Metoda różnic skończonych dla nieliniowego równania parabolicznego rzędu drugiego o dwóch zmiennych przestrzennych*

Ro m a n Ka w e c k i

Warszawa

Metoda różnic skończonych dla nieliniowego równania parabolicznego rzędu drugiego

o dwóch zmiennych przestrzennych*

(Praca wpłynęła do Redakcji 1987.07.02)

l.Wstęp. W niniejszej pracy rozważane jest zagadnienie Fouriera dla nieliniowego równania parabolicznego w postaci normalnej, rozpatrywanego w obszarze Q x [0, T], gdzie Q — [u, h] x [c, d] <= R2.

Dla tego zagadnienia formułowane jest zagadnienie różnicowe z para- metrem 0, 0e[O, 1]. W zależności od wartości 9 otrzymywane są różne schematy różnicowe: od warunkowo stabilnego, jawnego w przypadku 0 = 0, przez schemat typu Crank-Nicolsona przy 9 = 1/2 do bezwarunkowo stabil- nego schematu niejawnego w przypadku 0 = 1 .

Dowodzone są istnienie i jednoznaczność rozwiązania zagadnienia róż- nicowego i jego zbieżność w normie maksimum do rozwiązania zagadnienia różniczkowego. Podane są oszacowania, w normie maksimum, błędu i szyb- kości zbieżności metody.

W pracy Reynoldsa [1] została sformułowana i zbadana parametryczna metoda różnicowa dla nieliniowego równania parabolicznego w postaci normalnej, rozpatrywanego w obszarze [a, h] x [0, T]. Omawianą w [1]

ihetodę uogólniamy na równanie zawierające pochodną mieszaną.

Różnicowej aproksymacji równań (układów równań) nieliniowych zawiera- jących pochodne mieszane, rozpatrywanych w (n + 1)-wymiarowej kostce

z warunkami brzegowymi Dirichleta lub Neumanna poświęcone są prace M. Malca [3], [4], [5].

W [3] rozważany jest układ równań eliptycznych / = 1, 2, ..., p,

* CPBP 02-17

[63]

z warunkami brzegowymi Neumanna, w [4] równanie postaci du ( du d2u u(t, •)

z warunkami brzegowymi Dirichleta, w [5] układ równań parabolicznych postaci

dut

dt = fi\ u, — , du, d2u,

dx’ dx2 l = 1, 2 , p, z warunkami brzegowymi Neumanna.

Dla powyższych zagadnień formułowane są zagadnienia różnicowe, a na- stępnie dowodzone są twierdzenia: o istnieniu jednoznacznego rozwiązania [4]

oraz o błędzie i zbieżności metody. Klasa zagadnień rozważanych w pracach [3] - [5] jest istotnie ograniczona przez przyjęcie następującego założenia (są to warunki odpowiednio: (2.4) w [3], (3.5) w [4] oraz (3.9) w [5]):

y » - Z W > °>

jf »

gdzie yu (przyjmując notację z [5]) są określone następująco:

f { x , u , u x, u xx) - f ( x , u , u x, u xx) = £ {uXiXj- u XtXj)-yij.

ij= 1

My będziemy zakładali, że spełniony jest warunek eliptyczności:

V ^ . ^ e R , ({ „ « 2)# (0 ,0 ) £ 0- Uj=

°Pij

d2u d f d f gdzie pu = dxtdXj dpl2 dp2l

2. Zagadnienie różniczkowe. Rozważamy następujące zagadnienie począt- kowo-brzegowe:

(2.1) du

= f(x> du du d2u ^ d2u d2u\

dt u, — .

’ dx2 dx f ^ dxl dx2 M r gdzie u = u•Ui» x 2, (a, b) x (c, d) c R2, n u(x, 0) = tt°(x) dla x == Ul, *2)eO,

(Z.Z) u(x, t) II X = U l, *2) e dQ,

w Q x [0, T],

*e[0, T].

