Krajobraz przestrzeni rozwiązań problemu gniazdowego Wst

Eugeniusz Nowicki^* , Mariusz Makuchowski^*

Krajobraz przestrzeni rozwiązań problemu gniazdowego

Wstęp

Intensywny rozwój algorytmów przybliŜonych wykorzystujących techniki lokalnego poszukiwania (ang. local search) dla problemów optymalizacji dyskretnej spowodował zainteresowanie badaczy krajobrazem przestrzeni, w której te poszukiwania są przeprowadzane. Poznanie własności tych prze- strzeni i odpowiednie ich wykorzystanie w konstruowanych algorytmach, moŜe skutkować polepsze- niem własności numerycznych algorytmów takich jak: zdolność generowania w stosunkowo krótkim czasie rozwiązań niewiele róŜniących się od rozwiązań optymalnych w sensie wartości funkcji celu, czy teŜ moŜliwością poprawy tych rozwiązań w przypadku, gdy moŜemy sobie pozwolić na dłuŜszy czas obliczeń.

Jedną z pierwszych prac w tej dziedzinie jest praca [2], w której analizuje się krajobraz przestrzeni rozwiązań dla symetrycznego problemu komiwojaŜera oraz problemu podziału wierzchołków skiero- wanego grafu na dwa równoliczne podzbiory z minimalną liczbą łuków wychodzących z wierzchoł- ków jednego z podzbiorów. W pracy tej pokazuje się, Ŝe wykorzystując standardową dla tych proble- mów postać sąsiedztwa, w przestrzeni rozwiązań występuje tzw. „duŜa dolina” (ang. big valley).

Oznacza to, mówiąc bardzo ogólnie, Ŝe odległości rozwiązań lokalnie optymalnych od rozwiązania globalnie optymalnego są istotnie dodatnio skorelowane z wartościami funkcji celu dla tych rozwią- zań; im rozwiązanie lokalnie optymalne jest bliŜsze rozwiązaniu globalnie optymalnemu tym ma mniejszą wartość funkcji celu. Podobna własność została wykryta w pracach [9], [10] dla permutacyj- nego problemu przepływowego. Pozwala ona na „teoretyczne” uzasadnienie stosowania w procesie poszukiwań metody ścieŜki łączącej (ang. path relinking), [4], która opiera się na przekonaniu, Ŝe poruszając się po trajektorii łączącej dwa minima lokalne mamy duŜe szansę na znalezienie innego, jeszcze lepszego minima lokalnego lub nawet globalnego Własność ta wyjaśnia takŜe przyczyny za- dziwiającej skuteczności metody skoku powrotnego (ang. back jump) zastosowanej w [8] do intensy- fikacji i dywersyfikacji poszukiwań przy konstrukcji algorytmu tabu dla problemu przepływowego.

*Politechnika Wrocławska, Instytut Cybernetyki Technicznej

W niniejszej pracy skupiamy się na badaniu krajobrazu przestrzeni rozwiązań problemu gniazdo- wego, wykorzystując sąsiedztwa wygenerowane przez ruchy typu zamień (ang. swap) oraz typu włóŜ (ang. insert). Pokazujemy jak wyznaczyć miary odległości w przestrzeni rozwiązań oparte na tych ruchach a następnie analizujemy ją pod kątem występowania duŜej doliny. Do badań wykorzystujemy przykłady z pracy [12], które są powszechnie stosowane do badania jakości kaŜdej nowej generacji algorytmów dla problemu gniazdowego.

1. Przestrzeń rozwiązań w problemie gniazdowym

Ogólnie mówiąc problem gniazdowy polega na wykonaniu zbioru operacji O = {1,2,...,n} mając do dyspozycji określony zbiór maszyn M = {1,2,..., m}. Zbiór operacji jest podzielony na rozłączne podzbiory zwane zadaniami i jest zadana kolejność wykonywania operacji kaŜdego zadania. KaŜda operacja h∈O przypisana jest jednej maszynie µ(h)∈M , która moŜe ją wykonać w zadanym cza- sie. Powoduje to, Ŝe zbiór O dzieli się na m rozłącznych podzbiorów O_l ={h∈O:µ(h)=l} o liczno- ści oznaczanej przez n_l, l∈M ; ∑_l∈M n_l=n. Niech π =(π₁,...,π_m) oznacza zestaw permutacji taki, Ŝe π_l =(π_l(1),...,π_l(n_l)) jest pewną permutacją zbioru operacji O_l, l∈M ; zbiór wszystkich takich zestawów oznaczamy przez Π. Określając dla kaŜdego zestawu permutacji _π∈Π odpowiedni skie- rowany graf ^G(π), [6], [7], problem gniazdowy z kryterium minimalizującym moment wykonania wszystkich operacji, sprowadza się do znalezienia takiego zestawu permutacji _π^*_∈Π, Ŝe graf G(π^*) jest acykliczny i ma najmniejszą długość ścieŜki krytycznej C_max(π^*).

