Czesław S m u tn ic k i Foli t e c h n i k a W rocław ska
Insty tu t C y b e r n e t y k i T e c h n i c z n e j
0 PEWNEJ K L A S IE ALGORYTMÓW APROKSYMACYJNYCH DLA PROBLEMÓW SZEREGOWANIA
S t r e s z c z e n i e . W p r a c y rozważany j e s t je d n o m a szy n o w y problem s z e r e g o w a n ia z a d a ń z k r y t e r iu m m i n i m a l i z a c j i ł ą c z n e g o k o s z t u wykonywania z a d a ń . D l a te g o prob lem u z ap ro p o n o w a n o p o d e j ś c i e o p a r t e na a p r o k s y m acji f u n k c j i k o s z t u , p ro w a d zą c e d o k o n s t r u k c j i nowych algorytm ów a p r o k sy m a c y jn y c h .
1. Wstęp
W l i t e r a t u r z e p r z e d s t a w i o n o w i e l e alg orytm ó w a p r o k sy m a c y jn y c h d l a j e d n e go z po d staw ow ych problem ów s z e r e g o w a n i a , ja k i m j e s t jed n o m a szy n o w y problem szeregow a nia z k r y t e r iu m m im im a l iz a c ji ł ą c z n e g o k o s z t u z w ią z a n e g o z t e r m i
nami z a k o ń c z e n i a w yko nyw an ia z a d a ń . D l a t e g o problem u z n a n e s ą w l i t e r a t u rze w ielo m ia n o w e a lg o r y tm y r o z w i ą z y w a n ia p r z y z a ł o ż e n i u s z c z e g ó l n y c h p o s t a ci f u n k c j i k o s z t u Jnp. l i n i o w e , a f i n i c z n e C223 l u b a f i n i c z n e z e w zg lę d u na parametry [ 8 3 . W ogólnym p r z y p a d k u j e s t t o p ro b le m NP- trudny. W p r a c y z a proponowano p o d e j ś c i e , o p a r t e na a p r o k s y m a c ji o g ó l n e j f u n k c j i k o s z t u f u n k cjami a f i n i c z n y m i z e w z g l ę d u na p a r a m e try , p ro w a d zą c e do k o n s t r u k c j i a l g o rytmów p r z y b l i ż o n y c h . W k o n s e k w e n c ji p r z e d s t a w io n o s z e r e g nowych algorytm ów aproksym acyjnych d l a o m aw ian ego p r o b le m u , w tym r ó w n ie ż d l a typowych f u n k cji k o s z t u . Z ap ro p o n o w a n e p o d e j ś c i e może być t a k ż e r o z s z e r z o n e na i n n e b a r dziej z ł o ż o n e p rob le m y s z e r e g o w a n i a . P r a c a b y ł a c z ę ś c io w o fin a n s o w a n a p r z e z RP. 1 . 0 2 " T e o r i a s t e r o w a n ia i o p t y m a l i z a c j i u k ła dó w dyn a m iczn y c h i procesów d y s k r et n y c h ".
R o zw a ża n y p rob le m f o r m u ł u j e s i ę n a s t ę p u ją c o : D a ny j e s t z b ió r za d a ń J=< 1 , 2 , . . . , n > , k t ó r e n a l e ż y wykonać na j e d n e j m a s zy n ie . Z a d a n i e j j e s t wy
konywane w c z a s i e * ma k o s z t w yko n y w an ia równy f ^ C C ^ D , g d z i e f ^ .C O jest f u n k c j a n i e m a l e j a c a d l a t>p^ , z a ś CL j e s t term inem z a k o ń c z e n i a w ykony
wania z a d a n i a j , j e J . Z a k ł a d a s i e , ż e w yko n yw an ie z a d a n i a na m a s z y n ie n i e może być p r z e r y w a n e . P o s z u k u j e s i e k o l e j n o ś c i w yko nyw ania z a d a ń , k t ó r a m i
n im a liz u je sumę k o s z t ó w z w ią z a n y c h z z a k o ń c z e n ie m w ykonyw ania p o s z c z e g ó l nych z a d a ń .
O zn a c zm y p r z e z
n
d o w o ln a p e r m u t a c je elem en tó w z b i o r u J* z a ś p r z e z n zbiór w s z y s t k i c h t a k i c h p e r m u t a c j i . D a l e j , p r z e z FCnó o zn a c zm y w artość312 C. Sm u tn i cki
k o s z t u d l a p e r m u t a c ji n , t z n .
