Analiza właściwości energetycznych układów dwuzaciskowych z przebiegami odkształconymi w pewnych przestrzeniach funkcji prawie okresowych. 2, Rozwiązywanie problemu minimalizacji wskaźnika jakości przebiegów odkształconych oraz ortogonalny rozkład prądu o

Seria: ELEKTRYKA z. 117 Nr kol. 1061

Marek BROOZKI Janusz WALCZAK

Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Przemysłowej Politechniki ślęskiej

ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI ENERGETYCZNYCH UKŁADÓW OWUZACISKOWYCH Z PRZEBIEGAMI ODKSZTAŁCONYMI W PEWNYCH PRZESTRZENIACH FUNKCJI PRAWIE OKRESOWYCH

II. ROZWI/£YWANIE PROBLEMU MINIMALIZACJI WSKAŹNIKA JAKOŚCI PRZEBIEGÓW ODKSZTAŁCONYCH ORAZ ORTOGONALNY ROZKŁAD PRĄDU ODBIORNIKA

Streszczenie. W artykule przeprowadzono minimalizację wskaźnika Jakości prędów odkształconych odbiorników dwuzaciskowych (zdefinio­

wanego w pracy 1X1 )• przy ograniczeniu równościowym na moc czynnę doprowadzane do odbiornika, przy założeniu, że funkcje napięć i prędów odbiorników sę elementami przestrzeni funkcji prawie okresowych w sensie eesicovitcha-Sobolewa. Minimalizacja tego wskaźnika Jakości umożliwia wyróżnienie składnika aktywnego prędu, który Jest odpowiedzialny za przesył zadanej mocy czynnej do od­

biornika.

W pracy przeprowadzono również rozkład prędu odbiornika na trzy wzajemnie ortogonalne składniki, co umożliwiło zdefiniowanie wielu nowych pojęć mocy. Przeprowadzona interpretacja fizykalna składni­

ków rozkładu ortogonalnego prędu odbiornika stanowi wskazówkę do możliwości kompensacji wybranych składowych ortogonalnych prędu, która umożliwia zwiększenie współczynnika mocy źródła zasllejęcego odbiornik.

1. Wprowadzenie

Artykuł niniejszy stanowi kontynuację pracy (X], w której zdefiniowano pojęcie funkcji prawie okresowej w sensie Besicovltcha-Sobolewa i zbadano pewne własności tych funkcji. Wyniki uzyskane w pracy [V] umożliwlaję pod­

jęcie problemu analizy energetycznej układów dwuzaciskowych z przebiegami odkształconymi prawie okresowymi. Problem ten rozpatrzono w dalszej częś­

ci artykułu.

2. Formalizacja i rozwiązanie problemu mlnlmallzac.1l

Rozpatrzmy obwód przedstawiony na rys. 1 1 załóżmy, Zes

- pręd 1 napięcia odbiornika sę opisane funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczy­

wistej (czasu), prawie okresowymi, należęcymi do przestrzeni Besicovitcha- -Sobolewe [l] ,

- odbiornik znajduje się w Jednym stanie prędowo-naplęciowym i Jest opisany za pomocę admltancjlt

Yh " Gh * J Bh* h e ... °°> (1>

dla poszczególnych harmonicznych £ Si widma i2 funkcji prawie okresowych napię­

cia 1 prędu odbiornika,

- moc czynne doprowadzana do odbiornika Jest równa mocy zadanej P.

Należy rozwlęzać następujęcy problem optymalizacyjny:

Wyznaczyć minimum funkcjonału ( || • || , )2 względem funkcji prędu 1 6 BSP rjr

6 B S 2 ^ , przy ograniczeniu równościowym na moc czynnę doprowadzanę do odbiornika, wyrażonym wzorem:

(u|i)B - P. u. 1 e (2)

Interpretacja przedstawionego problemu Jest następujęca:

Minimalizacja funkcjonału ( || . || . )2 , przy ograniczeniu wyrażonym

— 2 ,cC

wzorem (2), powinna umożliwić wyróżnienie takiej funkcji prędu i e B§2 ^ , która:

- zapewnia ustalony kompromis (za pomocę współczynników wagi oc^, por.

wzór (16), C1]) pomiędzy ocenę strat mocy czynnej na doprowadzeniu dc odbiornika i ocenę zniekształceń prędu,

- zapewnia zadany dopływ mocy czynnej do odbiornika.

