ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLISKIEJ 19S8
S e r i a : AUTOMATYKA z . 96 7-1 Nr k o l . 972"
A ndrzej S w ie m ia k P o lite c h n ik a Ś lą sk a
STEROWANIE ROBOTEM W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI PARAMETRÓW JEGQ UKŁADU NAPĘDOWEGO^/
S t r e s z c z e n i e . , W a r t y k u l e p r z e d s ta w io n o ro z w ią z a n ie z a d a n ia s te ro w a n ia odpornego układem napędowym r o b o ta . Model dynam iczny r u c h u ro b o ta "zawiera zm ienne n iep ew n e, k t ó r e pow odują, t e nom inalne s te r o w a n ie n i e zapew nia n o m in a ln e j w a r to ś c i k o sz tó w n a d ą ż a n ia ,
"O dporność " na niepew ność u z y s k u je s i ę p o p rz e z dodatkowe " t a n i e " , t z n . n i e u w zg lę d n ia n e we w sk aźn ik u ’, s te ro w a n ie . Proponowane prowo s te ro w a n ia j e s t n ie l i n i o w e , a je g o p o s ta ć wynika z z a sto so w a n ia równać : B e llm a n a -H a m ilto n a -Ja c o b ie g o .
1. W s t ę p
Podstawowymi wymaganiami sta w ian y m i robotom j e s t szybkość i p r e c y z ja o d tw a rz a n ia p o ż ą d a n e j t r a j e k t o r i i . W p rzy p a d k u p e ł n e j in f o r m a c ji o modelu r e a l i z a c j a t y c h wymagań m ożliw a j e s t p o p rz e z m in im a liz a c ję w skaźnika kwa
dratow ego z e w zględu n a-u ch y b n a d ą ż a n ia i s te r o w a n ie ( optym alne n a d ą ż a n ie ) . Z ło żo n o ść o b ie k tu r o b o t- e le m e n t tr a n s p o rto w a n y i zm ienność o b c ią ż e n ia po
w odują, że n a j c z ę ś c i e j mamy do c z y n ie n ia z n ie p e ł n ą in fo rm a c ją o modelu i z a k łó c e n ia c h . O trzy m an ie k o sz tó w s te ro w a n ia n i e w yższych .od n om inalnych m ożliwe j e s t p o p r z e z w y k o rz y s ta n ie i n f o r m a c ji o g ó rn y ch o g r a n ic z e n ia c h d la n ie p e w n o śc i momentów b e z w ła d n o ś c i, s p r z ę ż y s t o ś c l i o b c ią ż e n ia .
2 . S fo rm u ło w an ie pro b lem u
Modele d y n am ik i m a n ip u la to ró w s ą zw ykle o p a r t e na jednym z dwóch p o d e jść i ró w n a n ia ch l a g r a n g e 'a d y nam iki (, np • : [ i ] , [2 3 ) lu b rów naniach K ane’a
( n p . s [ 3 j ) • Druga metoda j e s t b a r d z i e j ekonom iczna i stą d -s to s o w a n a w mo
d e lo w a n iu 1 s y m u l a c ji ru ch u robotów ( n p . ! L M )* F iz y c z n a i n t e r p r e t a c j a zm iennych i wpływu s te ro w a n ia na zm ienne s ta n u p r o s t s z a j e s t w pierw szym p o d e j ś c i u , s t ą d w ykorzystam y j e w p r z e d s ta w io n e j p ra c y .
W rozważanym m odelu u w zg lę d n io n e z o s ta n ą t r z y s to p n i e swobody , co w -wielu p rz y p a d k a c h w y s ta rc z y do o p is u t r a j e k t o r i i , n p . : [ 5 ] , L 6 3 ,a l e n l c n ie s to i n a p r z e s z k o d z ie r o z s z e r z e n i u r e z u l t a t u na b a r d z i e j z ło ż o n e p o s t a c i e ruchu [JL i-io d el można p r z e d s ta w ić w p o s t a c i J
^ P ra c a fin an so w an a z p r o j e k t u badaw czego R P .I .0 2 ; T e o ria ste ro w a n ia i o p t y m a l i z a c j i c i ą g ł y c h układów dynam icznych i pro cesó w d y s k r e tn y c h .