Zakładamy, że funkcja f{x, t, p0, pv p2, pn , 2 p12, p22) ma ciągłe pierwsze

pochodne w flx [0 , T] x R6 oraz że istnieją stałe a l5 a2, A > 0, /?, B ^ 0 oraz

C, C takie, że spełnione są następujące nierówności:

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(

2

6

(2.7)

. 0 / . ai>

dPu d f dPi:

OCj &2 — P2 > O, dpi Ś B , df

C > d f dp0

3. Zagadnienie różnicowe. Niech cox będzie równomierną siatką na [0, T]

postaci: *

(3.1) cox = [tn, tn = m , z > 0 , n = 0, 1, ..., N, Nx = T], a cohl, coh2 równomiernymi siatkami odpowiednio na [a, b] i [c, d]

cofcl = [xf, x{ = a + i/il5 /ix > 0, i = 0, 1, ..., ATX + 1, (ATX + 1)Ai! = b — a], (32) co łl2 O;, Xj = c + jh 2, h2 > 0 , j = 0, 1, ...,N 2 + \,(N2 + \)h2 = d -ć].

Do końca pracy przyjmujemy, że (3.1)-(3.2) definiują siatkę na 0x[O , T].

Niech Vhx będzie zbiorem funkcji określonych na siatce (3.1)-(3.2), o wartościach rzeczywistych. Przez D_t, Dt, D2, Dlv Z)12, D22, Dl2 oznaczmy operatory różnicowe określone na Vh z, zdefiniowane następująco:

D-t T

D 1 Vij = — ( v U l J - V i - U j),

° 2 ^ =

(3.3) Dll V>ij = ^2 (Ui + 1J + Vi~ 1.j — 2 V"j),

D t 2 Vij = 4y h (Vi+ 1 j + 1 + u”- 1 J- 1 - tff+ u - ! - Pf- ltj+ l),

D22 V?j =

5 — Matematyka Stosowana XXXII

(cont.) D12 Vnij = [u"+ 1J+1 + v"+1 j - 1 + V !j+ 1 + !

— 2 (u"+1 j + v"-1 j + v"j+ j + v"j-1) + 4 v"j], gdzie ^ e F ht, i = 1, 2, iVl9 j = 1, 2, N 2, n = 0, 1 , JV —1.

W celu skrócenia zapisu, wprowadzamy następujące oznaczenie:

f ( x P xp f, vlj, D1v”j, D2vlj, D11v"j, 2D12Vij, D22Ą) = f (v?j).

Zagadnienie różnicowe formułujemy w następujący sposób:

(3.4) D .,!* /1 = 0[i)SD12^ +1+ / ( ^ +1)] + ( l - 0 ) [ ł ^ 12^ + / ( ^ ) ]

dla i = 1, 2 , N lt j = 1, 2, . . N 2, n = 0, 1 , . . N - 1, gdzie 0e[O, 1], a P jest stałą z warunku (2.4).

vfj = u°{Xi, Xj), vn0J = g(a, xp tn),

g{xt, c, tn), vnNi + 1J

g(b, xp t

g(xt, d, tn) dla i = 0, \ , . . . , N 1 + l , j = 0, l,...,iV 2 + l, n = 0, 1 , N.

4. Istnienie i jednoznaczność rozwiązania zagadnienia różnicowego

L

4.1. Jeżeli spełnione są założenia (2.3) - (2.6), to dla każdego hs(0, 1) i dla każdej pary liczb £2 takich, że

(4.1) K+»

Ci eJ 2(x1a2 — fi2) hB(a2 + p)

jeże// B = 0,

w przeciwnym przypadku,

(4.2) C2e a2 + ^

Cl, 2a- jXi+P 1 2P + BhCl zachodzi nierówność:

jeże// fi = B = 0,

w przeciwnym przypadku

(4.3)

^ dpkk~ 2hkdP ^ L ~ T r r ^ > 0 hxh2 dla hk = Lh, k = 1, 2.

(4.4)

Dowód. Z założeń (2.3) i (2.6) otrzymujemy:

1 _ 5 / + J ____ Sf H dpkk~~2hk dpk

I ł 1

h1h2 ' hl*k 2hkB h1h:

dla /c = 1, 2. Ponieważ afc > 0 dla k = 1, 2, więc jeżeli 5 = P = 0, nierówność

(4.3) jest prawdziwa. Załóżmy, że £ + /?# 0. Z warunku (4.2) wynikają nierówności

(4.2a)

(4.2b)

h2 ^ cc2 + P

a i + / ? ’

2oc2h1 h 2 < l fi + Bhi natomiast z (4.1) nierówność

(4.1a) hl B(ot2 + /?) < 2(a1a2 — /i2).