Rozwięzania zadania optymalizacyjnego poszukujemy nie w całej przes­

trzeni BS2 ^a , lecz w pewnej podprzestrzenl liniowej i domkniętej BS2 ^ (będęcej przestrzenie Hilberta) tej przestrzeni, w której funkcje napię­

cia i prędu odbiornika posiadaję to samo widmo & .

Funkcjonał Lagrange’s omawianego problemu optymalizacyjnego ma postać:

Rys. 1. Odbiornik dwuzacis- kowy

Fig. 1. Two-terminal rece­

iver

gdzie:

'■“'1 1

BS^ ^ c BS„ ^ - podprzestrzeń liniowa domknięta funkcji prawie okre- sowych, w sensie Sesicovitcha-Sobolewa, prędów i na­

pięć odbiornika o tym samym (przeliczalnym) widmie £2.

Ponieważ przyporzędkowanie funkcjom f e BSi rv 1 ich współczynników szera-

r “i 1

gów Fouriera jest bijekcję L4 J pomiędzy zbiorami BS2 <j(, lg, to omawiany problem optymalizacyjny można przedstawić (por. fil, wzory (27), (37)) w następujęcej postaci:

OO PO

min

X

X V?

^ ^ X

V Bh ,A A h*Bh * ^ h"° h=° (4)

gdzie:

Jh - Ah - 3 Bh , (5)

h e {o,...,}

uh “ ch - J °h <6 >

Wielkości Uh# 3^ sę współczynnikami szeregów Fouriera (wartościami ze­

spolonymi skutecznymi) funkcji prawie okresowych napięcie i prędu odbior­

nika (por.

[V],

mi:

OO

i - I0 ♦ V ? Re X ! Jh exp (ju>h (.)). (7) h-1

OO

u » UQ + Y ? Re X uh exP (0 )

h”1 U)u e i 2

n u.i e BsiA/ 1

Na podstawie twierdzenia Lusternlka [5], określajęcego warunki konieczne istnienia ekstremum funkcjonału

X,

pisać w postaci wzorów:

2 V h Ah - X c h - Bo = Do ■ °-

2 v h Bh - A D h “ °* h e { ° ...°°} <10)

O O

P ■ X

R* (ll>

h=0 gdzie:

v h “ "V(<* o + rtiw h + •••+ ^ l H 5 * W h 6 R* (l2)

Można również wykazać, że warunki konieczna istnienia ekstremum (9), (10), (11) sę zarazem warunkami wystarczającymi minimum funkcjonału JE, [YJ, Przekształcenie wzorów (9) do (11) prowadzi do wzoru określajęcego postać funkcji prędu odbiornika, która minimalizuje funkcjonał ( || . || )2 z warunkiem (2). Wzór ten posiada postać następującą:

BS " axo + ^ Re Z ] 6XP (jU,h (*>}

h = l

* G 0 u0 ♦ Y ? «e 2 _ ] Gh Uh exp ( j w h (.))

gdzie:

h»l e

BS2,oC

(13)

G. a — ■■ » ■ W *» ■ ... . — y (14)

a ° ° r z . n Z o o i i i i 4

r-0 r r«0 r

Wielkość G^ nazywamy konduktancję zastępczę dla h-tej harmonicznej funkcji prędu. Ze wzoru (13) wynika, że minimum funkc onału ( n • u ^ i s przy warunku (2) zostanie osiągnięte wtedy, gdy każda harmoniczna Ih prędu (13) transportuje moc czynnę wydzielajęcę się na konduktancjach Gh .

