Zagadnienie istnienia w matematyce, I

(1)

Mieczysław Lubański

Zagadnienie istnienia w matematyce,

I

Studia Philosophiae Christianae 19/2, 182-186

(2)

o g ro d ó w , k r a jó w , ro z m o w a , m a r z e n ie ja k o m y ś le n ie m o żliw o ściam i, ro z p o z n a n ie sw y c h z a le t, i z g o d a n a sie b ie , s z a c u n e k d la c z y je jś w ł a sności, p rz e z w y c ię ż a n ie p ró ż n o śc i, n ie k ie d y g n iew , p r z e r a ż e n ie , b r z y d o ta , w re s z c ie ła g o d n a zgoda n a lo s osób n ie k o c h a n y c h .

N a d z ie ja je s t w ię c s w o is tą ró w n o w a g ą w e w n ę trz n ą , ty m , co n a j le p sz e m ię d z y w ła ś n ie ro z p a c z ą i m iło śc ią . J e s t p rz e z w y c ię ż e n ie m u z n a w a n ia celó w b liż sz y c h za o s ta te c z n e , u c z e n ie m się rz e c z y w is to śc i, w ią z a n ia d e cy zji i e m o c ji z p r a w d ą i d o b re m p o p rz e z p ię k n o .

N a jk ró c e j m ó w iąc, p ię k n o w p ro w a d z a n a s w n a d z ie ję , n ig d y w ro z p a c z i n ig d y w m iło ść. W y ry w a n a s z ro z p a c z y , lecz n ie m a siły w n ie s ie n ia n a s w m iło ść. Z a tr z y m u je p rz y so b ie w p o g o d n e j k o n te m p la c ji n ie d o p u sz c z a ją c do sp e łn ie ń : do n ie sz c z ę śc ia ś m ie rc i z ro z p a c z y i do

szczęścia t r w a n i a w m iło ści. B u d z ą c je d n a k o c z e k iw a n ie , k tó r e je s t n a d z ie ją , k ie r u je do p r a w d y i d o b ra , w ia r y i m iło ści, g d y n a d z ie ję

o ży w i c ie r p ie n ie i tę s k n o ta .

