S e r i a : AUTOMATYKA z . 9
JERZY FRĄCKOWIAK
K a t e d r a U r z ą d z e ń i Układów A u to m a ty k i
ZASTOSOWANIE CZĘSTOTLIWOŚCIOWEGO WSKAŹNIKA JAKOŚCI REGULACJI W'LINIOWYM UKŁADZIE REGULACJI DWUPARAMETROWEJ.
S t r e s z c z e n i e . W a r t y k u l e podano z a s t o s o w a n i e c z ę s t o t l i w o ś c i o w e g o w s k a ź n ik a j a k o ś c i r e g u l a c j i q ( jw ) z d e f i n i o w a n e g o w z am kniętym obwodzie j e d n o p a r a m e t r o - nym j a k o s t o s u n e k b ł ę d u r e g u l a c j i w y s t ę p u j ą c e g o p r z y z a k ł ó c e n i a c h s i n u s o i d a l n y c h w u k ł a d z i e z r e g u l a t o r e m do b ł ę d u w u k ł a d z i e b e z r e g u l a t o r a . Podano z w ią z e k m ię d z y b ł ę d a m i r e g u l a c j i w u k ł a d z i e dwuparametrowym a w s k a ź n ik a m i q,, i q~ d l a p o j e d y n c z y c h p ę t l i r e g u l a c y j n y c h o r a z s p o s ó b i w y k resy p o z w a l a j ą c e n a d o b ó r p a ra m e tr ó w t y c h p ę t l i .
P r z e d m io te m r o z w i ą z a ń w n i n i e j s z y m a r t y k u l e j e s t m o żliw o ś ć z a s t o s o w a n i a c z ę s t o t l i w o ś c i o w e g o w s k a ź n ik a r e g u l a c j i do a n a l i zy l u b p r o j e k t o w a n i a l i n i o w e g o u k ł a d u r e g u l a c j i d w u p a r a m e tr o -
R y s . 1
Y - w i e l k o ś ć r e g u l o w a n a , YQ - w a r t o ś ć z a d a n a , Z - z a k ł ó c e n i e , K - f u n k c j a p r z e j ś c i a o b i e k t u r e g u l a c j i , Ł , - f u n k c j a p r z e j
ś c i a r e g u l a t o r a
52 J e r z y F rą c k o w ia k w e j . W u k ł a d z i e r e g u l a c j i o s t r u k t u r z e jednoobw odow ej w skaź
n i k j a k o ś c i r e g u l a c j i z d e f i n i o w a n y j e s t n a s t ę p u j ą c o : b ł ą d r e g u l a c j i w s k u t e k w y s t ą p i e n i a z a k ł ó c e n i a Z w u k ł a d z i e z r e g u l a t o r e m ________________________
q - b ł ą d w s k u t e k w y s t ą p i e n i a z a k ł ó c e n i a Z w u k ł a d z i e b e z r e g u l a t o r a
. Z (jto)
1 + IŁ Cjooj.K: Ijco) j = -ł^.ZC jcoj
q(ii^ = 1 + % tjO5).K0C jcoj
= i+KTjGÓT'’
g d z i e :
K(jco) - f u n k c j a p r z e j ś c i a o t w a r t e g o u k ł a d u r e g u l a c j i . S p o só b w y k o r z y s t a n i a w s k a ź n i k a do jednoobwodowych układów a u t o m a t y c z n e j r e g u l a c j i o r a z układów kombinowanych i k a s k a d o wych p o d a j e [ 1 ] .
H y s . 2
“ s p r z ę ż e n i a w p r o s t w o b i e k c i e T s p r z ę ż e n i a s k r o ś n e w o b i e c i e , E ^ , E ^ 2 - f u n k c j e p r z e j ś c i a r e g u l a t o r ó w , Kz 1 . Z i - z a k ł ó c e n i e w cho d zące n a u k ł a d I , IŁ p -Z p ~ z a k ł ó c e n i e
w c h o d zące n a u k ł a d I I
W lin io w y m u k ł a d z i e r e g u l a c j i d w u p a ra m e tro w e j z a g a d n i e n i e p r z e d s t a w i a s i ę n i e c o o d m i e n n i e .