Z powyŜszego sformułowania problemu gniazdowego wynika, Ŝe elementem przestrzeni rozwiązań jest zestaw permutacji π∈Π zwany dalej dla uproszczenia permutacją; łącznie przestrzeń zawiera

!

!...

!

|

|Π =n₁ n₂ n_m permutacji. KaŜdemu elementowi π∈Π tej przestrzeni (permutacji) jest przypisana dodatnia liczba C_max(π); w przypadku gdy graf ^G(π) jest cykliczny przyjmujemy, Ŝe C_max(π) jest równe nieskończoności.

Podstawowym pojęciem występującym przy konstrukcji algorytmów lokalnego poszukiwania jest sąsiedztwo ^N(π)⊂Π danej permutacji π∈Π określane jako zbiór permutacji w pewnym sensie

„bliskich” permutacji π; przyjmujemy, Ŝe π∉^N(π). W celu zdefiniowania sąsiedztwa wygodnie jest wprowadzić pojecie ruchu rozumianego jako czynności polegającej na przejściu z jednej permutacji do drugiej. Precyzyjnie ruch definiuje się jako wzajemnie jednoznaczną funkcję v taką, Ŝe v:Π→Π oraz v(π)≠π , π∈Π; wartość tej funkcji oznacza się przez (π)v zamiast tradycyjnie jako ^v(π). Ruch definiuje się tak, Ŝeby permutacja (π)_v była „bliska” permutacji _π . Następnie dla kaŜdej per- mutacji π∈Π określa się zbiór ruchów ^V(π) o powyŜszej własności. Ostatecznie zbiór ten generuje sąsiedztwo ^N(π)={(π)v:^v∈^V(π)} permutacji π.

W algorytmach lokalnego poszukiwania dla problemu gniazdowego wykorzystuje się głównie dwa typy ruchów: ruch typu zamień oraz ruch typu włóŜ , [6]. Dalej omówimy je szczegółowo.

Ruch v=(l,x) typu zamień zastosowany do permutacji π =(π₁,...,π_m) polega na zamianie miej- scami dwóch sąsiednich operacji π_l(x), π_l(x+1) w permutacji πl (lub równowaŜnie na maszynie l),

nl

x<

≤

1 , l∈M . Zbiór wszystkich takich ruchów oznaczamy przez ^Vz(π) a odpowiadające mu są- siedztwo przez ^Nz(π). Łatwo zauwaŜyć, Ŝe sąsiedztwo to zawiera ∑_l^m₌₁ (nl−1) permutacji.

Ruch v=(l,x,y) typu włóŜ zastosowany do permutacji π =(π₁,...,π_m) polega na pobraniu opera- cji π_l(x) i włoŜeniu jej na pozycję y na maszynie l, po przesunięciu o jedną pozycje w lewo operacji

), 1 (x+

πl π_l⁽x+^2),...,π_l( y), jeŜeli x< y, lub po przesunięciu o jedną pozycje w prawo operacji ),

l( y

π π_l⁽y−^1),...,π_l(x−1), w przeciwnym wypadku.; y≠x, 1≤ y≤n_l, 1≤x≤n_l, l∈M. Podobnie jak poprzednio zbiór wszystkich ruchów oznaczamy przez ^Vw(π) a odpowiadające mu sąsiedztwo - przez

) (π

Nw . Sąsiedztwo to zawiera ∑_l^m₌₁(n_l−1)² permutacji. ZauwaŜmy, Ŝe dla kaŜdego ruchu v′=( xl, ) typu zamień istnieje ruch v′′=(l,x,x+1) typu włóŜ, który prowadzi do tej samej permutacji, co ruch

v′, czyli ^Nz(π)⊂^Nw(π).