M IE C Z Y S Ł A W L U B A Ń S K I

ZAGADNIENIE ISTNIENIA W MATEMATYCE, I

J e d n y m z c e n tr a ln y c h p ro b le m ó w w filo zo fii m a te m a ty k i je s t z a g a d n ie n ie is tn ie n ia , a w ię c p y ta n ie o sposób, czy sp o so b y , is tn ie n ia o b ie k tó w m a te m a ty c z n y c h . P ro b le m te n je s t z a ra z e m je d n y m z n a j s t a r szych p ro b le m ó w filo z o fic z n y c h i do dziś p ro b le m e m o tw a rty m . P r z y c zy n ę te g o s ta n u rz e c z y m o ż n a u p a tr y w a ć z a ró w n o w sp e c y fic z n e j n a tu r z e m a te m a ty k i, j a k te ż w n ie m o ż n o śc i p o ję c io w e g o u ję c ia is tn ie n i a 1. M a te m a ty k a m o że b y ć u z n a n a za w y ją tk o w ą d zie d z in ę w ie dzy, z te g o c h o ć b y p o w o d u , że b y w a ją je j p rz y p is y w a n e c e c h y w y k lu c z a ją c e się. J e d n o ze s k r a jn y c h s ta n o w is k u w a ż a j ą za je d y n ą n ie p o w ą tp ie w a ln ą n a u k ę , w k tó r e j m a m y do c z y n ie n ia z tw ie r d z e n ia m i w p e łn y m te g o sło w a z n a c z e n iu , d ru g ie zaś t r a k t u j e j ą ty lk o za ję z y k n a u k i, zw ła sz c z a fizy k i. P r a w d a o m a te m a ty c e n ie je s t ła tw a d o o d k ry c ia . U ja w n ia się o n a n a jb a r d z ie j p rz y a n a liz o w a n iu b a d a ń m a te m a ty c z n y c h , e w e n tu a ln ie ich w y n ik ó w , a w ię c tw ie r d z e ń m a te m a ty c z n y c h , ic h d o w o d ó w , j a k te ż c e lu u p r a w ia n ia m a te m a ty k i. D użo ś w ia tła m oże tu rz u c ić ró w n ie ż ro z w a ż a n ie g e n e z y p o ję ć m a te m a ty c z n y c h . S a m te r m i n is tn ie n ie n ie n a le ż y ró w n ie ż do te r m in ó w p ro s ty c h i ła tw y c h . W p r z y p a d k u s p r a w d n ia co d z ie n n e g o n ie b u d z i o n n a j m n ie js z y c h w ą tp liw o ś c i. J e ś li je d n a k c h c e m y p rz y jrz e ć m u się b liż e j, s t a je się p r a w ie że n ie u c h w y tn y . N ic w ię c d ziw n eg o , że p ro b le m is tn ie n ia w m a te m a ty c e , choć d a w n o ju ż p o s ta w ia n y , p o z o s ta je i dziś a k t u a l n y 2. 1 P o r. M. A. K rą p ie c , M e t a f i z y k a , Z a r y s p o d s t a w o w y c h z a g a d n ie ń , P o z n a ń 1966, 417. 2 P r o b le m sp o so b u is tn ie n ia o b ie k tó w m a te m a ty c z n y c h je s t z a lic z a n y do c e n tr a ln y c h z a g a d n ie ń filo z o fii m a te m a ty k i; u c h o d z i on za p ro b le m n ie z w y k le z ło ż o n y i tr u d n y . Zob. n p . J. S u ch , W s t ę p do m e - to d o lg ii o g ó ln e j n a u k , P o z n a ń 1973, 106; M a ł a E n c y k l o p e d i a L o g ik i, W ro c ła w 1970, 205, 208; A. M o sto w sk i, T h e p r e s e n t s t a te o f i n v e s t i  g a ti o n s o n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s , R o z p ra w y M a te m a ty c z n e 9, W a rs z a w a 1955.

(3)

J e s t rz e c z ą n ie w ą tp liw ą , że w m a te m a ty c e m ó w i się o is tn ie n iu ró ż n e g o r o d z a ju o b ie k tó w . P o w s ta je p y ta n ie co się p rz e z to w te j d y s c y p lin ie ro z u m ie ; in n y m i sło w y , co zn a c z y is tn ie ć w m a te m a ty c e . P o n iż s z e ro z w a ż a n ia s t a w ia ją so b ie za cel w y c h w y c e n ie z n a c z e ń t e r m in u is tn ie ć w m a te m a ty c e . W ty m c e lu p r z e a n a liz u je się d o w o d y tw ie r d z e ń , w k tó r y c h o rz e k a się is tn ie n ie p e w n y c h o b ie k tó w m a t e m a ty c z n y c h . A n a liz a ta p o z w o li u jr z e ć sp o só b ro z u m ie n ia in t e r e s u j ą c e go n a s te r m in u ; z n a jo m o ść sa m y c h b o w ie m s fo rm u ło w a ń tw ie r d z e ń n ie w y s ta r c z a do teg o celu. A n a liz y n a s z e o b e jm ą p o d s ta w o w e d z ie d z in y m a te m a ty k i. O b e c n e o p ra c o w a n ie o g ra n ic z a się do a lg e b ry . Z a p o d s ta w ę a n a liz b ie rz e się ty p o w e w sp ó łc z e s n e p o d rę c z n ik i a lg e b r y 3. Ż e b y ro z w a ż a n ia n a sz e b y ły k o n k r e tn e i je d n o c z e ś n ie d o s tę p n e d la filo z o fa z o s ta n ą p o d a n e m o ż liw ie p r o s te w fo r m ie tw ie r d z e n ia o rz e k a ją c e o is tn ie n iu p e w n y c h o b ie k tó w w z a k re s ie ro z w a ż a ń a lg e b r a i czn y ch . Z n a m y s łu u n ik a się szczegółów te c h n ic z n y c h , k tó r e z a c ie m n i ły b y ty lk o ro z w a ż a n ia . S p o ś ró d w ie lu tw ie r d z e ń o d p o w ia d a ją c y c h p o d a n y m w a r u n k o m w y b ie r a m y k ilk a n a jb a r d z ie j, j a k się z d a je , r e p r e z e n ta ty w n y c h . O to w s p o m n ia n e tw ie r d z e n ia z e b ra n e w tr z e c h g r u p a c h :