258 A.Swierńiak
D(cj ) 4 “ P U» 3» t ) q + G (qf t ) + u + h ) / I /
g d z i e q «
■ą,
q 2 , J e s t w ektorem w sp ó łrz ę d n y c h , u - U1
“ 2 ( j e s t wek to
_q3_
A
rem ste ro w a ń D i P s ą fu n k c ja m i m acierzow ym i 3 x 3 ; a w ek to ry h 1 G r e p r e z e n t u j ą z a k łó c e n ia , o b c i ą ż e n ie i momenty g r a w ita c y jn e .
Przykładow e f u n k c je D, P o ra z G d la m a n ip u la to ra o g ó ln e g o p r z e z n a c z e n ia m ają p o s ta ć / p . £5 J / i
D(q)
I 1+ I225 Łn2a 2 + I338i n 2% +2I 23S ln q 2 S in q 3 0
0
0
0 I 23C° S (q 2“ q3 ) I 2 3 C° s ( q 2 " q3) l 33
- pi r ( l 22 s i l l 2a*2+2I 2 3 sŁnq3 COSq2) q 1 ' " ^I 33S ln 2q3 +2I 2 3 s ijlq 2 c o s q 3^ q l ( i I ^ s ^ + I ^ s i n ą ^ o s g ^ U p , , :
/ 1 ' »
{ ? I 33s i n 2q 3+ I23s i n q 2c o s q 3') q i j l ^ s i n (q2~ q 3) q2 j - P 3
G ( q , t ) - Ł32s i n q 2 _ C03s i n q 3
Ze w zględu na z n a c z n ą zm ienność w sp ó łc zy n n ik ó w o r a z n ie p ew n o ść p ara m etró w m odel nom inalny u z y s k u je s i ę p o p r z e z l i n e a r y z a c j ę ró w n an ia / 1 / / po w cześ
n ie js z y m pom nożeniu go p r z e z D- ”* p r z y u w z g lę d n ie n iu n i e o s o b liw o ś c i ma
c i e r z y D / wokół p o ż ą d a n e j t r a j e k t o r i i q ^ • O z n a c z a ją c x = A q *= o.-q^
o trz y m u je s i ę ;
x » £a ( t l +A A ( x , x , t )3 x + [ j 3 ( t ) + AB (jc ,t3 x + [c ( t) + A c ( x , x , t ) ] u + F ( x ,x ,t ) i 12
/
g d z ie A t }, B ( t ) , C (t) są p a ra m e tra m i m odelu n o m in a ln e g o , z a . AA, ^ 5 , Ą C , F , r e p r e z e n t u j ą zm ienne n ie p e w n e , k t ó r e mogą być zdekomponowane do p o s t a c i :
S te r o w a n ie ro b o te m . 259
AA . CA A B ' " CE , AC - CC f F « CF„ / 3 /
T I " i
N a jc z ę ś c i e j b e z t r u d u można o c e n ić o g r a n ic z e n ie na zm ienne niepew ne, a m ia n o w icie :
11 a ( x , x , t ) , Hb^ I U b ( x , t ) , llc ^ I l^ c ( x , i , t j A l , 1[ ^ || ¿C. f ( x , x , t )
A / Wymaganie d o ty c z ą c e U |[ o z n a c z a ^ iż mimo n ie d o k ła d n e j zn a jo m o ści "wzmoc
n ie n ia " t o r u s te ro w a n ia znamy " k ie ru n e k " o d d z ia ły w a n ia s te ro w a n ia . W p rz y p a d k u r e a l i z a c j i s te r o w a n ia w tń c ła d z le zam kniętym oznacza to z n a jo mość znaku s p r z ę ż e n ia z w ro tn e g o ,
W p r a c y [7 3 c e l s te ro w a n ia przyjm ow any b y ł je k o wymaganie s t a b i l i z o w e l - n o ś c i p r a k ty c z n e j u k ła d u dynam icznego . W n i n i e j s z e j p ra c y z a k ła d a s i ę ,
i ż c e l s te ro w a n ia d a j« s i ę sform ułow ać w p o s t a c i z a d a n ia minima l i z a ć j l kw adratow ego w sk aź n ik a j a k o ś c i o p o s t a c i :
ik
i - \ {(. q -q dl tq1 ( ą - i ą ) + ( q -q d) TQ2 Cq-qd ) + vTR vj d t -
5
^ x Q1x + x q 2x + i T • T • V T R v j d t . *? / 5 / toS te ro w a n ie u s k ła d a s i ę z dwóch składow ych : p ie rw s z a v zapew nia m in i
m a liz a c ję w sk aź n ik a d la m odelu nom inalnego 1 j e j k o s z t uw zględniony j e s t we w sk a ź n ik u a f druga A u j e s t sk ład o w ą k o re k c y jn ą g w a r a n tu ją c ą " o d p o r
n o ść " s te r o w a n ia r e niep ew n o ść , "O dporność" rozum iana j e s t ja k o n l e p r z e - k r o c z e n ie p r z e z w a r to ś ć w sk aź n ik a je g o w a r to ś c i n o m in a ln e j / o p ty m a ln e j d la m odelu n o m in a ln e g o / d la dow olnych w a r to ś c i zm iennych niepew nych z z a k r e s u o k re ś lo n e g o n ie ró w n o śc ia m i / U f . K o sz t A u n i e J e s t uw zględ
n ia n y we w sk aź n ik u ^ n a to m ia s t z a k ła d a s i ę o g r a n ic z e n ie w ie l k o ś c i A u p o p rz e z n ie ró w n o ść s
U A u l l = ś u ( x , x , t ) y /& /
k t ó r e g o w ie lk o ś ć z o s t a n i e o k r e ś lo n a w d a l s z e j c z ę ś c i p r a c y .
