Analytische meetkunde I

ANALYTISCHE

MEETKUNDE

I

DOOR

Or.

J.

B1JL

EN

Drs. W.

J.

H. SALET

AGHTSTE DRUK

-==--

-:=;:.:;p-

--=======

---=-=....=: -===-= = : c = = =

--==

= == = = = = ~.====:

-

--~-:m ~§$t~

P1893

.5 ,3 3 2

(10060

11342

Analytische Meetkunde

DOOR

Dr.

J.

BIJL

EN

Drs. W. J. H.

SALET

DEEL

I

ACHTSTEDRUK BIBLIOTHEEK TU Delft p 1893 5332

1111111111111

C 607134 150 '

HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE

HOGESCHOOL TE DELFT

ONDER REDACTIE VAN

DE VERENIGING VOOR STUDIE· EN STUDENTENBELANGEN

TE DELFT

§ i. § 2. § 3. §14 . § 5. § 6.

~

§ 7. § 8. § 9. § 10. § 11. § 12. § 13. INHOUD

HOOFDSTUK J. Vectoren in het platte vlak (R2 ) en in de ruim -te (RI)

Vectoren

Invoering van een coördinatenstelsel in R₂ De rechte lijn in R₂

Toepassingen Opgaven

Invoering van een coördinatenstelsel in Rl De rechte lijn in R3 .

Het platte vlak Projecterende vlakken

Voorstelling va n een rechte lijn als snij lijn va n twe e vla kken: evenwijdige vla k ke n .

Lijnen- en vlakkenbundel Toepassingen

Opgaven .

HOOFDSTUK IJ. Metriek in R, en Ra §

J

I. Orthonormaal coördinatenstelsel

§ 2. Lengte van een vector § 3. Afstand van twee punten § 4. Hoek tussen twee vectoren .

§ 5. Inwendig produktvan tweevectoren . §~6. Richtingscosinussen

§ 7. De vergelijking van een rechte lijn in R2 en van een platvlak inRi § 8. Hoek tussen twee lijnen in R₂en tussen twee vlakken in Rl . § 9. Normaalvergelijking van een lijn in R2 en va n een vlak in Rl . § la. Afstand van een punt tot een lijn in R₂ en tot een vlak in Ra . § 11. Vergelijking van de lijn die in R2 een hoek middendoor deelt; v

er-gelijking va n het vla k dat in Ra een tweevlakshoek middendoor deelt §12. Toepassingen § J3. Opgaven . bi:. 7

7

12 .13 16 19 20 21 22

25

26

27

29 ~1 .J. 33 33 33 3'1

35

36 37 38

40

41

43

46

48

52

blz. 54 54 0 55 56 59 61 62 62 63 63 65 67 69 72 73 74 76 77 79 HOOFDSTUK lIl. Lineaire afhankelijkheid en lineair e on afhan-kelijkheid van vectoren in RI, R2 en R3 •

Lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijk heid . Opga ven .

Meetkundige betekenis van linea ire afhank elijkh eid en lineaire on -afhan kelijkheid van vect ore n in Rt.R2 en R~

Toepassingen Opgaven .

1

§ 1.

-1

§§ 2.3. § 4. § 5.

r .

e-:

HOOFDSTUK

IV

.

Determinanten van de tweede en van de der-de order-de

§ I. Determinant

§ 2. Oppervlakte van een parallelogram

~

I) § 3. Determinanten van de tweede orde .

§ 4. Uitwendig product van twee vectoren in Ra

LI-

§ 5. Determinenten van de derde orde

§ 6. Eigenschappen van determinanten § 7. Toepassingen

§ 8. Opgaven .

\\ç

§ 9. Regel van Cramer §10. Homogene ver gelijking en § 11. Toepassingen

§12. Opgaven .

I

b

HOOFDSTUK

V.

Meetkundige plaatsen; cirkel en

tweede-graadskrommen in R2 81

§ I. Meetkundige plaatsen 81

§ 2. Opgaven . 83

§ 3. Cirkel in R₂ . 84

) § 4. Raaklijn aan 'een cirkel 85

J § 5. Pool en poollijn t.o.v . een cirkel 87

§ 6. Macht van een punt t.O.V.een cirkel 90

§ 7. Machtlijn van twee cirkels. 91

§ 8. Cirkelbundel 94

§ 9. Opgaven . 95

§10. De parabool . 96

'").§ 11. Raaklijn aan een parabool 98

§ 12. Pool en poollijn t.o.v. een parabool 99

§ 13. De ellips . 100

§

15.

Raaklijn. pool en poo .lijn bij de ellips en, de hyperbool §

16.

Toeg evoegde middellijnen .

§ 17. Opga v en .

c §

18

.

Con st ruct ie van punten van een ellips . §

19.

Constructie van punten va n een hyperbool §

20

.

Opga ve n .

• HOOFDSTUK VI. Homogene coördinaten § 1. Homogene coördinaten in R2 •

§ 2. Ho mo ge ne coördinaten in R3 .

§ 3. Vergelijking van een lijn en van een vlak in homogene coördinaten § 4. Oneigenlijke punten van kwadratische krommen .

-. HOOFDSTUK VII. Assentransformatie; onderzoek van tweede-graadskrommen

§ 1. Even wijdige ver sch uivi ng va n het coördinat en stelsel

§ 2. Onder zoe k va n de krommen voorgesteld door de algemene ver g e-lijking van de tweede graad in x en y zonder de term xy .

§ 3. Ond erzo ek naar het middelpunt van de krommen door de alge me-ne vergelijkin g va n de tweede gra ad voorgesteld en naar de aard va n deze krommen

4-

§ 4. Toepassingen § 5. Opga ven .

§ 6. Draa iing va n het assenstelsel

§ 7. Herleiding van een homogene kwadratische vorm in x en y . § 8. Opgaven .

§ 9. Onderzoe kva n de krommen door de algemene vergelijking van de tweede graad in x en y voorgesteld.

§

10

.

Toep ass ingen §11. Opgaven . blz. 106 106

108

109

IiI

113

114

114

116 116

118

121

121

122 124

125

127

128

129

133

133

135

139

j,

HOOFDSTUK VIII. Raaklijn aan een kromme van de tweede

graad; pool en poollijn

141

§ I. Parametervoorstelling in homogene coördinaten van een lijn in R2

door twee gegeven punten .

141

§

2

.

Raaklijn aan een kromme van de tweede graad .

142

§ 3. Dubbelverhouding

143

2..

§

4

.

Harmonische ligging

144

§ 5. Pool en pooIlijn t.O.V. een kromme van de tweede graad.

146

§ 6. Eigenschappen van pool en poollijn

148

blz. c

HOOFDSTUK IX. Debm

J

₁₅₃

§ I. Voorstellingsw ijze van de bol .

₁

₅₃

§ 2. Cirkel in Ra

₁

_5i

§ 3. Raakvlak aan een bol

₁₅₆

§ 4. Pool en poolvlak t.o.v. een bol

₁₅₇

).

§ 5. Macht van een punt t.o.v . een bol.

₁₅₇

§

6.

Het machtvlak van twee bollen

₁

₅₈

§ 7. Toepassingen

₁

₅₉

HOOFDSTUK X. Algemene beschouwingen over oppervlakken

en krommen in Ra

₁₆₃

§ 1. De voorstellingswij ze van een oppervla k .

163

2

_{§ 3. Parameterkrommen en pa}§ 2. De voorstellingswijze van een ruimtekromme_{rametercoördinaten}

1

₁

66

₆₉

§ 4. Opgaven

1

71

" ; _{HOOFDSTUK XI. Cilinder-, kegel- en} omwentelingsoppervlak-...J ken; regelvlakken

172

§ I. Cilinderoppervlak

1

72

§ 2. Kegeloppervlak

1

7i

"

§ 3. Omwentelingsoppervlakken

1

76

ti

§ 4. Bijzondere gevallen van omwentelingsoppervlakken

179

§ 5. Regelvlakken

₁

₈₃

§

6.

Opgaven

1

87

HOOFDSTUK XII. Opper-..lakken van de tweede graad

1

89

§ 1. Algemene oppervlakken van de tweede graad

189

§

2. De ellipsoïde

189

2

§

3. De éénbladige hyperboloïde

191

§

4. De tweebladige hyperboloïde

195

§

5. De elliptische paraboloïde.

196

§

6

.

De hyperbolische paraboloïde

196

§

7.

Opgaven

198

,

_{HOOFDSTUK XIII. Raakvlak aan een oppervlak van de tweede} ..J

graad; pool en poolvlak

200

§ 1. Parametervoorstelling in homogene coördinaten van een lijn in Ra

door twee gegeven punten

200

t

§ 3. Pool en poolvlak t.o.v. een oppervlak§ 2. Raakvlak aan een oppervlak van de tweede graad.va n de tweede graad.

