Sedimenttransport

Technische Hogeschool Delft

Afdeling der Weg- en Waterboowkynde

SEDIMENTTRANSPORT

colledictaat f 10

dr. ir. M. de Vries

I n h o u d T D I Z . 1 . I n l e i d i n g 2 2. E i g e n s c h a p p e n v a n s e d i m e n t e n 4 3. B e g i n v a n Tpeweging 10 4. T r a n s p o r t d o o r s t r o m i n g 4 . 1 O v e r z i c h t 18 4 . 2 T r a n s p o r t m e c h a n i s m e 20 4.3 T r a n s p o r t f o r m u l e s 24 4 . 4 R i v i e r v e r s m a l l i n g ( v o o r l D e e l d ) 29 4 . 5 T r a n s p o r t h i j n i e t - u n i f o r m e s t r o m i n g 32 4.6 T r a n s p o r t m e t i n g e n 34 5. T i j d s a f h a n k e l i j k e h o d e m v e r a n d e r i n g e n 5 . 1 Tempo v a n m o r f o l o g i s c h e p r o c e s s e n 38 5.2 M o r f o l o g i s c h e h e r e k e n i n g e n 42 5.3 Bedvormende a f v o e r 44 6. B i j z o n d e r e t r a n s p o r t p r o h l e m e n 6 . 1 T r a n s p o r t i n h u i s l e i d i n g e n 45 6.2 T r a n s p o r t d o o r s t r o o m en g o l v e n 48 7. P r a k t i s c h e t o e p a s s i n g e n 7 . 1 I n l e i d i n g 51 7.2 W a t e r o n t t r e k k i n g aan een r i v i e r 51 7.3 Ontwerp e v e n w i c h t s k a n a a l 53 7.4 R i v i e r v e r s m a l l i n g • 56 7.5 G e t i j i n v l o e d op r i v i e r d w a r s p r o f i e l 59 R e f e r e n t i e s 62 L i j s t v a n h e l a n g r i j k s t e s y m h o l e n 64

He-fc - b r a n s p o r t v a n s e d i m e n t e n t e n g e v o l g e v a n de w a t e r t e w e g i n g i s v a n g r o o t b e l a n g v o o r de w a t e r b o u w k u n d e . I n de r i v i e r w a t e r b ouwkunde i s h e t s e dime n t t r a n s p o r t de g r o n d s l a g v o o r de r i v i e r m o r f o l o g i e . K e n n i s v a n de m o r f o l o g i s c h e p r o c e s s e n i s n o d i g v o o r o n t w e r p v a n r i v i e r w e r k e n v o o r s c h e e p v a a r t , h o o g w a t e r b e s t r i j d i n g , w a t e r o n t t r e k -k i n g e n d e r g e l i j -k e . A n a l o o g i s v o o r de k u s t w a t e r b o u w k a n d e de k e n n i s v a n de k u s t m o r f o l o g i e n o d i g om h e t o n t w e r p v a n : k u s t v e r d e d i g i n g e n , havens i n o f aan z e e , g e b a g g e r d e scheep¬ v a a r t g e u l e n e. d . V o o r i r r i g a t i e w e r k e n i s h e t o n t t r e k k e n v a n w a t e r aan r i v i e r e n v a a k n o d i g v i a zandvangen om h e t d o o r v o e r e n v a n w a t e r en s e d i m e n t z o n d e r a f z e t t i n g e n i n h e t l e i d i n g s t e l s e l zo e c o n o m i s c h m o g e l i j k t e o n t w e r p e n . De b a g g e r t e c h n i e k h o u d t z i c h b e z i g met g r o n d . Het l o s m a k e n , t r a n s p o r t en g e -c o n t r o l e e r d e a f z e t t i n g v a n de s e d i m e n t e n v o r m e n h i e r b e l a n g r i j k e v r a a g s t u k k e n . Het h i e r b i j o p t r e d e n d e h y d r a u l i s c h e t r a n s p o r t d o o r b u i s l e i d i n g e n w o r d t ook v o o r a n d e r e k o r r e l i g e m a t e r i a l e n g e b r u i k t ( b v . s t e e n k o o l ) . Ook i n i n d u s t r i ë l e i n s t a l l a t i e s w o r d t v a a k v a n h y d r a u l i s c h o f p n e u m a t i s c h t r a n s p o r t g e b r u i k g e -maakt .

I n deze h a n d l e i d i n g k a n s l e c h t s een e e r s t e k e n n i s m a k i n g met de p r o b l e m e n w o r d e n g e g e v e n , d i e samenhangen met h e t t r a n s p o r t v a n s e d i m e n t e n a l s g e v o l g v a n de w a t e r b e w e g i n g . Door de i n t e r a c t i e v a n w a t e r b e w e g i n g en s e d i m e n t b e w e g i n g i s e r s p r a k e v a n g e c o m p l i c e e r d e p r o c e s s e n , d i e z i c h s l e c h t t e n d e l e t h e o r e t i s c h l a t e n b e n a d e r e n . E r i s d e r h a l v e een s t e r k e x p e r i m e n t e l e b e n a d e r i n g n o d i g .

Het s t e r k e m p i r i s c h e k a r a k t e r v a n de b e s c h i k b a r e o p l o s s i n g e n v o o r d e e l p r o b l e m e n maakt d a t de t o e p a s s i n g b i j z o n d e r k r i t i s c h moet g e b e u r e n . S t e e d s moet de v r a a g w o r d e n g e s t e l d o f een b e p a a l d e t h e o r i e v o o r h e t beschouwde g e v a l w e l mag w o r d e n t o e g e p a s t . P r a k t i j k p r o b l e m e n moeten a l t i j d w o r d e n g e s c h e m a t i s e e r d . D a a r v o o r z i j n aannamen n o d i g , d i e b e h o r e n t e w o r d e n g e v e r i f i e e r d . D i t k a n op v e r s c h i l l e n d e m a n i e r e n g e b e u r e n . a. E r i s een d i r e c t e m o t i v e r i n g v a n e e n aanname m o g e l i j k . b . E r k a n w o r d e n a a n g e t o o n d , d a t de aanname s l e c h t s een g e r i n g e i n v l o e d h e e f t op h e t e i n d r e s u l t a a t ( " g e v o e l i g h e i d s o n d e r z o e k " ) . c . Een g r o o t a a n t a l aannamen w o r d t

B i t l a a t s t e moet dan o v e r i g e n s k r i t i s c h w o r d e n h e k e k e n , omdat h e t mogel i j k i s d a t een t h e o r i e " k mogel o p t " omdat v e mogel e , z e mogel f s o n j u i s t e aannamen t o e -v a l l i g h e t goede a n t w o o r d g e -v e n ,

I n deze h a n d l e i d i n g w o r d t een a a n t a l o n d e r w e r p e n b e h a n d e l d , d i e e l k een e i g e n t o e p a s s i n g s g e b i e d h e b b e n . Bewust w o r d e n h i e r a l l e e n t r a n s p o r t p r o b l e m e n b e h a n -d e l -d , -d i e b e t r e k k i n g hebben op l o s k o r r e l i g m a t e r i a a l ( z a n -d en g r i n -d ) . C o h e s i e f m a t e r i a a l en s l i b , d a t d o o r f y s i s c h - c h e m i s c h e e i g e n s c h a p p e n v a n k a r a k t e r kan v e r a n d e r e n , ( b v . f l o c c u l a t i e ) w o r d t b u i t e n b e s c h o u w i n g g e l a t e n . De v r a a g -s t u k k e n d i e h i e r m e e -samenhangen, z i j n zo complex d a t de b e h a n d e l i n g h i e r t e summier z o u moeten b l i j v e n . I n h e t tweede h o o f d s t u k w o r d e n e n k e l e e i g e n s c h a p p e n v a n s e d i m e n t e n , d i e b e -l a n g r i j k z i j n v o o r h e t t r a n s p o r t b e h a n d e -l d . Het derde h o o f d s t u k g e e f t d a a r n a een o v e r z i c h t o v e r h e t v r a a g s t u k v a n b e g i n v a n b e w e g i n g . D i t i s v o o r de p r a k t i j k v o o r a l v a n b e l a n g v o o r h e t o n t w e r p v a n o e v e r - e n b o d e m v e r d e d i g i n g e n . I n h e t v i e r d e h o o f d s t - u k w o r d t a a n d a c h t b e s t e e d aan h e t t r a n s p o r t d o o r s t r o m e n d w a t e r b i j permanente s t r o m i n g . V a n z e l f s p r e k e n d i s e r v o o r h e t b e g r i p u i t -v o e r i g a a n d a c h t n o d i g -v o o r u n i f o r m e s t r o m i n g , dus a l s s n e l h e i d , d i e p t e e n z . i n de s t r o o m r i c h t i n g n i e t v e r a n d e r e n . Het s e d i m e n t t r a n s p o r t i n e e n r i v i e r k a n h i e r b i j a l s v o l g t w o r d e n g e k l a s s i f i c e e r d Se dime n t t r a n s p o r t ( n a a r o o r s p r o n g ) b o d e m t r a n s p o r t t r a n s p o r t v a n b o d e m m a t e r i a a l

\

zwevend t r a n s p o r t s p o e l t r a n s p o r t s e d i m e n t t r a n s p o r t ( n a a r mechanisme) D i t schema k a n a l s v o l g t w o r d e n t o e g e l i c h t . V o o r een b e p a a l d r i v i e r v a k i s e r t r a n s p o r t v a n h e t b o d e m m a t e r i a a l ( " a l l u v i a l e r i v i e r " ) . D a a r n a a s t w o r d t een h o e v e e l h e i d f i j n s e d i m e n t d o o r d i t v a k g e s p o e l d . De g r o o t t e v a n d i t s p o e l t r a n s -p o r t h a n g t a f v a n h e t a a n b o d .

Uaar mechanisme k a n h e t b o d e m t r a n s p o r t w o r d e n o n d e r s c h e i d e n v a n h e t zwevend t r a n s p o r t . B i j b o d e m t r a n s p o r t h e b b e n de k o r r e l s r e g e l m a t i g o n d e r l i n g c o n t a c t ; b i j zwevend t r a n s p o r t i s d i t c o n t a c t i n c i d e n t e e l . Het v e r s c h i l t u s s e n deze twee t r a n s p o r t t y p e n i s s l e c h t s g r a d u e e l .