Zdefiniowanie sąsiedztwa ^N(π) dla kaŜdej permutacji π∈Π (elementu przestrzeni rozwiązań) pozwala określić permutację lokalnie optymalną rozumianą jako permutację π^lo∈Π taką, Ŝe

≥ )

max(π

C C_max(π^lo), dla π ∈N(π^lo). Odpowiadającą jej wartość funkcji celu C_max(π^lo) określamy jako minimum lokalne w odróŜnieniu od minimum globalnego ^C_max(π^*).

2. Miary odległości w przestrzeni rozwiązań

Wprowadzenie miar odległości w przestrzeni rozwiązań umoŜliwia zbadanie rozmieszczenia per- mutacji lokalnie optymalnych . Miary te powinny być oparte na sąsiedztwach stosowanych w algo- rytmach lokalnego poszukiwania i jednocześnie powinny być tak zdefiniowane, aby moŜna było efek- tywnie je wyliczać. Ten ostatni warunek spełniają, jak pokaŜemy to dalej, miary oparte na N^z(π) oraz

(π)

Nw . Niestety większość z algorytmów, a w szczególności aktualnie najlepszy algorytm TSAB, [7], wykorzystuje sąsiedztwo, które jest istotnie zredukowane w stosunku do N^z(π); inna mutacja tego algorytmu pracuje na zredukowanym sąsiedztwie N^w(π), [6]. PoniewaŜ nie jest moŜliwe efektywne wyliczanie miar odległości opartych na tych zredukowanych sąsiedztwach, to nasze rozwaŜania jeste- śmy zmuszeni ograniczyć do miar, bazujących na N^z(π)oraz N^w(π).

Niech d^a(α,β) oznacza minimalną liczbę całkowitą k≥0 taką, Ŝe istnieje ciąg permutacji _π⁰ _=α, π1, π², ..., π =^k β spełniający π ∈ⁱ⁺¹ N^a(πⁱ), i = 0,1,...,k– 1; a∈{ wz, }. Inaczej mówiąc ^dz(α,β) oraz

) , (α β

dw określa odpowiednio minimalną liczbę ruchów typu zamień oraz typu włóŜ, które naleŜy wykonać aby przejść z permutacji α∈Π do permutacji β∈Π. Z uwagi na fakt, Ŝe kaŜdy ruch jest skojarzony tylko z jedną, określoną maszyną l∈M , miary odległości moŜna przedstawić w postaci

∑₌

= _l^m l l z l

z d

d (α,β) ₁ (α ,β ), =∑_l^m₌ l l w l

w d

d (α,β) ₁ (α,β ), (1) gdzie (αl,β)

z

dl oraz d_l^w(α_l,β_l) oznacza minimalną liczbę ruchów odpowiedniego typu, które naleŜy wykonać aby przejść z α_l do β_l. Zachodzą następujące własności.

Własność 1

Dla permutacji α =(α₁,...,α_m)∈Π, β =(β₁,...,β_m)∈Π oraz maszyny l∈M, niech

| ))}

( ( )) ( ( , 1

: ) , {(

| ) ,

( _{l l} i j i j n_{l l l} i _{l l} j

z

l α β = ≤ < ≤ β⁻α >β⁻α

∆

(gdzie β_l⁻ jest permutacją odwrotną do β_l, β_l⁻(β(i))=i) oznacza liczbę takich par pozycji w permu- tacji α_l, Ŝe operacje na nich znajdujące się występują w β_l w odwrotnej kolejności. Wtedy

) , ( ) ,

( _{l l} ^z_{l l l}

z

dl α β = ∆ α β .

Dowód. Dowód przeprowadzimy dla ustalonej pary permutacji α=(α₁,...,α_m)∈Π, β =(β₁,...,β_m)∈Π oraz maszyny l∈M. Niech γ będzie dowolną permutacją operacji ze zbioru O_l (podobnie jak α_l i