201

202

§ 4. Toepassingen

203

HOOFDSTUK I

VECTOREN IN HET PL

ATTE

VLAK (R2 )

EN IN

DE RUIMTE (R

3 ).

§ 1. Vectoren.

Met 0 bedoelen we een vast punt in een plat vlak (R2) of in de ruimte (Rl)' Dit punt

0

noemen we de oorsprong.

We beschouwen nu gerichte lijnstukken met

0

als beginpunt en een willekeu-rig punt in R2of Rlalsein d p u n t.Deze gerichte lijnstukken noemen we vecto-ren. die we voorstellen door middel va n een pijl. Om vectoren te onderscheiden

van getallen.duiden we vectoren aan met

OA

.

~.!::..~. enz. (fig. 1).

Fig. 1

De lijn wa a ropeen weetor ligt.heet de drag erva n de vector. In fig . 1is 1 de dra-gerva n de vector

!?.

De vector die zijn begin- en eindpunt in 0 heeft. noemen we de nulvector: deze wordt aangeduid met ~.

Hebben enige vectoren alle dezelfde drager. dan zeggen we dat ze in een

R

l

liggen.

Elke vecto r legt het eindpunt van deze vector ond ubbelzinni g vast. We voegen nu aan elke vector het ein d pun t van deze vector toe.

Omgekeerd legt een punt A één vector ond ubbelzinnig vast. nl. de vector die zijn eindpunt in A heeft. We voegen daarom aan elk punt A één vect or toe. Hieruit volgt:

De punten en de vectoren in

R

I

.

R2

of

R

a

zijn één-éénduidiq aan elkaar toege-voegd.

-+

Gerichte lijnstukken PQ (dat zijn gerichte lijnstukken die niet 0 als begin-punt hebben) duiden we aan met een pijl die P als beginpunt en Q als emd-punt heeft (fig. 2).

P

'

Q' I . .

o

P ~ Á Fig. 2 .. Q -+

Aan elk ger ich t lijnstuk PQ kunnen we één vector ondubbelzinnig toevoegen. -+

nl. de vector die ontst a a t als we PQ evenwijdig aan zichzelf verplaatsen zó, dat het begi n punt in 0 valt. Deze toevoeging duiden we als volgt aan:

-+

PQ

=

OA

=

a.

Deze toevoegi ng is niet èèn -éé n d uid iq. Aan elk gericht lijnstukis één en slechts één vector toegevoegd. maar ongekeerd zijn aan één vector meerdere gerichte lijnstukken toegevoegd. Immers in fig. (2) is:

-+ -+

P'Q'

=

PQ

=

OA

=

a.

De gerichte lijnstukken die niet0 als beginpunt hebben. noemen we vrije vec-toren. Ter onderscheiding hiervan noemen we de vectoren met 0 als beginpunt vast vectoren of é atsv ector . In het vervolg bedoelen we met vector en steeds vaste vectoren.

Op vectoren passen we twee bewerkingen toe. nl. optellin o en vermenig vuldi-ging met een (scalair) getal.

8 Fi\].3a Fig. 3b· ê A §+Q C

-

I

.,

.

..,1

B Q 0 2 A

Optelling van twee vectoren.

Zijn OA

=

~ en OB

=

!!.

gegeven , dan schreven als: ~

+

!!.)

als volgt verkregen: Trek uit het eindpuntA va n~ het gerichte ~

+

!!.

(fig.3a en 3b).

Verder stellen we ~

+

~

=

~

+

~

=

~.

wordt de som van ~ en

!!.

(ge--+

lijnstuk AC

= !!..

dan is OC

=

Vermenigvuldiging van een vector met een (scalair) getal.

Zij OA = ~gegeven, dan verstaat men onder À~ de vector die zijn eindpunt heeft in het punt dat ontstaat door A t.o.v . 0 met J, te vermenigvuldigen.

De vectoren ~ en À~ hebben dezelfde drager. Is J. positief. dan zijn ~ en i.~ ge lijk gericht; isÀnegatief, dan zijn ~en À~ tegengesteld gericht. (fig. 4).

I"

-9

o

Fig. 4 ~I ê

A

~l

Uit bovenstaande volgt:O.~

=

~, À.~

=

~en 1.~

=

~. Meestal schrijven we -1. a als - a

Uit het voorgaande volgt onmiddellijk:

Eigenschap 1. Zijn ~en!!. twee vectoren in Rl. in R2

ot

in R;J,den is ersteeds één en slechts één vector.:: aan toegevoegd met:

~+!!.=.:: Eigenschap 2. (Commutatieve eigenschap).

~

+

!!. =!!.

+~. Immers uit fig. 3a en 3b volgt:

--a

+

b

=

a

+

AC

--

=

OC,

--en

!!.

+

~

= !!. +

BC

=

Oe. Eigenschap 3. (Associatieve eigenschap).

Zijn ~,

!!.

en ~ drie vectoren in

Ri,

in

R2

of in

Ra.

dan is ~

+ (!!. +

~)

=

(~

+ !!.) +

~.

Zijn~.

!!.

en ~ drie vectoren in

R2

of

Ra

dan volgt het bewijs direct uit fig. 5. (Toon zelf aan datde eigenschap ook geldt voor drie vectoren in Rl.)

Uit deze eigenschap volgt, dat men 'een som van drie vectoren a, ben ~ een-voudig kan aangeven met:

De som is immers onafhankelijk van de volgorde waarin men de vectoren optelt.

o

I \

/

\

,

0

\

1 7 ,

..::3

/

!!+Q Fig.5

Eig enschap 4. (Omkering van de optelling).

Zijn ~ en

!!.

twee vectoren in Rl, in R2of in R:l,dan is er één en slechts één vector x aan toegevo egd met:

~+~=!!..

-a

_{- /}

/

o

/ / / / Fig. 6

Als a en b twee vectoren in R2 of

Rl

zijn, volgt het bewijs onmiddellijk uit fig.

6

.

(G;ef zelf het bewijs als ~ en

!!.

in

R,

liggen.)

We schrijven~

+

~

=

!!.

meestal als ~

=

!!. -

~ en noemen:: het verschil van de vectoren ben a.

Eigens chap5. (fig.7 voor i.

=

2 en ,U

=

3)

o

Fig. 7

Uit deze eigenschap volgt. dat we zonder meer kunnen schri jven: i.,u~: Eigenschap 6. Eigen schap 7. (i. +,u)~

=

i.~

+

,H~. Fig. 8 (fig. 7 voori.

=

2en ,11

=

3) (fig. 8 voori.

=

2). I I / /

2

g / Opmerkingen.

1. Uit bovenstaande eigenschappen kunnen we ande r e eigenscha ppen afle i-den. bijv.:

Ut ~

+

i.2~)

+

(,Ut ~

+

f.l2~)

=

Ut

+

,111) ~

+

(i.2

+

,H2) ~; (i. t~ +i.2~+i.3~:))

+

(,Ut~+,u2~+,u3~) + ()Il~ + 1'2~ + I'j~)

=

(1.1 + ,uI +

vd

~ + (i.2+ ,u2-:- '.1'2)~ + (i';l + ,lij + 1':1) ~.

2. l's~

=

i

.

~en ~

=

,u

~. dan zeggen we dat de vectoren ~ en ~ zich verho u-den als de getallen Àen ,u.dus:

~~

_{Is AB}

₌

_!?

_{= }.}

_!:

_{en CD}

~

₌

_~

₌

_.u

_!:

_.

_{dan zeggen we dat de gerichte lijnstuk.}

~ ~

ken AB en CD zich verhouden als de getallen ), en p.dus:

~ -+

AB ; CD

=

À : p. § 2. Invoering van een coördinatenstelsel inR2 •

A

-7/

I

/

I I / ~ / x-as Fig. 9

In het platte vla k_{R.2 kiezen we twee vectoren} ~l en ~2 met verschillende dragers en beide

=1=

~. Dit stelsel van twee vectoren kan dienst doen als een

coördina-ten stelsel inR.2.Het beginpunt 0 van de vectoren heet de oorsprong van het

co-ördina tenste lsel. De dragers van~1 en ~2. waaraan we als positieve richting die van ~l resp. ~2 toevo egen . no em en we de x-as resp. de y-as van het coördina-tenstel se l.

Devecto ren el en e2 noemen we de eenheidsneetoren of besisuectoren,

Door het eindpun t-A van vector OA

=

!:

trekken we lijnen evenwijdig aan de x-asende y-a s (fig.9). Noemen we de snijpunten met de x-as en de y-as resp.