Niech k = 1. Korzystając kolejno z (4.4), (4.2a) oraz (4.1a), otrzymujemy i a / + i d f

hjdpll 2hl dpl h1h2 1 h1 \ h l h.

1 / 1 1 og+ff

^ 2 ^ hl (a2 + ^)

1

2^f(a2 + jS) [2(a1a2-jS2) - l i 1B(a2 + iS)] > 0.

Rozpatrzmy teraz przypadek k — 2. Stosując nierówności (4.4) i (4.2b), mamy

1 ^{df. + .} 1 ^df 1 B> 1 l 1 - B - — B h2dp22~2h2dp2 h1h2 ^ h2\h 2 2 2 h1

> 1 ( 2$ + Bhx

h2 \ 2hl ot2 t z Ą s - ^

2hlh■ U p + Bhi -B /z1- 2 J8] = 0 , co kończy dowód lematu 4.1.

U w aga 1. Jeżeli w miejsce warunków (4.1)-(4.2) podstawimy

(4.)

R jeżeli B — 0,

C2H 0, , 2{ hBioLi + p)

1

2 — P2) . — — w przeciwnym przypadku, .

(4.6) Ci 6 i

R+,

oc

+ Pt 2X1 c

_<X2

+ P 2 2P + Bhę2

jeżeli B = jS = 0,

w przeciwnym przypadku,

to teza lematu 4.1 pozostaje bez zmian, a dowód przebiega w analogiczny

sposób.

T

1. Jeżeli spełnione są założenia (2.3)-(2.7), warunki (4.1)-(4.2) lub (4.5)-(4.6) oraz nierówność

to zagadnienie różnicowe (3.4)-(3.5) ma jednoznaczne rozwiązanie.

D o wód. Zagadnienie różnicowe (3.4)-(3.5) ma jednoznaczne rozwiązanie, jeżeli dla każdego n, n =

N —

istnieje jednoznaczne rozwiązanie następującego układu równań:

i = 1, 2 ,..., N x, j = 1, 2, ..., N 2. W tym celu wystarczy pokazać, że macierz R = [dWIj/dvlf1] o wymiarze N xN 2 x N xN 2 jest nieosobliwa dla dowolnie wybranego n, n = 0, 1 ,..., N — 1.

Oznaczmy przez Z zbiór {NX,2NX, ..., (,/V2 —ljA^}. Macierz R jest 9-dia- gonalna. Elementy diagonali są następującej postaci:

(4.7) 1 -T 0 C > O ,

^ 0 !2 vnij + f{vni})~\ = 0,

hk =

k e { 1, 2 ,..., N x N 2},

r df . 1 df 1

I -T 0 Ti 7---- + \ h l d p xx 2hxdpx hxh2 --- 7—

0,

J l df 1 df 1

k e { 1,..., N XN 2- 1 } \ Z , k e Z ,

k e { l,..., N XN 2 — \ } \ Z , k e Z ,

rk,k+ i —

rk+l,k — \ h l d p ll 2hxdpx hxh2

0,

(N2 — l)N l — 1}\Z , k e Z \ { ( N 2- l ) N , } ,

rk,k + N1 + l,k~ rk,k + Nt + l>

keZ {(N 2 — l)N 1}.

rk+l,k + N. —

Warunkiem dostatecznym na to, aby macierz R była nieosobliwa, jest, aby była ona macierzą o silnej dominancie przekątnej (p. [2], § 16). Wystarczy więc pokazać, że zachodzi następująca nierówność:

j / 2 d f 2 d f 2 0 (4.9) \ - x 9 [ ----

^ + ^ P

> T 9

dPo hldPu h\dp22 h1h2 1 d f 1 d f 1

- 71-0

+ T 0

+ x 6

hldptl 2 h1dp1 hl h 1 d f 1 d f 1

h\dp22 2h2 dp2 ht h -p

+ x9

+ x9

1 d f 1 d f ~P

hldplt 2h1dp1 hxh

i __ Ljg

h\dp22 2 h2dp2 hxh2

ht h: P dPr. ^{d f} +

M : P + _{ÓP i:} ^{d f}

Po skorzystaniu z lematu 4.1 i założenia (2.4) prawą stronę nierówności (4.9) możemy zapisać w postaci:

n . 2 d f 2 d f

P = xd — - ^ — +- PI

P i

h l d p u h2 dp22 hxh Ponieważ z założenia (4.7) 1— x9 -— > 0, zatem

dp0

n d f J 2 d f 2 d f 2 P < 1 - T 0 ^ - + T0( dPo \ h i d p n h2 dp22 hxh.A

2---+ 72--- 7—r co kończy dowód twierdzenia 1.

5. Monotoniczność operatora różnicowego. Zakładamy nadal, że spełnione są warunki (2.3)-(2.7), (4.1)-(4.2) lub (4.5)-(4.6). Niech dla dowolnych funkcji v,weVhtt

F(v,W) = v - x 9 ^ f D 12v + f ( v ) - ] - x ( l - 9 m p D l2w + f(w)-]-w.

L

5.1. Jeżeli spełnione są nierówności (4.7) oraz (5.1) l - T ( l - 0 ) ( ~ - C '|s * O ,

gdzie K= mm{hlth2}, a A i C są stałymi z (2.3) oraz (2.7), to

w

/ / / F(v,w)-F(z,w) F{v,w)-F(v,z)

V V , W , z e V htT, Z # V, Z 7^ w --- > O, --- ;;— $ U.

v — z w —z

D ow ód. Ponieważ

zatem po skorzystaniu z założeń (2.3), (2.5), (2.7) oraz z nierówności (4.7) mamy

stąd

— F{v,w) > 0; ov

w T/ , F{v,w)-F{z,w)

V

, w, z e Vht, z # v, ---> 0. ’ v — z Następnie

d y i „ „ n J l df 1 o. 1 df

—~F(v, w) = - 1 - dw

(1-0) —- + 2 dp0

(1-0W -r=---T - r P \h i d p ll h1h2

T iz h\dp22 2 | i _df____ 1 _ + 1 df \ df

| l t(l 0 ) \ ^ y h2 d p ^ hxh2 ' h\dp22) dp0

Uwzględniając powtórnie założenia (2.3), (2.5), (2.7) i nierówność (5.1), otrzymujemy

stąd

—~F(v,w) ^ 0;

dw

w T/ F {v,w) - F {v,z)

\/v,w,zeVhtT ---^ 0. w —z

T

2. Niech v, w będą funkcjami ze zbioru Vha. Jeżeli spełnione są warunki (4.7), (5.1) oraz nierówności

(5.2) F(v?j+ ’, i - y - F K / \ < ) < 0 dla i — 1 , 2 , . . N p j = 1,2,..., N2, n = 0,1,..., N — 1,

ug < wg, vn0J < wn0J, vnuo < wio, (5.3)

VN1 + l,j < WN1 + l,j> VUN2 + 1 < Wi,N2+ 1

d/a i = 0,1,..., IVj + 1, j = 0,1,..., N2 + 1, n = 0,1,..., N, to vij < wij

dla i = 0,1,..., N x + 1, j = 0,1,..., N 2 + l, n = 0,1,..., N.

D ow ód. Załóżmy, że twierdzenie jest fałszywe. Niech «+1 będzie najniż- szą warstwą, na której istnieją /, m takie, że

> o.

Spośród wszystkich par (/,m) wybieramy parę (ij) taką, że

„n i-1 _ U!n + 1 > „n f i _

Vij Wij ^ Vlm

wl „n+ 1

Dla tak wybranych n, i, j mamy więc

(5.4) i f f 1 - 1 > O,

Ą

- w < O oraz

(5.5) F(t>y+1, oy-F(w ? + 1, < ) < 0 . Przepiszmy lewą stronę nierówności (5.5) w postaci:

F W \ v1j)-F(W!; lX j) + F ( w ? / Ą . ) - <,) , „ +1

= (0« _ w « '

" 4 -W y stąd, na podstawie lematu 5.1 i nierówności (5.4), mamy

1, Vij) — F(wy+\ Wy) > 0, co jest sprzeczne z nierównością (5.5).