Pręd _i określony wzorem (13) nazwiemy prędem aktywnym odbiornika.

Wykorzystujęc wzór (14) oraz wzór (27) z pracy LlJ» P° prostych przekształ­

BS

ceniach identycznie do pracy [2], można wykazać, że:

(U IaB S >B2 ‘ ^ S °h (eh Uh)# ’ P' U 5 )

h-0 u. i e ąsi

BS

Ze wzoru (15) wynika, że pręd aktywny g i transportuje zadanę moc czyn­

nę P do odbiornika. BS

Rozkład widmowy mocy czynnej transportowanej przez wyróżniony w niniej­

szej pracy pręd i zasadniczo różni się od rozkładu widmowego mocy BS

przyporzędkowanego prędowi aktywnemu, który został wyznaczony przez L. Czarneckiego (por. np. [3]) i niepokrywa się (jak to zachodzi w przy­

padku cytowanej pracy £3]) z rozkładem widmowym kwadratu napięcia zasila- jęcego odbiornik.

3. Ortogonalny rozkład prądu odbiornika

Całkowity pręd odbiornika określony wzorem (7) można, po uwzględnieniu wzorów (l), (8), przedstawić w następujęcej postaci:

OO

i - Gq UQ + Y 21 Re (Gh + J Bh ) Uh exp (16) h-1

skęd po uwzględnieniu wzoru (13) uzyskamy wzór:

1 ■ « 4 ’ (Go " f o 5 Uo ł V ? Re 2 ] (Gh ♦ JBh -Gh ) Uh exp(jc^(.)),

OO O h=l. M O

OO

» V 21 Re ^ JBh Uh exp 0 w h (*)) + (17) h-1

OO

+ (G0 - G 0 ) U0 + Y 2 1 Re 2 ] <Gh r G h ) Uh e* P < J W h (.))

8 h=l e

Wprowadzajęc oznaczenia:

OO

r*s - Y 21 Re 2 ] ^ Bh uh exp ^ł8)

h-1

OO

8b s ■ (Go ■ G o> u0 ♦ ^ Re Z ] (Gh - ^ uh oxp 0 ^ h (*)) (19)

8 h-1 6

całkowity pręd odbiornika można przedstawić w postaci susy trzech skład­

ników:

1 * ♦ r1 ♦ s1 A * a1 • r1 -1 S M i ot (2°) BS BS * 8BS* BS rBS* BS --- '

Pręd i nazywamy prędem reaktancyjnym, z budowy wzoru (18) wynika, że BS

jest on kompensowalny z dowolnę dokładnościę w sensie normy przestrzeni BS. za pomocę dwójników reaktancyjnych złożonych ze skończonej liczby elementów LC.

Pręd gi nazywamy prędem rozproszenia, czyli prędem częstotliwościo­

wego rozrz8?u konduktancji odbiornika G^ względem konduktancji zastęp­

czych G h (por. wzór (14)). Ze wzoru (19) wynika, że pręd ten nie jest kompensowalny, nawet dla skończonej liczby harmonicznych, w klasie ukła­

dów pasywnych.

sBS rBS “BS

Dowód ortogonalności składowych Di , ri , oi prędu 1 odbiornika, normie

wzorów:

w normie przestrzeni BS^ * , sprowadza się do wykazania prawdziwości

(.i I ri ) i * (21)

BS 1 BS BS72,ot

i«1 I s1 > 1 aBS 1 ®BS BSi - O “ ' a1 B S ’ r* • s1 £ BS1 BS ®B3 — 2 J <22)

( i i i ) - O (23)

BS 1 BS BSo *2,<*

Dowód ten opiera się na wykorzystaniu wzoru (14) oraz wzoru (37) z pra­

cy Cl] 1 przeprowadza się go w sposób analogiczny do pracy C2 ].

Z przedstawionych rozważań wynika, że wyróżnione składniki i , i ,

, BBS BS

i prędu odbiornika sę w normie przestrzeni BS- . wzajemnie ortogonal-

8S '

ne. Umożliwia to zdefiniowanie szeregu nowych pojęć mocy dla odbiorników dwuzaciskowych zasilanych napięciem prawie okresowym.