G r u p a I.

T w ie rd z e n ie 1. D la k a ż d e j lic z b y c a łk o w ite j a i d o w o ln e j lic z b y n a tu r a ln e j n i s t n i e j e d o k ła d n ie je d n a ta k a lic z b a r, k tó r a j e s t r e s z tą z d z ie le n ia lic z b y a p rz e z n i je s t m n ie js z a od n.

T w ie rd z e n ie 2. N ie c h d b ę d z ie n a jw ię k s z y m w sp ó ln y m d z ie ln ik ie m lic z b c a łk o w ity c h a o ra z b. I s t n i e j ą ta k ie lic z b y c a łk o w ite x o ra z y, że z a c h o d z i ró w n o ś ć d = a x + b y . G ru p a II. T w ie rd z e n ie 3. N ie c h A b ę d z ie p o d z b io re m c ia ła K. I s t n i e j e n a jm n ie js z e p o d d a ło L c ia ła К z a w ie r a ją c e A. T w ie rd z e n ie 4. N ie c h A b ę d z ie d o w o ln y m p o d z b io r e m p r z e s tr z e n i lin io w e j V. I s t n i e j e n a jm n ie js z a p o d p rz e s trz e ń W p r z e s tr z e n i V z a  w ie r a ją c a A. T w ie rd z e n ie 5. N ie c h A b ę d z ie p o d z b io re m p ie r ś c ie n ia P . I s t n i e j e n a jm n ie js z y p o d p ie rś c ie ń R p ie r ś c ie n ia P z a w ie r a ją c y A. T w ie rd z e n ie 6. N ie c h A b ę d z ie p o d z b io re m p ie r ś c ie n ia P . I s t n i e j e n a jm n ie js z y id e a ł z a w ie r a ją c y A. T w ie rd z e n ie 7. D la d o w o ln e g o p o d z b io ru A g r u p y G i s t n i e j e n a j  m n ie js z a p o d g ru p a H g r u p y G z a w ie r a ją c a z b ió r A. G ru p a III. T w ie rd z e n ie 8. J e ż e li I je s t id e a łe m p ie r ś c ie n ia P , to i s tn i e je h o - m o m o rfiz m p ie r ś c ie n ia P , k tó r e g o ją d r e m j e s t I. T w ie rd z e n ie 9. J e ż e li H j e s t d z ie ln ik ie m n o r m a ln y m g ru p y G, to i s t n i e j e h o m o m o rfiz m g r u p y G, k tó r e g o ją d r o je s t ró w n e H. 3 S. B a lc e rz y k , W s t ą p do a l g e b r y h o m o l o g i c z n e j , W a rs z a w a 1970; A. B ia ły n ic k i-B iru la , A lg e b ra , W a rs z a w a 1976; G. B irk h o f f i S. M ac L a n e , P r z e g l ą d a l g e b r y w s p ó ł c z e s n e j , W a rs z a w a 1966; J . B ro w k in , T e o r i a ciał, W a rs z a w a 1977; B. L. v a n d e r W a e rd e n , A lg e b ra I, B e rlin 1971. P o d a n e n iż e j tw ie r d z e n ia a lg e b r a ic z n e są z a c z e rp n ię te z w y m ie n io n y c h p o d rę c z n ik ó w . N ie p o d a je m y d o k ła d n y c h d a n y c h b ib lio g ra fic z n y c h ze w z g lę d u n a ła tw o ś ć o d s z u k a n ia ic h w c y to w a n y c h k s ią ż k a c h . S a m e tw ie r d z e n ia za lic z y ć n a le ż y d o b a rd z o e le m e n ta r ny ch .