6. Twierdzenie o zbieżności. Niech u(x,t) będzie rozwiązaniem zagadnienia (2.1) -(2.2), a e funkcją określoną na [0, T] o wartościach rzeczywistych. Dla

m

= 0,1,..., iV definiujemy funkcję znUjeVhyX w sposób następujący:

zy = K"j + e" dla i = 1,2,..:, A^!, j = l , 2 ,. .. , N 2, Zoj = My, z?o =

"

dla i = 0, 1, ..., N

+ 1,

z N1 + l,j = u Nl +

l,j>

j =

. ..,

gdzie My = u{xi,xj,tn% Qn = g{tn).

L

6.1. Zakładamy, że spełnione są założenia (2.3)-(2.6) oraz warunki (4.1) . (4.2) lub (4.5)-(4.6), a funkcja u{x,t) jest rozwiązaniem zagadnienia (2.1) -(2.2). Jeżeli funkcja

jest dodatnia na [0, T], to

(6.1) z*ij Xj’ t >ZipD 1 zij, D2 Zij, Dll Zij, 2D12 zij, D22 zij)

^ 2 fi ^12 Wy Xp I”•> O"’ ^1 uijrD2 My, My, 2D l2 Utj, D22 uij) dla i = l , 2 ,. .. ,N ls ; = 1,2,...,AT2, n = 0,1,..., AT. %

D ow ód. Z definicji funkcji Zy dla n = 0, l,...,iV otrzymujemy:

01 < ‘+Ł f ulj

dla i = 1, 7 = 1,2... -, 7V2,

< Di Di

dla i — 2,... , N 1 — 1, j —■ 1,2,.. . ,

2,

u” --- o" ,>7 2 h , Q 1 u 7 = 1,2,.. .,

2,

d

2Ą = 1 D^ + w / D2 ul, D^ ~ w /

D

D

dla i = 1,2,..., N lt j = 1,

dla i = 1 ,2 ,..., A/\, j = 2,..., N 1- l , dla i = 1,2,..., iVl5 j = JV2,

dla i = ljiVj, j = 1,2,..., JV2, dla i = 2,..., N 1 —1, j = 1,2,..., iV2,

D

D 22 uij~jfQn dla i = 1,2,..., ATl5 j — 1,N2, D ²²

2 dla i = 1,2,..., JVj, j = 2,..., JV2 — 1,

^12M"j + 4/ij /i2

&12 zt/ — ^

D 12 u u +

4ht h2 1 4/ij to2 D12 U1j

dla i = 1 , j = 1, dla i = l , j = JV2, dla i = iVl5 j = 1, dla i = N v j = N 2, dla pozostałych i, j,

Di2 D12 MjJ +

D12 uij h1 h: dla i = l , N ly j = 1,N2, dla pozostałych i, j.

Wobec powyższego, nierówność (6.1) jest spełniona w oczywisty sposób dla i = 2,..., JVŁ — 1, j = 2,..., iV2 — 1, n = 0,1,..., Af. Pokażemy przypadek i = 1, 7 = 1, n = 0,1,..., AT:

I = iP D12 Z"j — 2ftDi2 Uij

+ /(X,., xy, t\ z?j, Dt znij, D2 znij, Dn z"-, 2D12 4 , D22 4 ) -/(*,-» Xj, tn, u“j + gn,Dl unij, D2 Uij,Dll unij, 2D12 u?j, D22 4 )

1 o „ I S / , 1 d f „ 1 5 / --- Bo H--- — o"

--- — ow---—

2h1h2 2 h1dpl 2 h2dp2 h\dplx

1 d f „ h2dp226 '

e" + 1 d f hl h2dp ₁₂

Po skorzystaniu z założenia (2.4) oraz uporządkowaniu wyrazów otrzymujemy

I ^ L K __1 o] n ( i df i

h2idPu 2h1dpi hl h2 J Q \ h 22dp22 lh 2 hl h: P)Qn- Ponieważ {?" > 0 dla n = 0,1,..., N, więc z lematu 4.1 mamy 7 ^ 0 . Dla pozostałych i, j nierówności (6.1) dowodzimy w ten sam sposób.