Al en A2• dan is:

De vectoren OAI en OA2 heten de cE!!lponenten van a. Als OAI OA2

=

a2e2.danIjs:

- -

-!:

=

al~l

+

a2~2.

De get all en al en a2heten de !s.-enlilllen..van

!:.

We noemen al en a2 ook de

co-ördin aten van het punt A; al is de x-coördinaat en a.2 de y-coördinaat van A. De coördinaten van een punt zijn de kentanen van de daarbij behorende vector. Uit figuu r 9 blijkt dat aan de volgende twee voorwaarden voor een coördina-tenstelse l wo rd t voldaan:

1. Ieder punt heeft ten opzichte van een gegeven coördinatenstelsel slechts één stelcoördinaten;iedere vector in R2 heeft ten opzichte va n een gegeven coör-dinatenstelsel slechts één stel kentallen.

2. Omgekeerdbeh oo r t bij één stel coördinaten slechts één punt en bij één stel kentallen slechts één vector.

Als al en a2 de kentallen van~ en de coörd ina te n van A zijn. dan verstaan we onder (al.a 2) zowel de vector

als he t eindpuntA(al .a2) van ~.

Inhet bijzonder is~1

=

(1.0) de vector met eindpunt (1.0).~2

=

(0,1) de vec-tor met eindpunt (0, I) en ~

=

(0,0) het punt 0 (0,0) .

Is~

=

(ar.a s ) en!?

=

(bl .b2), dan volgt uit de eigenschappen van de vectoren (zie de opmer king in § Ir:

I. ~

+

!?

=

(al.a2)

+

(b l.b2)

=

(al~1

+

a2~2)

+

(bl~l

+

b2~2) -- (al

+

btl~l

+

(a2

+

b2)~2

=

(al

+

bi.a2

+

b2). dus:

Vectoren worden opgeteld door de overeenkomstige kentallen van de vectoren op te tellen.

2. À~

=

}.( al. a2)

=

}.(a l~1

+

a2~2)

=

;'al~1

+

i.a2~2

=

(J.al.Î.a2) , dus:

Een vector wordt met een scalair getal vermenigvuldigd door de kentallen van de vector met het scalaire getal te vermenigvuldigen.

3. Uit I en 2 volgt:

;.~

+

,u!?

=

i.(al.a2)

+

II(bl.b2) § 3. De rechte lijn in R2•

A. De lijn gaat door O.

x-as

In figuur 10 is de rechte1de drager van vector

~

=

(al

.a~);

~

=?

~.

dus al en a2 zijn niet beide nul.

We beschouwen de vector:

'>I- x

=

J.a. _(I)

*

Als het getalJ.alle waarden doorloopt, dan doorloopt het eindpuntP van

~

alle punten van I.

We noemen (I) een vectorvoorstellinq of een parameterlJoorstelling va n I;i.is de parameter.

Stellen We x

=-

(x.y). dan is (I) te schrijven als: (x.y)

=

Î.(al:a2)

=

(i.a I.Î.a2) Hieruit volgt:

x

=

Àal en y =À a2.

Elimineren we hieruitÀ.dan blijkt dat de coördinaten van

P

(x.y) voldoen aan de vergelijking:

(2) • Omgekeerd volgt uit (2):

x

=

Àal en y

=

Î.a2voor alle waarden van i.. dus:

Zijn al en a2 niet beide nul. dan doorloopt het punt

P

(x.y) de drager van ~

=

(er.as). We noemen (2) de vergelijking van een rechte door O.

Zijn al en a2 beide

=?

O. dan is (2) ook te schrijven als:

(3) Vector ~ is 'een richtinqsoectorvan I; de kentallen al en a2van a heten ri ch-tingsgetallen van I.

Als van een lijn die door 0 gaat. a

=

(al.G) een richtingsvector is (al

=?

0). dan is deze lijn de x-as. Uit (2) volqt: •

jI

de vergelijking van de x-as is: y

=

O.

I

f

Evenzo blijkt dat de vergelijking van de y-as is: x

=

O.

B. De lijn gaat niet doorQ.

In figuur I I isl' de drager van een vector~en 1de rechte die door het eindpunt B van vector è gaat en evenwijdig is met ~.

-Is Àa

=

OA

=

Be. dan is:

-~

=

!?

+ }.

~

=

!?

+

Be

=

oe.

Doorloopt de parameter;' alle waarden, dan doorloopt het eindpunt

A

van de

vector }. ~de lijn 1'. Het eindpunt

e

van de vector:

(4)

doorloopt dus de lijn l.

Fig. 11

We noemen (4) een vectorvoorstelling of een parametervoorstelling van de

rechte die dQ..or het eindp'unt van!? gaat en evenwïdig is met~. Vector~is een

richtin svector van l.

Als~

=

(a1,a2)'!?

=

(bl,b2) en ~

=

(x.y). dan volgt uit (4): (x,y)

=

(bl.b2)

+ ).

(ei.as )

=

(bI

+

;.a1.b«

+

).a2). dus:

(5)

Hierin zijn x en y de kentallen van een vector die zijn eindpunt op 1heeft, maar

ook de coördinaten van een willekeurig punt van l.

Elimineren we}. uit (5). dan blijkt dat de coördinaten van elk punt van l

vol-doen aan:

a2(x - bt} - at{y - b2)

=

0:

We noemen (6) de vergelijking van lijn l uit figuur 11.

Zijnal en as beide

=F

0, dan is (6) ook te schrijven als:

x - bi _ y - b2

(6)

De kentallen al en a2van de richtingsvector ~ zijn weer richtingsgetallen van I.Omgekeerd is een vergelijkin g va n de eerste graad in x en y:

a x

+

b y

+

C

=

O. (8)

waari n a en bniet beide nul zijn, de vergelijking van een rech te lijn. 'Ne kun-nen ditop de volgende wijze aantonen.

Vergelijking (8 ) bevat twee onbekenden x en y. We kunnen aan één va n die onbekenden een willekeurige waarde toekennen.

a c

Stelle n we x

=

J., dan is y _ -

7;

J. -

b

'

dus:

(x.y)

=

(J.

.:-

-

-

~

J._-

~)

=

(

0,-

~

)

+

i.

(

L

-

:

).

Elk punt (x.y) (dat is het eindpunt van de vector (x.Ij)) waarvan de coördi-naten voldoen aan vergelijking (8), is dus gelegen op de rechte die gaat door het eindpunt van vector

(0.

-

-

i

-)

en die evenwijdig is met vector (

I

-,--=--

~

).

Isil

=

0, dan is (8): '(,'1

c by

+

c

=

O.

ofy

= -

b

;

ditis d us de vergelijking van een lijn evenwijdig met de vec tor (1.0). dus even -wijdig met de x-as.

2°.b

=

O.

Vergelijking (8) is nu:

ax

+

c

=

O. ofx

= _

_

c a Stellen we y

=

i..dan is:

(x.y)

= (- : .;.) = (- :

,0)

+

/;.

(0.1).

De vergelijking stelt nu een lijn voor die gaat door het punt (- : '

0)

en die evenwijdig is met de vector (O,l). dus evenwijdig met de y-as.

§ 4. Toepassingen. 1. Evenwijdige lijnen. Gegeven de lijnen:

/ 1: alx

+

bIl}

+

Cl = 0, (al en

br

=1=

0). 12: a2x

+

bzY

+

C2

=

O. (a2en b2

=1=

0).

Uit §

3

volgt dat

(

1. -

1:

)

een richti n gsvect or is va n

lt.

maar dan is ook bl.(1 .- ::) = (bi. -

ad

een richtin gsv ec torvan {I.

Evenzo is (bz.- az) een richtingsvectorvan Iz. Nu is{I

II

(2 als: dus als: (bl.-at}

=

Î.( b2.- a2). b, = Î.bz.al = J.az enCl.

=1=

Î.es. I I , , , rI of als: ~_~* _~_I a2 - b_z C2 '

Is al

=

a2

=

O.dan lopen beide lijnen evenw ijdi g aan dex-as. Is bi

=

b2

=

O.danlop en beide lijnen evenwijd ig aa n de y-as. Als al

=

.

Î. a2,bi

=

J. b2en Cl

=

J. C2. dan vallen {I en {2samen.

2.Bepaal de vergelijk in g van de lijn-{door de punten

A

(xI,yt) en B(x2,Y2) en -+

bepaal de coördi naten van het midden M van het lijnstu k AB.

Oplossing (figuur 12).

y

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ !:1-~\ x-as Fig. 12

A is het eindpunt va n ~

=

(xI ,y d .B is het eindpunt van!!.

=

(X2.Y2). Van de lijn { die doorde eindpunten van ~en !!. gaat. is een richtingsvector:

!!.-~ = (xz-xI.yz-yd. Een param etervoors tellin g va n {is dus:

=

=

~

+ ;.