βl), zaś s≥0 taką liczbą całkowitą, Ŝe istnieje ciąg permutacji _{γ =}⁰ _αl, _γ¹, ..., _γ^s−1, _{γ =}^s _βl spełnia- jący warunek (W): γⁱ⁺¹ otrzymano z γⁱ przez wykonanie ruchu typu zamień, i = 0, 1,..., s–1. Z defini- cji ∆^z_l wynika, Ŝe dla dowolnego ruchu v=( xl, ) zachodzi |∆ (( ) , )−∆ ( , l)|=1

z l l v z

l γ β γ β . Stąd i z faktu, Ŝe 0

) ,

( =

∆ l l z

l β β wynika, iŜ s≥∆^z_l(α_l,β_l) i w konsekwencji d_l^z(α_l,β_l)≥∆^z_l(α_l,β_l). Z drugiej strony za- uwaŜmy, Ŝe jeŜeli _{γ ≠βl}, to istnieje taki ruch v′, iŜ ∆(( )_′, )=∆( , l)−1

z l l v z

l γ β γ β . Obserwacja ta wyko- rzystana rekurencyjnie implikuje, Ŝe dla s=∆^z_l(α_l,β_l) istnieje ciąg permutacji γ⁰ =α_l, γ¹, ..., γ^s−1,

l

s β

γ = spełniający warunek (W), co kończy dowód własności.

Własność 2

Dla permutacji α =(α₁,...,α_m)∈Π, β =(β₁,...,β_m)∈Π oraz maszyny l∈M, niech ∆^w_l(α_l,β_l) oznacza długość najdłuŜszego wspólnego podciągu w permutacjach α_l i β_l. Wtedy

) , ( )

,

( _{l l l} ^w_{l l l}

w

l n

d α β = −∆ α β .

Dowód. Podobnie jak poprzednio dowód przeprowadzimy dla ustalonej pary α =(α₁,...,α_m)∈Π, Π

∈

=(β₁,...,β_m)

β oraz maszyny l∈M. Dla ruchu v=(l,x,y) typu włóŜ , operację pobraną z pozy- cji x w odpowiedniej permutacji będziemy nazywać operacją przestawianą. RozwaŜmy proces „naj- krótszego” przejścia z permutacji z _αl do _βl. Niech s oznacza liczbę operacji nie przestawianych w czasie wykonywania d_l^w(α_l,β_l) ruchów w tym procesie. Zachodzi s≥n_l−d_l^w(α_l,β_l), poniewaŜ w

trakcie realizacji omawianego procesu mogła być kilka razy przestawiana ta sama operacja. ZauwaŜ- my takŜe, Ŝe operacje nie przestawiane nie zmieniają względem siebie połoŜenia, co oznacza, Ŝe two- rzą one pewien (niekoniecznie najdłuŜszy) wspólny podciąg w permutacjach α_l i β_l. Z definicji

) , ( _{l l}

w

l α β

∆ wynika, Ŝe ∆^w_l(α_l,β_l)≥s. Stąd i z poprzedniej nierówności dostajemy )

, ( _{l l}

w l

nl−∆ α β ≤ ⁽ l^, l⁾ w

dl α β . Z drugiej strony d_l^w(α_l,β_l)≤n_l−∆^w_l(α_l,β_l), poniewaŜ _βl moŜna otrzymać z α_l po odpowiednim jednokrotnym przestawieniu kaŜdej z n_l−∆^w_l(α_l,β_l) operacji nie naleŜących do najdłuŜszego wspólnego podciągu w permutacjach _αl i _βl, co kończy dowód własności.

Z postaci wielkości ∆^z_l(α_l,β_l), ∆^w_l(α_l,β_l) wynika, Ŝe moŜna je wyznaczyć w czasie O(n_l²), co oznacza, Ŝe do wyliczenia wartości miar ^dz(α,β), ^dw(α,β) potrzeba O(mmax_l∈Mn_l²) czasu.

Na zakończenie tej sekcji podamy jeszcze kilka własności wprowadzonych miar. Z punktu widze- nia kaŜdej z nich najbardziej odległe są permutacje α, β takie, Ŝe β_l =(α_l(n_l),α_l(n_l −1),...,α_l(1)),

M

l∈ ; ^dz(α^,β⁾ = ^∑ml₌₁nl(nl−1)/2 = d_max^z oraz d^w(α,β)= ^∑_l^m₌₁(n_l−1) = d_max^w . Niech T^a(k) ozna- cza liczbę permutacji β∈Π, których odległość od ustalonej permutacji α∈Π (wg ^da(α,β)) jest równa k, k=0,1,...,d_max^a , a∈{ wz, }; z uwagi na symetrię wielkość ta nie zaleŜy od _α. Z definicji wy- nika, Ŝe ^∑gk₌₀ ( )=|Π|

a k

T , gdzie g =d_max^a . Jest oczywiste, Ŝe dla T^a(k), a∈{ wz, }, zachodzi )