n J
F O ° = 2 f nCJ3CCnC j33 ' ' Cn C j D =
1
Pn«J3 * J “1 ... C“ 'C£>j = l i =1
P o w yZszy problem p o le g a na w y z n a c z e n iu per m u ta c ji n eTl, d l a k t ó r e j
FCtj^D = m in FCrO C3)
r7<eTl
i j e s t o z n a c z a n y z g o d n i e z n o t a c j a Graham a p r z e z l | | Z f j . W p r z y p a d k u l i n i o wych f u n k c j i k o s z t u z a d a ń f j C t D = w ^ t s fo r m u ło w a n y p ro ble m s t a j e s ię . znanym problemem l | | Z w ^ C ^ , d l a 'k t ó r e g o i s t n i e j e a lg o r y tm w ie lo m ia n o w y o złoZoności OCnlognD p o l e g a j ą c y na u p o r z ą d k o w a n iu z a d a ń wg n ie r o s n a c y c h w a r to ś c i Wj / Pj C 10D , £ 223. Z p o s t a c i k r y t e r iu m C l } w y n ik a . Z e a lg o r y t m te n r o z w i ą z u j e rów
n i e ż p rob le m C15-C3D w p r z y p a d k u f O =w ^.t+v^, j e J . J e d n a k ż e ju Z d l a f u n k c j i k o s z t u p o s t a c i f ^ C O =Wjm ax<0, t-d^.>, g d z i e d^ j e s t Zadanym term inem za
k o ń c z e n i a Cdue d a t e D , p ro b le m s t a j e s i ę s i l n i e N P- trudny £ 6 3 , £93. Znane sa p r z y tym n i e l i c z n e p r z y p a d k i s z c z e g ó l n e , d l a k t ó r y c h u d a ł o s i e skonstruować a lg o r y t m y p s e u d o w ie lo m ia n o w e . np. £ 6 3 , £ 73. W p r z y p a d k u o g ó l n e j f u n k c j i k o s z t u , jed yn ym znanym p r z y p a d k ie m r o z w ią z y w a ln y m w w ielom ianow ym c z a s i e j e s t p r o b le m , w którym f u n k c j e k o s z t u s a p o s t a c i
r .C t ) = J C c*j
tpC
uD 3> d u , j e J , L -pjg d z i e pCuD j e s t f u n k c j a m o n o t o n ic z n ie n iem al e j a c a Cni e r o s n ą c a ) w p r z e d z ia le
£ O i Z ^ = 1 P j 1 . £ 8 3 , £ 1 9 3 , £ 2 0 3 . W tym p r z y p a d k u o p ty m a ln a k o l e j n o ś ć wykonywa
n i a o t r z y m u je s i o p o p r z e z u p o r z ą d k o w a n ie z a d a ń wg n ie r o s n a c y c h w ar to śc i
a^
C n ie m a le ja c y c h w ar to śc i a^.D £ 83. W tym k o n t e k ś c i e p r o b le m y z a w a r t e w p r a ca c h £ 1 9 3 , £223 moZna tr a k t o w a ć j a k o s z c z e g ó l n e p r z y p a d k i p ro b le m u 1 | |Zf^ z f u n k c j a k o s z t u p o s t a c i C4D. O b s z e r n y p r z e g l ą d metod i p o d e jś ć stosowanych do r o z w ią z y w a n ia problem ów je d n o m a szy n o w y c h p r z e d s t a w i o n o w p r a c y £43.
W d a l s z y m c ią g u p r a c y b e d z i e u żyw a n e o z n a c z e n i e pCID na sume c zas ó w t r w a n ia z a d a ń p C I D ^ Z ^ ^ p^ d l a I £ J o r a z o z n a c z e n i e P n a sume pC JO.
2 . Algo rytm y a p r o k sy m a c y jn e
Z decydow an a w ię k s z o ś ć algorytm ó w a p r o k s y m a c y jn y c h j e s t form uło w an a dla problem u z fu n k c ja m i k o s z t u z a le Z n y m i od s p ó ź n i e n i a z a d a ń , t z n . f , C O =
=m ax<0, t-d .> C o z n a c z o n e g o 1 j |ZT .3 , f C t 3 = w .m a x < 0 ,t - d ,> C o z n a c z o n e g o
.1
I z ogólnym i kwadratowym i l u b w y k ła d n ic z y m i fu n k c ja m i ko sztu . Pro b lem y t e g o ty p u m aja b e z p o ś r e d n i e p r a k t y c z n e z a s t o s o w a n i e ra.in. w e l a s ty c z n y c h system a ch p r o d u k c ji £ 2 3 3 .Do k o n s t r u k c j i a lg o rytm ó w a p r o k sy m a c y jn y c h s t o s o w a n e s ą g ł ó w n ie dwa n a s tępujące p o d e j ś c i a :
Ca} w y z n a c z e n ie r o z w i ą z a n i a p o p r z e z r o z w i ą z a n i e pew nego p r o b le m z a s t ę p c z e g o , CfcD p o p r a w ie n ie r o z w i ą z a n ia p o p r z e z l o k a l n e p r z e s z u k i w a n i e z b i o r u r o z w ią z a ń
d o p u s z c z a ł n y c h .
R e a liza c ja p o d e j ś c i a Ca} m. i n . s a a lg o r y tm y o p a r t e r>« s t a t y c z n y l u b d y n a m i- czn^Kregułjich p r i o r ytetow^cHj np. C 1 3 , £ 2 3 , a lg o r y tm y b a z u j ą c e na p r o s t y c h w i e lomianowych pro b le m a c h s z e r e g o w a n i a , np. £ 1 1 3 , ja k i a lg o r y tm y b a z u j ą c e na budowie p e r m u t a c ji c z ę ś c i o w y c h , np. £ 1 4 3 . R e a l i z a c j a p o d e j ś c i a Cb} s a m. i n . algorytmy l o k a l n e g o p r z e g l ą d a n i a z b i o r u r o z w i ą z a ń d o p u s z c z a l n y c h C o to c z e ń } dla r ó Z n ie z d e f i n i o w a n y c h o t o c z e ń , k o l e j n o ś c i i t e c h n ik p r z e g l ą d a n i a z a r ó w no dla p r z e g l ą d a n i a d e t e r m i n i s t y c z n e g o , ja k i l o s o w e g o , np. £ 5 3 , £ 173. D o datkowo s z e r e g p o d e jś ć s to s o w a n y c h do budow y algorytm ó w apro k sy m a cy jn y ch dja in n y c h z a g a d n i e ń s z e r e g o w a n i a może być zaim p le m en to w a n yc h w p r zy p a d k u opisanego z a g a d n i e n i a , n p . £ 1 4 3 , £ 173.