(4)

T w ie rd z e n ie 10. J e ż e li f je s t R -h o m o m o rfiz m e m m o d u łu M w m o d u ł N, to i s t n i e j e iz o m o rfiz m R -m o d u łu I m f n a R -m o d u ł C oim f.

N ie z a m ie sz c z a m y t u t a j d o w o d ó w p o w y ż sz y c h tw ie r d z e ń , g d y ż b y ło b y to n u ż ą c e d la C z y te ln ik a n ie - m a te m a ty k a . Z te g o te ż w z g lę d u n ie p o d a je m y ich a n a liz i n e x te n s o . W y c h o d z im y z za ło ż e n ia , że w y  s ta rc z y p rz e d s ta w ić p o d s u m o w a n ie p rz e p ro w a d z o n y c h a n a liz . C z y te l n ik z a in te re s o w a n y b liż e j p r o b le m a ty k ą z n a jd z ie te k s ty d o w o d ó w w c y to w a n y c h p o d rę c z n ik a c h . Ic h a n a liz a p rz e k o n a go o p o p ra w n o ś c i z a p re z e n to w a n y c h p o d su m o w a ń . W e ź m y te r a z p o d u w a g ę g ru p ę I tw ie r d z e ń , s k ła d a ją c ą się z d w u tw ie r d z e ń . O r z e k a ją o n e o is tn ie n iu p e w n y c h liczb. A n a liz u ją c ic h d o w o d y z a u w a ż a m y , że s tw ie rd z a n ie is tn ie n ia w s p o m n ia n y c h lic z b d o k o n u je się p rz e z w s k a z a n ie sp o ś ró d is tn ie ją c y c h liczb ta k ic h , k tó r e p o s ia d a ją d a n e w ła śc iw o śc i. T o w s k a z a n ie , z re g u ły , p o le g a n a w y k o n a n iu p e w n y c h d z ia ła ń , c z y o p e ra c ji, n a lic z b a c h w y jśc io w y c h . Ich w y k o n a ln o ś ć je s t z a g w a ra n to w a n a p r z y ję ty m i w a r u n k a m i n a ło ż o n y m i n a d z ia ła n ia . M o żn a b y p o w ied zie ć, że tw o rz y się p e w n e liczby, p r z e d s ta w ia ją c j e p rz y p o m o c y o d n o śn y c h w zo ró w , a n a s tę p n ie w y k a z u je iż p o s ia d a ją ż ą d a n e w ła sn o śc i. P r z y ty m p o s tę p o w a n iu n ie w y c h o d z i się p o za ro z w a ż a n y z a k re s liczb. W s k a z a n ie z a te m o d n o śn e j lic z b y p o le g a n a p r z e d s ta w ie n iu je j w p o sta c i, z k tó r e j d a się w y w n io s k o w a ć te z ę tw ie r d z e n ia .