*
'V '1- "K . .
3 , S y n te z a s te ro w a n ia o d n o m e ro
S te ro w a n ie o p ty m a ln e d la m odelu n o m in a ln e g o j e s t lin i o w ą fu n k c ją zm ien
n ych x i x o p o s t a c i :
v - - R '1 CT ( K 1 Ct) x + K2 ( t ) x ) , / 7 /
260
g d z i e m a c ie rz e wzmocnień K ^ t ) o r a z Kg ( t ) mogą być z n a le z io n e .p o p rz e z ro z w ią z a n ie równań R ic c a tie g o w p o s t a c i ' / i f e c ie r z b ę d z ie w yJcorzystywa- na do w y znaczania w a r t o ś c i w sk aźn ik a / :
K, + K2B.+ BTk2 - ^ C R ' 1^ + 0 , - 0 , K , ( t k) - 0 /&!
k2 + K, + K2A + BTKj - K1« r , CTK2 - 0 7 K2 ( t k ) - 0 19/
+ 2K2 KjA + ATk 3 - K2CR- 1 CIk 2 ♦ 0-, « 0 , K j O g - 0 / 10/
K o d il 111 po z a s to s o w a n iu s te ro w a n ia u - v + A u i u w z g lę d n ie n iu / 3 / o ra z 111 ma zatem p o s ta ć :
S . j > ( t ) - cC t)R_ 1 CT Ct?K2 ( t ) ] x + [ B ( t ) - C (t)R * 1 CT-(t)K < ( t )]x «
+ C(t") A u + C ( t ) e i / 1 1 /
g d z ie :
e » + C ^ A u - C ^ R ^ c k ^ - C^R“ 1^ * + F.J • / 12/
C a łk o w ita niepew ność e może być oszacow ana z a pomocą n i e r ó w n o ś c i ';
U e || ^ a ( x , x f t ) + b ( x , t ) + e ( x , x , t ' ) U ^ c ,x ,t ) + f ( x , x , t ) . / 1 3 /
P rz y jm u ją c , ż e o g r a n ic z e n ie g ó rn e nprmy e równe j e s t o g r a n ic z e n iu normy s te ro w a n ia U(x, x , t ) o trz y m u je s i ę :
U « = a „ + b „ + c U + £ .
