Fizyka i Chemia Ziemi

(1)

Fizyka i Chemia Ziemi

T.J. Jopek jopek@amu.edu.pl

IOA UAM Układ Ziemia - Księżyc

2015-01-28 T.J.Jopek, Fizyka i chemia Ziemi 1 2015-01-28 T.J.Jopek, Fizyka i chemia Ziemi 2

Grawitacyjne pole Ziemi

Rozwinięcie potencjału grawitacyjnego w harmoniki sferyczne

 





 



 



 





  



 



 





















2

) ( 1 2

) sin(

) cos(

) (sin

n

nk nk

k n k

n n

n n n

k S k C r P

a r P J a r GM r V GM





ɑ – równikowy promień Ziemi,

λ,φ – długość i szerokość geocentryczna, r – promień wodzący,

G – stała grawitacji,

M – masa Ziemi. Uwaga! Rozwinięcia tematu dokonano na tablicy podczas wykładu.

2015-01-28 T.J.Jopek, Fizyka i chemia Ziemi 3

Grawitacyjne pole Ziemi

Rozwinięcie potencjału grawitacyjnego w harmoniki sferyczne

 





 



 



 





  



 



 





















2

) ( 1 2

) sin(

) cos(

) (sin

n

nk nk

k n k

n n

n n n

k S k C r P

a r P J a r GM r V GM





J_n, C_nk, S_nk – współczynniki zależne od kształtu Ziemi i rozkładu mas w Ziemi.

) (sin ),

(sin 

_n⁽^k⁾



n

P

- wielomiany Legendre i stowarzyszone funkcje Legendre

Grawitacyjne pole Ziemi

Trzy rodzaje składników potencjału V

) (sin 

n n

n P

r J a r

GM 



 





Dla k=0 składniki – harmoniki zonalne

Wielomian ma n pierwiastków i zmienia znak po obu stronach równoleżnika, dla którego przyjmuje

wartość zerową . n=4

Grawitacyjne pole Ziemi

Trzy rodzaje składników potencjału V

Dla k=n składniki – harmoniki sektorialne

n=6

) sin(

) (sin

) cos(

) (sin

) (







 n P

r S a r GM

n P

r C a r GM

n n nn n

 

 





 

 





Składniki te dzielą sferę na 2n sektorów sferycznych, wewnątrz których zachowują znak.

Grawitacyjne pole Ziemi

Trzy rodzaje składników potencjału V

Dla 0 < k < n składniki – harmoniki teseralne

n=10, k=7

) sin(

) (sin

) cos(

) (sin

) (







 k P

r S a r GM

k P

r C a r GM

k n nk n

 

 





 

 





Składniki te dzielą sferę na n+k+1 trapezów sferycznych, wewnątrz których składniki zachowują znak.

(2)

Grawitacyjne pole Ziemi

 



 

 









 

^









2 2 1

...

n

nk nk k n

n C S

r J GM r V GM

I II

I – potencjał od masy M, jednorodnej kuli II- składowe uwzględniające odstępstwo Ziemi od jednorodnej kuli



6 22

6 3

3 2

10 3 . 1

10 4 . 2

10 5 . 2

10 083 . 1

4 . 62























S C J J r GM

Współczesne modele pot. grawitacyjnego Ziemi zawierają wyrazy rzędu:

1949x1949 model EIGEN-6C2 (GOCE) 2190x2190 model EGM2008 (GRACE)

Misja GOCE marzec 2009 - … – model pola grawitacyjnego Ziemi

Gradiometr Satelita

Ilustracja modelu pola grawitacyjnego Ziemi.

Figura, kształt Ziemi

Kształt Ziemi

Pierwsze przybliżenie - sfera

Kulista Ziemia oddziaływałaby na inne ciała w taki sam sposób jak punktowa masa umieszczona w geocentrum

Wektor moment pędu byłby stały, (moment skręcający oś obr. Ziemi = 0).

Oś obrotu Ziemi nie zmieniałaby położenia w przestrzeni.

Nie występowałyby pewne zjawiska geofizyczne - nie byłaby dostępna informacja o wnętrzu Ziemi czerpana z analizy tych zjawisk.

Kształt Ziemi - elipsoida obrotowa

Elipsoida WGS 84:

b=6356752.3142 [m]

a=6378137.0 [m]

1/f=298.257223563

) 1

( f

a b   

Kształt elipsoidy jest wypadkową dwóch czynników: grawitacji i wirowania Ziemi (siły odśrodkowej).

W konsekwencji powstają równikowe wybrzuszenia - będące powodem szeregu zjawisk, np. precesji ziemskiej osi obrotu.

Kształt Ziemi - elipsoida obrotowa

Oddziaływanie sił grawitacji i sił odśrodkowych odpowiedzialnych za kształt Ziemi dalekie jest od stanu równowagi.

Obecnie obserwujemy nadwyżkę eliptyczności bryły ziemskiej, która powoli zmniejsza się.