F y s i s c h g e z i e n i s z o w e l h e t s p c e l t r a n s p o r t a l s een d e e l v a n h e t t r a n s p o r t v a n h o d e m m a t e r i a a l o n d e r d e e l v a n h e t zwevend t r a n s p o r t . Neemt men een m o n s t e r v a n s e d i m e n t i n s u s p e n s i e , dan h e v a t d i t m o n s t e r een f i j n e f r a c t i e , d i e m e e s t a l n i e t i n h e t h o d e m m a t e r i a a l a a n w e z i g i s . D i t g e d e e l t e r e p r e s e n t e e r t h e t s p o e l t r a n s p o r t . D i t s p c e l t r a n s p o r t i s n i e t v o o r b e r e k e n i n g v a t b a a r , om-d a t om-de g r o o t t e n i e t samen h a n g t met om-de t r a n s p o r t c a p a c i t e i t v a n h e t beschouwom-de r i v e r v a k maar met h e t aanbod.

V o o r b o d e m v e r a n d e r i n g e n i s h e t s p c e l t r a n s p o r t s l e c h t s v a n b e l a n g b i j de s e d i -m e n t a t i e v a n r e s e r v o i r s . Pas b i j hoge c o n c e n t r a t i e s v a n f i j n s e d i -m e n t k a n d i t d o o r v e r a n d e r i n g e n v a n de e i g e n s c h a p p e n v a n de dragende v l o e i s t o f i n v l o e d hebben op de t r a n s p o r t e i g e n s c h a p p e n ( v g l . h e t g e b r u i k v a n een d i k s p o e l i n g b i j b o r i n g e n ) . I n h e t v i j f d e h o o f d s t u k w o r d e n de t i j ds a f h a n k e 1 i j ke m o r f o l o g i s c h e p r o c e s s e n i n e e r s t e a a n l e g b e s p r o k e n . V o o r een meer g e d e t a i l e e r d e b e h a n d e l i n g moet d a a r -b i j w o r d e n v e r w e z e n n a a r h e t B . 0 . C o l l e g e o v e r s e d i r a e n t t r a n s p o r t (de V r i e s , 1 9 7 1 ) .

E n k e l e b i j z o n d e r e t r a n s p o r t v r a a g s t u k k e n w o r d e n b e s c h r è v e n i n h o o f d s t u k 6. Het b e t r e f t h i e r h e t s e d i m e n t t r a n s p o r t d o o r b u i s l e i d i n g e n en h e t t r a n s p o r t d o o r de c o m b i n a t i e v a n s t r o m i n g en g o l v e n . B e i d e o n d e r w e r p e n s p e l e n een b e -l a n g r i j k e r o -l i n de c i v i e -l e t e c h n i e k .

Ten s l o t t e w o r d t i n h e t zevende h o o f d s t u k een a a n t a l t o e p a s s i n g e n b e h a n d e l d . De b e h a n d e l d e s t o f w o r d t d a a r i n aan de h a n d v a n een a a n t a l p r a k t i s c t e v o o r ¬ Ten s l o t t e moet w o r d e n o p g e m e r k t , d a t b i j de b e h a n d e l i n g v a n de p r o b l e m e n o v e r s e d i m e n t t r a n s p o r t w o r d t u i t g e g a a n v a n e l e m e n t a i r e k e n n i s v a n de v l o e i -s t o f m e c h a n i c a . De h i e r b e h a n d e l d e " l o o -s e b o u n d a r y h y d r a u l i c -s " v o r m t een b r u g t u s s e n de v l o e i s t o f m e c h a n i c a met v a s t e bodem en de w a t e r b o u w k u n d e , d i e v e e l a l m é t een b e w e e g l i j k e bodem w o r d t g e c o n f r o n t e e r d . 2. E i g e n s c h a p p e n v a n s e d i m e n t e n B i j de h i e r beschouwde s e d i m e n t e n w o r d t u i t g e g a a n v a n n i e t - c o h e s i e f m a t e r i a a l . D i t h o u d t i n d a t de k o r r e l s i n e r t w o r d e n v e r o n d e r s t e l d . V o o r f i j n e k l e i d e e l t j e s g a a t d i t n i e t o p , d a a r w o r d e n de d e e l t j e s d o o r e l k a a r o f d o o r v e r a n d e r i n g e n

i n de w a t e r e i g e n s c h a p p e n " b e ï n v l o e d ( " b i j v . f l o c c u l a t i e ) . De s e d i m e n t e n z a n d en g r i n d b e s t a a n m e e s t a l u i t k w a r t s (SiO ) met een d i c h t h e i d p = 265O k g / m ^ .

De k o r r e l g r o o t t e k a n a l s v o l g t w o r d e n g e c l a s s i f i c e e r d ( i n d e l i n g v o l g e n s A m e r i c a n G e o p h y s i c a l U n i o n ) . Naam a f m e t i n g e n b e p a l i n g d o o r b l o k k e n

> 256 mm

opmeten s t e n e n

64 - 256 mm

It g r i n d

2 - 64 mm

" / z e v e n zand

_{60 - 2000 (im}

_{z e v e n} s i l t

_{4 - 60 fim}

_{s e d i m e n t a t i e} k l e i < 4 \im It Deze i n d e l i n g i s w e e r -g e -g e v e n i n T a b e l 1 w a a r i n eveneens i s aangegeven op w e l k e m a n i e r de k o r r e l g r o o t t e m e e s t a l w o r d t b e p a a l d . E l k e g r o e p s e -d i m e n t e n w o r -d t -dan w e e r o n d e r v e r d e e l d i n : g r o f , g e m i d d e l d en f i i n . - u I n de n a t u u r komen m e e s t a l m e n g s e l s v o o r , z o d a t e r s p r a k e i s v a n een k o r r e l v e r d e l i n g ( " z e e f k r o m m e " ) . H i e r b i j i s v a a k de l o g a r i t h m e v a n de k o r r e l d i a m e t e r b i j b e n a d e r i n g n o r m a a l v e r d e e l d , z o d a t h e t a a n b e v e l i n g v e r d i e n t v o o r de kromme " l o g -n o r m a a l " p a p i e r t e g e b r u i k e n ( P i g . l ) . T a b e l 1 . K l a s s i f i c a t i e v a n s e d i m e n t e n 0.1 0,2 1 2 lOmm B> zeefdiameter P i g . 1 . K o r r e I v e r d e l i n g s d i a g r a m

De g e m i d d e l d e d i a m e t e r ( D o f D ) v o l g t u i t de n o r m a l e d e f i n i t i e m' i / 1

D = E P i D . / E P i ( 1 )

w a a r i n p . de g r o o t t e v a n de f r a k t i e met de d i a m e t e r v o o r s t e l t ; d a a r b i j i s D,^ h e t r e k e n k u n d i g g e m i d d e l d e v a n de d i a m e t e r s d i e de g r e n z e n v a n de f r a k t i e i v a s t l e g g e n . V e r d e r w o r d t g e b r u i k gemaakt v a n de d i a m e t e r D p , d i e a a n g e e f t d a t ( n a a r g e w i c h t o f v o l u m e ) v a n h e t mengsel een d i a m e t e r h e e f t k l e i n e r dan Dp.

I n h e t b i z o n d e r w o r d t de m e d i a a n ( D ^ Q ) g e b r u i k t . V o o r een ( b i j b e n a d e r i n g ) l o g - n o r m a l e v e r d e l i n g w o r d e n , g ê d e f i n i ë e r d : g e o m e t r i s c h g e m i d d e l d e d i a m e t e r D = ( D p , ï V ' T ' V • ( 2 ) g e o m e t r i s c h e s t a n d a a r d a f w i j k i n g a met

^50 ^16

(3)

V e r d e r g e l d t e r v o o r een l o g - n o r m a l e v e r d e l i n g D = D exp

I

0,5 I n ^

a \

( 4 )

g g ' B i j de b e p a l i n g v a n de k o r r e l g r o o t t e v e r d e l i n g moet e r r e k e n i n g mee w o r d e n gehouden d a t h e t m o n s t e r v o l d o e n d e g r o o t i s om een s t a t i s t i s c h b e t r o u w b a a r b e e l d op t e l e v e r e n (de V r i e s , 19713'), v a l s n e l h e i d v a n h e t s e d i m e n t i s n a a s t de k o r r e l a f m e t i n g een b e l a n g r i j k e p a r a m e t e r .

L a a t men een k o r r e l i n s t i l s t a a n d w a t e r v a l l e n dan o n t s t a a t e r na e n i g e t i j d een e e n p a r i g e b e w e g i n g , d o o r d a t de k r a c h t e n F,, F

^ en F^ e v e n w i c h t met e l k a a r maken. Deze k r a c h t e n z i j n :

F^ = k r a c h t t e n g e v o l g e v a n de v e r s n e l l i n g v a n de z w a a r t e k r a c h t F^ = k r a c h t t . g . v . de h y d r a u L i s c h e w e e r s t a n d , omdat e r t u s s e n F i g . 2. h.o't d e e l t j e e n de v l o e i s t o f een s n e l h e i d s v e r s c h i l W b e s t a a t . Of v o o r een b o l v o r m i g e k o r r e l : F^ = ~ 71 ( p ^ - p ) g D^ = . i p . i Tt D^ = F^ ( 5 ) gew. onder w a t e r s t u w d r u k o p p . H i e r u i t v o l g t

A =f (P^ - P ) / P E r z i j n twee e x t r e m e g e b i e d e n : a ) S t o k e s g e b i e d (Re = W D / V < 1 ) h i e r g e l d t C = 24/Re D i t l e v e r t TE Ag _{( 7 )} V (8) I n h e t algemeen g e l d t e r dus W ~ D'^ met I - < a < 2 V o o r b o l v o r m i g e k o r r e l s h a n g t W dus a f v a n : - k o r r e l d i a m e t e r ( D ) - r e l a t i e v e d i c h t h e i d ( A ) , v o o r k w a r t s 1,65

Algemeen komt d a a r nog b i j de i n v l o e d v a n : - de aanwezige z a n d c o n c e n t r a t i e

- een v o r m f a k t o r , v a a k g e l i j k g e s t e l d aan c / | / a b , w a a r i n c de k o r t s t e v a n de d r i e o n d e r l i n g l o o d r e c h t op e l k a a r s t a a n d e a f

-De r e l a t i e d i e i n P i g , 3 gegeven i s v o o r de v a l s n e l h e i d g e l d t dan ook a l l e e n v o o r de e r b i j aangegeven o m s t a n d i g h e d e n , I n de p r a k t i j k i s de k o r r e l s a m e n s t e l l i n g i n een g e b i e d ( r i v i e r o f k a s t ) -v e r a n d e r l i j k ; e r i s -v a r i a t i e i n t i j d é n p l a a t s . Zo z u l l e n m o n s t e r s g e t r o k k e n v a n h e t b o d e m m a t e r i a a l v a n een r i v i e r een g r o t e v a r i a t i e t e z i e n k u n n e n g e v e n . D i t k o m t v o o r een d e e l d o o r u i t z e v i n g t , g . v , de b e d d i n g v o r m ( r i b b e l s , d u i n e n e n z , ) en d o o r u i t z e v i n g t . g , v . b o c h t e n . D a a r n a a s t neemt de k o r r e l g r o o t t e l a n g s de r i v i e r e n g e l e i d e l i j k a f . t e m p e r a t u u r ( v e r d i s c o n t e e r d i n de v i s k o s i t e i t v ) en

-F i g . 3. V a l s n e l h e i d v a n z a n d k o r r e l s

s t e l t , d a t de v e r a n d e r i n g v a n de massa v a n een k o r r e l e v e n r e d i g i s met de t r a n s p o r t a f s t a n d ( d x ) en de massa ( m ) .

