Utrzymywanie założonego stopnia pewności normatywów przy możliwie małej liczbie pomiarów

Małgorzata K OZDRÓJ-WEIGEL

Instuytut Organizacji i Zarządzania Przemysłem AGH KRAKÓW

UTRZYMYWANIE ZAŁOŻONEGO STOPNIA PEWNOŚCI NORMATYWÓW PRZY MOŻLIWIE' MAŁEJ LICZBIE POMIARÓW

Streszczenie. W artykule skrótowo omówiono w świetle literatury świato­

we j T T c z b ę T ć o n T e c z n y c h pomiarów chronometrażowych i za pomocą statystyki matematycznej przedstawiono przykład dotyczący ograniczenia rozrzutu wyn i­

ków pomiarów, by utrzymać założony stopień pewności opracowania normatywów P i błąd szacunku e, przy możliwie małej liczbie pomiarów n.

Summary. Basing on literature the paper gives a short account of the number of inevitable chronometrie measurements, presenting an example of how to limit the scatter of measuring results in order to preserve the assumed degree of reliability of elaborated standards P and estimation errors e, keeping the number of measurements n as low as possible.

P e 3 i o M e . B C T a T b e B x a p T u e H a s o H e m h p o b o h j i H T e p a T y p u o b c y x n e H O h m c j i o H e o 6 x O H H M b l X X p O H O M e T p a X H W X H S M e p e H H M H n p H n O M O U l M M a T e M a T H H e C K O H C T a T H C - T M K H n p e n c T a B J i e H n p H M e p , K a c a t o m n K C S t o r p a H M H e H H S t p a 3 6 p o c a p e 3 y j i b T a T O B n 3 M e — p e r o r o , H T o B b i c o x p a H H T b n p H H Z T y i o c T e n e J i b H a n e x H o c T H H o p M a T M B O B P u n o r p e - U l H O C T b O U e H K H e n p H 6 0 3 M 0 * H 0 H e 6 o J l b l l l O M H H C J i e H 3 M e p e H H H n .

1. WPROWADZENIE

Sposób mierzenia zużycia czasu potrzebnego do wykonania określonej czynności jest zależny od: rodzaju i liczebności obserwowanych obiektów i zjawisk, zakresu, stopnia, szczegółowości, jak rówież przeznaczenia zbiera­

nych informacji. Jeżeli przedmiotem badania ma być pomiar czasu zużywanego bezpośrednio na dane czynności, to najbardziej odpowiednią techniką będzie chronometraż.

Za pomocą statystyki matematycznej można określić z dużą dokładnością związek pomiędzy liczbą a dokładnością odwzorowania rzeczywistości.

2. OKREŚLENIE NIEZBĘDNEJ LICZBY OBSERWACJI W POMIARACH CHRONOMETRAŻOWYCH

W literaturze światowej najczęściej takie odwzorowanie dotyczy zużycia czasu. I tak m.in. G. Nadler f5] określa potrzebną liczbę obserwacji n, wychodząc z w zoru na standardowy błąd oceny średniej arytmetycznej i wprowadzając średni rozstęp z pewnej liczby prób R oraz stabilizowaną wiel­

kość d , zależną od liczby obserwacji w próbie, i dochodzi do wzoru:

20 R-n |2 n — ----;— —---

ch d Zx

i

który umożliwia uzyskanie błędu oceny średniej arytmetycznej do 5%.

Inni autorzy, m.in. B.W. Niebel, uzależniają liczbę obserwacji od czasu trwania cyklu. Im cykl jest krótszy, tym zalecają większą liczbę obserwacji i odwrotnie [6]. Zdaniem W. Krawczyka [4], do warunków np. produkcji górniczej najlepiej nadają się w zory proponowane przez R. Wołka [7],

Niezbędne liczby pomiarów chronometrażowych podane są również przez Ośrodek Normowania Pracy MPC, co ilustruje'tabela 1 [2],

Tabela 1 Niezbędne liczby pomiarów chronometrażowych

Czas trawania operacji Liczba koniecznych pomiarów

poniżej 1 min 25

1 - 2 min 20

2 - 1 0 min 15

30 - 60 min 10

powyżej 60 min 7

5

B. Baszyńskij [1] uzależnia liczbę obserwacji od współczynnika zawartości szeregu chronometrażowego. Zależność tę ilustruje wykresem w celu określenia koniecznych pomiarów n dla założonego współczynnika zawartości szeregu chro­

nometrażowego K_ i dopuszczalnego błędu e% przy założonym poziomie ufności.