Z p o d o b n ą s y tu a c ją m a m y do c z y n ie n ia w p r z y p a d k u I I g ru p y tw ie r d z e ń . S k ła d a się o n a z p ię c iu tw ie r d z e ń m a ją c y c h a n a lo g ic z n e w y sło w ie n ie . O rz e k a się w n ic h o is tn ie n iu n a jm n ie js z e g o o b ie k tu o p e w n e j w ła sn o śc i. T e n n a jm n ie js z y o b ie k t o tr z y m u je się b io rą c część w s p ó ln ą o b ie k tó w o ro z w a ż a n e j w ła sn o ś c i, a w ię c o b ie k tó w b ę d ą c y c h c ia ła m i, p ie rś c ie n ia m i, p rz e s trz e n ia m i lin io w y m i, id e a ła m i, g ru p a m i. I s tn ie n ie n a jm n ie js z e g o o b ie k tu w y n ik a z is tn ie n ia części w s p ó ln e j o d n o śn y c h zb io ró w . O p e ra c ja w z ię c ia części w s p ó ln e j je s t p e w n y m d z ia ła n ie m , k tó r e w o czach m a te m a ty k a p ro w a d z i od o b ie k tó w is tn ie ją c y c h do n o w y c h o b ie k tó w ró w n ie ż is tn ie ją c y c h . M ożna w ię c p o w ied zie ć, że tu t a j ta k ż e w s k a z u je się o d n o śn y o b ie k t p rz e z w y k o n a n ie p e w n e g o sz e re g u d z ia ła ń n a o b ie k ta c h ju ż is tn ie ją c y c h . T o w s k a z a n ie p o le g a n a p rz e d s ta w ie n iu go w p o sta c i, z k tó r e j d a je się w y w n io s k o w a ć ro z w a ż a n e tw ie rd z e n ie . Id e o w o rz e c z b io rą c m a m y w ię c p o s tę p o w a n ie ta k ie , ja k w p o p rz e d n ie j g ru p ie tw ie rd z e ń . R ó ż n i ca p o le g a n a ty m , że w g ru p ie I ro z w a ż a się liczby, w g ru p ie II zaś z b io ry o p e w n e j w ła sn o ś c i i k o n s e k w e n tn ie w p rz y p a d k u p ie r w sz y m w y s tę p u ją z w y k łe d z ia ła n ia n a lic z b a c h (choć n ie m u s z ą to b y ć z a w s z e d z ia ła n ia a ry tm e ty c z n e ), zaś w d ru g im a b s tr a k c y jn e d z ia ła n ia m n o g o ścio w e. Z a u w a ż m y ta k ż e , że w p rz y p a d k u II g ru p y tw ie r d z e ń n ie w y c h o d z im y ró w n ie ż p o za z a k r e s ro z w a ż a n y c h zb io ró w . K o n c e n tr u je m y je d y n ie sw ą u w a g ę n a z b io ra c h p o s ia d a ją c y c h in t e re s u ją c e n a s w ła sn o śc i. R o z w a ż m y te r a z g ru p ę I I I tw ie rd z e ń . Z a w ie ra o n a tr z y tw ie r d z e n ia , z k tó r y c h d w a (tw ie rd z e n ie 8 o raz 9) m a ją a n a lo g ic z n e s f o rm u ło w a n ia , zaś tw ie r d z e n ie o s ta tn ie (tw ie rd z e n ie 10) n ie c o od n ic h o d b ieg a o rz e k a ją c z a c h o d z e n ie iz o m o rfiz m u p o m ię d z y p e w n y m i o b ie k ta m i. W k a ż d y m ze w sp o m n ia n y c h tw ie r d z e ń g ło si się is tn ie n ie o d p o w ie d n ie g o p rz e k s z ta łc e n ia ; je s t n im b ą d ź h o m o m o rfiz m , b ą d ź izo m o rfizm . M ożna w ięc b y sąd zić, że c h o d z i tu ty lk o i je d y n ie o is tn ie n ie p e w n y c h p rz e k s z ta łc e ń , czy li f u n k c ji. A f u n k c ja to z b ió r p a r u p o r z ą d k o w a n y c h ; z a te m s y tu a c ja z d a je się b y ć p o d o b n a do s y tu a c ji w c z e ś

(5)