Ihis

dM - Mdx ( l O ) o f l n M = - a x + c o n s t . ( l l ) A a n g e z i e n M ~ D"^ ( l 2 ) g e l d t dan D ( x ) = D ( o ) e " ^ = D ( o ) exp {-ax) ( I 3 ) H i e r i n i s (D(O) de k o r r e l g r o o t t e v o o r x = o. De c o ë f f i c i ë n t a v e r s c h i l t

p e r r i v i e r . Deze c o ë f f i c i ë n t i s een maat v o o r de v e r a n d e r i n g v a n de k o r r e l -g r o o t t e D l a n -g s de r i v i e r a s . Zo w o r d t de k o r r e l -g r o o t t e t o t de h e l f t v e r k l e i n d w e r de a f s t a n d x ^ _ met

0»5 •

exp ( - ^ 0 , 5 ) = ^ (13)

o f '

^ 0 , 5 dus X Q ^ ^ = 0,69a"^ (14)

T a b e l 2 g e e f t v o o r b e e l d e n v o o r e n k e l e r i v i e r g e d e e l t e n R i v i e r a

36 10~5m"-'-

" 0 , 5

O n t l e e n d aan M i s s i s s i p p i

_0,09

₇₂₀

_{F e n w i c k ( I 9 6 9 )} R i o Grande

_0,37

₁₈₆

> j

R i j n

_0,36

₁₉₄

_{L e l i a v s k i (1954)} Mur

0,60

₁₁₅

_{j >}

T a b e l 2 I n a a n s l u i t i n g t o t h e t g e s t e l d e i n h o o f d s t u k 1 moet w o r d e n o p g e m e r k t , d a t de h y p o t h e s e v a n S t e r n b e r g ( v e r g l . l O ) n i e t d i r e c t w o r d t g e t o e t s t . De t o e t s i n g v i n d t p l a a t s met v e r g l . 13. Deze v e r g e l i j k i n g z o u dus ook a l s h y p o t h e s e k u n n e n w o r d e n genomenJ

3. B e g i n v a n beweginig

Een zwakke s t r o m i n g o y e r een "bedding v a n n i e t - c o h e s i e f s e d i m e n t z a l n i e t t o t t r a n s p o r t v a n d i t s e d i m e n t a a n l e i d i n g g e v e n . L a a t men de i n t e n s i t e i t v a n de s t r o m i n g g e l e i d e l i j k toenemen dan z a l e r g e l e i d e l i j k een s e d i m e n t b e w e g i n g o n t s t a a n . E r i s h i e r s p r a k e v a n een s t o c h a s t i s c h p r o c e s ; h e t i s een k w e s t i e v a n kans o f een b e p a a l d e k o r r e l g a a t bewegen onder i n v l o e d v a n de t u r b u l e n t e s t r o o m f l u c t u a t i e s . I n de p r a k t i j k i s h e t m o e i l i j k om een s c h e r p e d e f i n i t i e v o o r h e t b e -g i n v a n b e w e -g i n -g t e -g e v e n , omdat e r een o v e r -g a n -g s -g e b i e d i s t u s s e n h e t s t i l l i -g -g e n v a n a l l e k o r r e l s t o t h e t bewegen v a n a l l e k o r r e l s . H e t . b e g i n v a n b e w e g i n g w o r d t v a s t g e l e g d a l s een v e r b a n d t u s s e n e n k e l e d i m e n s i -l o z e p a r a m e t e r s , d i e a -l s v o -l g t kannen w o r d e n a f g e -l e i d . Het b e g i n v a n b e w e g i n g w o r d t b e p a a l d d o o r d r i e k r a c h t e n ( z i e P i g . 4 ) : a ) P , de k r a c h t d i e de s t r o m i n g op de k o r r e l u i t o e f e n t . Deze k r a c h t i s de r e s u l -t a n -t e v a n de s l e e p k r a c h -t e n de l i f -t k r a c h -t ( -t . g . v . de kromme s -t r o o m l i j n e n r o n d de k o r r e l ) . b ) G , de k r a c h t t . g . v . de v e r s n e l l i n g v a n de z w a a r t e k r a c h t c ) de r e a c t i e k r a c h t g e l e v e r d d o o r de a a n l i g g e n d e k o r r e l s . sleepkracht gewicht onder water P i g . 4- K r a c h t e n op k o r r e l s aan de bodem E r o n t s t a a t v e r l i e s v a n e v e n w i c h t a l s de c o m b i n a t i e v a n P en G t e g r o o t w o r d t v o o r de b e s c h i k b a r e . • r e a o t i e k r a c h t . U i t h e t momentenevenwicht v o l g t P . b = G.a (15) o f : C.

_{. - I P y / . y i D ^ . b = | K D ^ ( p ^ - ^ ) g . a (16)}

d r u k _{opp. gew. o n d e r w a t e r} H i e r i n i s een c o m b i n a t i e v a n de c o ë f f i c i ë n t e n v o o r de s l e e p k r a c h t ( C ^ ) en een l i f t k r a c h t (C^. ) . L De s n e l h e i d v.^^ s t e l t h i e r v o o r de s n e l h e i d i n de b u u r t v a n een k o r r e l . U i t de l o g a r i t h m i s c h e s n e l h e i d s v e r d e l i n g v ( y ) ~ v ^ l n y / k (17) (met v ^ = | ^ Q / P ) , v o l g t d a t de s n e l h e i d v.|^ e v e n r e d i g i s met de s c h u i f s p a n n i n g s n e l h e i d v ^ . De e v e n r e d i g h e i d s f a c t o r i s d a a r b i j u i t e r a a r d a f h a n k e l i j k v a n de

h o o g t e waarop w o r d t g e d e f i n i e ë r d . ' Daar v e r g . ( l 6 ) v o o r h o l l e n i s g e s c h r e v e n , en v o o r zand en g M n d d a a r d o o r t o c h v o r m c o ë f f i c i ë n t e n moeten w o r d e n a a n g e -nomen, k a n men s t e l l e n d a t u i t v e r g . ( l 6 ) v o l g t Pv V ( p „ - p ) g D gAD = a

(18)

W a a r i n a a f h a n g t v a n k o r r e l v o r m , s n e l h e i d s p r o f i e l e . d . S h i e l d s ( l 9 3 6 ) h e e f t aangenomen, d a t h e t R e y n o l d s g e t a l Ee = v D/V h e t s t r o o m -h e e l d r o n d de k o r r e l b e s c -h r i j f t . D i t -h o u d t i n d a t v / ( g A D ) en Re ook de k r i ¬ t i e k e t o e s t a n d v o o r h e t v e r l i e s v a n e v e n w i c h t moeten b e p a l e n . Er o n t s t a a t dan een r e l a t i e v o o r de k r i t i e k e t o e s t a n d V 3EC gAD = f . Re \

₍₁₉₎

•1 1,0 S 0,8 0,6 g 0,4 '2 0,2 0,1 0,08 onR 0,03 0,02 O AMBER • LIGNITE • GRANITE c BARITE , « SAND (CASEY) + SAND (KRAMER) X SAND (U.S.WES) 4 SAND (GILBERT) B SAND(\WHITE) 26)0 • SAND IN AIR (WHITE) 2106 4 STEEL SHOT (WHITE) 7900

1060 (SHIELDS) « 5 0 2650 2650 2650 2650 J

[ VoUedig ontwikkeld turbulent r snelheidsprofiel

lijnen voor constante D met ps= 2550 kg/mS 10-'m) D i t o o r s p r o n k e l i j k d o o r S h i e l d s gegeven v e r b a n d i s e x p e r i m e n t e e l b e p a a l d , ( z i e F i g . 5) E r moeten h i e r b i j de v o l -gende o p m e r k i n g e n w o r d e n g e m a a k t . 02 0,4 0,6 1,0 2 4 6 810 20 F i g . 5. B e g i n v a n b e w e g i n g 40 60 100 200 400 500 1000 R^^w^ D/v a ) I n f e i t e moet nog w o r d e n g ê d e f i n i ë e r d wat e r o n d e r b e g i n v a n b e w e g i n g w o r d t v e r s t a a n . S h i e l d s g i n g b i j z i j n p r o e v e n u i t v a n k l e i n e t r a n s p o r t e n w a a r b i j h i j d o o r e x t r a p o l a t i e de t o e s t a n d v a n e v e n w i c h t d e f i n i ë e r d e . L a t e r e o n d e r -z o e k i n g e n hebben a a n g e t o o n d , d a t wat S h i e l d s de k r i t i e k e t o e s t a n d noemde, b e p a a l d nog w e l g e p a a r d g a a t met t r a n s p o r t . E r i s daarom w e l v o o r g e s t e l d om a l s d e r d e p a r a m e t e r i n t e v o e r e n , i n de e e n o f a n d e r e d i m e n s i e l o z e v o r m h e t a a n t a l k o r r e l s , d a t p e r t i j d s e e n h e i d w o r d t g e t r a n s p o r t e e r d . De e n k e l e kromme v a n P i g . 5 w o r d t dan een b u n d e l met l i j n e n v a n g e l i j k e waarde v o o r deze d e r d e p a r a m e t e r . De l i j n g e t r o k k e n i n de f i g u T o r h e e f t b e t r e k k i n g op e e n t o e s t a n d w a a r b i j s l e c h t s zo n u e n dan een k o r r e l b e w e e g t .

TD) V o o r g r o t e w a a r d e n v a n Re ( g l o b a a l Re > 200) h e e f t v / ( g A D ) een c o n s t a n t e w a a r d e . De wand i s dan h y d r a u l i s c h r u w , d . w . z . de k o r r e l g r o o t t e D i s v e l e m a l e n g r o t e r dan d é d i k t e v a n de v i s k e u z e s u b - l a a g 6 = 11,6 v / v ^ . De o o r s p r o n k e l i j k e waarnemingen v a n S h i e l d s l e i d e n h i e r t o t de c o n c l u s i e 2 ""SEC = 0,06 v o o r D » ö gAD V o l g e n s l a t e r e o n d e r z o e k i n g e n b l i j k t , z o a l s onder a ) i s a a n g e g e v e n , d a t deze waarde k l e i n e r moet w o r d e n genomen, a l s men i n d e r d a a d v r i j w e l geen k a n s op b e w e g i n g v a n k o r r e l s w i l h e b b e n . E r g e l d t dan v 2 — =

0,02 a 0,03 (20)

gAD D i t c r i t e r i u m i s v a n b e l a n g v o o r h e t o n t w e r p v a n o e v e r - en b o d e m v e r d e d i g i n g b e s t a a n d e u i t g r i n d o f s t o r t s t e e n . 2 3or ae ü n i e i a s p a r a m e t e r : A D i t t r e e d t op o n g e v e e r v o o r D = 6 . Immers c ) De l i j n v a n F i g . 5 v e r t o o n t een minimum v o o r de S h i e l d s p a r a m e t e r : v / ( g A D ) .