Z

6.1. W dalszej części pracy będziemy zakładać, że rozwiązanie zagadnienia (2.1H2.2) ma ciągłe, ograniczone, czwarte pochodne względem x w Q x [0, T], oraz ciągłą, ograniczoną drugą pochodną względem t w Q x [0, T], Niech rjlj(tn), rjfj(tn), t]l/(tn), rji2(f), rjffit") będą dla i= 1,2,..., /V1?

j = 1,2,..., N 2, n = 0,1,..., N określone następująco:

*lb(f) = (*,•>

tn) - Di ulj,

p

W ) = tn) ~ D2

1

., d2u

Pij (f") = (xit xp t”) - D 1Ł lĄj,

Pij (t ) = (Xi,Xj,t ) — D12Uij, Pij (t ) ~ fffŻ (Xi’Xj’t ) P^22Uij’ d2 u

gdzie u(x,t) jest rozwiązańiem zagadnienia (2.1)-(2.2). Przy założeniu 6.1 wartości t]1, rj2, rj11, rj12, rj22 są rzędu 0(P), H = m a x ^ ,^ } oraz

Di2uu = ht h2 dx2 dx2(x i + yhi,xj + yh2, tn) ^ hl h2K, d4u

gdzie y, ye(0,1), K = sup d*u

Ośn^N

d x f d x 2

T

3. Zakładamy, że spełnione są warunki (2.3)-(2.7), nierówności (4.1)-(4.2) lub (4.5)-(4.6) oraz (4.7) i (5.1). Jeżeli istnieją funkcje co:

[0, T] x R6 -*■ R, ge Cx((0, T~\), g > 0 takie, że

(6.2) ł p B 12ti!j+f(x„Xj,r,t4j + en,D l u ^ D 2u ^ D t2ul,2Di2u ^ D 22u^) - f( x„ Xj , f\ u",j, D, u'', + p j(*”),0 2uj1 + 1 ,J(f), Dt I ufj + tj} /(("), 2D12 u",

+ 2 P jH n D22w!J+t f / ( n ) « <a(r,V, M n M n M f n 2 M 2 (01

+ hth2K, M f (r”)|),

dla ; = 1,2,..., N „ y = 1,2,...,1V2, n = 0,1,..., Al,

(6.3) dg

dt (O ^ 2 co(t, g{t), |rjfj(f)|, \rifj(01,1 ( O l , 2 \nJ2'(0l + K h2 K, \rifj2 (Ol), na [O, T] dla \t'— t| ^

, i = 1, 2 , N v i

(6.4) d g . d2u

— ( 0 >

sup o<t$r

1 < is~Ni

lśjśN2

Qt2 (Xi’ X7’

to

1,2,..., N 2, dla \t' —1\ ^

,

sup |u(xj,x,, tn) — Wij| ^ d/u n = 0,1,..., N, OśiśNi + l

0śjśN2 + l

gdzie u(x,t) jest rozwiązaniem zagadnienia (2.1)-(2.2), u w^ jest rozwiązaniem zagadnienia (3.4) - (3.5).

Dowód. Ponieważ u’lj = u(xi,xj,tn) i w£ są równe na brzegu obszaru 0 x [O ,T ], więc twierdzenia dowodzimy dla i = 1,2,..., N v j = 1,2, . . . , N 2, n = 1,2,..., N —1. Z założeń dotyczących różniczkowalności funkcji g i u mamy

D_t(i<?/1 + e" + 1) = 01)-t(ii7/1+c"+1) + ( l - ^ - i ( « y + C" + 1), co można przedstawić w postaci:

D-,(u"j+1+e"+1) =

, + ( i - B )

2, gdzie

Ei = y ( x t,Xj,t"+l) - ^ ( x „ X j , f + y ' T ) + ^ ( t ' + yz),

e 2 = ^ ( x i, * ^ ( " ) - ^ ( X |. ^ « ”+ y"T )+ ^(t" + yT).

y,/,y"e(0,i).

Oszacujmy z dołu. Stosując (6.4), a następnie (6.3), otrzymujemy

+ co(t"+1,0”+ 1, + % \>,Uf+‘)|, W,V (r"+1)l,

2|l/J2(t" + 1)l + /i1ft2X ,|>,52((" + 1)|).