(!!. - ~). of:

Hieruit volgt:

x

=

XI

+

i. (X2-XI ) Y

=

YI

+

i. (Y2-Y J).

Elimineren we J••dan vinden we voor de vergelijking va n lijn 1:

I's XI

=

X2. dan is de vergelijking van 1: X

=

XI; voor YI

=

Y2 is de vergelij-kin g: Y

=

YI.

-

--In fig. 12is:AB

=

!!.

-

~en AM

=

~ AB

=

~

(

!!.

_

~) .

-Voor het midden M van het lijnstukAB is i.

=

t

.

dus zijn coördinaten va n M:

x=t

{XI+X2) ,Y=! (YI+Y2).

3. Bepaal het snijpunt van de twee lijnen:

11 : ~

=

(2,6)

+

Î. (-3.4). 12: ~ = (2.-I)

+

,11

(1.1). Oplossing.

Daar de vectoren (-3.4) en (I,I) verschillende dragers hebben. zijn I1en 1₂ niet evenw ijdi g ; ze hebben dus een snijpunt.

Elke wa a rdeva n J. en van ,ubepaalt de coördinaten va n een punt va n 1₁ resp. van [2.

Opdat de punten sa men va llen, moet:

of: dus: (2,6)

+

i.(- 3 ,4 ) = (2.--1)

+

.u

(L t). (2-3 1. ,'6

+

4i.)

=

(2

+

,lt. - I

+

,u), 2-31.=2 +11 Hieruit volgt: Het snijpun t is dus:

en 6

+

4À

=

- I

+

,11.

i.

=

- I,,tI

=

3.

(2.6)

+

(-I). (-3 ,4)

=

(5,2), of (controle): (2,-I)

+

3 (Lt)

=

(5,2). De vergelijkingen van 11en 12 blijken te zijn:

' ~

,..

1 -

- )

-11: 4X

+

3 Y

=

26. -=)

[2: X- Y

=

3, ~'}

T

O_{aa r,} 4 _-r----_{- I .}3 _{zIJn I en}.. 1 I2 met evenwIJ Ig' iidi . 0e op ossmg vanI . X en Y UI. dt eze vergelijkingen geeft de coördinaten van het snijpunt. nl.: X = 5,Y = 2.

4. Be pa al het snijp unt van de lijnen :

11: 3 x- 2Y

=

11 12 : ~

=

(1.3)

+

J. (3.1). Oplossing.

Elk puntvan 12iste schrijve n als: (x .y)

=

(1

+

3 À.3

+

À). Zo'n punt ligt op hals }. voldoet aan de vergelijking :

3 (1

+

3I. ) - 2 (3

+

À)

=

11. of 7À

=

14.I.

=

2.

Het snijp unt va n hen12 is dus (7.5).

§ 5. Opgaven.

1. GegeVende lijn I: ~

=

(1.-2)

+

À (2.3) . Tekén_1 en bepaal de vergelijking van l.

Antw. 3x - 2y

=

7.

2. Gegeven de lijn I: 2x

+

3 y - 6

=

O. TekenIen bepaal een vectorvoorstelling van I. Antw.: ~

=

(3.0)

+

À (3.-2).

3. Gege ve n de lijn I: ~

=

(2.-1)

+

I. (-3.2).

DoorP (- 1.2 ) trekt men de lijn m

II

I.

Bepaal een vectorvoorstelling en de vergelijking va n m.

Antw.~

=

(- 1.2)

+

i.

(-3.2);2x

+

3 y

=

4. 4. Gegeven de lijn I:3x - 2Y

+

8

=

O.

Door

P

(2.- 3 ) trekt men de lijn

mil

l.

Bepaal de vergelijkin g en een vectorvoorstellin g van m. Antw. 3 x - 2Y - 12

=

0;~

=

(2.-3)

+

J. (2.3) .

5. Gegevende punten A (3.5) enB (2.-3 ) .

Bepaal een vectorvoorstelling en de vergelijkin g van AB.

Bepaal de snijpu n ten van AB met de x-as en de y-as.

-Bepaal het midden van AB.

Antw.~

=

(3.5)

+

;.

(1.8);. 8 x -y

=

19; (1\l/~ .0) en (0.-19) ; (-'12.1). 6. Gegeven de puntenA (4.5). B (7.6).C (6.-1) en D (3.-2).

Bepaal van de lijnenACen BD een vectorvoorstelling en toon met behulp

-

-hiervan aan. dat de lijnstukken AC en BD elkaar middendoordelen.

Antw. ~

=

(4.5)

+

À (-1.3); ~

=

(3.-2)

+,u

(1.2). 7. Gegeven de punten A (-1.2) en B (3.-4).

-

--Bepaal op het verlengde van AB het punt C zo. dat BC

=

2 AB.

-

--Bepaal op het verlengde van BA het punt D zo. dat AD

=

3BA. Antw. (11.-16) ; (-13.20).

8.

A

en

B

zijn de eindpunten van de vectoren a en

b

.

Toon aan dat een vectorvoorstelling van de-rechte AB is:

Ä.a

+

pb ,

x

=

--- - --- (A

+

11

=F

0).

- À.

+

,u '

Als P een punt is van AB dat bij gegeven waarden va n J, en ,u behoort.

bewijs dan:

~ ~

AP : BP

=

-I'- : À..

9. Gegeven de punten

A

(1.2) en

B

(3.4). De lijn 8 x - 7

Y

=

0

'

-

~

snijdt de lijn ABinP. Bereken AP : BP. Antwoord: 3 : 2.

W.

Gegeven de pun-ten

A

(3,6) en

B

(6.9). De lijn~

=

a (5,8) snijdt de lijn

~ ~

AB in P.Bereken AP : BP. Antwoord: 2 : -1.

§ 6. Invoering van een coördinatenstelsel in R_{3 •}

In de ruimte

R

3kiezen we drie vectoren~l. ~2 en ~:l alle

=F

~ en zó dat de vec-toren niet in één vlak liggen. Dit stelsel van drie vecvec-toren kan dienst doen als een coördinatenstelsel in

R3.

Het beginpunt

0

heet de oorsprong van het coör-dinatenstelsel (fig. 13). z-as

A

₃ <, <, <,

A

<,

~

ê I

I

0

~,

A,

x-as

•

-> <, . / <, _I ... . ./

-

-. ._ ~ Fig. 13

De dragers van el, e2 en e3, waaraan we als positieve richting die van el. e2 en

~3

toevoegen, noemen we -;esp. de x-as, de y-as en de z-as van het coördinaten-stelsel. De vectoren ~l, ~2 en ~3 noemen we de eenheidsoectoren of de basis-vectoren.

Door het eindpunt A van vector OA

=

~brengen we vlakken aan evenwijdiq met het YOZ-vlak. het XOZ-vlak en het XOY-vlak. Noemen we de snijpun-ten met de x-as. y-as en z-as resp. AI. A2 en A₃ (fig. 13) dan is:

~

=

OAI

+

OA2

+

OA3• De vectoren OAI.OA2 en OA3heten de componenten van~.

Als

dan is:

~

=

al ~I

+

a2~2

+

a 3~3.

De,geta llen al.a2en a;j heten zowel de kentallen van ~ als de coordineten van

A. Met (al.a2.a3) bedoelen we zowel a als A.

Uit fig. 13blijkt.dat aan de volgende twee voorwaarden voor een coördinaten -stelsel in !?~ wordt voldaan:

10. Ten opzichte van een gegeven coördinatenstelsel heeft elk punt slechts één stel coördinaten en elke vector slechts één stel kentallen.

2°. Bij elk stel coördinaten behoort slechts één punt en bij elk stel kentallen slechts één vector.

In

R.

3

is:

el

=

(\,0.0). ~2

=

(0.1.0) en ~;l

=

(0.0.1). Opgave.

Is~

=

(ar.as.sa) en!!.

=

(b l.b2.b3)). toon dan aan met behulp van eigenschap-pen uit § 1. dat ook in

_R.3

geldt:

~

+

!!.

=

(al.aM3)

+

(bl.b2.b3)

=

(al

+

bi.e:

+

b2.a3

+

ba); Ä~

=

2(a\.a2.a:J)

=

(i.a\. i. 32.i.a;Jl;

i.~

+

,u!!.

=

2 (al.a2.a3)

+

,u (bJ,b2.b3)

=

pal

+

ubs, i.a2

+

,/lb2. i.a3

+

,/Iba) § 7. De rechte lijn in R3•

z

In figuur 14 islde lijn die evenwijdig is met~en door het eindpunt va n zigaat. Doorloopt de parameter }. alle waarden, dan wordt lijn l doorlopen door het eindpunt van de vector (zie § 3):

(1)

(2) Zowel in R2 als in R3 is dus (1) '~en vectorvoorstelling of een parametervoor-stelling van een lijn met richtingsvector ~en gaande door het eindpunt van !!.. Is in R3 :~

=

(al.a2.a3).!!.