S c h e m a t b lo k o w y u k ł a d u r e g u l a c j i d w u p a ra m e tro w e j p r z e d s t a wiono na r y s . 2 . P o s z c z e g ó l n e c z ł o n y t e g o s c h e m a tu o z n a c z a j ą k o l e j n o :
*11* *22 ** ^ r z ę ż e n i a w p r o s t w o b i e k c i e ,
* 1 2 ’ *21 “ s p r z ę ż e n i a s k r o ś n e w o b i e k c i e ,
*R1* *R2 ~ fun:kcÓe p r z e j ś c i a r e g u l a t o r ó w ,
Kgsj,Z^i - z a k ł ó c e n i e w ch o d z ą c e na u k ł a d p i e r w s z y , Kpp.Zp - z a k ł ó c e n i e w cho d zące na u k ł a d d r u g i .
Udowodnić m ożna, i ż w u k ł a d z i e t a k i m b ł ą d s u m a r y c z n y EjCjto) b ę d ą c y w y n ik iem w y s t ą p i e n i a z a k ł ó c e n i a Z^Cjco] i ŁjCjco ) o p i s a n y j e s t wzorem:
1+P2 (j<o)
E1 (jco)= - p +P1Vjoo-)i'.['1+P2 U w }] - Kz 1 Cjco) Z^jcn) +
♦ r Ł l a ( ,:|M)/ .
, [1 + ^ C jtc )]. [l+F2 (jco)j - K (jw )
A n a l o g i c z n i e :
1+P-Cjco )
S2 ( ^ ) = " l5coj]7[1+ P 2 t jco)] - K O T ' ^ 2 ^ 22 ( j<o} +
K2 1 ( jco) . K ^ C j c o ) n
+ +??2 (M ] ¿3T * z i,CjŁ0} * >
g d z i e :
P1 ( d <0 ) =
F2 (dco) = . K ^ C jc o)
K(jco) = K^^Cjco) • Kp^Cjco) K^yjCjco) K ^p( 3 ^ ) •
J e r z y F rą c k o w ia k Wzory ( 1 ) i ( 1 ’ ) można n a p i s a ć w p o s t a c i n a s t ę p u j ą c e j :
E1 (jco) = a 1 Cjco) . K ^ C jc o i .^ C jc o j + b ^ C ju ^ .K ^ C jc o K Z g C j c o ) ( 2 ) JSgCjco) = a 2 (joo) . KggCjco).Z2 (jco)+b2 (jc o ).K J^ ](jc o ) .Z 1 (jco). ( 2 » ) Z a g a d n i e n i e s p ro w a d z a s i ę do z n a l e z i e n i a a ^ ( j c o ) , a 2 (jco), b 1 (jco) i b 2 ( jio ) p r z y znanym Kz ^(jco) . Z,|(jco) i K2 (jco) .
. Z g C jc o ) t a k i c h , a b y |E 1 Cjcc)| i ¡ E ^ j c o j j n i e p r z e k r a c z a ł o z a d a n e j f u n k c j i f ^ = f^(oo) i f 2 = f 2 (co).
P o n ie w a ż o w a r t o ś c i a c h |E( jco)| d e c y d u j ą zarów no m oduły j a k i k ą t y fa z o w e c z ło n ó w s k ła d o w y c h , w ię c z n a l e z i e n i e a ( j t o ) i b ( jc o ) j e s t t r u d n e . Z a g a d n i e n i e t o można r o z w i ą z a ć p r z e z p r z y
j ę c i e m a j o r a n t y w y r a ż e ń | E ^ ( j w ) | i JE2 (jco)| t z n . z a ł o ż y ć , i ż c z ł o n y w y s t ę p u j ą c e we w z o r a c h na E-j(jco) i EgCjco) mogą s i ę co n a j w y ż e j d o d a ć a l g e b r a i c z n i e . T r z e b a j e d n a k p a m i ę t a ć , ż e w s p ó ł c z y n n i k i w t y c h w z o r a c h s ą f u n k c j ą w i e l k o ś c i c h a r a k t e r y s t y c z n y c h u k ł a d u i j e ś l i z o s t a n ą w y l i c z o n e w t e n s p o s ó b , t o mogą p o s t a w i ć b a r d z o o s t r e w a r u n k i na d o b ó r p a r a m e t r ó w r e g u l a t o r ó w , a w p r z y p a d k u s k r a j n y m u n i e m o ż l i w i ć s y n t e z ę u k ł a d u r e g u l a c j i .