Ponieważ du

dt (Xi,xj,f+1)

= /(* ,,je, t"+ \u ? / D, «?/1 + + D2 «?/1 + r,fj{tn+ ’),

D ,, < 1 + r,!/ (t" + ‘), 2D, 2 u ?/1 + 2if52(t"+ ‘), D22 u f/1 + + >)),

zatem, korzystając z powyższego i nierówności (6.2), dostajemy:

£, > i PDi2unJ l

+ f(xl,xl, c +1,w;*1+ en* \ D 1u';;\D 2u i * \ D l l u t ; \ 2 D 12u’; y \ D 22u ^ 1)-, stąd, po zastosowaniu lematu 6.1 mamy

e

, > ij?D ,2(«?/1+ e"+l)+ /(u "+1+ e"+1).

Analogiczne postępowanie przy szacowaniu z dołu E2 doprowadza do nierów- ności

e

2 ^ P D ^ u i j + e ^ + f W i + e " ) , zatem

eEi + (i - 0)

2 > o a p

12 « X+Qn+1) + / « 1+ Qn+1)-]

+(1 - m p $12 K +<?) + / K +<?")];

stąd

^ - , K +1+ ^ +1) - ^ [ ^ ^ i 2 K +1+ a"+1) + / K +1+ e ”+1)] ‘

- ( i - 0 ) [ ^ p 12K + ^ ) + / K .+ ^ ) ] > o.

Ponieważ wg jest rozwiązaniem zagadnienia (3.4) - (3.5), powyższą nierówność możemy zapisać w formie:

1+ e"+ ‘)- 0 Liii S , 2 (Ą+1 + «"+') + /(» ? /1+ e"+')]

- ( i - 0 ) [ ł ^ j 5 , 2(iĄ + ^+ /(« ?j+ e")] >

- 0 t y D,2 w ?/1 + / « +1)] — (1 —9) [ip D i2w"ij + / « ) ] . Z założenia @ > 0 na [0, T], więc

“y + 6(0) > wg, un0J + gn > wn0J, unNi + Uj+Qn > wnNl + 1J, Ko

Ko,

en

dla i = 0,1,..., N t + 1,7 = 0,1,..., AT2 +1, n = 0,1,..., N. Na mocy twierdzenia 2 otrzymujemy zatem

Wij<Uij + Q

dla i = 0,1,..., N l +1, j = 0,1,..., N 2 +1, n = 0,1,..., N. Analogiczne postę- powanie z —

w miejsce g prowadzi do nierówności:

w y > “y + e"

dla i = 0 , 1 N 1 + 1, j = 0,1,..., N 2 + 1, n = 0,1,..., N, co kończy dowód

twierdzenia.

Przedstawimy teraz przykład konstrukcji funkcji co i

, aby spełniały one założenia twierdzenia 3, a ponadto wartości funkcji

były rzędu 0(P +

).

Z założenia 6.1 wynika, że istnieją stałe K v K 2 takie, że

= sup 0 <tśT

d2u I ? (x,t) K 2 ^ max

1 lśj.śN2 OśnśN

{ \ r i h n \rjfj(n\, 1, \nh2iO\, \rifj2i n |}.

Niech M = max{C, K lt 1}, a K = max {K, K 2}. Funkcjd co i g definiujemy następująco:

{B(ql +q2) + A(ql l +q22) + [3ql2 dla C ^ 0, [Cq0 +B(q1 +q2) +A(ql l +q22) + ^ q 12 dla C > 0, gdzie q = {q0,ql,q2,q1 1,^ 12^ 22),

_ (xexp(2Mt) + K(A + B + 2P)Pexp{4Mt) dla C ^ 0, {rexp(2eMt) + K(A + B + 2fi)P exp(6eMt) dla C > 0,

gdzie A, B, C, p są stałymi z warunków (2.3) - (2.7). Dla tak określonych funkcji co i

założenia (6.2) i (6.4) są spełnione w sposób oczywisty; sprawdzimy warunek (6.3). Załóżmy, że C ^ 0.