=

(bl.b2.b3) en :::

=

(x.y.z). dan volgt uit (I):

(x.y.z)

=

(bl.b2.b3)

+

}.(al.a2.a3)

=

(bi

+

}.al.b2

+

À.a2.b3

+

}.a3). dus:

\ X

=

bi

+

J.al/ !J

=

bz

+

J.a2\ z

=

b3

+

J.a3)

Zijn al, a2 en ea alle

#-

0 en elimineren we À. uit (2),dan blijkt dat de coördi-naten van elk punt (x.y.z) van l voldoen aan:

x-bi _ y-b2 _~~b:l

al a2 a;l (3)

We noemen (3) de vergelijkingen van een lijn l in

Ra

met richtingsgetallen al. a2 en a3 en gaande door het punt (bl.b2.ba) . Is al

#-

O. as

#-

0 en aa

=

0, dan is de richtingsvector (al.a2,O); de lijn I is dan evenwijdig aan het XO Y-vlak. Uit (2) volgt dat de vergelijkingen van l dan zijn:

Is al

#-

O. a2

=

aa

=

O. dan is (ar.û.O) de richtingsvector; de lijn l loopt dan evenwijdig aan de x-as; de vergelijkingen worden nu:

y

=

bs, Z

=

ba. In het bijzonder zijn de vergelijkingen van de x-as:

y

=

z

=

O.

Zo zijn de vergelijkingen van de y-as: x

=

z

=

0 en de vergelijkingen van de z-as: x

=

y

=

O.

~ 8. Het platte vlak.

A. Het platte vlak gaat door de oorsprong O.

In figuur 15 is

V

het vlak door de vectoren

b

en c; het vlak

V

gaat dus door O. Is

P

een punt in vlak

Ven

noemen we

OP ::

~.dan is:

Omgekeerd is voor elke waarde van Áen van IJ. het eindpunt van vector ~ die

voldoet aan (1) een punt van V.We noemen (1) een vectorvoorstelling of

pa-rametervoorstelling van het vlak V door de vectoren

!!.

en

!::

y

x

Fig. 15

B.

Het vlak gaat niet door O.

/

Àb_{_ /}/

Fig. 16

(2)

In figuur 16is

V

het vlak door het eindpunt van a en evenwijdig aan

b

en c.

Het vlak

V'

gaat door

b

en c,dus is

VII V'.

-Kiezen we in V eenpuntP;n noemen weOP

=

~, dan is:

=-

=

.!!..

+

OP', ~

=

~

+

Á

!!.

+

IJ.~.

(3) Omgekeerd is voor elke waarde van}. en va n 11 het eindpun t van vect or ~ die voldo et aan (2).een punt van V. We noem en (2) ee n _{oectorvoosstellinq of een} parametervoorstelling _{van het vlak V dat door het eindpunt van ~}

gaat en dat evenwijdig is met!!. en

!:.

.

Als ~

=

(a\ ,a2,a;I ). !!.

=

(b\, b2.b3).

!:.

=

(C}, C2,C3 ) en ~

=

(x.y.z), da n volgt uit (2):

dus:

x

=

al

+ }.

_bi

+

_,uCl

I

y = a2

+

.l.bz

+

!l C2 \' Z

=

a3

+ }.

bs

+

11 C3.

Hierin zijn x. y _{en z de kentallen van een vector die zijn ein d p un t in}

_V

heeft. maar _{ook de coördinaten van een willekeurig punt in V.}

Elimineren we}, en ,n uit (3),_{dan blijkt dat de coördinaten van elk punt van V} voldoen aan _{een lineaire vergelijking in x. y en z, dus een vergelijking}

van de vorm:

A x

+

B y

+

C

z

+

D

=

O

.

(4)

We noemen (4) de vergelijk'ing van een plat vla k.

We zullen het bovenstaande met een voorbeeld toelichten . Stel ~

=

(1.0,1),

!?

=

(1,-1,2) en c

=

(2,-3,3),dan gaan de verg elijkin gen (3) over in:

x

=

1

+ }. +

211'

y= .l.-31l

z

=

1

+

2-}.

+

311.

Elimineren we i, en p. dan krijgen we een ver gelij ki ng van de vorm (4). nl.:

3 x

+

y - z

=

2. Omgekeerd is elke lineaire vergelijking in x. y en z:

A x

+

By

+

Cz

+

D

= 0,

(A

Ben

C

niet alle nul)

de vergelijking van een plat vlak. _{We tonen dit op de vol g en d e wijze aa n:}

Stellen we y

= }.

en z

=

!l,dan is:

B e D

X_{= A l j f P}

-A "

dus:

Elk pun t (x .y .z) waarvan de coördinaten vold oen aan vergelijk ing (4) . is dus gelegen in het vla k door het eindpun t va n

~

= ( -

~

.0,0 ) en evenwijdig aan !!. =

Is B

=

0 dan is

B

C

( - A 1.0) en~ = (- A,O,I) .

een vlak evenwijdig aan de vector b

=

(0,1,0) dus evenwijdig aan de y-as. Is-C

=

0,dan is:

een vlak evenwi jdig aan de vector ~

=

(0,0,1), dus evenwijdig aan de z-as. Is B

=

C ~ O. dan is

D

Ax

+

D

=

0,of x

= -

A

eenvla k evenwijdig aan de y-as en dez-as,dus evenwijdig aan het YOZ-vlak. In het bijzonder is x = 0de ver g elijki ng van het YOZ-vlak.

20

• A

=

O.

Op dezelfdewijze als in 1

°

vinden we dat

de vergelijking is van een vlak evenwijdig aan de x-as.

De vergelijking

D

By

+

D = 0,of y = -

B

is een vlak evenwijdig aan het XOZ-vlak, terwijl:

D

Cz

+

D

=

0,of z

= -

C

de vergelijking is van een vlak evenwijdig aan het XOY-vlak .

De vergelijking van het X OZ-vlak is: y

=

0, terwijl de vergelijking van het XOY-vlak is:z

=

O.

§ 9. Projecterende vlakken.

In § 7 hebben we gezien dat de vergelijkingen van een lijn I gaande door het punt (bl,b2.ba) en met richtinqsqetallen al. as en as (al, a2 en aa

=/=

0) zijn:

x-bi _ y-b2 _ z - ba

Deze vergelijkingen stellen drie platte vlakken voor, nl.: VI: x-bi _'l...-b2 al a2

VJ

:

y - b2_ Z - b3 a2 a:J x y Fig. 17

Elk punt (x.y .= ) van de lijn [ligt ook in de vlakken VI, V2 en V3• De vlakken

VI. V2 en

V

I

ga an dus door de lijn

I.

Volgen s § 8 is het vla k VI evenwijdig aan de z-as (fig. 17). We noemen VI het projecterend vla k van [ evenwijdig aan de z-as.

Projecteren we [ evenwijdig aan de z-a s op het XOY-vlak, dan ontstaat de proj ectie [' van l, De vergelijkingen van l' zijn:

x-bi y-b2

·_ - = - - - . z = O.

al a2

De vlakken

V

2 en

V

3zijn de projecterende vlakken van [ resp. evenwijdig aan

de y-as en de x-as.

§ 10. Voorstelling van een rechte lijn als snijlijn van twee vlakken; evenwij-dige vlakken.

Behalve door twee projecterende vlakken kunnen we een rechte lijn ook bepa

Een rechte lijn I kan nl. ook gegeven worden door de vergelijkingen:

VI: AIx

+

BI Y

+

Clz

+

DI = O.

V2: A2x

+

B2 Y

+

C2z

+

D2 = O.

Elimineren we hieruit achtereenvolgens x, y en z, dan vinden we de vergelij-kingen der projecterende vlakken van I resp. evenwijdig aan de x-as, de y-as

en de z-as, Het projecterende vlak van de snijlijn van VI en V2 dat evenwijdig is aan de z-as, heeft tot vergelijking:

(AIC2- A2C1 ) X

+

(B1C2- B2Cdy

+

(DIC2'- D~Cd

=

O. Is A IC2 - A2CI

=

B IC2 - B2CI

=

0 en DIC2 - D2CI =I=-0,dan is deze ver-gelijking vals. De vlakken VI en V2 hebben dan geen punt gemeen en zijn dus evenwijdig.

De vlakken V1 en V2 zijn dus evenwijdig als er getal k

=I:-

0 bestaat, zo dat:

Al

=

k A2,B1

=

k B2, Cl

=

k C2en Dl

=I:-

k D2•

De vlakken V1en V2 vallen samen als:

Al

=

k

A2,

B1

=

k B

2,

Cl

=

k C2en Dl

=

k

D2.