(21)

Re 3È d ) V o o r D < ö ( n . l . v o o r Re^< 2) l i g g e n de k o r r e l s z o v e r i n de v i s k e u z e s u b - l a a g g e b e d , d a t e r g e e n i n v l o e d v a n de t u r b u l e n t i e v a n de h o o f d s t r o o m op de k o r r e l meer a a n w e z i g i s . De i n v l o e d v a n de v i s k o s i t e i t i s dan g r o o t , z o a l s u i t F i g , 5 b l i j k t .

^ TTn cm nT» R 0-0!^^+ T7-r»/-\-M Tr4»T nT.T^-i1 ^nv^A -ffr^^rr, m 4-r^^^A ^ ^1 TT ^ ™ T _ 1 _ w o r d e n aangehouden met a l s maatgevende d i a m e t e r de m e d i a a n ( D ^ ^ ) , m i t è

S l e c h t s z e l d e n z a l men de h i e r b o v e n a a n g e g e v e n t h e o r e t i s c h - e x p e r i m e n t e l e r e l a t i e v o o r h e t b e g i n v a n b e w e g i n g d i r e c t k u n n e n g e b r u i k e n v o o r p r a k t i j k g e v a l l e n . D i t komt omdat F i g . 5 g e l d t v o o r een h o r i z o n t a l e bodem, w a a r b i j de t u r b u l e n t e g r e n s -l a a g i s a a n g e p a s t aan deze bodem. V o o r een s t r o m i n g met v r i j o p p e r v -l a k i s d i t h e t g e v a l , a l s de t u r b u l e n t e g r e n s l a a g z i c h o v e r een l e n g t e L - 20 a 40 h h e e f t kunnen o n t w i k k e l e n .

P i g . 6. VoorlDeeld I .

twee v o o r b e e l d e n z a l men v e e l a l met e x p e r i m e n t e e l o n d e r z o e k t o t e e n o n t w e r p komen, h e t l a a t s t e v o o r b e e l d w o r d t h i e r n a d e r u i t g e w e r k t . V o o r b e e l d I . B i j de s t r o m i n g o v e r een d r e m p e l ( P i g . 6) i s de t u r b u l e n t e g r e n s -l a a g pas o n t w i k k e -l d aan h e t e i n d e v a n een b r e d e k r u i n . Aan h e t b e g i n v a n h e t h o r i z o n t a l e d e e l v a n deze o v e r l a a t z a l e r e e r d e r s t a h i l i t e i t s v e r l i e s o p t r e d e n dan u i t v e r g . 20 v o l g t . D i t komt omdat dan de s n e l h e i d b i j de bodem g r o t e r i s dan b i j een o n t w i k k e l d e ( t u r b u l e n t e ) g r e n s l a a g h e t g e v a l i s . bestorting

I

P i g . 7 . V o o r b e e l d I I . P i g . 8. V o o r b e e l d I I I . V o o r b e e l d I I . B i j een s t o r t e b e d a c h t e r e e n c o n s t r u c -t i e ( P i g . -t ) i s i n h e -t b e g i n h e t t u r b u l e n t i e n i v e a u ( b . v . u i t g e d r u k t i n de r e l a t i e v e t u r b u l e n t i e r = w ( v ' ' ' ) ^ / v , met V = V + V ) g r o t e r dan i n een o n t w i k k e l d e t u r b u l e n t e g r e n s l a a g . I n h e t b e g i n w o r d t r n a m e l i j k b e p a a l d d o o r de c o n s t r u c t i e . Pas b i j toenemende a f s t a n d t o t de c o n s t r u c t i e w o r d t r g e l e i d e l i j k b e p a a l d d o o r de r u w h e i d v a n de b e -s t o r t i n g z e l f . V o o r b e e l d I I I . B i j de b e p a l i n g v a n h e t e v e n w i c h t v a n e e n s t r o o m -k a n a a l ( P i g . 8) -k a n oo-k n i e t I n de e e r s t e p l a a t s i s e r een d i r e c t v a n P i g . 5 ( o f v e r g . 20) w o r d e n u i t g e g a a n u i t b r e i d i n g v a n de t h e o r i e n o d i g v o o r h e l l e n d e o e v e r s . U i t h e t b o v e n a a n z i c h t en de d o o r s n e d e v a n P i g . 9 b l i j k t , d a t e r op een k o r r e l op h e t t a l u d e e n r e s u l t e r e n d e k r a c h t „2 . 2 G s m a w e r k t , d i e de r e s u l t a n t e i s v a n de k r a c h t P t . g . v . de s t r o m i n g en de ontbondene v a n de k r a c h t t . g . v . de z w a a r t e k r a c h i s v e r s n e l l i n g , G s i n a.

F__ \ / f + G sin^a^ G s i n a BOVENAANZICHT , G s i n a G c o s a t ^ J / DOORSNEDE F i g . 9 ' Krach-ten op t a l u d De m a x i m a a l m o g e l i j k r e a c t i e k r a c h t , g e l e v e r d d o o r de a a n l i g g e n d e k o r r e l s h e d r a a g t G cos a . t g ^ H i e r i n i s (p de h o e k v a n n a t u u r l i j k t a l u d v a n de k o r r e l s ( v o o r een h o r i z o n t a a l hed g e l d t a = O dus F / G 4 t g ip , ook h i e r m e e k a n de S h i e l d s p a r a m e t e r w o r d e n a f g e l e i d ) . De v o o r w a a r d e v o o r e v e n w i c h t w o r d t dus o f Dus o f „ 2 . 2 S s m a G cos a 2 / F \ 4^ tg(p cos ^ a - s i n ^ a • 2 1 - s m a . 2 s m a t g ' 9 J t g , 2 ( t g ^ + 1 ' 1 - s i n a < „ i ^g<p l ( 2 2 ) en

talud

1 V 4 -•

2

2V2-3 •

4 •

5

-a

30°

20°

10«

[ 30» 25° 20° 0,1 0,2 0,3 OA 0,5 0,6

0

,7

0,8 0,9 1,0

sin^g

De k r i t i e k e s c h u i f s p a n n i n g -C ( a ) d i e g e l d t c v o o r een t a l u d onder een h e l l i n g a i s d e r -h a l v e e e n v o u d i g t e v i n d e n d o o r een r e d u c t i e op de k r i t i e k e s c h u i f s p a n n i n g v o o r h o r i z o n t a l e hodem X ( o ) c aan t e h r e n g e n v o l g e n s F i g . 10. R e d u c t i e f a c t o r v o o r t a l u d h e l l i n g

0.5 0.75 1.0 1.5 2,0 3,0 4.0 5.0 7.5 10.0 cm

0,5 C1751,0 15 2,0 3.0 4,0 5,0 7,5 10 cm

— ^ korreLgrootte

F i g . 1 1 . Hoek v a n n a t u u r l i j k t a l u d v o l g e n s Lane (1953)

- t j a )

. 2

s m a

1

-. 2

s m

(p

j

(24)

Deze r e d u c t i e f a c t o r i s i n F i g . 10 g r a f i s c h w e e r g e g e v e n a l s f u n c t i e v o o r a en (p . Deze g r a f i e k k a n a l l e e n w o r d e n g e h r u i k t a l s v o o r v e r s c h i l l e n d e n i e t - c o h e s i e v e m a t e r i a l e n een keuze v o o r (p k a n w o r d e n g e -m a a k t . H i e r v o o r k a n F i g . 11 w o r d e n g e h r u i k t . B i j h e t beschouwen v a n de k r i -t i e k e s c h u i f s p a n n i n g d i e n -t e r t e w o r d e n b e d a c h t , d a t w e -gens V ='y^/p e e n v o u d i g k a n w o r d e n a f g e l e i d v ^ Ï C Ï C gAD PgAD

(25)

B i j de n a d e r e 'beschouwing v a n d i t v o o r b e e l d komt n u de v r a a g n a a r v o r e n w e l k e s c h u i f s p a n n i n g e n e r l a n g s de wanden v a n h e t s t r o o m k a n a a l v a n F i g . 8

o p t r e d e n . Immers pas dan i s na t e gaan o f deze s c h u i f s p a n n i n g e n l a g e r dan de k r i t i e k e w a a r d e n z i j n . De b e s t bekende b e n a d e r i n g v o o r de s c h u i f s p a n n i n g i n een t r a p e z i u m v o r m i g p r o f i e l i s d i e b e p a a l d met de z e e p v l i e s a n a L o g i e v a n P r a n d t l . Deze v e r d e l i n g g e l d t i n f e i t e v o o r een l a m i n a i r e s t r o m i n g z o n d e r w a n d r u w h e i d . F i g u u r 12 g e e f t een v o o r b e e l d v a n een zo b e p a a l d e s c h u i f s p a n n i n g s i n d e l i n g . G l o b a a l k a n w o r d e n g e s t e l d , d a t e r g e l d t : v o o r de bodem v o o r de o e v e r % = P g h i • max X = 4 P g h i max 4

(26)

(27)