A n a l i z a u k ł a d u j e s t n a t o m i a s t p r o s t a , bowiem w te d y a(jco) i b ( jc o ) n i e s ą w i e l k o ś c i a m i s z u k a n y m i, l e c z można j e w y l i c z y ć z o d p o w i e d n i c h w y k re só w . W z w ią z k u z tym do s y n t e z y u k ł a d u można p o d e j ś ć d w o j a k o i o s z ac o w ać na p o d s t a w i e wzorów ( 2 ) i
(2* ) w i e l k o ś c i a (jco) i b (jc o ) a j a k z o s t a n i e n a s t ę p n i e p o k a z a n e ty m samym J ą ^ C j ^ j i |q 2 (jco)| ( w s k a ź n i k i r e g u l a c j i d l a obydwu u k ład ó w p r a c u j ą c y c h a u t o n o m i c z n i e ) , co d a s i ę u z y s k a ć z d o s y ć grubym p r z y b l i ż e n i e m i n a s t ę p n i e p r z e p r o w a d z a ć k o l e j n e p r z y b l i ż e n i a l u b t e ż z a ł o ż y ć pewne p a r a m e t r y u k ł a d u i s p r a w d z a ć
| E( jco)J.
P r z e k s z t a ł c a j ą c w zory ( 1 ) i ( 1 * ) u z y s k u j e s i ę : K i p i jco)
-Q /|( jwjKg-j( jco). Ł j( jto)+qy|( jco). B(jco) - — r-^r- Kz 2 (jco)Z2(jc4
Slj ( jco) = : —---
' l - L(jco) ( j )
K2 1 (jto )
- q 2 ( j<o)Kz 2 ( jco)Z
2
( jco)+q2 ( j<o)A( jco) ^ ^ ) ( jco). Z1 ( jco) Ep(jco)= --- ^1-L'Cjćó}------- ’( 3 * ) g d z i e :
A
q^(jco) = '('¿'¿o)' “ w s k a ź n i k j a k o ś c i r e g u l a c j i d l a obwodu p i e r w s z e g o ( p r z y w yłączonym r e g u l a t o
r z e V '
A
<ł2 (jó>) = -V+ff"'(jo 5 )- ~ w s k a ź n i k j a k o ś c i r e g u l a c j i d l a obwodu d r u g i e g o ( p r z y wyłączonym r e g u l a t o r z e I t , ) ,
Eo-i(jco). jco)
K 3 “ > = A C d c ) . B ( J c ) .
A ( 3w) = ^ ( j c o ) F2 (jco) B ( 3w) = TOgCJco)-- Wynika s t ą d , i ż :
, , ,
a 1 ^ co) ~ 1-L(jco)
<ł2 ( j « ) a 2 ^ w) = 1 - U ' j w )
K-i 2 ( j co) B ( 3w )*
b-i (jco) = q1 (jc o ).---1—L( jćo)---
K2 l (jco) A ( ^ ‘ Ł l1'( j co7 b2 (jco) = q2 (jc o ). 1 -L ( jco)
56 J e r z y F rą c k o w ia k Z w y r a ż e ń n a a (jco) i b (jc o ) w i d a ć , ż e n a l e ż y d o b r a ć
k H = l'" i —ł cjco) k 1
co o z n a c z a , ż e j e ś l i n p . u k ł a d p i e r w s z y p r z y wyłączonym r e g u l a t o r z e u k ł a d u d r u g i e g o p r a c u j e z pewnym w s k a ź n ik i e m r e g u l a c j i q_^ ( jco), t o po w ł ą c z e n i u r e g u l a t o r a d r u g i e g o j a k o ś ć r e g u l a c j i z w i ą z a n a z w y stę p o w a n ie m z a k ł ó c e ń Z^(jco) n i e b ę d z i e g o r s z a . P r o j e k t u j ą c u k ł a d r e g u l a c j i , j a k j u ż z a z n a c z o n o u p r z e d n i o , n a l e ż y o k r e ś l i ć p r z e b i e g i | ( jco)| i |q 2 (j<^)|.
N a s t ę p n i e n a l e ż y t a k d o b r a ć K ^ i j c o ) i KggCjco), a b y
q1 ( j “ ) q2 (jco)
1 - L ( jco) < ^1 Ą 1 -L (jco )
co s p r o w a d z a s i ę do w aru n k u ( 4 ) .