§ 11. Lijnen- en vlakkenbundel.

Zijn 11

==

a1X

+

bly

+

Cl

=

0

12

==

a2X

+

b2Y

+

C2

=

0

twee verschillende lijnen in

R2

en nemen de parameters J. en ft alle waarden aan, dan noemt men de verzameling lijnen:

J.

1I

+

ft 12

=

0 (J.en ft niet beide nul) (1)

eenlijnenbundei.11en 12heten de basisexemplaren van de bundel. Snijden11en

12

elkaar in

S,

dan heet

S

de top of het centrum van de bundel.

De parameters Àen f.l zijn homogene parameters, d.w.z. de stellen parameters

p,

p) en (kJ., ku ) (k

=I:-

0) stellen hetzelfde bundelexemplaar voor.

Eigenschap 1: Elk tweetal exemplaren van de bundel kan als besisexempeten

dienst doen. Bewijs. Stel eT' mi

==

}.I11

+

,ut lt

=

0 m2

==

J.2 12

+

f./2 /2

=

0 (2) zijn twee exemplaren van de bundel. De lijnenbundel met mi en m2 als basis-exemplaren is dan:

;. mi

+

',U m2

=

0

of: ().Át

+

,u ),2) lt

+ (;

.

fl1

+

u ,112) 12

=

O.

Hierin nemen ÀÁ1

+

,u 22 en A,U t

+

,11 /12 alle waarden aan, dus stellen (1) en (2) dezelfde verzameling lijnen voor.

Eigenschap 2. Snijden

lt

en Iz elkaar in het punt S, dan gaat elke lijn van de bundel door S, terwijl door elk ander punt in R2 één en slechts één lijn van de bundel gaat.

Hieruit volgt dat elke lijn door S geschreven kan worden als: ). II

+

1112

=

O.

Eigenschap3.Zijn II en l2 evenwijdig, dan zijn alle lijnen van de bundel even-wijdig met

lt,

terwijl door elk punt in R2 één en slechts één bundelexemplaar gaat.

Hieruit volgt dat elke lijn evenwijdig met

lt

geschreven kan worden als:

(Geef zelf het bewijs van eigenschap 2 en eigenschap 3).

Zijn

VI

==

al x

+

b, Y

+

Cl Z

+

dl

=

0

en V2

=

a2x

+

bz Y

+

C2z

+

d2

=

0

twee verschillende vlakken in

R3

en nemen de parameters J. en 11 alle waarden aan, dan noemt men de verzameling vlakken

). VI

+

,u V 2

=

0 (J.en 11 niet beide nul)

(3)

een olekkenbundel. VI en V2 heten de besisexempleten. Snïden VI en V 2

el-kaar volgens een lïn s, dan heet s de as of de drager van de bundel.

-De parameters). en I-l zijn weer homogene parameters. - - -

-Evenals bij de lijnenbundel heeft men bij de vlakkenbundel:

Eigenschap 4. Elk tweetal exemplaren van de bundel kan als basisexemplaren dienst doen.

Eigenschap 5. Snijden VI en V2 elkaar volgens een lijn s, dan gaat elk vlak van de bundel door s, terwijl door elk punt buiten s één en slechts één vlak van

de bundel gaat.

Elk vlak door s kan geschreven worden als). VI

+

,u V2

=

O.

Eigenschap 6. Zijn VI en V 2 evenwijdig, dan zijn alle vlakken van de bundel evenwijdig met VI, terwijl door elk punt één en slechts één bunde/exemplaar gaat.

-~ -

--§ 12. Toepassingen.

o~=---

__

Fig. 18

1. Bepaal een vectorvoorstelling van het vlak V door de punten A(al,a2,a3).

B(b t.b 2,b3) en C(Cl , C2 . C3 ) . Oplossing.

Noemen we~

=

(al,a2,a3) .!?

=

(b1,b2.b3) en!:.

=

(Cl,C2 ,C3). dan ga at het vlak

V

door het eindpunt van~ en is evenwijdig aan !?-~ en !:.-~ (fig. 18). Een

vectorv oo rstellin g van V is dus:

~

=

~

+

;.

(!?-~)

+

11 (!:.-~).

2. Gegeven de punten A(1.2,3).B(4,5,-3) en het vlak V met vergelijking:

2 x - y

+

3 z

=

4. ( I )

Gevraagd het snijpunt

C

van de lijn AB met het vla k V en de verhouding van

-de lijnstukken ACen CB.

Oplossing.

Stellen we a

=

(1.2,3) en!?

=

(4.5.-3), dan is een vectorvoorstelling van de

lijn AB: ~

=

~

+

À (!:-~). ( 1.2.3)

+ ;.

(3.3,-6). dus: I'sx = ix.q.z] ,dan is: x

=

I

+

3 À, y

=

2

+

3Àen z

=

3-6 À. (2)

Substitueren we deze waarden in (1). dan vinden we:

2 (1

+

3 À) - (2

+

3 À)

+

3 (3-6 ).) = .4. dus À

=

t.

Substitueren we deze waarde van À in (2). dan vinden we de coördinaten van het snijpunt

C.

C is dus het punt (2.3.1).

~ ~

UitÀ

=

t

volgt verder dat AC

=

t

AB. dus is:

--

--AC: CB

=

1: 2. 3. Gegeven de lijnen: 2 x - y x

+

y 3 x - 2 y 1 2

6.

Bepaal de vergelijking van de lijn die door het snijpunt van

ft

en /2 gaat en tevens evenwijdig is met /3.

Oplossing.

De gevraagde lijn is een exemplaar van de lijnenbundel.

Àl (2 x - y - 1)

+

À2 (x

+

y - 2)

=

O.

of (2 ij

+

).2) x

+ (-

il

+

À2) y -.'.1 - 2 À2

=

O. Opdat dit bundelexemplaar evenwijdig is met/3. moet:

- À1

+

À2

- 2

of

We kunnen dus11

=

5 en À2

= -

1 nemen. De vergelijking van de gevraagde lijn wordt dan:

9 x - 6y - 3

=

O. of 3x - 2y

=

1.

~

4. Gegeven de lijnen:

~2x-y+z=-1 ( x - y - 2 z = 5

h:(

x+y+z=3 /2:(x-3y+2;t=7.

Bepaal een vectorvoorstelling en de vergelijking van het vlak

V

door /1 en dat evenwijdig is met /2.

Oplossing.

projecte-·

- - -

-rende vlakken. Bijv.:

) 3 x + 2 z = 2

1\:( x -2y

=

-4.

Stelx = 2 1,dan is

y

= 2

+

Äen z = 1 - 3 1;een vectorvoorstelling van 11 is dus:

=

=

(0.2. 1 )

+

Ä(2.1.-3 ). Het gevraagde vlak

V

is evenwijdig met12. dus met:

,

J

x - y - 2 z =0 2x-4y =0

12 :( x - 3y

+

2z = 0 of12': 2y - 4z = O. Stelx = 4fl.dan is y = 2,uen z = p; dan is1'2:

s>»

(4.2.1).

Een vectorvoorst elling van het vlak

V

is dus:

=

=

(0.2.1)

+

1 (2.1.-3)

+

fl (4.2.1). Hieruit volgt: x=ZÀ+4fl)

~

2 4

y=2

+ 1 +2fl(~

x 3 -

Y:-;

'7

1 3 . \ y

+

z -

+

,u.

z = - I.

+

,tI )

De ver gelijkin g van het vlak is derhalve:

x - 2 y

= -

4.

§ 13.Opgaven.

1. Gegeven de lijn 1:= = (Z.-3.1)

+}.

(5,2.-1) en het punt P (3.-1,2) .

Bepaal een vectorvoorstelling en de vergelijkingen van de lijn door P en evenwijdig met

1.

Antw.== (3,-1.2) +J.(5.2.-1);2x - 5 y - l 1 = y + 2 z - 3 = 0.

2. Gegegen het vlak V: = = (-1.2.1)

+

1 (3.-1.2)

+

fl (-2.4.1) en het

puntP (1.0.2) .

Bepaal een vectorvoorstelling en de vergelijking van het vlak door

P

en evenwijdig met V.

Antw. = = (1.0.2)

+).

(3.-1.2)

+

fl (-2.4,1); 9 x

+

7 y -

la

z

+

11

=

O.

3. Gegeven het vlak V:2x

+

3y

+

5 z = 8 en het puntP(3.1.-1).

Bepaal de vergelijking en een vectorvoorstelling van het vlak door P en evenwijdig met

V

.