I n p r a k t i j k d i e n t h e t i n d i t v o o r b e e l d a a n g e h a a l d e v r a a g s t u k z i c h a l s v o l g t 0,75 pghi a a n . Men v r a a g t o f e e n g e g e v e n a f v o e r Q d o o r d i t k a n a a l onder een v e r h a n g i k a n w o r d e n v e r v o e r d z o n d e r e r o s i e F i g . 12. V o o r b e e l d s c h u i f s p a n n i n g s - v a n o e v e r en bodem, v e r d e l i n g De e e r s t e v r a a g d i e z i c h d a a r b i j v o o r d o e t i s d e r h a l v e , w e l k e w a t e r d i e p t e e r z a l o p t r e d e n . Immers dan pas z a l met v e r g . (26) en (27) e e n u i t s p r a a k o v e r de

m a x i m a l e o p t r e d e n d e s c h u i f s p a n n i n g k u n n e n w o r d e n g e d a a n . F i g . 13. H y p o t h e s e E i n s t e i n V o o r de b e p a l i n g v a n h k a n met s u c c e s g e b r u i k w o r d e n gemaakt v a n de h y p o t h e s e v a n E i n s t e i n , Deze h o u d t i n ( F i g . I 3 ) , d a t e r i n h e t s a m e n g e s t e l d e p r o f i e l s c h u i f s p a n n i n g s l o z e v l a k k e n a a n w e z i g z i j n d i e h e t t o t a l e d w a r s p r o f i e l A s c h e i d e n i n s e c t i e s A ^ . V o o r e l k e s e c t i e A^ i s h e t v e r h a n g i . De v e r o n d e r s t e l l i n g v a n E i n s t e i n h o u d t n u i n d a t e l k e s e c t i e A^ d e z e l f d e s n e l h e i d v h e e f t . V a n z e l f s p r e k e n d g e l d t de h y p o t h e s e n i e t v o o r h e t e x t r e m e g e v a l v a n een r i v i e r met u i t e r w a a r d e n ( F i g . 1 4 ) . I n d a t g e v a l i s de h y p o t h e s e ook n i e t n o d i g , omdat de o p p e r -v l a k t e n A^ -v a n de s e c t i e s goed k u n n e n w o r d e n g e s c h a t . F i g . 14. R i v i e r met u i t e r w a a r d e n 1 t7 1 Al A2 Al A2

V o o r h e t heschouwde g e v a l v a n F i g . 12 z i j n e r met de h y p o t h e s e v a n E i n s t e i n j u i s t v o l d o e n d e v e r g e l i j k i n g e n op t e s t e l l e n om s l e c h t êén onbekende n . l . de w a t e r d i e p t e o v e r t e h o u d e n . D i t k a n i n h e t k o r t a l s v o l g t w o r d e n a a n g e g e v e n , w a a r b i j i n h e t algemeen de " e q u i v a l e n t e z a n d r u w h e i d " v o l g e n s M k o r a d s e v o o r de o e v e r s ( k ^ ) z a l v e r s c h i l l e n v a n d i e v o o r de bodem ( k ^ ) . Met b e h u l p v a n de v e r g e l i j k i n g v a n C h é z y v o l g t e r v o o r de s e c t i e s (omdat ^1 = ^2^ 2 2 ^ 1 ^2 2 2 1 \ ' 2 ^2

(28)

o f , met de h y p o t h e s e v a n E i n s t e i n ( v ^ = v ^ ) 1 1 2 2 1 h ^2 ^2 H i e r i n i s R ^ = A ^ / P ^ = A ^ | h f' l + n ^ | en R- = A . / = A / B - 1

(29)

(30)

Omdat v e r d e r nog b e k e n d i s C^ = f ( R ^ / k ^ ) en C^ = f ( R g A g ) ( ^ ^ ^ en d a t 2A^ + A^ = A = (B + n h ) h = Q / V

(32)

z i j n e r j u i s t v o l d o e n d e v e r g e l i j k i n g e n a a n w e z i g om h op t e l o s s e n . Samen.vattend k a n w o r d e n g e s t e l d d a t i n de p r a k t i j k h e t h i e r g e g e v e n v o o r b e e l d i n de v o l g e n d e s t a p p e n w o r d t b e h a n d e l d ( i ) b e p a a l h met b e h u l p v a n de h y p o t h e s e v a n E i n s t e i n ( i i ) b e p a a l de m a x i m a l e s c h u i f s p a n n i n g e n met b e h u l p v a n v e r g . (26) en (27) ( i i i ) g a na met de f i g u r e n 5, 9 en 10 o f de o p t r e d e n d e s c h u i f s p a n n i n g e n beneden de k r i t i e k e waarde l i g g e n .

4. Trarg^|)^ort^^jx3or_j3tr^^

4»1» O v e r z i c i r t

De s t r o m i n g o v e r een l o s k o r r e l i g "bed b r e n g t h e t t r a n s p o r t v a n bodemma-t e r i a a l mebodemma-t z i c h mee a l s de s bodemma-t r o o m s n e l h e i d b o v e n een k r i bodemma-t i e k e waarde ( v ) i s . E r i s h i e r s p r a k e v a n een g e c o m p l i c e e r d p r o c e s , omdat e r een

c i n t e r a c t i e b e s t a a t t u s s e n s e d i m e n t - en w a t e r b e w e g i n g , I n d i t o v e r z i c h t w ö r d t e e r s t een f e n o m e n o l o g i s c h e b e s c h o u w i n g v a n h e t t r a n s p o r t p r o c e s g e g e v e n , w a a r n a i n de v o l g e n d e p a r a g r a f e n op een meer k w a n t i t a t i e v e b e -s c h r i j v i n g w o r d t i n g e g a a n . F i g , 15. R i b b e l s o n d e r l a b o r a t o r i u m o m s t a n d i g h e d e n Een v a n de kenmerkende e i g e n s c h a p p e n v a n de s t r o m i n g o v e r een l o s k o r r e -l i g b e d i s h e t o n t s t a a n v a n v e r s c h i l l e n d e b e d d i n g v o r m e n . H e l m h o l t z h e e f t b e s c h r e v e n , d a t e r b i j de s t r o m i n g v a n twee m e d i a o v e r e l k a a r , g o l f -v o r m i n g o n t s t a a t ( w a t e r - z a n d | l u c h t - w a t e r ; l u c h t - s n e e u w ; l u c h t — z a n d e t c . ) .

B i j de s t r o m i n g v a n w a t e r o v e r een z a n d i g bed k a n h e t v o l g e n d e schema w o r d e n g e g e v e n . k a l m r e g i e m v l a k bed z o n d e r t r a n s p o r t ( v < v ) c r i b b e l s ( z i e F i g . I 5 ) d u i n e n ( z i e F i g . I 6 ) w i l d r e g i e m v l a k b e d met t r a n s p o r t a n t i d u i n e n V o o r h e t k a l m e r e g i e m ( g l o b a a l v o o r s u b - k r i t i s c h e s t r o m i n g , dus v o o r h e t F r o u d e g e t a l F = v / | / g h < l ) komen r i b b e l s en d u i n e n v o o r . V o o r g r o f zand en g r i n d w o r d t de r i b b e l f a s e " o v e r g e s l a g e n " . B i j toenemende s n e l h e i d ( g l o b a a l P ^ l ) w o r d e n de d u i n e n a f g e v l a k t . E r o n t s t a a t een v l a k b e d met t r a n s p o r t , d a t b i j toenemende s n e l h e i d a n t i d u i n e n g e e f t t e z i e n . Deze p l a n t e n z i c h v o o r t

t e g e n de s t r o o m r i c h t i n g i n . ' I n N e d e r l a n d z i j n deze a . n t i d u i n e n t e z i e n aan h e t s t r a n d . De w a t e r h e w e -g i n -g z e e w a a r t s t . -g . v . de aankomende g o l v e n v i n d t p l a a t s i n een dunne w a t e r l a a g , e r t r e d e n dan a n t i d u i n e n op. B i j f i j n zand l i g t de o v e r g a n g t u s s e n h e t kalme e n h e t w i l d e r e g i e m a l d u i d e l i j k heneden F = 1 ( k r i t i s c h e s t r o m i n g ) . F i g . 16. D u i n e n i n R i o Apure ( V e n e z u e l a ) De v e r a n d e r i n g v a n de h e d d i n g v o r m z i c h t h a a r h i j v a l l e n d w a t e r . ., ^ , ^ , a l s g e v o l g v a n de v e r a n d e r e n d e s t r o o m -s n e l h e i d h e e f t u i t e r a a r d ook i n v l o e d op de r u w h e i d (men -s p r e e k t h i e r v a n " a l l u v i a l e r u w h e i d " ) . U i t de v e r g e l i j k i n g v a n C h é z y V = C i / h T v o l g t t = H f v^ c

(33)

(34)

vLak bed zonder transport kalm regiem ribbels duinen

ili!'

X' wild reaiem overgang vlak bed met transpcrij ^1' •nti -duinen X"= ribbelschuifspanning T'= korrelschuif spanning

relatie x - v voorvast bed

V o o r een c o n s t a n t e C-waarde v e r l o o p t de s c h u i f s p a n n i n g dus e v e n r e d i g met h e t k w a d r a a t v a n de s n e l h e i d . V o o r e e n b e w e e g l i j k h e d v a -r i e e -r t de C-*-raa-rde en dus w o r d t de r e -l a t i e t u s s e n -t en V g e c o m p l i c e e r d e r

relatie voor beweeglijk bed ^ ^ ^ ^ ^ 1 7 ) . gemiddelde stroomsnelheid ^ F i g . 17. V e r h a n d s c h u i f s p a n n i n g - s t r o o m s n e l h e i d v o o r ' a l l u v i a a l h e d . D i t komt ook t o t u i t d r u k k i n g i n de " e q u i v a l e n t e z a n d r u w h e i d " ( k j ^ ) v o l -gens N i k u r a d s e .

H i e r o n d e r w o r d t v e r s t a a n de d i a m e t e r v a n d e n k b e e l d i g e b o l l e n , d i e n a a s t e l k a a r g e p l a a t s t een g e l i j k e r u w h e i d zouden g e v e n . Met C = 18 l o g

12h

(35)

b l i j k t d a t v o o r een a l l u v i a a l b e d k ^ s t e r k k a n v a r i ë r e n . De b i j b e h o r e n d e C-^aarde k a n , a f h a n k e l i j k v a n de b e d d i n g v o r m w e l v a r i ë r e n v a n 15 t o t 100 m^'s . H e t i s dus e r g g e v a a r l i j k om v o o r een a l l u v i a a l b e d " "zomaar" een r u w h e i d aan t e nemen.

E r moet nog w o r d e n opgemerkt d a t r i b b e l s een s t e r k d r i e - d i m e n s i o n a a l k a r a k t e r hebben ( F i g . I 5 ) . . D u i n e n d a a r e n t e g e n g e v e n een meer t w e e - d i m e n s i o n a a l b e e l d t e z i e n ( F i g , I 6 ) . Deze b e i d e b e d d i n g v o r m e n p l a a t s e n z i c h v o o r t i n de s t r o o m -r i c h t i n g . 4 . 2 . T r a n s p o r t m e c h a n i s m e '• O y Het mechanisme v a n h e t t r a n s p o r t v a n s e d i m e n t e n z a l h i e r w o r d e n b e n a d e r d v a n -u i t h e t t r a n s p o r t i n s -u s p e n s i e (zwevend t r a n s p o r t ) . H i e r t o e bescho-uwen we een c o n t r o l e v o l u m e d x . d y . d z i n h e t s t r o m i n g s v e l d . V o o r de eenvoud v e r o n d e r -s t e l l e n we d a t e r l o o d r e c h t op h e t v l a k v a n t e k e n i n g ( z - r i c h t i n g ) g e e n s n e l h e i d s g r a d i ë n t en c o n -c e n t r a t i e g r a d i ë n t o p t r e e d t . H e t p r o b l e e m mag dan t w e e - d i m e n s i o n a a l w o r d e n beschouwd ( F i g , I 8 ) , Op de n o r m a l e m a n i e r w o r d t n u de b e h o u d s -w e t a f g e l e i d v a n de h o e v e e l h e i d s e d i m e n t p e r v o l u m e e e n h e i d ( = c o n c e n t r a t i e c ) . D i t l e v e r t

dy

F + öf^l

dx

CONCENTRATIE C

•C +

6C 5 t F i g , 18, A f l e i d i n g behoudswet öc

at

9x

9F^

= O

₍₃₆₎

w a a r i n F^ en F^ de component v a n de ( z a n d ) f l u x i n x - r e s p e c t i e v e l i j k y r i c h t i n g v o o r s t e l l e n .