Wśród a lg o ry tm ó w n a j c z ę ś c i e j w y m ie n ia n y c h d l a z a g a d n i e n i a 1 ||£ T j l u b 1 ||ZWjTj s a m. i n . s t a t y c z n e r e g u ł y S P T W SPT, ED D, MWSPT o r a z d y n a m ic zn e r e guły MDD, A P I . R e g u ł a S P T C s h o r t e s t p r o c e s s i n g tim e} p o le g a na u po rzą dko w a
niu z a d a ń wg n ie r o s n a c y c h w a r t o ś c i C n i e m a l e ja c y c h w a r to ś c i p ^} i k o rzysta d o m y ś ln ie z r o z w i ą z a n i a problem u l | | Z C j . R e g u ła WSPT C w e ig h te d s h o r test p r o c e s s i n g tim e} p o l e g a n a u p o r z ą d k o w a n iu z a d a ń wg n ie r o s n a c y c h w ar
tości Wj / P j i k o r z y s t a d o m y ś l n ie z r o z w i ą z a n i a problem u 1 | |Z w ^C C ^- d ^}. R e guły S P T i W SPT d o s t a r c z a j ą r o z w i ą z a n i a o p t y m a ln e , J e ż e l i w s z y s t k i e z a d a n i a są s p ó ź n io n e , t z n . max-Cd^: je J > < min-Cp^: j e J > . R e g u ł a ED D C o a r l i e s t due date} p o l e g a n a u p o r z ą d k o w a n iu z a d a ń wg n ie m a l e j a c y c h w a r to ś c i d^ i k o r z y s ta d om yślnie z r o z w i ą z a n i a prob lem u 1 | P o d o b n ie ja k S P T , r e g u ł a ta jest dedykow ana d l a pr o b le m u 1 | i d o s t a r c z a r o z w i ą z a n i e o p ty m a ln e , j e żeli co n a jw y ż e j j e d n o z a d a n i e w u p o rz ą d k o w a n iu J e s t s p ó ź n i o n e , £ 13. Regu ła MWSPT Cm o d i f i e d WSPT} p o l e g a n a u p o rz ą d k o w a n iu z a d a ń wg n ie r o s n a c y c h wartości C P - d j } W j /p j £113.- Z k o l e i w r e g u ł a c h d y n a m ic zn y c h z a k ł a d a s i e , ź e
* ko lejn ych k r o k a c h a lg o r y tm u w y b ie r a s i e z a d a n i e do u s z e r e g o w a n i a k i e r u j ą c sie dyn a m iczn a w a r t o ś c i ą p r i o r y t e t u . Zatem w każdym k r o k u a lg o ry tm u i s t n i e je zbiór z a d a ń u s z e r e g o w a n y c h S C t w o r z a c y p e r m u t a c je c z ę ś c io w a cO , z b ió r zadań n ie u s z e r e g o w a n y c h J- S o r a z z a d a n i e w y b ra n e k , k t ó r e po uszeregow abtu da k o le jn a p e r m u t a c je c z ę ś c i o w a
cyk.
P r z y k ł a d o w o , w r e g u l e MIX) £23 Cm o d ifie d due date} j a k o k o l e j n e d o u s z e r e g o w a n ia w y b ie r a s i e z a d a n i e k , d l a k t ó r e g o wartość m ax < d ^, pCS}-ł-p^} j e s t n a j m n i e j s z a . O c z y w i ś c i e r e g u ł a t a j e s t dedyko- wana d la problem u 1 | I^Tj- R e g u ła API C a p p a r e n t p r i o r i t y i n d e x } j a k o k o l e j n e do u s ze r e g o w a n ia w y b ie r a z a d a n i e , d l a k t ó r e g o w ar to ść^wjc//Pjc}expC- Zm ax<d^- pCS}- p^ , 0> } J e s t n a j w i ę k s z a , g d z i e Z = c a
rdC J-SDK/pC J -S3,
'Saś KeCO. 5 , 2 . 03 j e s t pewnym param etrem £ 1 2 3 . W z a k r e s i e algorytm ó w b a z u j ą cych na b u d o w ie p e r m u t a c ji c z ę ś c io w y c h m o ż liw e J e s t s t w o r z e n i e algorytm u aa*k a g ic zn eg o _jd o .p r z e d s b a w io n e g o
u.
pra c y - X I 4.1— W - f a zt e »wstę p ne j te g o a l g o C. Sm utnickl
rytm u u s t a l a s i e l i s t © z a d a ń p r z e z z a s t o s o w a n i e p ew n ej s t a t y c z n e j r eg u ły p r i o r y t e t o w e j . W f a z i e z a s a d n i c z e j k o n s t r u u j e s i e c i ą g n p e r m u t a c ji c z ę ś c io w y c h p o c z y n a ją c od p e r m u t a c ji je d n o e l e m e n t o w e j i ko ń czą c na perm utacji ń - ele m e n to w ej. K o l e jn a per m u ta c ja c z ę ś c i o w a J e s t t w o r z o n a n a b a z i e poprzed
n i e j i k o l e j n e g o z a d a n i a z l i s t y p o p r z e z w s t a w i a n i e z a d a n i a na w s z y s t k ie m o żliw e p o z y c j e w i s t n i e j ą c e j p e r m u t a c ji c z ę ś c i o w e j . P e r m u t a c ja otrzymana w w yniku f a z y z a s a d n i c z e j j e s t szuk a n ym r o z w i ą z a n ie m p r z y b l iż o n y m . Algorytm teg o typu w z a s t o s o w a n iu do p ro ble m u 1 | |Zi\. n i e był j e s z c z e b a d a n y ek spe
r y m e n t a l n ie . P o d o b n ie s to s u n k o w o mało j e s t w y n ik ó w b a d ań eksperym entalnych d l a algorytm ó w p o p r a w ia ją c y c h r o z w i ą z a n i e p o c zą tk o w e m etoda l o k a l n e g o prze
s z u k i w a n i a z b i o r u r o z w i ą z a ń d o p u s z c z a l n y c h . S z c z e g ó ł o w e i n f o r m a c j e dotyczą
c e budow y o t o c z e ń , s p o s o b ó w i t e c h n ik i c h p r z e s z u k i w a n i a można z n a l e ź ć m. i n . w [ 5 1 , [ 1 5 3 , [ 1 6 3 , [ 1 7 3 , [ 2 4 1 . S z c z e g ó l n i e o b i e c u j ą c ą p r z y tym wydaje s i e m e to d a , k t ó r a z o s t a ł a z a p r o p o n o w a n a w p r a c y £173 p i e r w o t n i e d l a proble
mu Fj | a x ■ I n n e a lg o r y t m y a p r o k s y m a c y jn e d l a problem ó w 1 | |2WjTj p r z e d s ta w io n o t a k ż e w p r a c a c h £ 2 3 . [ 1 3 3 , [ 2 4 3 .