4. Gegeven de lijn

I

met vergelijkingen 3 x

+

y - z - 3

=

x

+

y - I

=

0 en het punt P (3,-1,4).

Bepaal de vergelijkingen en een vectorvoorstelling van de lijn ~ door P en evenwijdig met L.

Bepaal de vergelijkingen van de projecterende vlakken van m. Bepaal de snijpunten van m met de coördinaatvlakken.

Antw.3x+y-z-4=x+y-2=0;~=(3.-1.4)

+1

(1.-1,2);

x

+

y = 2.2'x-z = 2,2y

+

z = 2; (1,1,0), (2.0.2) en (0,2.-2). 5. Gegeven het vlak V :~

=

(2.1.0)

+

À (-1,1.0)

+

Il (3.0,-2) en de lijn

I :~

=

(0.0,2)

+

a (1.2,-2).

Onderzoek de onderlinge ligging van I en V. 6. Gegeven de lijnen:

I: ~

=

(0.1.0)

+

À (1,1,1) en m:~

=

(0,2.-1)

+

Il (1.0,0) en de vlakken:

V :x

+

2Y

+

2z

=

1en W :x -

y

+

z

=

O.

Bepaal de lijn die evenwijdig is met

Ven

die

l

en m resp. in

A

en

B

snijdt

-+

zo, dat het midden vanAB in W ligt. Antw. ~

=

(1013,2. - 1)

+

À (8, I, -5). 7. Gegeven de lijnen:

11 : 7x - I S Y

=

23 en12 : 8x - 9 y

=

25.

Bepaal de vergelijking van de lijn die door het snijpunt van 11 en 12 en door het punt P (8.-1) gaat.

Antw. x

+

6 y

=

2. 8. Gegeven de lijn I:

~2x+y- z= 5

?

x -y

+

2z

=

-4.

Bepaal de vergelijking van het vlak door l en het punt P (1.2.0). Antw. 7 x

+

2 IJ - Z

=

11.

) 1

HOOFDSTUK 1I

METRIEK IN Rz EN Ra.

§ 1. Orthonormaal coördinatenstelsel. Definitie.

Een coördinatenstel in Rz en in R3 noemt men orthonormeel, als: 10. de eenheidevectoren alle de lengte 1 hebben:

2°. de eenheidevectoren twee aan twee loodrecht op elkaar staan. Opmerking.

Voor het bepalen van lengten van lijnstukken en vectoren en voor het bepalen van hoeken zullen we uitsluitend orthonormale coördinatenstelsels gebruiken. § 2.Lengte van een vector.

x

Fig. 19

In

R2

is a

=

(al,a2)

=

al el

+

a2 e2 (fig. 19). De x-component al'el van a heeft de lengte

I

al

I:

de

y-~omponel~i

a2

~2

heeft de lengte

1

as

I.

No;men

w~

I

~

!

de lengte van de vector ~, dan is volgens de stelling van Pythagoras:

1~1

=

V (

Ial 12

+

Ia212)

=

V

(a12

+

a22). In Ra is a

=

(al,az,a3)

=

al ~l

+

as ~2

+

a3~3 (fig. 20).

Passen we tweemaal de stelling van Pythagoras toe, dan vinden we voor de

lengte van de vector~;

z

-a,

~1 X

/

Fig. 20

§ 3. Afstand van twee punten.

A

x

De puntenA(ei.aa) en B (bl.b2) inR2 zijn resp. de eindpunten van de vectoren

~

=

(al.a2) en!!.

=

(b1.b2). De afstand ABvan de punten A en B is gelijk aan

de lengte van de vector~-!!.(fig. 21 ).

Hieruit volgt:

AB

=

1~-!!. I

=

v' {

(al-bl)2

+

(a2-b2)2}.

Evenzo blijkt dat de afstand van de puntenA (al.a2.a3)en B (bl.b2.b3) inR3 ge~ lijk is aan:

§ 4. Hoek tussen twee vectoren.

o

A

7

/

/

I

/

Fig. 22

In fig. 22 is q; de uitspringende hoek tussen de vectoren~ en !!..OA = 1~

i.

OB

=

I

!!.

1

en AB

=

I

~-!!.

I·

Volgens de consinusregel in

6

OAB is:

AB2

=

OA2

+

OB2 - 2OA .OB .cos q;.

dus:

1~-!!.12

=

1~\2

+

1!!.12- 2 . I~ I . I!!. I . cosq;.

Als in R2 :a

=

(al.a2) eti b

=

(bl.b2), dan is: ~-!!.

=

(al - bi. a2 - bs),

dus:

1~ _ !!.12 = (al-bd 2

+

(a2- b2)2=

= al2

+

a~

+

bl2

+

b22 --2(albl

+

B2b2)

=

!

~12

+

1!!.12 - 2 (albl

+

esbe),

Door substitutie in (1) vinden we:

dus:

( I )

(2)

Als in R3 : a

=

(al,a2,a3) en !!.

=

(b1,b2,b3). dan is: a - b

=

(al - bI, a2 - bs, a3 - _b3). Hieruit volgt:

I

~

- !!./2

=

I

~

12

+

I!!.12 - 2 (alb2

+

a2b2

+

esb s ) , Substitueren we dit in (1). dan vinden we:

(4) dus:

(5) § 5. Inwendig produkt van twee vectoren.

Indien in R2 : a

=

(al,a2) en!!.

=

(b1,b2), dan noemen we het getal:

alb1

+

a2b2

het inwendig produkt van de vectoren

~

en !!..Dit inwendig produktwordt aan -gegeven door (~'!!.)'dus:

(~.!!.)

=

atb1

+

a2b2.

Evenzo verstaan we onder het inwendig produkt van de vectoren -:

=

(al.a2.a3)

en !!.

=

(b1.b2,b3) in R3:

of:

(~.!!.)

=

esb,

+

a2b2

+

ezb«,

Zowel in R2 als in R3 geldt dus:

AlsqJde hoek is tussen de vectoren~en !!.' dan is: (~.!!.)

=

I

~

I

.

I

!!.

I

cos 'P.

(a.b) cos rp

=

I

~

r.

f!!. ,

-( 1) (2) Uit bovenstaande volgt:

1°. Twee vectoren staan alleen dan loodrecht op elkaar. als hun inwendigpro~ produkt (~.!!.J

=

o.

2°. (~'!!.)

=

(!!.'~).

3°.

(~+ !!.

.~J

=

(~,~J

+

(!!..~J.

4°.

J.(~

.!!.J

=

0

~.!!.J

=

(~.

J. !!.J.

5°. Het inwendig produkt van a met zich.zel] is het kwadraat van de lengte -

""'

.

Opmerkingen.

1. We kunnen aan hetinw end ig produkt (a,b) van de vectoren a en been

meet-kundi ge betekenis geven. - - -

-Fig. 23

Iscpde hoek tussen de vectoren~en !!., dan is

I

!!.

I

cos cpde projectie van!!. op

~ (fig. 23). Deze projectie is positief als ze langs ~ valt en negatief als ze

langs -~valt.

Uit (1) volgt dus:

Het inwend ig produkt (a,b) is gelijk aan delengte van a vermenigvuldigd met

deproject ie oe n bop ~.- -

-2.Ook in de mechanica maakt men gebruikvan het inwendig produkt van twee

Vec toren. Werkt nl. :een constante kracht ~ op een stoffelijk punt dat een

rech te weg

!.-

aflegt, dan is de arbeid van k over ~ gelijk aan (~.

!.-)

.

§ 6. Richtingscosinussen.

De uitspringendehoeken die ~

=

(al,a2) in

R2

resp. met de positleve x-as en

y-as maakt.noemen we

0.:

en

a;

.

Dit zijn ook de uitspringende hoeken die a met

de eenheidsvectoren

~l

en

~2

maakt. Uit het voorgaande volgt:

-(a.ed al (a.e2) a2

cos a",=

I

~

I .

I

~l

1

=

I

~

1

;

cosl1y=

I

~

1-

1

~2

I

=

I

~

I .

Alsai,a

y

en a~de uitspringende hoeken zijn die a

=

(al,a2,aa) in Ra resp. met

de positieve x-as,y-as en z-as, dus met de eenheidsvectoren el. e2 en es maakt.

dan is: - -

-al a2 aq

cos a", =

I

~

I

;

cosl1y= T~T

;

cos a, = "~

r.

Opmerkingen. I.In R~ is:

In

Ra

is:

a,2 a~ a:12

cos-o;

+

cos"a"

+

cos- c,

=

I~1

2

+

I~

/2

+

-I~

f2

=

I.

2. Als inR~of in

Ra

een vector gegeven is,dan kunnen uit de kentallen va n de

vector de richtingscosinussen worden afgeleid.

De richtingscosinussen zijn evenredig met de kentallen.