n iejszy ch , z k tó r y m i m ie liś m y do c z y n ie n ia w p r z y p a d k u d w u p ie r w szych g r u p tw ie r d z e ń . T a k m o ż n a b y sąd zić p o p r z e s ta ją c n a p o w ie rzc h o w n y m u ję c iu sa m e g o s f o rm u ło w a n ia tw ie r d z e ń g r u p y II I. J e żeli je d n a k p rz y jrz e ć się d o w o d o m ro z w a ż a n y c h tw ie r d z e ń , to z a u w ażam y że o rz e k a n ie is tn ie n ia o d n o śn y c h h o m o m o rfd zm ó w je s t r ó w now ażne p rz y ję c iu is tn ie n ia o b ie k tó w o w y ż sz y m p o zio m ie a b s tr a k c ji. Nieco k o n k r e tn ie j. T w ie rd z e n ie 8 je s t ró w n o w a ż n e s k o n s tru o w a n iu tzw. p ie r ś c ie n ia ilo razo w eg o , zaś tw ie r d z e n ie 9 s k o n s tru o w a n iu tzw . grupy ilo ra z o w e j z je d n o c z e s n y m p rz y ję c ie m ich is tn ie n ia . M ożna więc p o w ied zie ć, że d y s k u to w a n e tw ie r d z e n ia g ło sz ą is tn ie n ie p i e r ścienia ilo ra z o w e g o o raz is tn ie n ie g r u p y ilo ra z o w e j. K a ż d y zaś z ty c h obiektów je s t z b io re m p e w n y c h z b io ró w , a w ię c tw o r e m o n ie w ą tpliw ie w y ż sz y m p o zio m ie a b s tr a k c ji w p o ró w n a n iu d o tw o ró w w y j ściowych. E le m e n ta m i g ru p y ilo ra z o w e j (żeb y p o z o sta ć ty lk o p r z y tym p rz y k ła d z ie ) są tzw . w a rs tw y , czy li o d p o w ie d n ie p o d z b io ry g r u py w y jś c io w e j. N a w a r s tw a c h ty c h o k re ś la się d z ia ła n ie g ru p o w e oraz w y k a z u je , że z b ió r w a r s t w z o k re ś lo n y m n a n im d z ia ła n ie m tw orzy g ru p ę . D z ia ła n ie g ru p o w e je s t w ię c tu w y k o n y w a n e n ie n a elem en tach g r u p y w y jś c io w e j, lecz n a w a r s tw a c h , czy li n a z b io ra c h elem entów g ru p y w y jś c io w e j. T w ie rd z e n ie 10, z in te re s u ją c e g o n a s p unktu w id z e n ia , n ie w n o si is to tn ie czegoś n o w eg o . O rz e k a ono b o wiem z a c h o d z e n ie iz o m o rfiz m u m ię d z y d w o m a m o d u ła m i ilo ra z o w y mi. W isto c ie rz e c z y o d n o si się ono do ty c h m o d u łó w , a w ięc z a kłada ich is tn ie n ie . M o d u ł ilo ra z o w y zaś je s t o b ie k te m k o n s tr u o w a nym a n a lo g ic z n ie d o g r u p y ilo ra z o w e j, czy te ż p ie r ś c ie n ia ilo ra z o wego. P rz e c h o d z i się w ię c ta k ż e n a w y ż sz y p a z io m a b s tr a k c ji w p o ró w n an iu do m o d u łu w y jśc io w e g o . W I I I g r u p ie tw ie r d z e ń o rz e k a n ie is tn ie n ia o d n o śn e g o o b ie k tu p o lega w ię c n a s k o n s tr u o w a n iu go p rz e z u tw o rz e n ie p rz e d m io tu b a r dziej a b s tr a k c y jn e g o w p o ró w n a n iu do p rz e d m io tó w w y jśc io w y c h . U jm ując rz e c z od s tr o n y lo g ic z n e j b ę d z ie to u tw o rz e n ie k la s a b s t r a k cji p e w n e j r e la c ji ró w n o w a ż n o ś c i z p rz y ję c ie m je d n o c z e s n y m ich istnienia, a lb o jesz c z e d o k ła d n ie j: z p rz y ję c ie m is tn ie n ia o b ie k tu b ę dącego z b io re m w s p o m n ia n y c h k la s a b s tr a k c ji.