Z a g a d n i e n i e d o b o ru o d p o w i e d n ic h K ^C jco ) i Kpp(jco), a tym samym A(joo) i B(jco) można r o z w i ą z a ć m a ją c do d y s p o z y c j i :
/|
a ) s i a t k ę s t a ł e g o m odułu q^ 2 (jco) = 1+3? (jco) ^co s ‘tanowŁ s i a t k ę B l a c k a o b r ó c o n ą o 1 8 0 ° ) ,
b ) s i a t k ę B l a c k a = c o n s t j V = c o n s t ) , c ) s i a t k ę s t a ł e g o m odułu |q ( j c o ) | = | 1_Ł'( jooj |
( s i a t k ę t ę można s k o n s t r u o w a ć w o p a r c i u o . s i a t k ę B l a c k a .
• O \
D a j e t o s i a t k ę „b p r z e s u n i ę t ą o 180 w p r a w o ) .
Wzory w y m ie n io n y c h t r z e c h s i a t e k p r z e d s t a w i o n o na r y s . 3»
P o s ł u g i w a n i e s i ę p r z y t o c z o n y m i w y k re s am i j e s t n a s t ę p u j ą c e : 1 . W s i a t k ę ^a wrysowujemy pewne z g ó r y z a ł o ż o n e k rzy w e
F-j(j<»0 i P2 (ju>), ^ alc a *>y s p e ł n i a ł y z a ł o ż o n e p r z e b i e g i
• | q 1 ( d ^ ) | i
• I
2 . Na s i a t c e ,b r y s u j e m y k rzy w e P^Cjco) i F2 (jco) * w y z n ą - czamy A(jco) i B (jco ).
Kp1 (¡}^) «
3 . Krzywą A(joo) -. B (jc o ). r y s u j e m y w s i a t c e ^ c .
rgumt-ntargument
a ) s i a t k a s t a ł e g o modułu g
b ) s i a t k a B l a c k a ( s k a l a lo g a ry tm .) R y s . 3
J e r z y F rą c k o w ia k J e ż e l i oknzo »»lę, żo w p a ś m ie i n t e r e s u j ą c y c h n a s z a k ł ó c e ń w a ru n e k ( 4 ) n i e j o Ot o p o ł n i o n y n a l e ż y t a k zmodyfikować A(jco) j 0 ( j w ) , a oo za tym i d z i e F-j(joo) i FgCjco) a b y j e d n o c z e ś n i e zachow ać waru nok na p r z e b i e g i |<i^ ( jco) J i jq2U w)| o r a z
SSys* :'C». Siatka stałego medalu q
Mając; odFUw isdnio d ch ru r® F . i j t r j i F ^ tjc e j modna j u s łatw o wy-iir&ozyć JŁ^kjd-') i S^-Cjc.',',
sairsćSitułe s.ałai.y j^ssoas żyłko sprawdzić funkcje [Sgf#Bi|
;. co -'i-?.: je st ju ż tru cr ? d s ię k i znajomości wssystkid*
rot.-,: o i>,.‘yo> , do ż.eęo o sy se ik ó w ,
>„10 F i u d , e i s - e a V . — I g o h a i k a t r e ^ u ł g u c j i . m - t o m a t y e s u e j . ~ m W e s - s m m&t
i i'j S i l i » JkOw» ł e c u u l r a ; F . , F e l s g r i c 2* - Serwcmediamimmy.
Wo.raaaw»; l8Ś®tU
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P e a d u e
B CTaTte npexcraBxeHO npxueHeHxe vacTOTHoro HHxexca xawecTBa peryaxpOBaHHH q(jco ) onpe*exëHHoro b 3axpNT0fl CHCTeue c oxhbu
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The r e l a t i o n b e tw e e n e r r o r s o f c o n t r o l i n a t w o - p a r a m e t e r s y s t e m a n d q u a l i t y c o e f f i c i e n t s q^ a n d q2 f o r s i n g l e c o n t r o l s l o o p s i s g i v e n a s w o l l a s m eans a i d g r a p h s a l l o w i n g t h e s e l e c t i o n o f p a r a m e t e r s o f t h i s l o o p s .