B e p e r k e n we ons v e r d e r t o t een s t a t i o n a i r e s t r o m i n g (dus a c / a t = O) dan g e l d t e r

9F^ aF a r - a r = °

(37)

V o o r he"t e e n v o u d i g s t e s t r o m i n g s g e v a l ( u n i f o r m e o f e e n p a r i g e s t r o m i n g ) g e l d t , dat- de z a n d f l u x i n x - r i c h t i n g c o n s t a n t i s , dus B F ^ / B X = 0. H i e r v o o r g e l d t dus 9F = O o f F i s c o n s t a n t (38) 9y Omdat e r d o o r h e t v r i j e o p p e r v l a k geen s e d i m e n t v e r d w i j n t k a n a l s r a n d -v o o r w a a r d e w o r d e n g e s t e l d ^^{j = h ) = O

(39)

D i t l e v e r t v o o r de u n i f o r m e s t r o m i n g de v e r g e l i j k i n g = O (40)

E r i s i n d i t g e v a l dus geen r e s u l t e r e n d e f l u x i n v e r t i c a l e r i c h t i n g . Toch i s e r w e l een c o n c e n t r a t i e c , d i e l e i d t t o t een component v a n F^ n a a r heneden t e n g r o o t t e W . C ; w a a r i n W de v a l s n e l h e i d v a n h e t s e d i m e n t v o o r -s t e l t . Aan de v o o r w a a r d e v a n v e r g . ( 40 ) k a n du-s a l l e e n w o r d e n v o l d a a n a l -s F^ ook een component n a a r hoven h e e f t .

Deze component w o r d t g e l e v e r d d o o r de t u r b u l e n t i e v a n de s t r o m i n g ( d i f f u s i e ) Het i s g e b r u i k e l i j k t e v e r o n d e r s t e l l e n , d a t de component n a a r boven e v e n -r e d i g i s met de c o n c e n t -r a t i e g -r a d i ë n t ( a c / a y ) . De e v e n -r e d i g h e i d s f a c t o -r i s de d i f f u s i e c o ë f f i c i ë n t z . U i t v e r g . (40) v o l g t dan

s

W c + . ^ | 2 = O (41)

De d i f f u s i e c o ë f f i c i ë n t i s p o s i t i e f , , w a a r d o o r d i r e c t u i t v e r g . (41) k a n worden a f g e l e i d , d a t de c o n c e n t r a t i e c monotoon d a a l t met toenemende

a f s t a n d y t o t de bodem.

B i j b e n a d e r i n g w o r d t aangenomen £ = e s

(42)

W a a r i n e de ( t u r b u l e n t e ) v i s k o s i t e i t s c o ë f f i c i ë n t v a n de w a t e r b e w e g i n g i s , v o l g e n d e u i t X = e d v / d y (43) Een p a r a b o l i s c h v e r l o o p v a n £ v o l g e n s £ = K v ^ y (1 - J )

₍₄₄₎

l e i d t , z o a l s bekend mag w o r d e n g e s t e l d , t o t een l o g a r i t h m i s c h e s n e l h e i d s -v e r d e l i n g . De d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g W.c + K v ^ y (1 - y / h )

g

(45)

d i e d o o r c o m b i n a t i e v a n v e r g . ( 4 1 ) , (42) en (44) w o r d t gevonden k a n w o r d e n g e ï n t e g r e e r d . D i t l e v e r t : c ( y ) c ( a ) h -• a h - y

(46)

m e t

Z = w / (

K V ) — =0.05 n 'T~0,001 0,002 O.OOA 0.01 0,02 0,04 0,1 0,2 0,A

bodem

relatieve concentratie

c(a)

1.0 F i g . 19. C o n c e n t r a t i e v e r d e l i n g ( m e t i n g e n V a n o n i , I 9 4 6 )

H i e r i n i s a een w i l l e k e u r i g e h o o g t e ( 0 < a < h ) waar de c o n c e n t r a t i e c ( a )

0 < y < h de c o n c e n t r a t i e t e k u n n e n u i t r e k e n e n .

Deze v e r g e l i j k i n g g e e f t een r e d e l i j k e b e s c h r i j v i n g v a n h e t v e r l o o p v a n de c o n c e n t r a t i e ( z i e F i g . I 9 ) b i j u n i f o r m e s t r o m i n g , m i t s c « 1 . Algemeen g e l d t d a t gemeten c o n c e n t r a t i e v e r d e l i n g e n een meer u j i i f o r m e v e r d e l i n g v a n de c o n c e n t r a t i e o v e r de v e r t i c a a l g e v e n t e z i e n dan de h e r e k e n d e v e r d e l i n g e n . De g r o o t t e v a n de p a r a m e t e r Z = W / ( K V ) b e p a a l t h e t k a r a k t e r v a n h e t •Sr t r a n s p o r t ( t a b e l 3 ) . A a r d v a n h e t t r a n s p o r t Z = W / ( K V ^ ) v ^ / W i n t e n s i e f b o d e m t r a n s p o r t 10 _1/4 s u s p e n s i e i n b e n e d e n s t e h e l f t _{2,5 1} d e e l t j e s b e r e i k e n w a t e r s p i e g e l 0,8 ₃ goed o n t w i k k e l d e s u s p e n s i e 0 , 1 20 homogene s u s p e n s i e

_0,01

₂₀₀ T a b e l 3. I n v l o e d v a n W / ( K V ^ ) op h e t t r a n s p o r t . Opmerkingen l . V o o r g r o f zand v o l g t de v a l s n e l h e i d de Newtonse-wet ( h o o f d s t u k 2 ) . V o o r de p a r a m e t e r w / v g e l d t dans

D i t i s i n een i e t s .andere vorm d e z e l f d e p a r a m e t e r a l s b i j h e t b e g i n v a n b e w e g i n g r e e d s i s g e s i g n a l e e r d .

2. V e r g e l i j k i n g (46) g e l d t s l e c h t s i n de b u u r t v a n de bodem, ook a l omdat i n de a f l e i d i n g n i e t de b e d d i n g v o r m t e r s p r a k e i s gekomen. Zo g e l d t de v e r g e -l i j k i n g ook n i e t v o o r a = 0.

3. W i l men met b e h u l p v a n v e r g . (46) h e t z a n d t r a n s p o r t b e p a l e n , dan moet d i t gegeven moet z i j n ( i n t e g r a t i e c o n s t a n t e ) om op w i l l e k e u r i g e y met

(47)

v i a _h

(48)

O

w a a r i n s hei; t o t a l e t r a n s p o r t p e r e e n h e i d v a n h r e e d t e v o o r s t e l t . Deze i n t e g r a a l i s m o e i l i j k op t e l o s s e n wegens de m o e i l i j l c h e d e n b i j y = 0| immers de t h e o r e t i s c h e l o g a r i t h m i s c h e s n e l h e i d s v e r d e l i n g i s h i e r ook n i e t r e ë e l . E i n s t e i n ( l 9 5 0 ) h e e f t h i j v e r w a a r l o z i n g v a n de b e d d i n g v o r m h e t b o d e m t r a n s -p o r t t h e o r e t i s c h aange-pakt a l s een s t o c h a s t i s c h -p r o c e s v o o r de r o l l e n d e ' • k o r r e l s , d i e i n d i v i d u e l e s t a p p e n a f l e g g e n , a f g e w i s s e l d met r u s t p e r i o d e s . I n de g e d a c h t e n g a n g v a n E i n s t e i n w o r d t d i t b o d e m t r a n s p o r t omgewerkt t o t de c o n c e n t r a t i e o v e r een h o o g t e v a n 2D v a n de bodem. Op deze w e l e r g t h e o r e t i s c h e m a n i e r w o r d t dan de o n d e r g r e n s v o o r de i n t e g r a a l v a n v e r g . (48) g e -v o n d e n ,

4. V e r g e l i j k i n g (46) g e l d t v o o r u n i f o r m e s t r o m i n g , w a a r b i j de e v e n w i c h t s -c o n -c e n t r a t i e o p t r e e d t . V e r a n d e r i n g e n i n h e t s t r o m i n g s p r o f i e l maken, d a t ook de c o n c e n t r a t i e v e r d e l i n g z i c h moet a a n p a s s e n . Een p r a k t i s c h v o o r b e e l d w o r d t gevormd d o o r een z a n d v a n g , w a a r i n ( z w e v e n d ) zand w o r d t g e v a n g e n d o o r h e t v e r g r o t e n v a n h e t s t r o m i n g s p r o f i e l . 5. B i j de b e s c h o u w i n g o v e r h e t t r a n s p o r t m e c h a n i s m e i s geen h e p e r k i n g gemaakt m . b . t . de k o r r e l g r o o t t e . E r z i j n e v e n w e l a a n w i j z i n g e n , d a t s i l t ( g l o b a a l D < 6 0 ^m) i n v r i j w e l o n b e p e r k t e h o e v e e l h e d e n k a n w o r d e n v e r v o e r d ( v e r g e -l i j k de g r o t e t r a n s p o r t e n v a n b . v . de Ge-le r i v i e r ) . V -l u g t e r (1962) h e e f t h i e r i n een e n e r g i e b e s c h o u w i n g op gewezen. B i j de b o v e n s t a a n d e b e s c h o u w i n g e n i s e r u i t g e g a a n v a n h e t t r a n s p o r t i n s u s -p e n s i e . T h e o r e t i s c h e h e s c h o u w i n g e n d i e u i t g a a n v a n z u i v e r b o d e m t r a n s -p o r t , dus k o r r e l s d i e op de l o e f z i j d e v a n b , v . d u i n e n z i c h bewegen en dan z i c h a c h t e r de d u i n t o p a f z e t t e n (daarmee meewerkend aan de v o o r t p l a n t i n g v a n de b e d d i n g v o r m ) z i j n s c h a a r s . M e e s t a l ( b . v . E i n s t e i n , I 9 5 0 ) w o r d t b i j de t h e o r e t i s c h e b e s c h o u w i n g e n de b e d d i n g v o r m i n e e r s t e i n s t a n t i e v e r w a a r l o o s d , 4 . 3 . T r a n s p o r t f o r m u l e s I n t r a n s p o r t f o r m u l e s w o r d t een r e l a t i e g e l e g d t u s s e n de h y d r a u l i s c h e o m s t a n -d i g h e -d e n en h e t -d a a r b i j o p t r e -d e n -d e s e -d i m e n t t r a n s p o r t . E r b e s t a a t h i e r v o o r een g r o o t a a n t a l f o r m u l e s , d i e a l l e een s t e r k e m p i r i s c h k a r a k t e r hebben en d a a r d o o r ook een b e p e r k t g e l d i g h e i d s g e b i e d . Sommige f o r m u l e s z i j n a l l e e n g e l d i g a l s e r n a u w e l i j k s s p r a k e i s v a n zwevend t r a n s p o r t i a n d e r e g e v e n h e t t o t a l e t r a n s p o r t (zwevend + bodem). B i j de e l e m e n t a i r e b e h a n d e l i n g , d i e i n deze h a n d l e i d i n g w o r d t beoogd w o r d t v o l -s t a a n met de b e h a n d e l i n g v a n -s l e c h t -s twee f o r m u l e -s ; d i t om d u i d e l i j k t e