3. A p ro ksym acja f u n k c j i k o s z t u
O g ó ln a i d e a bud ow y p rop on o w a n ego a lg o r y tm u p r z y b l i ż o n e g o p o l e g a na ap
r o k s y m a c ji f u n k c j i k o s z t u f j C O k a ż d e g o z a d a n i a f u n k c j a g ^ C O s p e ł n ia ją c a warunek C4D. W k o n s e k w e n c ji z a m ia s t pr o b le m u 1 J ¡X f^ r o z w i ą z u j e s i e problem l ] j S g j , k t ó r y d o s t a r c z a p r z y b l i ż o n e j k o l e j n o ś c i w yko n y w a n ia z a d a ń d l a pro
ble m u 1 j |Sf j . W w e r s j i s t a t y c z n e j a lg o r y tm u p r z e p r o w a d z a s i e a prok sy m a cje w s z y s t k ic h f u n k c j i k o s z t u w p r z e d z i a l e £ 0 ,P 3 C l u b t p^.. P 3 1 , a n a s t ę p n i e r o z w i ą z u j e p ro b le m 1 j j S g ^ . W - w ersji d y n a m ic z n e j p r z e p r o w a d z a s i e aprok sy
m acje f u n k c j i k o s z t u z a d a ń z e z b i o r u J- S w p r z e d z i a l e [ p C S 3 ,P 3 C l u b
£pCS5+Pj . P33 , a n a s t ę p n i e w y b ie r a d o u s z e r e g o w a n i a z a d a n i e o n a j w i ę k s z e j w a r to śc i ó j o t r z y m a n e j z a p r o k s y m a c j i . W każd ym z w y m ie n io n y ch przypadków a p r o k s y m a c ja p r z e p r o w a d z a n a może b y ć w s e n s i e J e d n e j z typow ych norm
l = max max |f ,C tD - g ,C tl j
® a < t< b l < j < n J J
[51
C6)
g ^ C t l = C O j (pC u l I d u , J e J , C71
z a ś t a , bl 1 ^aproksymacją . R o z w i a z a n i e p rob le m u
wymaga w y z n a c z e n i a a ^ , j e j o r a z n i © m ale ją c ej f u n k c j i pCuJ m i n i m a l i z u j ą cych o d p o w i e d n ia norm ę, i j e s t w ogólnym p r z y p a d k u dość k ł o p o t l iw e . W ynika to z f a k t u . Z e n i e i s t n i e j ą m etody e f e k t y w n e g o u z y s k iw a n ia a p ro k sy m a c ji je d n o s t a jn y c h Cw s e n s i e norm y z w y ją tk ie m k i l k u p o s z c z e g ó l n y c h przypad- kóWj z a ś f u n k c j a f j C O j e s t z w y k l e n i e r ó ż n i c z k o w a l n a , n p , f t J =m ax<0, t - d ^ ł . Z tego t e Z w zg lę d u p r o p o n u je s i e r o z w a ż a ć pew ne u p r o s z c z o n e prob lem y a p r o ksymacji w j e d n e j z n a s t ę p u ją c y c h p o s t a c i :
Ci5 z a k ł a d a j ą c , Z e f u n k c j a *>CuJ j e s t d a n a z d o k ł a d n o ś c i ą do pewnych Cnie- Z n a n y ch j param e tró w , n a l e Z y w ynaczyć
a ,ft
, j e j . o r a z p a ram e try t e j ' f u n k c j i ,C iiJ z a k ł a d a j a c . Z e f u n k c j a f< u J j e s t z n a n a , n a l e Z y w y zn a c z y ć
C i i iJ z a k ł a d a j a c . Z e f u n k c j a pCuD o r a z
ft
, J e J s a z n a n e , n a l e Z y w yzn a c zyć V J ^ .Pewnym u ł a t w ie n i e m w r o z w i ą z a n i u wnf. problem ó w j e s t f a k t * ż© d l a p o t r z e b algorytmu p r z y b l i ż o n e g o i s t o t n e j e s t j e d y n i e w y z n a c z e n ie w a r to ś c i w s p ó ł
czynników c tj»j€ j. N i e k i e d y m o ż liw e j e s t u z y s k a n i e r o z w i ą z a n i a problem u a p roksym acji w p r z y p a d k u ogólnym . Tak np. r o z w i ą z u j ą c z a d a n i e Cii2> d l a normy
Ig. o trzy m u je m y z C 7 )
t
g . C t ) = a . G . C t ) + / ? . p . , G . C U = f fC u D d u . J e J . C 8 D .C 0 3
j J J J J J J
t " pj N astęp nie z C63 o r a z C83 d o s t a je m y
b n b n b n
l z
= J ^ f j C t 3 d t - 2 j ^ f j C t j t O j G j C O + ^ P j l d t + J J C a j G j C t j + ^ p j ^ d ta j =1 a j = i a J=1
W yzn aczając po c ho dn e d l g / d o ^ ,
d l^ y d ft^
o r a z p rz y r ó w n u ją c do z e r a otrzym ujem y n układó w równań p o s t a c ib b b
a
r G ^ C O d t +ft .p .
r G .C t J d t = f f . C O G . C O d t ,j J j J J J J
J
JJ
a a a
b b
ct. p . -f G . C O d t + /?.p2 Cb-aD = p . f f . C O d t ,
J J J J J J J
a a
które n a s t ę p n i e d a j a n a s t ę p u j ą c e r o z w i ą z a n i a
b b b
J f C O d t J G X U d t - C b - a f j C t ^ G ^ C O d t
a a
'
a ^ T“ j = c c ---
t j G j C t J d t l 2 - Cb-aO J G ^ C t J d t
316
C. Sm utni ck iP rz y jm u ją c n a s t ę p n i e r ó ż n e p o s t a c i e f u n k c j i f j C t } , j e J , ic>Cu} o r a z r ó ż n e p r z e d z i a ł y a p r o k sy m a c ji otrzym am y r ó ż n e nowe r e g u ł y p r i o r y t e t o w e .