4. Definicje mocy

Wzajemna ortogonalność składowych aktywnej, reaktancyjnej, rozprosze­

nia prędu odbiornika, implikuje wzór:

(1 I i) 1 * (¡la1 I 1 >2 + (¡1 r1 I 1 )2 + («s1 I 1 )2*

BS2,rf 85 BS2 ,cC BS1 ^ 8BS BS1 ^

Mnożęc obustronnie powyższy wzór przez (||u |j ^ )2 uzyskujemy zależ­

ność: BS2,<*

u 1 )2 (||i|| ł )2 - (Ilu || X )2 (||al fi X )2 ♦

BS2,rf BS2,* 2,oC BS 2 ,<*

(25) - (Ilu || i )2 (||rl II x )2 t (II u|| X )2 (II ,i II X )

as1 .* BB2 ,oC BS2,ot BS 2,aC

Zdefiniujmy moce:

- S - pozorna w sensie Besicovitcha-Sobolewa:

BS

2

Q - reaktancyjnę w señale Besicovitcha-Sobolewa:

BS

«r ‘ (H I 1 > OIr1 1 1 í28)

BS BSa,* BS BS2 .oC

Q. - rozproszenia w sensie Besicovltcha-Sobolewat BS8

Q, » (II u » , ) (I i I x ), (29)

BS» BS‘ <0C “BS BS2f0(

i zapiszmy wzór (25) w p o s t a d t

Sm - Pa * Q r + Qs * <30>

BS BS BS BS8

Wzór powyższy ilustruje pewien ‘‘prostopadłościan' mocy dla wprowadzonych mocy.

5. Podsumowanie

1. W pracy sformalizowano problem minimalizacji wskaźnika Jakości prędu odbiornika dwuzaciskowego zasilanego napięciem odkształconym prawie okresowym w sensie Besicovitcha-Sobolewa.

2. Minimalizacja wskaźnika Jakości prędu odbiornika umożliwiła wyróż­

nienie składowej aktywnej prędu odpowiedzialnej zai

- ustalony kompromis pomiędzy ocenę strat mocy czynnej na doprowadzeniu do odbiornika i ocenę zniekształceń prędu,

- dopływ zadanej mocy czynnej do odbiornika.

3. Przeprowadzono rozkład prędu na trzy wzajemnie ortogonalne składowe:

- aktywnę,

- reaktancyjnę, kompensowalnę w klasie układów LC,

- rozproszenia, wynikłę z rozrzutu konduktancji częstotliwościowych od­

biornika względem zbioru pewnych konduktancji zastępczych.

4. Wykorzystujęc uzyskany rozkład ortogonalny prędu wprowadzono szereg nowych pojęć mocy dla przebiegów prawie okresowych.

LITERATURA

Brodzki M . , Walczak a.. Analiza właściwości energetycznych układów dwuzaciskowych z przebiegami odkształconymi w pewnych przestrzeniach funkcji prawie - okresowych. I. Konstrukcja wskaźnika jakości prze­

biegów odkształconych. XII Seminarium z Podstaw Elektrotechniki i Teorii Obwodów. Wisła 1989.

£23 Brodzki M . , Pasko M. , Umińska-Bortliczek M . , Walczak 0., Ortogonalny rozkład prędu odbiornika dwuzaciskowego zasilanego napięciem odkształ­

conym w przestrzeni Sobolewa. XI Seminarium z Podstaw Elektrotechniki i Teorii Obwodów. Wisła, 20 - 23 kwietnia 1988.

[^3 Czarnecki L.S., Power Theories of Perlodic Nonsinusoidal Systems.

Rozprawy Elektrotechniczne nr 31, z. 3-4, 1985.

£43 Kołodziej W., Wybrane rozdziały analizy matematycznej WIN, Warszawa 1982.