l a t e n u i t k o m e n d a t hij e l k p r o b l e e m de keuze v a n een g e s c h i k t e f o r m u l e aan de orde b e h o o r t t e komen, I n h e t algemeen z i j n moderne f o r m t d e s n a u w k e u r i g e r dan oude, omdat de n i e u w e f o r m u l e s op meer w a a r n e m i n g e n z i j n g e b a s e e r d .

De m e e s t e , f o r m u l e s g e v e n een r e l a t i e t u s s e n twee d i m e n s i e l o z e p a r a m e t e r s , de t r a n s p o r t parame t e r

(49)

en de s t r o o m p a r a m e t e r ï = • - — ^ ^ Q ^ I n v e r g . (50) komt weer de r e e d s e e r d e r g e s i g n a l e e r d e f a c t o r A D / h i n u met een c o r r e c t i e f a c t o r , de z g n . r i b b e l f a o t o r p.. v o o r De g e d a c h t e g a n g h i e r b i j i s , d a t n i e t a l l e e n e r g i e v a n de s t r o m i n g aan h e t t r a n s p o r t t e n goede k o m t , immers een d e e l v a n de e n e r g i e g a a t v e r l o r e n v i a h e t v e r t r a g i n g s v e r l i e s o v e r de b e d d i n g v o r m . D i t w o r d t t o t u i t d r u k k i n g g e b r a c h t d o o r de s c h u i f s p a n n i n g i. = p g h i t e v e r d e l e n i n twee s t u k k e n + ^ "

(51)

S/—— — — / " i e s b e s c h i k b a a r v o o r t r a n s p o r t b e s c h i k b a a r v o o r v e r t r a g i n g s v e r l B i j een o p t r e d e n d e s n e l h e i d v k a n men n u s t e l l e n t = p g h i = p g ( h i ) » + p g ( h i ) " (52) o f ^2 2 2 ^ V V , ^ _ — _ _^ — _

\^ <

W a a r i n = t o t a l e r u w h e i d ^ k ~ r u w h e i d t . g . v . de k o r r e l s r u w h e i d t . g . v . de h e d d i n g v o r m I n deze g e d a c h t e n g a n g i s e r v o o r h e t t r a n s p o r t b e s c h i k b a a r V

(54)

W a a r b i j ^ = ^ { ^ t ' ^ k } (55)

Een t r a n s p o r - f c f o r m u l e bes-fcaat dan u i t een samenhangend s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n a ) een keuze v o o r de h a s i s v o r m X = f ( " ï )

b ) een keuze v o o r de r i M i e l f a c t o r P¬

c ) een keuze v o o r de maatgevende d i a m e t e r D v o o r h e t l i o d e m m a t e r i a a l .

Omdat b i j de e m p i r i s c h e b e p a l i n g v a n de t r a n s p o r t f o r m u l e de c o ë f f i c i ë n t \i ook de f u n c t i e v a n een c o r r e c t i e f a c t o r v e r v u l t , z a l men v o o r de r i b b e l f a c t o r z e l d e n o f n o o i t de u i t d r u k l c i n g |i = | c ^ / C j ^ j > ^ v i n d e n , d i e b i j een r e c h t -l i j n i g e r e d e n e r i n g u i t v e r g . (52) z o u v o -l g e n . I n de e e r s t e p l a a t s w o r d t h i e r de e e n v o u d i g e f o r m u l e v a n E n g e l u n d - j i a n s e n (1967) genoemd: B a s i s v o r m X = 0,084 Y

- 5 / 2

- R i b b e l f a c t o r - Maatgevende k o r r e l g r o o t t e D = D ^ ^ De f o r m u l e k a n dan w o r d e n g e s c h r e v e n a l s

(56)

= 0,084

2/5 - i ' 5 / 2

AD50 j

(57)

H e t s e d i m e n t t r a n s p o r t ( s ) w o r d t h i e r u i t g e d r u k t i n h e t v e r p l a a t s t e volume zand ( i n c l . p o r i ë e n ) p e r e e n h e i d v a n h r e e d t e en t i j d . D i t h e e f t een v o o r d e e l b o v e n een d e f i n i t i e a l s z u i v e r v o l u m e ( o f z u i v e r e m a s s a ) , omdat de f o r m u l e s v r i j w e l s t e e d s w o r d e n g e b r u i k t i n r e l a t i e t o t h o d e m v e r a n d e r i n g e n . De f o r m u l e v a n E n g e l u n d H a n s e n i s g e t o e t s t v o o r D ^ ^ > I 9 0 |im b i j h e t o p t r e -den v a n een f l i n k zwevend t r a n s p o r t . O p v a l l e n d i s d a t de e x p o n e n t v a n Y een c o n s t a n t e waarde h e e f t ( n . l . - 5 / 2 ) . W e r k t men de s t r o o m p a r a m e t e r Y om t o t de s t r o o m s n e l h e i d ( m . b . v . de f o r m u l e v a n Che'zy), dan r e a g e e r t h e t t r a n s p o r t v o l -gens B-H met de v i j f d e macht v a n de s n e l h e i d .

I n de tweede p l a a t s w o r d t de f o r m u l e v a n M e y e r - P e t e r en M u l l e r (1948) genoemd, d i e g e l d t v o o r g r o f m a t e r i a a l ( D > i h Imm) z o n d e r v e e l zwevend t r a n s p o r t . De kenmerken z i j n - B a s i s v o r m X = 13,3 j Y""^ - 0 , 0 4 7 ^ / ^ - R i b b e l f a o t o r n = / c ^ / c A ' (58) - Maatgevende k o r r e l D = L = ^ p . D , / ^ p .

De f o r m u l e kan dan w o r d e n g e s c h r e v e n a l s

13,3

. - 1

AD

• 0,047

3/2

(59)

I n de f o r m u l e v a n M - P - M k a n d u i d e l i j k de i n v l o e d v a n de k r i t i e k e s n e l h e i d v o o r h e t h e g i n v a n b e w e g i n g w o r d e n h e r k e n d . Men mag z o a l s M . P . en M n a d r u k k e l i j k s t e l l e n u i t v e r g . (59) n i e t a f l e i d e n , d a t e r v o o r h e t b e g i n v a n b e w e g i n g ( n o g geen r i b b e l s , dus ji = l ) z o u moeten g e l d e n h i / A D = 0,047- Z i j s t e l l e n , d a t dan moet w o r d e n g e s t e l d h i / A D = 0,03 z o a l s i n h o o f d s t u k 3 v o o r g r o f m a t e r i a a l ook i s a a n g e g e v e n . I n t e g e n s t e l l i n g t o t de f o r m u l e v a n E - H g e e f t de f o r m u l e v a n M - P - M a a n , d a t h e t t r a n s p o r t n i e t a f h a n g t v a n de s n e l h e i d t o t een v a s t e m a c h t . D i t b l i j k t u i t h e t n a v o l g e n d e . Voor v e e l m o r f o l o g i s c h e b e r e k e n i n g e n i s h e t v e r s t a n d i g n i e t d i r e c t v a n een b e p a a l d e t r a n s p o r t f o r m u l e u i t t e g a a n . Het r e s u l t a a t k a n dan t e s t e r k w o r d e n b e ï n v l o e d d o o r de keuze v a n deze f o r m u l e . Het i s v a a k h a n d i g om g e b r u i k t e maken v a n een algemene b e n a d e r i n g s f o r m u l e .

E l k e t r a n s p o r t f o r m u l e v a n de g e d a a n t e X = f ( Y ) (60) k a n v o o r e l k e Y w o r d e n b e n a d e r d d o o r ( 6 1 ) w a a r b i j a en p kunnen w o r d e n a f g e l e i d d o o r a l s b e n a d e r i n g t e nemen d a t f u n c t i e -waarde en e e r s t e a f g e l e i d e v a n (60) en ( 6 1 ) g e l i j k moeten z i j n . De n i e t - d i m e n s i e l o z e g e d a a n t e v o o r v e r g , (61) i s b s = av w a a r i n a en b v a n a l l e a n d e r e p a r a m e t e r s ( A , D , ( I ) a f h a n g e n . Het i s e e n v o u d i g i n t e z i e n , d a t e r moet g e l d e n b = -2p Zo k a n e r v o o r de f o r m u l e v a n S i ^ g 1 und-^lansen w o r d e n a f g e l e i d

(62)

(63)

P = - 5 / 2 o f b = 5

0,084

(64)

a = V o o r de f o r m u l e v a n M e y e r - P e t e r en M t t l l e r i s de e x p o n e n t p- ( o f b ) v a r i a b e l ,

3/2 „

v o l p ; t

X = 13,3 { y ~ ^ - 0 , 0 4 7 } = aY''

- 3 / 2 . 13,3 { y ~ ^ - 0 , 0 4 7 }

dX dY Y^ o f

- 3 / 2 X

Dus

Y^ { Y~^ - 0 , 0 4 7 }

- 3 / 2

px Y

1 - 0,047 Y

o f , wegens b = -2p

3

b =

1 - 0,047 Y

aP Y*"

(65)

(66)

AD 10 F i g . 20. V e r b a n d b = f ( Y ) M.P8 M H / I n f i g u u r 20 i s v o o r de b e i d e h i e r v e r m e l d e t r a n s p o r t f o r m u -l e s de r e -l a t i e t u s s e n b en ï" w e e r g e g e v e n . S l e c h t s z e l d e n z a l v o o r M . P . M . de e x t r e m e waarde b = 3 g e l d e n , d i e v o l g e n s v e r g . (66) o p t r e e d t v o o r 0,047 Y « 1 P r a k t i s c h v i n d t men v o o r de nede l a n d s e R i j n t a k k e n b . v . m e e s t a l h A 5. Ook op de v o l g e n d e m a n i e r k a n w o r d e n a a n g e t o o n d , d a t de f a c t o r 0,047 m e e s t a l n i e t t e n o p z i c h t e v a n Y mag w o r d e n v e r w a a r l o o s d . H i e r t o e w o r d t de c o m p l e t e v e r g e l i j k i n g v a n M . P . M . g e s c h r e v e n a l s

X =

13,3

Y [ l - ^ V 2 ^ 13,3 Y ~ V 2 _ ^

met (p = Oj047 Y

De n u l d e orde iDenadering g e e f t X

= 1 3 , 3

Y " ^ / ^ de e e r s t e orde b e n a d e r i n g g e e f t X =

13,3

Y " ^ / ^ 1 - 3/2 ¥>

(67)

(68)

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 V (1 lde orde i » 1 Denac ering

\ ^

C vergelijking volledige eer! ber l i -te or ader Je ng « ( 1 -eer! ber l i -te or ader Je ng « ( 1 -_\^) 01 0.2 03 0.4 l p . 0,04'7AD/(llhi) 0.5 F i g . 2 1 . B e n a d e r i n g e n f o r m u l e M . P . M .