4.
Ocena wynikówW c e l u oc e n y w ynikó w p r z e p r o w a d zo n o b a d a n i a w y b ra n ej k l a s y reg u ł priory*
tetow ych otrzym an ych za pomocą, o p is a n e g o p o d e j ś c i a . O c e n e ja k o ś c i a l g o rytmów p r z e p r o w a d za n o na d r o d z e e k s p e r y m e n t a l n e j . B a da n o wpływ n a s t ę p u ją cych ele m e n tó w na ja k o ś ć otrzym yw anej, r e g u ł y p r i o r y t e t o w e j :
C a ) norma C i ^ , i^ } p r z y j ę t a d o a p r o k s y m a c ji f u n k c j i k o s z t u ,
Cb} u p r o s z c z e n i a prob lem u a p r o k sy m a c ji C o d p o w ie d n io d o p . C i } - C i i i } z r o z d z . 3 } ,
Cc} wybór f u n k c j i f< u } w u p r o s z c z o n y m p r o b l e m ie a p r o k s y m a c ji C i i } , Cd} wybór p r z e d z i a ł u a p r o k s y m a c ji.*
Ce} t y p r e g u ł y : s t a t y c z n a /d y n a m i c z n a .
W c e l u m o ż liw o ś ci p o ró w n a n ia z .innymi i s t n i e j ą c y m i algorytm am i p r z y b l i ż o nymi p r z y j ę t o f u n k c j e k o s z t u p o s t a c i f ^C t}=W jjnax< 0, t- d^} , j e J . P r z y k ł a d y t e s t o w e d o a n a l i z y e k s p e r y m e n t a ln e j g en e ro w a n o lo s o w o wg s chem atu p o w s ze c h n ie p r z y j ę t e g o w l i t e r a t u r z e £ 3 3 , £ 1 8 3 . P r z y k ł a d y t e s a c h a r a k t e r y z o wane p r z e z p a r am e try o d p o w i e d n ic h r o z k ł a d ó w d l a w ^ , p^ i d ^ . B a d a n ia p r z e pro w a d zo n o w o d d z i e l n y c h t e s t a c h o d p o w i e d n io d o p. C a }- C e }.
A. P r z y j ę t o p C u }= u o r a z p r z e d z i a ł a p r o k s y m a c ji C 0 ,P 3 d l a r e g u ł y statycz- n e j . Zatem z g o d n ie z C8} mamy g ^ C t } = C p ^ } t - + - C ^ p ^ p ^ / 2 } ; c o o d p o w iad a app
r o k sy m a c ji f u n k c j i w aż o n eg o s p ó ź n i e n i a f ^ C t } f u n k c j a a f i n i c z n a l u b lin io w a Cw przyp>adku gd y /? j= c i jp j/2 } . S t o s u j ą c o d p o w i e d n i e norm y o trzym a n o n a s tę p u j ą c e w yniki
w d
CA1} d l a normy l : a . =— — II- Crr^Ol,
a. j P j P
^ i 3 CA2} d l a normy i • a .= — i £ 1 -3C = ^ } +2C p-^-} 3.
2 J P j P P
Zauważm y, ź e wynik C A l } j e s t i d e n t y c z n y z r e g u ł a MWSPT o p i s a n a w r o z d z . 2 , bowiem po m n o żen ie w s z y s t k ic h
cx^ p r z e z
P n i e ma wpływu na k o l e j n o ś ć uporządk o w a n ia . B a d a n ia e k s p e r y m e n t a ln e na p r z y k ł a d a c h g en e ro w a n y ch wg schem atu z p r a c y [183 w y k a z a ł y , ź e a lg o r y tm CA 2} j e s t p o ró w n y w a ln y l u b n i e z n a c z n i e l e p s z y od alg orytm u C A 1 } . Z k o l e i d l a p r z y k ł a d ó w g en e ro w a n y c h wg schem atu z pr a c y [83 s t w i e r d z o n o i s t n i e n i e d u ż y c h p o d g r u p p r z y k ł a d ó w , c h a r a k t e r y z u j ą cych s i ę usta lo n y m i param etram i r o z k ł a d ó w , d l a k t ó r y c h a lg o r y t m CA 1} był z n a c z n i e l e p s z y od C A 3 }. Z atem można p r z y p u s z c z a ć , ź e norma
L
j e s t korzys-oo
t n i e j s z a z punktu w i d z e n i a j a k o ś c i o trzym yw an eg o a lg o r y tm u . J e d n a k ż e w w ie
l u p r a k t y c z n y c h p r z y p a d k a c h r o z w i ą z a n i e problem u a p r o k s y m a c ji je d n o s t a j n e j może o k a za ć s i e z d e c y d o w a n ie t r u d n i e j s z e n i ż r o z w i ą z a n i e p r o b le m u a p r o k s y
m a c j i , ś r e d n io k w a d r a t o w e j*
B. P r z y j ę t o p C u )= u o r a z p r z e d z i a ł a p r o k sy m a c ji C O .P J d l a r e g u ł y sta ty c z - nej. Z atem g^C t ) =Cc«jPj) t + C /? j P j - O j P j /2 ) . Pod uwagę w z ię t o r e g u ł y C A 1 ) , C A 2 ) 2
oraz n a s t ę p u j ą c e d w ie r e g u ł y o t rzy m a n e o d p o w i e d n io p r z y dodatkowym w arunku f jC 03 = gjC 0 3 , J e J C p a t r z p. C i i i ) ) :
w 2 d
CB1) d l a normy “ j 1^ [ 1 " ~ F + d J 3 ‘
V ^ 1 ^ 1 3
CBS) d l a norm y 1 :
a
=— A [ 1- 1. S C ^ + O . SC g A ) 3.2 j P j P P
Warunek t e n i m p l i k u j e , ź e = a ^ p ^ / 2 ; z a ś f u n k c j e f j C t } aproksym owane funkcjami lin io w y m i g ^ C t ^ ^ a ^ p ^ t . D l a p r z y k ł a d ó w g ene ro w a n ych wg £183 n i e stwierdzono w y ra ź n y c h r ó ż n i c m ie d z y CBID a CA1D o r a z m ie d z y CB2} a C A 2 }.