^ 3 Maurin K . , Analiza. Cz. I. Elementy. PWN, Warszawa 1971.

Recenzent: Ooc. dr hab inź. Maciej Slwczyński Wpłynęło do Redakcji dnia 15 maja 1989 r.

AHAJM3 3HEPEEIIWECKHX GBOECTB 0^H04A3HHX UEHEH C HECHHyCOHHAJIŁHHM B HEK0I0PHX HP0CIPAHC.Tj3AX I1CH TH-IIEPH OHHHECKHX 4>yHKUKH

II. EEHEHHE IIPOBJIEMH MHHHMAJM3AU.HH II0KA3ATEJIH KAHECTBA HECHHyCOHMJIBHłK IIPOTEKAHHH H OPTOrOHAJIBHOE PACUPEflEJIEHHE. TOK OB HPHiMHHKA

P e a 10 m e

B p a ó o T e npoBefleH a mhhhmh3amtH n o K a a a T e jia K a^iecTBa (B n efleH H o ro b I - o f l aaCTH CTaTbH) HeCHHyCOHflajIhHHX TOKOB flJLH 0,HH0<J;a3HHX npHeMHKKOB. 3i y n p o ó jie - My pemeHO npH orpaHHHeHHH paaeH CTBa o T H ocam ero ca k noflBefleHHoił k npuśMHHKy aa^aHOll aKTHBHOii MOIĘHOCTH H npHHHTHM AOnymeHHeM, MTO ¡JiyHKIlHH TOKOB H Hanpaxceana npneMHHKOB aBJuuoTCH o.neKeHTaMH npocTpaH CTBa noHTH-nepHOfliriecKHX

$yHKĘiiił b CMKCjie E ecH K O B iP ła-C o So jieB a.

Mkhhmm3ati;łfa n o K a a a ie jw n o 3 B o x a e T BtipejM Tb aKTHBHyio cocTasjisicm yio T o n a , KOTopan 0TBe<iaeT 3 a n e p e a a a y 3aflaHHo8 aKTHBHofi moisbooth k npneMHHKy.

B p a ó o T e npoBeaeH o lan sce p a3JioxeH Ke TOKa npHeMHBKa a a ip n BsaH M H Oopioro- HajiBHHe co cia B jia io ą H e h BBe^aHO HecKOJiŁKo hobłoc onpe^eaeH H ii m o b h o c th . IIpoBeaeH a $H3H>łecKaa HHTepripeTaitHH c o c ia B ji« o n in x o p io ro H a jib H o ro p a c n p e a e — zeHHa T on a npaeMHHKa, <110 n o3B o j a e i KOMneiiCHpoBaTb H eK oiopue oooiaBjiHjomHe T o n a , a b a i o r e yB aaim iiT b K03$$H im eH i m c h h o c tk H C io aio tK a.

ANALYSIS OF THE POWER PROPERTIES OF TWO-TERMINAL RECEIVERS WITH NONSINUSOIDAL WAVEFORMS IN CERTAIN SPACES OF ALMOST PERIODIC FUNCTIONS

II. SOLVING THE PROBLEM OF MINIMIZING THE QUALITY INDEX OF DEFORMED CURRENTS AND ORTOGONAL DECOMPOSITION OF THE RECEIVER CURRENT

S u m m a r y

The paper describes minimization of the quality index of deformed currents of two-terminal receivers (defined in psperlY] with invariability of the active power supplied to the receiver, with an assumption that the functions of the receiver voltages and currents are the elements of the space of almost periodic functions in the sense of Besicovitch-Sobolev.

The minimization of this quality index makes it possible to distinguish the active component of the current which is responsible for the transmission of the assigned active power to the receiver.

Also the decomposition of the receiver current into three components ortogonal to each other has been carried out, which permits definition of a number of new conceptions of power.

The carried out physical interpretation of the components of the ortogonal decomposition of the receiver current is an instruction on the possibility of compensation of the selected ortogonal components of the current which permits to increase the power factor of the source supplying the receiver.