(69)

I n f i g . 21 z i j n de d r i e g e v a l -l e n v e r g e -l e k e n . De n u -l d e orde b e n a d e r i n g i s s l e c h t v o o r v e e l i n de p r a k t i j k voorkomende g e v a l l e n . Deze b e n a d e r i n g k a n h i j -v o o r b e e l d -v o o r de R i j n t a k k e n n i e t w o r d e n t o e g e p a s t ( h i e r o p wees ook a l de h i e r b o v e n gegeven waarde h > 5 ) , De e e r s t e orde b e n a d e r i n g i s nog goed v o o r v r i j g r o t e w a a r d e n v a n (p . A a n g e z i e n de e e r s t e orde b e n a d e r i n g e v e n w e l n i e t e e n v o u d i g e r t e h a n t e r e n i s dan de c o m p l e t e v e r g e l i j k i n g , h e e f t deze b e n a d e r i n g s m e t h o d e n i e t o f n a u w e l i j k s e n i g e z i n . 4 . 4 R i v i e r v e r s m a l l i n p ; ( v o o r b e e l d ) T e r d e m o n s t r a t i e v a n h e t g e b r u i k v a n t r a n s p o r t f o r m u l e s z a l w o r d e n nagegaan hoe een r i v i e r met v a s t e o e v e r s r e a g e e r t op een v e r a n d e r i n g v a n de h r e e d t e . V o o r de eenvoud w o r d t u i t g e g a a n v a n een b r e d e r i v i e r ( g e e n w a n d i n v l o e d ) b i j een b e t r e k k e l i j k k l e i n e v e r a n d e r i n g v a n de b r e e d t e . D a a r d o o r k u n n e n v e r a n d e r i n g e n i n r u w h e i d en r i b b e l f a c t o r w o r d e n v e r w a a r l o o s d . V e r d e r w o r d e n a l -l e e n de n i e u w e en de oude e v e n w i c h t s t o e s t a n d met e -l k a a r v e r g e -l e k e n . E r w o r d t dus nagegaan hoe de r i v i e r op dan d u u r r e a g e e r t .

o f n o o i t v o o r k o m t , w o r d t h i e r aangenomen om h e t p r o b l e e m i n e e r s t e b e n a d e r i n g op t e l o s s e n . Daarna z a l w o r d e n nagegaan hoe de r e s u l t a t e n d o o r een v a r i a b e l e a f v o e r w o r d e n b e ï n v l o e d . V o o r de b e s t a a n d e e v e n w i c h t s t o e s t a n d ( i n d e x o) en de nieuwe e v e n w i c h t s t o e -s t a n d ( i n d e x l ) g e l d e n v i e r v e r g e l i j k i n g e n v o o r e l k e d o o r -s n e d e . Wat e r v e r g e l i j k i n g e n ; c o n t i n u ï t e i t = b e w e g i n g Q = B C h " ^ / ^ i ^ S e d i m e n t v e r g e l i j k i n g e n ! c o n t i n u ï t e i t

(70)

b e w e g i n g S = Bav''^ De r i v i e r r e a g e e r t op een b r e e d t e - v e r a n d e r i n g d o o r h e t aanpassen v a n h en i . A a n g e z i e n de b r e e d t e - v e r a n d e r i n g k l e i n i s v e r o n d e r s t e l d , g e l d t 1 ~ o ' ^1 ~ *^o en wegens D = B ook: a, ~ a en K ~ b X O 1 ~ 0 1 ~ 0

Met S = Bav^ = B^"'^ a h " ' ' ' (omdat v = QB""^h"^)

i s dan meteen a f t e l e i d e n : h O B O ^1 b - 1 b

(71)

U i t de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g v o o r h e t w a t e r k a n n u w o r d e n a f g e l e i d B, h / / 2 i i = B ^ 3 / 2 . i 1 1 1 0 0 o

(72)

H i e r u i t k a n met g e b r u i k m a k i n g v a n de gevonden r e l a t i e t u s s e n h / h en / 1' o

B ^ / B ^ n u ook een u i t d r u k k i n g v o o r i-^/^o v e r b a n d met B-|^/B^ w o r d e n g e v o n d e n . D i t g e e f t . l - i

i B ,

O L O -I

F i g . 2 2 . G e v o l g e n breed-te v e r a n d e r i n g Met S = a B ^ - ^ h - ^ en (met C h é z y ) h = v o l g t e r ^ 2 - 2 - 2 - 1 Q^" B ^ C i ^ 1/3 ƒ a c 2 V 3 B1-V3 QV_{3 i V 3 f ( Q ) dQ = c o n s t a n t} I n f i g u u r 22 z i j n de h e i d e gevonden v e r h a n d e n u i t g e z e t . Het s p r e e k t v a n -z e l f , d a t de-ze f i g u u r ook k a n w o r d e n g e h r u i k t om de i n -v l o e d -v a n een h r e e d t e v e r g r o t i n g a f t e s c h a t t e n . Bovenstaande r e l a t i e s z i j n g e v o n d e n i n de v e r o n d e r s t e l -l i n g d a t de a f v o e r een c o n s t a n t e waarde h e z i t . Hoe i s n u de v e r a n d e r i n g v o o r e e n v a r i a ^ h e l e a f v o e r ? H i e r t o e k a n w o r d e n o v e r w o g e n , d a t d o o r de r i v i e r v e r s m a l l i n g de k a n s v e r d e 1 i n g v a n de a f v o e r , f ( Q ) , n i e t v e r a n d e r t . Op den d u u r i s ook h e t g e m i d d e l d e j a a r l i j k s e z a n d t r a n s p o r t i n de oude en n i e u w e t o e -s t a n d g e l i j k .

(74)

(75)

(76)

O

Worden n u b i j b e n a d e r i n g a e n G o n a f h a n k e l i j k v a n de a f v o e r , en g e l i j k v o o r de oude en de nieuwe t o e s t a n d v e r o n d e r s t e l d , dan v o l g t e r

CO fB^"^/^ i ^ / 3 f ( Q ) ^ Q = c o n s t a n t (77) O V o o r een b r e d e r i v i e r i s • de v e r a n d e r i n g v a n B met de a f v o e r g e r i n g . B o v e n -d i e n k a n v o o r een l a n g r i v i e r g e -d e e l t e met c o n s t a n t e B -de g r o o t t e v a n i n i e t met de a f v o e r v a r i ë r e n ( v e r h a n g v e r a n d e r i n g o v e r g r o t e a f s t a n d k o s t v e e l t i j d ) . A l s de e x p o n e n t b n i e t t e s t e r k met de a f v o e r v a r i e e r t , z o a l s d a t b . v . v o o r de f o r m u l e v a n E-H h e t g e v a l i s , v o l g t e r CO 3 l - b / 3 . b / 3 J ^ b / 3 ^ c o n s t a n t (78) O Door de b r e e d t e v e r a n d e r i n g i s de i n t e g r a a l v a n v e r g . (78) n i e t v e r a n d e r d , immers de k a n s v e r d e l i n g v a n de a f v o e r b l i j f t g e l i j k . Ook v o o r een v a r i a b e l e a f v o e r k a n d e r h a l v e f i g u u r 22 w o r d e n g e b r u i k t om de nieuwe h en i a f t e • s c h a t t e n .

Opmerkingen

1 . I n d i t v o o r b e e l d i s aangegeven hoe d o o r h e t v e r g e l i j k e n v a n twee t o e -s t a n d e n een t r a n -s p o r t f o r m u l e n i e t ab-s o l u u t maar r e l a t i e f w o r d t g e b r u i k t . De algemene machtswet i s g e s c h i k t om de s t r u c t u u r v a n een o p l o s s i n g aan t e g e v e n . V o o r een e c h t e b e r e k e n i n g i s een e c h t e t r a n s p o r t f o r m u l e n o d i g . 2. V o o r een e c h t p r a k t i j k p r o b l e e m z a l men n i e t kunnen ( e n behoeven t e ) v o l

-s t a a n met de h i e r gegeven g l o b a l e b e n a d e r i n g . B e l a n g r i j k i -s d a a r b i j d a t men n i e t s l e c h t s i n t e r e s s e h e e f t i n ( u i t e i n d e l i j k e ) e v e n w i c h t s t o e s t a n d e n . De t i j d s a f h a n k e l i j k e o v e r g a n g s t o e s t a n d i s dan e r g b e l a n g r i j k ( z i e h o o f d -s t t i k 5 ) .

3. B i j f i g u u r 22 moet nog w o r d e n opgemerkt d a t a l l e e n b i j u i t z o n d e r i n g

( n . l . v o o r b = 3) h e t v e r h a n g n i e t z a l v e r a n d e r e n b i j een v e r a n d e r i n g v a n de b r e e d t e . '

4 . 5 ' T r a n s p o r t h i j n i e t - u n i f o r m e s t r o m i n g

A l s o v e r g a n g n a a r h e t t i j d s a f h a n k e l i j k e g e d r a g v a n een r i v i e r b o d e m z a l n u w o r d e n nagegaan hoe een bodem r e a g e e r t b i j n i e t ^ ^ i f o r m e ( n i e t - e e n p a r i g e ) s t r o m i n g . H i e r v o o r i s e s s e n t i e e l d a t Q en S l a n g s de beschouwde r i v i e r c o n -s t a n t z i j n , omdat a l l e e n dan h e t h i e r be-schouwde p r o b l e e m o p t r e e d t .