P o d su m o w u ją c w y n ik i p rz e p r o w a d z o n y c h a n a liz m o ż e m y p o w ie

d zieć, że d la m a t e m a t y k a is tn i e ć z n a c z y b ą d ź w s k a z a ć o b i e k t (zw y k le

pTzy p o m o c y p ro s ty c h o p e ra c ji), b ą d ź te ż s k o n s t r u o w a ć o b i e k t (p rzez

p r z e j ś c i e do w y ższeg o p o zio m u a b s tra k c ji). Z s y tu a c ją p ie rw s z ą m a m y do c z y n ie n ia w p r z y p a d k u g r u p y I o raz I I tw ie r d z e ń , zaś z s y tu a c ją drugą w p r z y p a d k u I I I g r u p y tw ie rd z e ń .

P o w ie d z ia n e w y ż e j n a le ż y ro z u m ie ć w s e n s ie n ie w y łą c z a ją c y m . I to n a w e t ty lk o w o d n ie s ie n iu do a lg e b ry . Z n a c z y to, że n ie w y kluczam y, a b y n ie b y ły m o żliw e in n e je szcze sp o so b y r o z u m ie n ia term in u is tn ie n ie w a lg e b rz e . S tw ie r d z a m y je d y n ie , że w y m ie n io ne d w a z n a c z e n ia sło w a is tn ie ć f u n k c j o n u ją w a lg e b rz e . A lg e b ra je s t działem m a te m a ty k i ro z w ija ją c y m się o g ro m n ie . T o te ż ż a d n e p ro g n o zy n ie m o g ą b y ć tr a k to w a n e p o w a ż n ie . O s ią g n ię c ia a lg e b ra ic z n e p rz e k ra c z a ją w y o b ra ź n ię b u d z ą c p o d z iw s w y m i w y n ik a m i. W y d a je się, że o d n o sić to m o ż n a ta k ż e do p o s z e rz a n ia te r m i n u is tn ie ć w a lg e brze.

Z w ró ćm y u w a g ę n a to, że n ie k ie d y f o r m u łu je się tw ie r d z e n ia alg ebraiczne w t a k i sp osób, k tó r y w y w o łu je w ra ż e n ie , że te r m in istnieć z d a je się b y ć z b ę d n y , a c z k o lw ie k ch o d zi, m ó w ią c n a s z y m j ę zykiem, o tw ie r d z e n ia o is tn ie n iu . J e s t to je d n a k p o z o rn e o b y w a n ie

(6)

się b ez in te re s u ją c e g o n a s te r m in u . Z a m ia s t n ie g o u ż y w a się te r m in u z n im z a m ie n n e g o . K ie d y w ięc c z y ta się, że „w d o w o ln e j g ru p ie r ó w n a n ia x a = b o raz a y = b m a ją je d n o z n a c z n e ro z w ią z a n ia ” , z n a c z y to oczyw iście, że is tn ie ją r o z w ią z a n ia w sp o m n ia n y c h r ó w n a ń 4. J e s t z ro z u m ia łe , że n ie s u g e r u je m y się sa m y m i s f o rm u ło w a n ia m i czy sto j ę zy k o w y m i. C h o d zi zaw sz e o m e r itu m sp ra w y .

N ie z a le ż n ie od sp o so b u re d a g o w a n ia tw ie r d z e ń w k tó r y c h o rz e k a się o is tn ie n iu p e w n y c h o b ie k tó w , je s t rz e c z ą n ie w ą tp liw ą , że w m a te m a ty c e , w szczeg ó ln o ści w a lg e b rz e , m ó w i się o is tn ie n iu całe g o s z e re g u o b ie k tó w . M a te m a ty k , w z g lę d n ie a lg e b r a ik , m a do c z y n ie n ia z tw o ra m i, k tó r e w je g o ro z u m ie n iu is tn ie ją , n a d k tó r y m i d o k o n u je ró ż n y c h o p e ra c ji, o k tó r y c h d o w o d zi ró ż n y c h w ła sn o ś c i, k tó r e b y w a ją w y k o rz y s ty w a n e do o p is y w a n ia , a ta k ż e tłu m a c z e n ia , z ja w is k z a c h o d z ą c y c h w o ta c z a ją c y m n a s św iecie.