( ) ( ) ( )

( _{... , {0,1, , }, 1, , 1 1 2 2}

2

1 m

a m a

m i k k k k k k

a

a k T k T k T k

T = ∑ _{+ + +} m₌ i_{∈ K = K} ⋅ ⋅K⋅ , (2) gdzie T_l^a( j) jest liczbą permutacji_βl, których odległość od ustalonej permutacji _αl (wg d_l^a(α_l,β_l)) jest równa j ; α_l, β_l są permutacjami n_l elementowego zbioru O_l, l∈M . Wielkości T_l^z( j) moŜna wyliczyć zauwaŜając, Ŝe T_l^z(j)=L(n_l,j), gdzie L( it, ) spełnia zaleŜność rekurencyjną

}) , 0 max{

, ( )

1 , ( ) , ( ) , 1

(t i L t i L t i L t i t

L + = + − +K+ − (3) dla t=1,K,nl −1, i=0 K, ,j, oraz L(1,0)=1, L(1,i)=0, i=1 K, ,j. (Z uwagi na ograniczone ramy pracy nie dowodzimy równości (3)). Znajomość wielkości T^z(k), k=1,2,^K, pozwala, m. in., na określenie rozkładu zmiennej ^dz(α,β) ; w szczególności z (2) i (3) wynika, Ŝe średnia odległość

) , (α β

dz jest równa (1/|Π|)∑_kkT^z(k) = ∑^m_l=1n_l(n_l−1)/4. Jak dotąd autorom nie udało się znaleźć odpowiednich związków pozwalających na wyznaczenie T_l^w( j) i w konsekwencji T^w(k).

4. Badania numeryczne przestrzeni rozwiązań

Do badań numerycznych wykorzystano przykłady Taillarda, [11], powszechnie stosowane do oce- ny jakości kaŜdego nowego algorytmu lokalnego poszukiwania, co oznacza, Ŝe struktury ich prze-

strzeni rozwiązań wydają się być bardzo interesujące. Przykłady Taillarda stanowią zestaw 8 grup (oznaczanych przez r /m) przykładów, po dziesięć w kaŜdej grupie o tej samej liczbie r zadań i m maszyn; kaŜde zadanie jest wykonywane dokładnie raz na kaŜdej z maszyn, czyli n_l =r, l∈M oraz

mr

n= . Badania ograniczono do pierwszych pięciu grup uwaŜanych za najtrudniejsze.

Głównym celem badań było określenie rozmieszczenia tylko „dobrych” minimów lokalnych w przestrzeni rozwiązań. Dlatego teŜ do ich wyznaczenia uŜyto, aktualnie najlepszego, algorytmu TSAB, [7] ograniczając się do stosunkowo niewielkiej liczby iteracji; algorytm TSAB wykorzystuje technikę tabu bazując na odpowiednio zredukowanym sąsiedztwie N^z(π). Dla kaŜdego z 50-ciu te- stowanych przykładów wyznaczono 201 permutacji πⁱ (i=1,...,201) lokalnie optymalnych oraz od- powiadające im wartości funkcji celu Cⁱ =C_max(πⁱ), które otrzymano uruchamiając 201 razy algorytm TSAB z losowo wygenerowanych permutacji początkowych takich, Ŝe odpowiadający im graf G był acykliczny. Wśród tych minimów lokalnych znaleziono „najlepszą” permutację lokalnie optymalną, tzn. permutację o najmniejszej wartości funkcji celu; nie zmniejszając ogólności przyjmijmy, Ŝe jest to permutacja π²⁰¹. Następnie wyliczono trzy zestawy wielkości: X1(i)=d^z(πⁱ,π²⁰¹), i=1,...,200,

= ∑²⁰¹₌1, _≠

2(i) (1/200) _{j j i}d^z( ⁱ, ^j)

X π π , i=1,...,201; Y(i)=Cⁱ−C²⁰¹, i=1,...,201; wielkość X₁(i) określa odległość πⁱ od najlepszej permutacji lokalnie optymalnej, X₂(i) - średnią odległość πⁱ od wszyst- kich lokalnie optymalnych permutacji, zaś Y(i) - róŜnicę między wartością Cⁱ minimum lokalnego a wartością C²⁰¹ najlepszego minimum lokalnego. Z kolei dla zestawów X₁(i), Y(i), ⁱ=1,...,200 oraz

)

2(i

X , Y(i), ⁱ=1,...,201 wyliczono współczynnik korelacji oznaczany odpowiednio przez ρ_max^z oraz

z

ρav. Dla kaŜdej z 5-ciu badanych grup przykładów wyznaczono wartości średnie Av[ρ_max^z ] oraz ]

[ _av^z

Av ρ odpowiednio z 10 wartości _ρmax^z oraz 10-ciu wartości _ρmax^z .