3. In hoo fd st uk I § 3 zagen we, dat:

-J

I

x - bi

de verge lijking is van een lijn 1in R~ evenwijdig aan ~

=

(a1,a2).

In hoofdstuk I § 7 is aangetoond, dat:

x-bI _ y-b2 _~ba

al a2 aJ

de vergel ijkingen zijn van een lijn

1

in

R3

evenwijdig aan~

=

(al,a2.a 3).

De kentallen van ~ zijn richtingsgetallen van I. De hoeken die ~ en 1met de

positieve assen ma ken zijn dezelfde.

We noemen derich t in gscosin ussen van a ook de richtingscosinussen van l. Uit

het bovenstaande volgt dat uit de richtingsge.callen van1de richtingscosinussen

van 1kunnen worden afgeleid.

§7. De vergelijking va n een rec h te lijn in R2en van een plat vlak in R3 •

Wenemen aan dat a een vaste vector is in

R2

of

R3

en dat c een constant

ge-tal is. We beschouw en nualle vectoren ::die voldoen aan de vergelijking:

( I )

Volgens § 5 opmerking I is dus de leng te van ~ vermenigvuldigd met de

pro-jectie van::op ~ gelijk aan het con stante getal c. De pro jecties van alle vect

o-c ren:=. op ~ zijn dus constant ,nI. gelijk aan:

I

~

1

In

R

2

liggen dus de eindpunt en van alle vect oren x die voldoen aan (I) op een

lijn 11-~ (fig.24a) en in

R

3

in een vlak V 1-~

(fig

.

24b).

Omgekee rd : Ligt het eindp u nt va n een vect or:: op 1of in V, dan voldoet x

z

y

x

Fig 24a Fig. 24b

Vergelijking (I) is dus in R2 de vergelijking van een rechte lijn en in R3 de verg elijkingvan een plat vla k. De vectora heet een normaal vector van de lijn I

of het vlak V.

-In fig. 24a zij~

=

(3.4) en OP

=

3. De lijn I,di,e in P loodrecht op ~ staat, heeft dan tot vergelijking:

(~,~)

=

15.

Is inR2 : a

=

(al,a2) en ~

=

(x ,y ), dan is (I) te sch rijven als:

Is in R3 :a

=

(a1,a2,a3) en ~

=

(x,y,z) , dan is (I) te schrijven als: al x

+

a2 y

+

aaz

=

c.

(2)

(3)

In hoofdstuk I hebben we op een andere manier aangetoond dat t.o.v , een willekeurig coördinatenstelsel de vergelijking van een lijnl inR2 van de

gedaan-te (2) is en de vergelijkin g van een vlak in R3van de gedaante (3) is.

Het blijktnu datt.o.v.een orthonormaal coördinatenstelsel de coëfficiënten van

de onbekenden een bijzondere betekenis hebben.

Zozijn in (2) de coëfficiënten al en as de kentallen van een normaalvector van

l en in (3) de coëfficiëntenal,a2 en 83 de kentallen van een normaalvector van

V.

Uit het bovenstaande volgt nog:

ax+hy+c=O

zijn vergelijkingenva n twee evenwijd ige lijn en . Beide lijnen staan immers lood-rech t op de vector (a.b).

Zo zijn a x

+

b y

+

cz

+

d

=

0

en Àa x

+

Àby

+

Àc z

+

d

=

0

U

=/=

0enÀ

=/=

1)

vergelijkingen van twee even wijdige vlak ken. omdat beid e vlakken loodrecht

staan op de vector (a.b,c ) .

§

8. Hoek tussen twee lijnenin R2 en tussen twee vlakken in R₃•

Zijn _(~'':~)

₌

c

en (!:.~)

=

d

( 1 )

de vergelijkingenvan twee lijnen in R,2 of van twee vlakken in R,3, dan zijn ~

en

!:

normaalvectoren. De hoek tp tussen de lijnen, resp. tussen de vlakken, is

dus dezelfde als de hoek tussen de vectoren ~en

!:

.

Volg ens § 5 is:

(a,b)

cos f{i =

I

~

I~I

!: ,

-Is inR,2:~

=

(a1.a2).!:

=

(b1,b2)en~

=

(x,y). dan zijn de vergelijkin gen en (2): 11: alx'

+

a2y = c 12: bix

+

b2Y = d, terwijl (3) wordt: Hieruit volgt: 11 ..1 12 als: De lijnen: ax +by +c=O b x - a y +d=O (3) (1 ) (4)

staan loodrecht op elkaar, omdat de normaalvector (a,b ) van li loodrecht staa t

op de normaalvector (b,-a) van 12•

Is inR,3 :~

=

(a1,a2.83),

!:

=

(b1,b2,b3) en ~

=

(x,y ,z ), dan zijn (1) en (2)

de vergelijkingen van de vlakken:

VI: alx

+

a2y

+

a3z = c V2: bix

+

bzY

+

b3 Z = d,

terwijl (3) wordt:

cos f{J= y (al2

+

a22

+

ae2) .y(bl2

+

b22

+

b32)

Hieruit volgt: V1

.1

V2als: esbi

+

esbs

+

a3b3

=

O.

§ 9. Normaalvergelijking van een lijn in R2 en van een vlakin R3•

Is in R2 of in R3~een eenheidsvector (dus

I

~

I

=

I) met een vaste drager en

~een willekeurige vector, dan is (~.:::) gelijk aan de projectie van::: op ~.

De vergelijking:

(~.~)

=

p. met p ~ 0 ( 1)

stelt dus in

R2

een lijn en in

R3

een vlak voor. Deze lijn, resp. dit vlak. staat loodrecht op n en snijdt de drager van n in het punt P waarbij

OP

= p

(fig. 25ae~bl.

-Zij a de hoek (fig. 25a) die ~ met de positieve x-as maakt, gemeten in positie-ve richting, dan is n

=

(cos a, sin a). Uit (1) volgt, dat voor elk eindpunt

(x.y) van~

=

(x.y) geldt:

x cos a

+

y sin a - p

=

O. (2)

Deze vergelijking noemen we de normaalvergelijking van een lijn l in R2. Hier-in is a de hoek die een normaalvector op l maakt met de positieve x-as, geme~ ten in positieve richting en p de afstand van 0 tot l (p is dus een getal groter

dan of gelijk aan nul). .

Fig. 25a y ~=(x.y)

x

!' /

, - r - P

Yu

_/ Pig. 25b x

Is de ver gelijking va n een lijn i in R2:

al x

+

as y

+

c

=

0, (3)

dan kunnen we deze vergelijking tot de normaalvergelijk ing herleiden . Immers in (3) is~

=

(al.a2) een normaalvector van

i.

De lengte va n ~is:

I

~,=

vi

(a12

+

a22).

. a a

Delen we dus elke term van (3) door

1

~lo f

-

I

~

I

,

dan IS

1-;; l

of - I

;

,

de

no rmaa lv ecto r vani met lengte I.Daar de bekende-term in (2)-neg a tief is, de -lenwe door

I

~

I

als c

<

0 en door

-

I

~

I

als c

>

o

.

De normaal vergelijking van de lijn 1metvergelijking (3) is dus:

alX

+

a2Y

+

c = 0

±

y

(aI 2

.+

a~) .

Zijn a,

f3

en yde hoeken die zr in fig. 25b met de positieve assen maakt, dan is

~

=

(cos a. cos(J. cos y) .

Is (x,y.z) het eindpun t va n ~

=

(x.y.z) ,dan gaat (1) over in:

x cosa

+

y cos

fJ

+

z cos

y -

p

=

o

.

(1)

Deze verge lijkin g noemen we de normeelverqelijkinq van V. Hierin zijn a,

fJ

en yde hoeken die de norma al uit

0

op

V

met de positieve assen maakt en is p

de afstand van

0

tot

V.

Is de ve rg elijk ing va n een vla k

V

in

R3:

(5)

da n ku n nen we deze vergelijking tot de normaalvergelijking herleiden. De v ec-tor ~

=

(al. a2.a3) is een nor ma a lvector van V met de lengte

I

~

I

=

vi

(a12

+

a22

+

a32).

Delen wedus elke ter m van (5) door

I

~

I

of

-I

~

I

al naar gelang d negatief of positief is,dan gaat (5) over in de normaalvergelijking van V.nl.:

alx

+

a2Y

+

a3Z

+

d

± y ( a l2

+

a 22

+

a32)

=

O.

Opmerking.

Is de vergelijking van een lijn li:

al x

+

a2y

+

c

=

0

dan is (ar.as) een normaalvector en dus (-a2.aI) een richtingsvector van li. Zij al de hoek dieil met de positievex-as maakt, dan is dus voor aa

*"

0:

al tg al = - - - .