1 1
C z y li J
U - ( i - c ) " 1 ( a , + b , + f ) } M /
g d 2i e
a 1 Q x ,x ,t) a ( x , x , t ) + c ( x , x , t ) llK2xjj b1 ( x , x , t ) «* b ( x , x , t ) + c (x, x , t ) [|K1 x | |
Poprawka A u z a p e w n ia ją c a o d p o rn o ść a lg o ry tm u s te ro w a n ia może b y ć wyzna
czona p r z y w y k o rz y s ta n iu a p a r a t u B e llm a n a - H a m ilto n a -J a c o b ie g o / n p . : / • O ptym alna p o w ie r z c h n ia j a k o ś c i d la m odelu n o m in a ln e g o j e s t fo rm ą kwa
d ra to w ą o p o s t a c i :
S te ro w a n ie r o b o te m . . 261
V ( x , x , t) m xTK1x + 2xTK2x + . / 1 5 /
Poprawka A u na zatem zapew nić w a rto ś ć w skaźnika j a k o ś c i d l a modelu z n ie p e w n o ś c ią / 1 1 / p rz y dow olnej w a r to ś c i n ie p e w n o śc i z z a k r e s u o k r e ś lo nego n ie ró w n o ś c ią / 1 3 / ^ n i e w ię k s z ą n i ż :
¿ W W x C t o> * 2 i'T ( t o ) K2( t o') x ( t o, + i ( t o) K 3 ( t o) ^ t o ) R ó żn iczk u jąc fu n k c ję v ( x , x , t ) względem t otrzymamy :
dV_
dt
O v " O v . O V Q v . . Q V ( r - n - 1 -T -1 ■ x +
i T t + ^ ^ T t Q ^ 7S I l ^ ~ CR C K2 J x
+ [b-C R“ 1 c TK^ 3 x + C (<óu + e )]f * / 1 6/
Równanie H a m ilto n a -J a c o b ie g o d la m odelu n om inalnego ma p o s ta ć !
x V ♦ + vTRV + i | l i { (A .C R " 1CTK2 ) i ♦
+ (b -C R "1 CTK1 ') x } - 0 . ' /1 7 /
Zatem na p o d s ta w ie / 1 6 / , / 1 7 / nemy i
Ł * - xTq1x - xTq2x - vT Rv + C (A u +■ e )
P rzyjm ijm y :
CT(k,x + K j : )
A u « - U --- 2_ / 1 8 /
i |c T (_K2 x + K ^x j | j
Wówczas !
c ( A u + e ) - - u ( x TK3 + X ? K ^ C C ^ K ^ * K .,x ) / U C7 (k^ ♦
♦ (x TK3 ♦ x \ ) C ' 4 \ \ ( x \ + x % ) C * ||(- U ♦ \ Ą ) ś 0 .
A zatem
hi fk
\ — d t. + ^ ( x Tq 1x + xTQ2x + vTRy) d t ¿T 0
262 A.Swiemlakt
P oniew aż v ( x ( t k ) , ż ( \ ) , - x T( t J{)K, 1( ' + 2xT(t-K)K 2 ( t k) x f t^ ) +
♦ - 0 ■
Za te n t k
^ ‘ ( x Tq ^ + * t q 2* + vTftv)dt <? xT ( t o )Kl ( t 0 ) x ( t o> + 25cTf t 0)K2 c t o; x r t o; + t o
co dow odzi, ż e A u dan e p r z e z / 1 8 / zapew nia o d p o rn o ść a lg o ry tm u s te r o w a n ia .
4 , Podsumowanie
P rz e d s ta w io n o m etodę s y n te z y s te ro w a n ia o d p ornego w s e n s i e k w a d ra to wego w skaźnika j a k o ś c i d la m odelu u k ła d u napędowego r o b o ta , W y k o rz y stu je ona " t a n i ą " popraw kę s te r o w a n ia f k t ó r e j w a r to ś c i n i e uw zględniono, we wskaź
n ik u j a k o ś c i . Poprawka t a n i e p r z e k ra c z a co do normy g ó rn e g o o g r a n ic z e n ia n ie p e w n o śc i m odelu d y n am ik i . Im m n ie js z a n iepew ność w ró w n a n ia c h dynam iki r o b o ta , tym m n ie js z a b ę d z ie a m p litu d a s te r o w a n ia r e a l i z u j ą c e g o a lg o ry tm s te ro w a n ia o d p o rn e g o . W y k o rz y sta n ie n ie k w a d rato w eg o k r y te r iu m j a k o ś c i w p r z e d s ta w io n e j m e to d z ie j e s t m ożliw ego i l e je s te ś m y w s t a n i e w yznaczyć fu n k c ję o p ty m a ln e j j a k o ś c i d la m odelu n o m in a ln e g o .
.LITERAT URA
T i l B rady M. i i n . t R o bot m o tio n , MIT P r e s s , C am bridge ł f e s s a c h u s e t t s . 1982 .
[ 2 ] P a u l R .P . : R obot m a n ip u la to r s : m a th e m a tic s ,p ro g r a m in g a n d c o n t r o l , MIT P r e s s , C am bridge M a s s a c h u s e tts , 1981.