Dla p r z y k ł a d ó w g en e ro w a n y c h wg £83 a lg o r y tm y CB1} i CB23> b y ł y z d e c y d o w a n ie lepsze n i ż CA1D i CA2D , c h o c i a ż i w tym p r zy p a d k u obserw ow ano pewne n i e l i czne p o d g r u p y p r z y k ł a d ó w , d l a k t ó r y c h z a l e ż n o ś ć t a b y ł a odw ro tn a .
C. P r z y j ę t o p C u }= u 2 o r a z p r z e d z i a ł a p r o k sy m a c ji £ 0 ,P 3 o d p o w ia d a ją c y re-
2 2 3
gule s t a t y c z n e j . Z atem z C 8 ) mamy
9
j C t ) = C O j P j ) t -CcijPj) t + C a ^ P j/3 + fł j p ^ ) ( co odpowiada a p r o k s y m a c ji f u n k c j i w ażo n ego s p ó ź n i e n i a f t ) f u n k c j a kwadrato-“A- P r z y jm u ją c normę Ig o trzy m a n o n a s t ę p u j ą c y r e z u l t a t
w 1 3 5 l + x 4 -y-2x3 y-2x2 + 3 x 2 y
CCI) a =— A -=--- =--- ,
J P j 1-1. 8 7 Sy - 0 . 9 3 7 5 y
gdzie x=d . / P , y ^ p . / P . R e z u l t a t te n j e s t w ażn y r ó w n ie ż C z d o k ł a d n o ś c ią do
* J 3 ^
przemnożenia p r z e z s t a ł a } d l a p r z y p a d k u f>Cu}=bu , b>0. N a s t ę p n i e dokonano porównania e k s p e r y m e n t a l n e g o r e g u ł CA 2} i C C I } . O trzym a ne w y n ik i w s k a z u j e , ie a p r o k sy m a c ja f u n k c j i w ażo n ego s p ó ź n i e n i a f ^ C t } f u n k c j a k w ad rato w a d a j e porównywalne l u b g o r s z e w y n ik i , w s to s u n k u do a p r o k sy m a c ji f u n k c j a a f i n i c z - niczna. P o d o b n e w y n iki o trzy m a n o p r z y a p r o k s y m a c ji f u n k c j a w y k ł a d n ic z a pCu}=eu . Można s t a d w y c ią g n ą ć w n io s e k , ź e n i e z a w s z e z w i ę k s z a n i e z ł o ż o n o ś c i reguły p r o w a d zi do p o praw y j e j j a k o ś c i . K o l e j n y w n io sek s u g e r u je , i ż n a l e ż a łoby w tym p r z y p a d k u w ybrać i n a c z e j f u n k c j e C u ) , np. t a k , b y u zy s k a ć f u n k cje g ^C t} j a k o n i e l i n i o w a l u b o d c in k o w o - lin io w a f u n k c j e s p ó ź n i e n i a .
D. P r z y j ę t o *>Cu)=u o r a z p r z e d z i a ł a p r o k s y m a c ji C p .,P 3 d l a r e g u ł y sta- tycznej. Z atem p o d o b n ie ja k w A mamy g C t ) =C cij p^ ) t +C
(i^
pj
-Oj p 2j
^ 2 ) . Otrzym ane wyniki s a w p e ł n i a n a l o g i c z n e :318
C. Sm utn i ckiC D I} d l a normy i : a . =
® J
CD2} d l a normy
a
j =Cl- Cd j- pj
"P-P^o :
p-p( p- Pi
J e ś l i d . ^ .
p r z e c i w n i e ,
P< g ^
i
P <3
E 1 -3C ^ _ D -+-2C-¿----O 3 j e ś l i d > p J ^ J '
p r z e c i wni e.
P o r ó w n a n ie e k s p e r y m e n ta ln e w s k a z u j e na n i e z n a c z n a p r z e w a g ę r e g u ł y CD2D nad CA23 o r a z na n i e z n a c z a c a r ó ż n i c ę w p r z y p a d k u reg u ł CA13> i CDI
E. P r z y j ę t o p C u }= u o r a z p r z e d z i a ł a p r o k s y m a c ji Ep C SD ,P 3 d l a r e g u ł y dy
n a m ic z n e j. P ro w a d zi t o d o o t r z y m a n ia dwóch reg u ł d y n a m ic z n y c h , odpowiednio do z a s to s o w a n y c h norm a p r o k sy m a c ji
C E l } dl a nor my
l a r
CE2} d l a norm y l _ : d
a
,= J-pCS}
£1- C-
pCJ-SD•} 3 Jeśli djipCSl.
p r z e c i w n i e ,
d -pCS} d -pCS} _
l l - 3 c -k j= S > >
+ 2 C i n ^ 3 ] J e ż l i d j ^ p c s } . p r z e c i wni e.B a d a n ia e k s p e r y m e n ta ln e w y k a z a ł y . Z e w e r s j e d y n a m ic zn e reg u ł pri orytetowych z a c h o w u ją s i e z n a c z n i e l e p i e j od o d p o w ie d n ic h w e r s j i s t a t y c z n y c h . V s z c z e g ó ln o ś c i r e g u ł a CE13 j e s t l e p s z a od r e g u ł y MWSPT. P o d obn e w n io s k i w yciąg
n i ę t o b a d a j a c d y n a m ic zn e w e r s j e regu ł BI i BS.