W celu określenia istotności korelacji stosujemy (podobnie jak w [9]) pewien randomizowany test z pracy [5]; ze względu na nie spełnienie odpowiednich załoŜeń, standardowe testy istotności korela- cji nie mogą być tutaj stosowane. Jego działanie omówimy szczegółowo na zestawie X₁(i), Y(i),

200 ,...,

=1

i , (z współczynnikiem korelacji ρ_max^z ) dla pewnego przykładu Taillarda. Rozpoczynamy od wylosowania, wg rozkładu równomiernego, 1000 permutacji δ^k, k=1,...,1000, elementów zbioru

} 200 ,..., 2 , 1

{ . Następnie dla kaŜdej permutacji δ^k wyznaczmy współczynnik korelacji ρ_max^z (k) zestawu ))

(

1( i

X δ^k , Y(i), ⁱ=1,...,200. Z kolei wyznaczamy liczbę ^t_max^z =|{^k:ρ_max^z (^k)> ρ_max^z ,1≤^k≤1000}| okre- ślającą ile współczynników korelacji ρ_max^z (k) było większych niŜ ρ_max^z . JeŜeli liczba ta jest nie więk- sza niŜ 1 (0,1% z 1000) uznajemy, Ŝe korelacja pomiędzy zmiennymi X₁, Y jest istotna (dokładniej współczynnik korelacji jest statystycznie istotny na 0,1% poziomie). Ostatecznie dla kaŜdej grupy 10 przykładów Taillarda wyliczamy liczbę przykładów l_max^z oraz l_av^z , w których korelacja odpowiednio

pomiędzy zmiennymi X₁, Y oraz X₂, Y była istotna. Wyniki przedstawiono w tabeli 1, w której zamieszczono takŜe wyniki dotyczące rozmieszczenia w przestrzeni rozwiązań omawianych wyŜej permutacji lokalnie optymalnych, wykorzystując miarę odległości d^w.

Tabela 1

Rozmieszczenie minimów lokalnych w przestrzeni rozwiązań przy metrykach d^z oraz d^w

Grupa Metryka d^z Metryka d^w

m

r / Średni

współcz. korelacji

Liczba przykładów o istotnej korelacji

Średni współcz. korelacji

Liczba przykładów o istotnej korelacji ]

[ _max^z

Avρ Av^[ρav^{z ]} l_max^z l_av^z Av[ρ_max^w ] Av^[ρav^w] l_max^w l_av^w

15/15 0,64 0,58 8 8 0,65 0,62 9 9

20/15 0,58 0,53 10 10 0,53 0,57 10 10

20/20 0,57 0,65 10 10 0,53 0,67 10 10

30/15 0,51 0,61 9 10 0,46 0,67 10 10

30/20 0,52 0,65 10 10 0,48 0,68 10 10

All 0,56 0,60 47 48 0,53 0,64 49 49

Z drugiej kolumny tabeli 1 wynika, Ŝe istnieje znaczący związek pomiędzy odległością (wg miary dz) danej permutacji lokalnie optymalnej od najlepszej permutacji lokalnie optymalnej, a jej jakością mierzoną róŜnicą wartości funkcji celu dla tych permutacji; im mniejsza odległość tym lepsza jakość.

Dodatkowo potwierdza to fakt, Ŝe wartości współczynników korelacji, aŜ w 47 przykładach (z 50) są statystycznie istotne na poziomie 0,1%. (NaleŜy tu zauwaŜyć, Ŝe wartość najlepszego minimum lokal- nego niewiele róŜni się od wartości minimum globalnego.) Podobny związek (kolumna 3 tabeli 1) istnieje pomiędzy średnią odległością danej permutacji lokalnie optymalnej od wszystkich pozosta- łych, a jej jakością. Zmiana miary odległości z d^z na d^w nie ma praktycznie Ŝadnego znaczenia..