[ 3 ] Kane T h .R . : The u se o f K ane’ s d y n a m ic a l e q u a t i o n s i n r o b o t i c s , I n t e r n a t i o n a l J o u r b a l o f R o b o tic s R e se a rc h ,‘v . 2 , n . 3 , 1 9 8 3 ,
[43 . Wloka D.W .: Robsim -a r o b o t s i m u l a t i o n s y s te m ,P r o c e e d in g s 1 1 th IMACS Woir-d C o n g re s s, 1985, v . 4 , s . 6 1 - 6 4 .
£53 S a r i d l s G J I , .: I n t e l l i g e n t r o b o t i c c o n t r o l ,I E E E T r a n s a c t i o n s on A u to m a tic C o n tr o l, v,A C -28, n . 5 , s . 547-557 .
[63 T roch I . , K cpacek P . , D e so y e r K. j H y b rid s i m u l a t io n o f r o b o t c o n t r o l , P ro c e e d in g s 1 1 th IMACS W orld C o n g re s s , 1985, v . 4 , s . 2 7 - 3 0 .
[7 ] S w ie m ia k A , ; S te r o w a n ie układem napędowym r o b o ta p r z y n i e p e ł n e j in f o r m a c ji o m odelu i z a k łó c e n ia c h , ¿ e s z y ty Naukowe P o l i t e c h n i k i Ś l ą s k i e j , s.A u to m a ty k a , z . 85, s . 9 3 -1 0 0 .
[83 A tb a n s M ., F a lb P , L . : S te ro w a n ie o p ty m a ln e , WNT, W arsrawa 3985.
£9J V uk obratović K ., S to k ić D ,t C o n tro l o f m a n ip u la tio n r o b o ts : th e o r y and a p p l i c a t i o n s , S p r in g e r V e r la g , B e r l in , 1 9 8 2 .
R e o o n z e n t iP r o f.d r in ż .T .P u c h a łk a W płynęło do R ed a k c ji do 1 9 B B -0 4 -3 0 .
S te ro w e n ie ro b o te m . 2 6 i
THPABjlEHHE PQBOTCM B 7CICSHHX HETBEPEHHOCTH IttPAHETPCB ETO HPHB03A
P t i m e
B e r a T ie asho pememse aaiiaEH yo'rofiEHBoro ynpaajseBHH udkbdjjom poPora.
JiHHaMKHeoKaa woaejn. podoTa BKjnmeT aeyBepeHHHe aepeueBHae , KOTopae n pa- BOflST K TOliy , ETO BOHEHSJIBBOe ynpaBJteHHe He npHBOHET. K H0KHBajn>B03 OTO- joiooth oneaeEHH, • 7otoSehboctb" eh BeyBepeHaooTi n tw yE aeica nytSu jpx5a- BOEHoro * aemeBoro" ynpaBJieara, a e yEHTmaeMoro b noKaaaTeae KaEeoTBa.
HpejyiaraeMoe npaBRno ynpaBJieBHH - HejntHeftHoe a er o w m o y n np*J»H9HM ypaBHeHHfl EejimwHa- XamziTO Ha- JisasocSs
CONTROL OF ROBOT WITH UNCERTAIN PARAMETERS CCP ITS DRIVING ST8TEM
S u m m a r y .
In t h e p aper an id e a and s o l u t i o n o f th e r o b u st c o n t r o l i n th e se n se of th e q u a d r a tic p erform ance in d e x i s p r e s e n z e d . A dynamic model w ith s u n c e r ta in ty i s u sed t o d e s c r ib e th e r o b o t movement. A d e s ig n procedure c o n s is t s o f two s t a g e s . In th e f i r s t one th e nom inal c o n t r o l law which i s an o p tim a l s t r a t e g y f o r a n om in al model /w ith o u t u n c e r t a in t y / i s found.' Then a cheap / i . e . n o t en co u n te r e d i n th e i n d e x / c o r r e c t io n c o n t r o l with nirm bounded by th e bound f o r u n c e r ta in ty i s found u s in g Bellm an—
Hamilton - J a c o b i t h e o r y . The r e s u l t i n g c o n t r o l i s n o n lin e a r and may be not c o n tin u o u s a lth o u g h th e n om in al model i s l i n e a r /o b t a in e d by l i n e a r l * BBtion o f th e Lagrange e q u a tio n s o f m otion a lo n g a d e s ir e d tr a ;J e o to r y /,