We w s z y s t k ic h t e s t a c h p r z e p r o w a d z a n o r ó w n ie Z p o r ó w n a n ie b a d a n y c h a lg o rytmów z d y n a m ic zn a r e g u ł a A P I . W o d n i e s i e n i u do p r z y k ł a d ó w t e s to w y c h ge
n ero w any ch wg schem atu z p r a c y £183 r e g u ł a API b y ł a z n a c z n i e g o r s z a od naj
l e p s z e j z bad an ych regu ł C t z n . r e g u ł y El l u b d y n a m ic z n e j w e r s j i r e g u ł y BI 3- W o d n i e s i e n i u do p r z y k ł a d ó w g en e ro w a n y c h wg s chem atu z p r a c y £83 truuno j e s t dokonać o c e n y g l o b a l n e j , bowiem i s t n i a ł y k l a s y p r z y k ł a d ó w , c h ar a k te ry z u j ą c e s i e u sta lo n y m i param etram i r o z k ł a d ó w , d l a k t ó r y c h r e g u ł a API była l e p s z a , ja k i k l a s y fd l a k t ó r y c h API b y ł a g o r s z a .
5. W n io sk i końcowe
S z e r e g nowo z ap ro p o n o w a n y c h r e g u ł p r io r y t e t o w y c h g e n e r u j e r o z w i ą z a n i a , których j a k o ś ć z a l e ż y m. I n . od param etró w r o z k ł a d ó w C ś r e d n i e j , w a r i a n c j i , korelacji w za je m n e j 1 w a r t o ś c i Wj .p ^ ,d ^ , J e j . Z ate m , w yko n ują c o d p o w ie d n io obszerne b a d a n i a e k s p e r y m e n t a l n e , można d l a k a ż d e j u s t a l o n e j w a r to śc i p a r a metrów r o z k ł a d u w sk a za ć r e g u ł e C s p o ś ró d w y m ie n io n y c h }, k t ó r a " p o t e n c j a l n i e "
wygeneruje r o z w i ą z a n i e n a j l e p s z e . S t a d w yn ika k o n c e p c j a a lg o r y tm u p r z y b l i żonego, k t ó r y po s t a t y s t y c z n y m z a n a l i z o w a n i u da n y c h problem u d o b i e r a o d p o wiednia r e g u ł e do j e g o r o z w i ą z a n i a .
N i e z a i e Z n i e od p o w y ż s z e g o , w y d a je S i e c e l o w e p r z e p r o w a d z e n ie s z c z e g ó ł o wych badań w c e l u r o z w i ą z a n i a o d p o w ie d n ic h problem ów a p r o k sy m a c ji zaró w n o w przypadku og ó ln y m ( ja k i w p r z y p a d k u typowych f u n k c j i k o s z t u . Z p r z e p r o w a dzonych ek spery m entó w o b l i c z e n i o w y c h w y n ik a , ż e n a l e ż y s i e sk o n c en tro w a ć na norm ie i ^ , r e g u ł a c h d y n a m ic zn y c h o r a z n a od p o w ied n im d o b o r z e f u n k c j i pC u l.
l i t e r a t u r a
I li Baker K. R. : I n t r o d u c t i o n t o S e q u e n c i n g a n d S c h e d u l i n g , W i l e y , New Y o r k , 1 9 7 4 .
I 2] B aker K. R. : A dynam ic p r i o r i t y r u l e f o r s c h e d u l i n g a g a i n s t d u e d a t e s , TIM E SX ORSA C o n f e r e n c e , 1 9 8 1 , H o u ston .
I 33 Baker K. R. , M a r t in J . B. : An e x p e r im e n t a l c o m p a r is o n o f s o l u t i o n a l g o r it h m s f o r t h e s in g l e - m a c h in e t a r d i n e s s p r o b le m . N aval R e s e a r c h L o g i s t i c Q u a r t e r l y 2 1 , 1 9 7 4 , 1 8 7 - 1 9 9 .
I 4] G u p ta S . K. , K y p a r y s i s J . : S i n g l e M a c h in e S c h e d u l i n g R e s e a r c h , OMEGA I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M anagem ent S c i e n c e 1 5 C 3 5 , 1 9 8 7 , 2 0 7 - 2 2 7 . t Si Kro ne M. J . , S t e i g l i t z K. : H e u r i s t i c program m ing s o l u t i o n o f a f l o w —
-shop p r o b le m . O p e r a t i o n s R e s e a r c h 2 2 , 1 9 7 4 , 6 2 9- 63 8 .
t 61 La w le r E. L. : A p s e u d o p o ly n o m ia l a l g o r i t h m fo r s e q u e n c in g j o b s t o m in i m ize t o t a l t a r d i n e s s . A n n a l s o f D i s c r e t e M ath em a tic s 1 , 1 9 7 7 , 3 3 1 - 3 4 2 . t 7] La w le r E. L. , Moore J .M . : A f u n c t i o n a l e q u a t i o n a n d I t s a p p l i c a t i o n to
r e s o u r c e a l l o c a t i o n a n d s e q u e n c i n g p ro b le m s. Management S c i e n c e 1 6 , 1 9 6 9 , 7 7 - 8 4.
t’ 8i La w le r E. L. , S i v a z l i a n B. D. : M i n i m i z a t i o n o f Tim e- Varying C o s t s i n S i n g le - M a c h in e S c h e d u l i n g , O p e r a t i o n s R e s e a r c h 2 6 C 4 3 , 1 9 7 8 , 5 6 3- 56 9 . f 93 L e n s t r a J . K . , R in n o o y Kan A. H. G. , B r u c k er P . : C o m p le x it y o f m achine s c h e d u l i n g p r o b le m s , A n n a l s o f D i s c r e t e M a th em a tic s 1 , 1 9 7 7 , 3 4 3- 36 2 . tlOJ McNaughton R. : S c h e d u l i ng w i t h d e a d l i n e s a n d l o s s f u n c t i o n s .
Managem ent S c i e n c e 6 , 1 9 5 9 , 1- 12.