2co(F(?(F), \rilj(t)\, \t]fj{t)\, \rjlj1 (F)|, 2\rjfj2(t)\, \rif2(t)\ |)

= 2B(\nlj(t)\ + \rifj(t)\y+ 2A + \vfj2 (01) + 2 0(2 | ^ 2(F)|+ /i1h2X)

^ 4 B K P + 4 A K P + 4 P K P + 2 P K P ^ 4(A + B + 2P )K P

^ 4KM(A + B + 2P)Pexp{4Mt') ^ ^(F). dt Niech teraz C będzie dodatnie, a ponadto 6eMx ^ 1, e = exp(l),

\t'-t\ ^ T,

2co{t,Q(t), \rifj(t)\, \rjfj(t)\, \rjl/(t)|, 2|i///(F)|, |i/J2(F)| |)

= 2 CQ(t) + 2B(\nfj(t)\ + \nlj(t)\) + 2 A fli/J1 (F)| + 1 rjfj2 (F)|) + 2P(2\riij2(t)\ + h1h2K)

^ 2C

(T) + 4{A + B + 2P)KP

^ 2CQ(t) + 4KMe{A + B + 2p)P exp(6eMt’)

^ 2 C(iexp(2e M t ) + K(A + B + 2fi)P exp(6eM t))

+ 4 K M e(A + B + 2 fi) P exp (6 eMt1)

= 2 M [

e exp (2 eMt') + K (A + B + 2/?) P exp (6 eM (it' +

))]

+ 4KMe(A + B + 20) P exp(6eMt')

^ 2 M[xe exp (2 eMt') + K(A + B + 2f3)Pe exp (6 eMt’J]

+ 4KMe{A + B + 20) JP exp (6<?Mt')

^ 2Meiexp(2eMf') + 6XMe(/4 + B + 20)Pexp (6eMt’) = dt

Pokazaliśmy, że istnieją funkcje co oraz

takie, że jeżeli spełnione są założenia 6.1, (2.3)-(2.7), warunki (4.1)-(4.2) lub (4.5)-(4.6) oraz nierówności (4.7) i (5.1), to

gdzie u(x, t) jest rozwiązaniem zagadnienia różniczkowego (2.1)-(2.2), a w?-jest rozwiązaniem zagadnienia różnicowego (3.4)-(3.5).

7. Uwagi końcowe.

U wa ga 2. Jeżeli 0 = 1, to nierówność (5.1) jest spełniona tożsamościowo, zatem otrzymana metoda jest bezwarunkowo stabilna. W miejsce założeń (2.3), (2.7) możemy przyjąć warunki:

otrzymana metoda jest jawna, warunkowo stabilna. Ponieważ warunek (4.7) jest spełniony tożsamościowo, więc w miejsce założenia (2.7) kładziemy

(2.7b) ^ r ~ > C .

dPo

Uwa ga 3. Przedstawioną w niniejszej pracy metodę można zastosować w przypadku /c-wymiarowym, tzn. gdy

max |u(xt, Xj, tn) — w?) = 0(h2 + 1), 0śjśN2 + l + 1

(2.3 a) d f

- — ^ ak dla k = 1,2,

d Pkk

(2.7a)

W przypadku 0 = 0, nierówność (5.1) przyjmuje postać

Literatura

[1] A. C. Reynolds, Convergent finite difference schemes for nonlinear parabolic equations, SIAM J. Numer. Anal. Vol. 9, No. 4 (1972), 523-533.

[2] V. V. V oevodin, J. A. K u z n e c o v , Matricy i vycislenija, Nauka, Moskva 1984.

[3] M. M alec, Schema des differences finies pour un systeme d'equations non lineaires partielles elliptiques aux derivees mixtes et avec des conditions aux limites du type de Neumann, Ann.

Polon. Math. Vol. 34 (1977), 277-287.

[4] M. M alec, Sur une methode des differences finies pour une equation non lineaire differ entielle fonctionnelle aux derivees mixtes, Ann. Polon. Math. Vol. 36 (1979), 1-10.

[5] M. M alec, Schema explicite des differences finies pour un systeme d’equations non lineaires du type pardbolique avec des conditions aux limites non lineaires, Ann. Polon. Math. Vol. 41 (1983), 185-192.