W celu wizualizacji powyŜszych związków, na rysunku 1a oraz 1b przedstawiono odpowiednio zestaw par X₁(i), Y(i), i=1,...,200 oraz X₂(i), Y(i), i=1,...,201 dla jednego z badanych przykładów (piąty przykład z grupy 30/20). Na osi odciętych znajduje się zmienna X(X₁ na rysunku 1a i X₂ na rysunku 1b) a na osi rzędnych zmienna Y. Maksymalna odległość minimum lokalnego od najlepszego z nich jest równa 1454 podczas, gdy średnia odległość pomiędzy dowolnymi permutacjami wynosi

∑ − =

=

∑_l^m₌1n_l(n_l −1)/4 ²⁰_l=130(30 1)/4 4350. Z uwagi na to, Ŝe rozkład zmiennej d^z(α,β) jest niezwykle skupiony wokół wartości średniej (patrz zaleŜności (2) oraz (3)), hiperkula o promieniu 1454 równym 1/3 tej wartości, w której znajdują się wszystkie minima lokalne, zawiera tylko nieznaczną część ele- mentów przestrzeni rozwiązań. Dodatkowo z rysunku 1b wynika, Ŝe średnia odległość najlepszego minimum lokalnego jest praktycznie najmniejsza z wszystkich z średnich odległości pozostałych mi-

nimów, co oznacza, Ŝe jest ono przez nie otaczane. Kształt „chmurek” punktów oraz powyŜsze wła- sności przykładu 30/20/5 są typowe dla wszystkich badanych przykładów Taillarda.

Rys. 1. Jakość minimów lokalnych (oś rzędnych) przestrzeni rozwiązań przykładu 30/20/5 z miarą d^z w odniesieniu do: (a) odległości od najlepszego minimum lokalnego, (b) średniej odległości od wszystkich.

Podsumowując wyniki badań stwierdzamy, Ŝe w krajobrazie przestrzeni rozwiązań problemu gniazdowego występuje jedna duŜa dolina, w której znajdują się wszystkie minima globalne oraz zde- cydowana większość „dobrych” minimów lokalnych. Im lepsza jakość tych ostatnich, tym bliŜej są połoŜone w stosunku do minimów globalnych. Wspomniana dolina zawiera tylko nieznaczną część wszystkich elementów przestrzeni rozwiązań. Taki kształt krajobrazu tłumaczy duŜą skuteczność ak- tualnych algorytmów lokalnego poszukiwania i moŜe być bazą do konstrukcji innych, bardziej efek- tywnych.

LITERATURA

[1] Aarts E.H.I., Lenstra J.K.: Local search in combinatorial optimization. John Wiley and Sons LtD, Chiches- ster, England, 1997

[2] Boese K., Kahng A., Muddu S.: A new adaptive multi–start technique for combinatorial global optimiza- tions. Operations Research Letters, 1994, 16, 101-113

[3] BoŜejko W., Smutnicki C.: Metody przeszukiwań dyskretnych przestrzeni rozwiązań. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, 2000, z. 131, 25-35

[4] Glover F., Laguna M.: Tabu search. Kluwer Academic Publishers. Massachusetts USA, 1997

[5] Manly B.F.J., Randomization and Monte Carlo Methods in biology. Chapman and Hall, London, 1991 [6] Nowicki E.: Metoda tabu w problemach szeregowania zadań produkcyjnych. Monografia 27, Oficyna Wy-

dawnicza Politechniki Wrocławskiej, 1999

[7] Nowicki E., Smutnicki C.: A fast tabu search algorithm for the job shop problem. Management Science, 1996, 42, 797-813

[8] Nowicki E., Smutnicki C.: A fast tabu search algorithm for the permutation flow shop problem. European Journal of Operation Research, 1996, 91, 160-175

[9] Reeves C. R.: Landscapes, operators and heuristic search. Research Report, 1998, School of MIS Coventry University (ukaŜe się w Annals of Operations Research)

[10] Reeves C.R., Yamada T.: Genetic algorithm, path relinking and the flowshop sequencing problem. Evolu- tionary Computation, 1998, 6, 45-6

(a)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0 250 500 750 1000 1250 1500

(b)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

1000 1100 1200 1300 1400 1500

[11] Taillard E.: Benchmarks for basic scheduling problems, European Journal of Operational Research, 1993, 64, 278-285