^113 M ontag ne E . : S e q u e n c in g w it h d e l a y c o s t s . A r i z o n a S t a t e U n i v e r s i t y I n d u s t r i a l E n g i n e e r i n g R e s e a r c h B u l l e t i n 5 , 1 9 6 9 , 20- 31.
i!2) M orton T. F. , Racham adugu R. M. V . r* M opic h e u r i s t i c s fo r s i n g l e m achine w e ig h t e d t a r d i n e s s p r o b le m . T e c h n i c a l R e p o r t CMU-RI-TR-83-9,
C a r n e g ie - M e l lo n U n i v e r s i t y , 1 8 8 2 .
i!3] Nakam ura N. , Y o s h id a T . , Hitom i K. : G r o u p p r o d u c t io n schc- .l in g for
C. Sm utnicki
minimum t o t a l -tardiness. P a r t I . A I I E T r a n s . 1 0 , 1 9 7 8 , 1 5 2 - 1 6 2 . [143 Nawaz M. , E n s c o r e E . E . J r . , Ham I . : " A h e u r i s t i c a l g o r i t h m Tor th e
m-machine, n- job flo w - s h o p s e q u e n c in g p r o b l e m ", OMEGA In t e r n a t i o n a l Jo u r n a l o f Managem ent S c i e n c e 1 1 C 7 0 , 1 9 8 3 , 9 1- 95.
£153 N ow icki £. , S m u tn ic k i C. . Z d r z a ł k a S . : Alg o ry tm y a p r o k s y m a c y jn e w w ybranych z a g a d n i e n i a c h k o l e j n o ś c io w y c h p r z y k r y t e r iu m m in im a liz a c ji sumy k a r . Archiwum Autom atyki i T e le m e c h a n ik i Cw d r u k u } , 1 9 8 9 . [163 N o w icki E . , S m u tn ic k i C . : A n a l i z a n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u algorytm ów
ap r o k sy m a c y jn y c h d l a p ro b le m u p r z e p ł y w o w e g o , r e f e r a t na V I I KKA DPP, K o zu b n ik 1 9 9 0 .
C173 Osman I . H. , - P o t t s C. N. : S i m u l a t i n g A n n e a l i n g fo r P e r m u t a t io n Flow-Shop S c h e d u l i n g , P r e p r i n t OR17 , F a c u l t y o f M ath em a tic a l S t u d i e s ,
U n i v e r s i t y o f S o u th am p to n , 1 9 8 9 .
C183 R in n o o y Kan A. H. G. , Lagew eg B. J . , L e n s t r a J . K. : M i n i m i z i n g t o t a l cost i n one-m achine s c h e d u l i n g . O p e r a t io n s R e s e a r c h 2 6 , 1 9 7 5 , 9 0 8 - 9 2 7 . [193 R o th k o p f M. : S c h e d u l i n g in d e p e n d e n t t a s k s on p a r a l l e l p r o c e s o r s ,
Management S c i e n c e 1 2 , 1 9 6 6 , 7 0 7 - 7 1 3 .
£203 R o th k o p f M. H. , Sm ith S. A. : T h e r e a r e no u n d is c o v e r e d p r i o r i t y in dex s e q u e n c in g r u l e s f o r m in im iz i n g to t a l d e l a y c o s t s , O p e r a t i o n s Research 3 2 , 1 9 8 4 , 4 5 1- 45 6 .
£213 S c h i l d A . , Fredm an U. : On s c h e d u l i n g t a s k s w ith a s s o c i a t e d l i n e a r loss f u n c t i o n s , M anagem ent S c i e n c e 7 , 1 9 6 1 , 2 8 0 - 2 8 5 .
[223 Sm ith W. E. : V a r io u s o p t i m i z e r s f o r s i n g l e - s t a g e p r o d u c t i o n , Naval R e s e a r c h L o g i s t i c s Q a r t t e r l y , 1 9 5 6 , 5 9- 66.
[ 233 Sm ith M. L. , Ramesh R. , Dudek R. R. , B l a i r E. L. : C h a r a c t e r i s t i c s of U.S.
F l e x i b l e M a n u f a c t u r in g S y stem s: a s u r v e y , i n P r o c e e d i n g o f th e second O R S A /T IM S c o n f e r e n c e on f l e x i b l e m a n u f a c t u r in g s y s te m s : O p e r a t io n s r e s e a r c h m odels an d a p p l i c a t i o n s , Am sterdam , E l s i e v i e r S c i e n c e , 1986, 4 7 7- 48 6 .
(2 4 3 W ala K. : M etody l o k a l n e j o p t y m a l i z a c j i z z a g a d n i e n i u harmonogramowa- n i a . Z e s z y t y Naukowe P o l . S l . , S e r i a : Autom atyka 9 5 , 1 9 8 8 , 179-190.
£ 2 5 ' W il k e r s o n I . J . , I r w i n J . D. : An im p ro v ed a l g o r it h m fo r s c h e d u l i n g in d e p e n d e n t t a s k s , A I I E T r a n s . 3 , 1 9 7 1 , 2 3 9 - 2 4 5 .
R e c e n z e n t : Doc.dr h.in±.J.KJLamka W p ły n ęło do Redakcji do 1990-04-30.
ON CERTAIN C L A S S OF APPROXIM ATION ALGORITHM S FO R SCHEDULING PROBLEM S
S u m m a r y
The paper d e a l s w ith one- m achine s c h e d u l i n g p rob le m w it h minimum to ta l j o b p r o c e s s i n g c o s t c r i t e r i o n . An a p p r o a c h b a s e d on c o s t f u n c t i o n a p p r o x ia m t io n i s p r o p o s e d . T h e a p p r o a c h y i e l d s new a p proxim ation a lg o r it h m s fo r t h e problem .
OB Q3H0M KJIA.CCB AmPOKCm THBHHX AjTTOPMTÏüB
f f M .HPQEŒEfü PACIIM- c k s m
ak j m
P e 3 u M e
B c i a TŁe npeztcaaBJieHa oæhombniHHHah npoájiet® pacimcaHHH 3a4a-q C HCn0Æb30EaHHeM KpHTepiM M0HBMSÎ38 lEH OÖTOKX paCXOÆOB BHHOXHeKEfl 3aflaH.
J U mTaKofi npoÔJieMH npeiyioxeH nouxon, ncnoJn>3ynaiHË annpoK-
c x N & u m