Mimo licznych opracowań w przedmiotowym zakresie proponuję wykresy służące do określania liczby pomiarów, wykorzystujące stopień pewności opracowania normatywów P i błąd szacunku e.

Zastosowanie proponowanych wykresów skonfrontowano z zamieszczonym przy­

kładem.

3. ROZWAŻANIA TEORETYCZNE

Aby utrzymać założony stopień pewności opracowania normatywów P i błąd szacunku e, przy możliwie małej liczbie pomiarów n, trzeba ograniczyć rozrzut wyników pomiarów. Do oceny, czy poszczególny pomiar x ( nie przekracza dopuszczalnych granic rozrzutu, służy wzór:

gdzie:

z ( - maksymalne lub minimalne (extremalne) wartości szeregu chronometrycznego

z = x lub x

1 m a x m i n

t - wartość zmiennej losowej statystyki t Studenta.

X

Aby ułatwić przekształcenia, wprowadzamy następujące podstawienia:

i

Stąd:

AD X

< t

X

Iz - x I ^ t - A D

• i 1 1 X

x - t • AD ^ z ^ x + t - A D

x 1 X

Ekstremalne pomiary nie mogą przekraczać tolerancji pomiaru

z = x ± t - A D

i X

Do obliczania granic tolerancji pomiaru przyjmujemy t dla prawdopodobień­

stwa a.

Iloczyn t • AD nazywamy dopuszczalną wartością odchylenia pomiaru

gdzie:

D = - r— 5-j- x t • A 1

z - x a s - L i L

X1

oznacza dopuszczalny % odchylenia pomiaru średniej arytmetycznej.

W artość D podstawiamy do wzoru na z i otrzymujemy tolerancję pomiaru

. . . a z = x ± t A — ---- — x

i x t • A i

z = x ± ax

i i

Wartości szeregu chronometrazowego nie mieszczące się w granicach podanych

¥ przez z należ y wykreślić.

Gdy wszystkie pomi a ry x [ = x t , wówczas D = Ó. Ze wzrostem D rosną granice rozrzutu pomiaru, zwiększa się konieczna liczba pomiarów n. Obliczamy dopuszczalne odchylenie standardowe z wstępnej próbki pomiarów chronometrażo- wych

=

J

1

i i=l

Podstawiamy za

Następnie podstawiając

C = A • t

otrzymujemy

s = Cax

Współczynnik — — obliczamy w zależności od liczby wstępnych pomiarów n

X

i stopnia pewności P.

Znając dopuszczalne odchylenie standardowe s oraz wartość średnią pomiaru możemy wyznaczyć krzywą rozkładu normalnego

f(x) = 1

A

exp

(x - x t )2

211 s 2 s

Konieczną liczbę pomiarów n obliczamy z następującego wzoru:

100 • t • s

Po podstawieniu i przekształceniu

100 • t

t - A l 100 Bat

A e t

Dla n >30 i

W - ^

H H 2 - ■

Dla małej próbki n s 30 konieczna liczba pomiarów wynosi

dla dużej próbki n >30

2 100 ta

t e

Gdy przyjmiemy

z - x 1 i i 1 a = ---

xi

wówczas z szeregu wstępnych pomiarów nie odrzucimy żadnej wartości. Gdy przyjmiemy

xi

wówczas zmniejszającą odchylenia pomiaru, część ekstremalną wstępnych pomia­

rów odrzucimy.

Z wielkością a jest ściśle związana konieczna liczba pomiarów n.

4. WREYFIKACJA OPRACOWANEJ METODY

Przykład

W celu wyznaczenia liczby pomiarów czasu ładowania ładowarką elektromagne­

tyczną złomu na składowisku dokonaliśmy n^ wstępnych pomiarów chronometrażo- wych.