B y w a ró w n ie ż ta k , że ch o cia ż s f o rm u ło w a n ie tw ie r d z e n ia o b y w a się b ez te r m i n u is tn ie n ie , to w y s tę p u je on w dow o d zie. C z y te ln ik in te r e s u ją c y się s y g n a liz o w a n y m i tu sz czeg ó łam i z n a jd z ie ła tw o il u s tr a c ję w k s ią ż k a c h c y to w a n y c h w p rz y p is k u 3. Z a n o tu jm y jeszcze, że w m a te m a ty c e w y s tę p u ją ró w n ie ż tw ie r d z e n ia o n i e i s t n i e n i u 5. P r o b le m a ty k a t a je s t p o w ią z a n a z n e g a ty w n y m i ro z w ią z a n ia m i p e w n y c h z a g a d n ie ń . T e z aś p ro w a d z ą do w z b o g a c a n ia i p o s z e rz a n ia d z ie d z in y ro z w a ż a ń m a te m a ty c z n y c h . S y g n a liz u je m y t y l k o tę b o g a tą i zło ż n ą p ro b le m a ty k ę b ez w c h o d z e n ia w szczegóły. P r o b le m w a r t je s t o d d z ie ln e g o ro z w a ż e n ia . R o z w a ż a liś m y sen s te r m i n u is tn ie ć w a lg e b rz e . Co m a n a m y ś li a lg e b r a ik k ie d y m ó w i, że d a n y o b ie k t is tn ie je . D o sz liśm y do w n io s k u , że z n a c z y to je d n ą z d w u rz e c z y : a lb o w s k a z u je d a n y o b ie k t w ś ró d o b ie k tó w is tn ie ją c y c h , a lb o k o n s t r u u je go d ro g ą p rz e c h o d z e n ia do w y ższeg o p o z io m u a b s tr a k c ji. W ty m d ru g im p r z y p a d k u z a k ła d a się, iż w s p o m n ia n e p rz e jś c ie do w y ższeg o p o z io m u a b s t r a k c j i p o z o sta w ia n a s w z a k re s ie tw o ró w m a te m a ty c z n ie is tn ie ją c y c h . S ty k a m y się tu z p e w n ą p o s ta c ią p o s tu lo w a n ia is tn ie n ia tw o ró w w y ż sz e go ty p u a b s tra k c y jn e g o . O tw a r ty p o z o s ta je p ro b le m c h a r a k te r u is tn ie n ia o b ie k tó w m a te m a ty c z n y c h . N ie n a le ż y sąd zić, że sp o só b is tn ie n ia w m a te m a ty c e m u s i by ć je d e n . W y d a je się, że o b e c n e ro z w a ż a n ie łą c z n ie z d a ls z y m i p o d o b n eg o r o d z a ju m oże rz u c ić n ie c o ś w ia tła n a in te r e s u ją c y n a s p r o b le m , a p r z y n a jm n ie j p o z w o li u s y s te m a ty z o w a ć ty p y is tn ie n ia w m a te m a ty c e s ta n o w ią c p o d s ta w ę d o d a ls z y c h a n a liz .

A N N A N A W R O C K A

TEOANTROPOCENTRYZM ETYKI AMBROŻEGO

1. P r z e s ła n k i p o lity c z n e i id eo lo g iczn e p o w s ta n ia d z ia ła A m b ro ż e g o D e o fficiis m i n i s t r o r u m . 2. E th o s c h r z e ś c ija n in a w u ję c iu A m b ro żeg o . 3. R o la K o ścio ła w k s z ta łto w a n iu św ia d o m o śc i m o r a ln e j je d n o s tk i

4 G. B irk h o f f i S. M ac L a n e , dz. cyt., 141.

5 S z e rz e j p iszę o ty m w a r t y k u le Z a g a d n i e n i e i s tn i e n ia t w i e r d z e ń o i s t n i e n i u i n ie i s t n ie n i u , Z a g a d n ie n ia filo z o fic z n e w n a u c e 3 (1981), 62—72.