

Usunięcie zmiennych współliniowych zmiennych objaśniającyh.

Usunięcie zmiennych objaśniających z specyfikacji modelu może dopro- wadzić do obciążenia oszacowań parametrów uzyskanych MNK.

Transformacja zmiennych objaśniających.

Wykorzystanie regresji grzbietowej (ridge regression):

β ˆ

^RIDGE

= (X

^T

X + λI )

⁻¹

X

^T

y (27) gdzie λ to skalar a I to macierz jednostkowa.

Estymator regresji grzbietowej ˆ β

^RIDGE

jest

obciążony, ale posiadamniej- szą wariancję (jest bardziej efektywny)

niż ˆ β

^OLS

.

(30)

Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

Outline

1

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

2

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

²

Kryteria informacyjne

3

Test istotności zmiennych Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

4

Współliniowość

5

Poprawna specyfikacja modelu Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

(31)

Test poprawnej specyfikacji modelu Ramseya RESET (ang. Regression Equation Specification Error Test) jest ogólnym testem, który pozwala zidentyfikować nie- poprawną postać funkcyjną modelu ekonometrycznego.

Rozważmy standardowy model regresji liniowej:

y = β0+ β1x1+ β2x2+ . . . + βkxk+ ε (28) W drugim kroku, obliczmy wartości teoretyczne, tj.

ˆ

y = ˆβ0+ β1x1+ ˆβ2x2+ . . . + ˆβkxk (29) W kolejnym kroku, rozważmy model (28) rozszerzonego o kwadraty i iloczyny war- tości teoretycznych ˆy:

y = γ0+ γ1x1+ . . . + γkxk+ γk+1ˆy²+ γk+2ˆy³+ ε (30) Następnie przy pomocy testu Walda, zweryfikujmy istostność oszacowań parame- trów γk+1oraz γk+1.Hipoteza zerowa oznacza poprawną postać funkcyjną modelu:

H0: γ_k+1= γ_k+2= 0 (31)

Statystyka testu RESET ma rozkład F-Snedecora.

W przypadkudużej liczby stopni swobody, warto równieżtestować nieli- niowy wpływ poszczególnych zmiennych objąśniających(tj. przez uwzględ- nienie kwadratów i sześcianów) orazinterakcje pomiędzy tymi zmiennymi (ich iloczyny).

Alternatywna statystyka testu RESET jest równa nR², gdzie współczynnik deter- minacji jest obliczany z modelu (30). Alternatywna statystyka ma rozkład χ² z liczbą stopni swobody równej liczbie dodanych zmiennych.

(32)

Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

Test Davidsona-McKinnona pozwala na porównanie dwóch modeli, które:

1 tłumaczą tę samą zmienną objaśniającą,

2 posiadają identyczną postać funkcyjną,

3 posiadają rozłączne zbiory zmiennych objaśniających.

Rozważmy dwa modele:

model A: y = β0+ β1x1+ β2x2+ . . . + βkxk+ ε model B: y = γ0+ γ1z1+ γ2z2+ . . . + γkzk+ η Szacujemy wektory parametrów, tj ˆβ oraz ˆγ.

Wyznaczamy wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej z modeli A i B, tj. ˆy^Aoraz ˆ

y^B. Wyznaczone wartości teoretyczne dołączamy do konkurencyjnego modelu, tj.

model A: y = β0+ β1x1+ β2x2+ . . . + βkxk+βk+1yˆ^B+ ε model B: y = γ0+ γ1z1+ γ2z2+ . . . + γkzk+γk+1ˆy^A+ η Sprawdzamy czy parametr przy wartości teoretycznej z konkurencyjnego modelu jest statystycznie istotny (np. czy βk+1w modelu A).

W przypadku, gdy oszacowanie parametru nie jest istotne statystycznie, to wówczas model jest kompletny względem swojego konkurenta (np. jeżeli β_k+1nie jest statystycznie istotne, to model A jest kompletny względem modelu B)

Korzystając z testu Davidsona-Mackinnona należy sprawdzić kompletność modeli w obu wariantach. Może się okazać, że oba modele są (nie)kompletne względem siebie i wtedy test nie jest konkluzywny.

WeryﬁkacjaliniowegomodelujednorównaniowegoJakubMućk Ekonometria

Ekonometria

Jakub Mućk

Agenda

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

Współczynnik R

Kryteria informacyjne

Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

Agenda

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

Kryteria informacyjne

Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

Agenda

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

Kryteria informacyjne

Test istotności zmiennych Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

Agenda

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

Kryteria informacyjne

Test istotności zmiennych Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

Współliniowość

Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

Agenda

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

Kryteria informacyjne

Test istotności zmiennych Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

Współliniowość

Poprawna specyfikacja modelu Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

Outline

KMNK – przypomnienie Estymator MNK

Twierdzenie Gaussa -Markowa

Estymator macierzy wariancji-kowariancji

Mierniki dopasowania modelu Współczynnik R

Kryteria informacyjne

Test istotności zmiennych Błąd I rodzaju

Test t-Studenta Test Walda

Współliniowość

Poprawna specyfikacja modelu Test RESET

Test Davidsona-McKinnona

Oznaczenia

Zapis ogólny:

y = β

+ β

x

+ β

x

+ . . . + β

x

+  (1) Zapis macierzowy

y = Xβ + ε (2)

gdzie

y =



+ (1) Zapis macierzowy

E() = 0