Tabela 2

Pomiary czasu ładowania złomu ładowarką elektromagnetyczną

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5.28 5. 48 5.01 4. 91 5.23 5. 28 4.80 5. 17 5. 22 4.76 4. 97 5.05 5.29 5. 16 5. 19

L i=l

76.8

15 5,12 min

Z‘ ~ 1 - l5 -48. ^ - 12!.. = - § ^ = 0.0703125

x ’ ’

i

Przyjmujemy, że a = 0,07 Obliczamy tolerancję pomiaru

z = x ± a • x = 5,12 ± ,07 • 5,12 = 5,12 ± 0,3584

i l

czyli

4,7616 s z s 5,4784

Rysunki 1 1 2 usprawniają nam obliczenie koniecznej liczby pomiarów n. Po dokładnym przestudiowaniu tych wykresów możemy się zorientować, w jakich gra­

nicach należy przyjmować współczynnik a.

Należy wykreślić z szeregu chronometrażowego pomiar 2 i 10, jako nie mieszczące się w wyżej określonym przedziale. Zakładamy warunki eksploatacji:

n =15, e=3, P=0,95, a=0,07.

i

Konieczną liczbę pomiarów n wyznaczamy na podstawie rys.2. Wynosi ona 31 pomiarów. Oznacza to, że wstępna liczba pomiarów n = 15 okazała się za mała i należy ją zwiększyć do 31, aby utrzymać założone z góry kryteria błędu e = 3 i stopnia pewności P = 0,95.

n

Rys. 1. Konieczna liczba pomiarów n dla ^ = 5 i n = 7

Fig. 1. Necessary number of measurements n for n^ = 5 and n^ = 7

Rys.2. Konieczna liczba pomiarów n dla n = 10 i n = 15

Fig. 2. Necessary number of measurements n for n = 10 and n^ = 15

LITERATURA

[1] Baszynskij B: Osnowy tiechniczeskogo normirowanija w stroitielstwie. Gosu- 0

darstwiennoje izdatielstwo literatury po stroitielstwu i architiekturie.

Moskwa 1954.

[2] Biuletyny Informacyjno-Instruktażowe 1-5. Ośrodek Normowania Pracy MPC.

[3] Kozdrój-Weigel M. : E lementy badania i prognozowania procesów produkcyj­

nych. Prace COIG, z.29. Katowice 1990.

[4] Krawczyk W.: Metodyka normowania pracy w górnictwie. "Śląsk", Katowice 1972.

[5] Nadler G . : Motion and Time Study. Principles and Practice. Mc Graw-Hill, New York 1955.

[6] Niebel B.W .: Motion and Time Study. An Introduction to Methods Time Study and Wage Payment. R. D. Irwin. Homewood, Illinois 1955.

[7] Wołk R . : Podstawy normowania pracy w przemyśle maszynowym. WNT, Warszawa 1966.

Recenzent: Prof. dr dab. inż. Józef BENDKOWSKI

Wpłynęło do Redakcji w sierpniu 1991

PRESERVATION OF THE ASSUMED DEGREE OF RELIABILITY OF STANDARD VALUES WITH A MINIMUM OF MEASUREMENTS

A b s t r a c t

The paper refers to necessary nimber of timekeeping measurements (time consumend for completion of certain action). The scatter of results is limited so that they would not go beyond definite limits: lower and upper. It is intended that number of measurements should be possibly small. First of all, the points of view of different authors on the discussed problem have been presented. The following opinions have been given: G.Nadler, B.W.Niebel, W.Krawczyk, R.Wolek, B.Baczyński and the Centre of Standardization of Work MPC.

The theorethical considerations referring to the determination of the ne­

cessary number of measurements have been presented in chapter 3.

The tables of Student’s distribution and frequency function of normal distribution have been used. Two formulae have been given: for large quantity of sample (of measurements) and for small quantity of sample (of measure­

ments) .

In chapter 4 has been presented an exaple of determination of the number of measurements of the time of scarp loading from the storage yard with an elektromagnetic loader. The paper also includes diagrams which make posibble the reading of the wanted number of measurements.