Przyczyną tych zmian są m. in. :

 spowolnienie tempa rotacji Ziemi powodowane rozpraszaniem energii przez tarcie pływowe, (~17 milisekund na stulecie),

 powrót do dawnego kształtu po zaniku obfitych czap lodowych z ostatniej epoki lodowej

(3)

Kształt Ziemi - geoida

Najlepsze przybliżenie figury Ziemi stanowi geoida.

Geoida jest powierzchnią ekwipotencjalną, czyli o stałym potencjale odczuwanym na Ziemi. Jest to ta powierzchnia ekwipotencjalna, która pokrywa się ze średnim poziomem oceanów.

Kierunek linii pionu jest do geoidy zawsze prostopadły.

1

const V_A

2

const V_G

Geoida jest rezultatem równowagi pewnych sił, zatem jest powierzchnią dynamiczną. Jej kształt ulega okresowym zmianom.

Kształt Ziemi - porównania

Geoida jest najlepszym przybliżeniem fizycznego kształtu figury Ziemi.

Różnice pomiędzy geoidą i elipsoidą obrotową maksymalnie sięgają war- tości ~100 m.

Kształt Ziemi - geoida

Najlepsze przybliżenie figury Ziemi stanowi geoida.

Kierunek linii pionu jest do geoidy zawsze prostopadły.

Geoida – misja GOCE

Potencjał grawitacyjny Ziemi - wzór Mac Cullagha





cos ' 2 '

²

2

r rr

r r

r dV Gdm

dxdydz dm









 







 

' cos ' 2

cos 1 ' 2

'

² ²

2

r r r r r

Gdm rr

r r dV Gdm

 



 



 



 

 



G – stała grawitacji ρ – gęstość Ziemi w punkcie P

Potencjał grawitacyjny Ziemi - wzór Mac Cullagha

 

' cos ' 2

cos 1 ' 2

'

² ²

2

r r r r r

Gdm rr

r r dV Gdm

 



 



 



 

 



X

8 ...

3 2 1 1 1

1   

₂



 x x

x

Korzystamy z rozwinięcia

r dm r r r r

r r G

r r r r r dV Gdm

 







 



 



 



 

 

 



 







 



 



 





...

' sin 2 3 cos '

1 '

' cos ' 2

1

2 2 2 2



Potencjał grawitacyjny Ziemi - wzór Mac Cullagha r dm r r r r

r r

dV G   





 



 



 



 

 

 



 





 ' sin ...

2 3 cos '

1 '

²

2 2



Całkujemy poszczególne składniki tego wyrażenia:



 















dm G r

dm r r

G

dm r r

dm G r V G



2 2 3 2

3

2

sin r '

2 ' 3

cos '

4 3 2

1

V V V

V

V    

(4)

Potencjał grawitacyjny Ziemi - wzór Mac Cullagha



 















dm G r

dm r r

G

dm r r

dm G r V G



2 2 3 2

3

2

sin r '

2 ' 3

cos '

4 3 2

1

V V V

V

V    

r V

₁

  GM

2

 0

V

(Bo układ odniesienia wybrano w centrum masy M)

Potencjał grawitacyjny Ziemi - wzór Mac Cullagha

 

 ^ ^ ^  ^ ^ ^



 x y z dm

r dm G r r

V

₃

G

₃

'

² ₃

'

²

'

²

'

²

Elipsoida bezwładności – momenty bezwładności względem osi A,B,C

 



 ^ ^ ^

 R dm x y dm

C '

²

'

²

'

²

Potencjał grawitacyjny Ziemi - wzór Mac Cullagha

 

 ^ ^ ^  ^ ^ ^



 x y z dm

r dm G r r

V

₃

G

₃

'

² ₃

'

²

'

²

'

²

Do nawiasu wprowadzamy czynnik 2

 

  

  



























dm y x

dm z x dm z r y

G

dm z y r x

V G

2 2

2 2 2

2 3

2 2 2 3 3

' '

' ' '

2 ' 1

' 2 ' 2 ' 2 2

1  A B C 

r

V

₃

  G

₃

 

2

Suma momentów bezwładności

względem osi A, B, C

Potencjał grawitacyjny Ziemi - wzór Mac Cullagha

 

 ^ ^ ^  ^ ^ ^



 x y z dm

r dm G r r

V G  ' ' ' sin 

2 sin 3

2 '

3

2 2 2

3 2

4 3

  I r

V G 3

2 1

4

 

3 I - moment bezwładności

bryły M względem osi OP

Ostatecznie potencjał V ma postać (wzór MacCullagha)

) 3 2

³

( A B C I

r G r

V   GM    

Potencjał grawitacyjny Ziemi - wzór MacCullagha i wzór z harmoniką J₂

) 3 2

³

( A B C I

r G r

V   GM    



 



 







2 cos 1 2

3

2

3 2

2 J 

r GMa r V GM

Momenty bezwł. A, B, C oraz I możemy powiązać ze sobą za pomocą 2

2

B m C n

l A

I      

Gdzie:

1 cos

cos cos

2 2

2  



n m l n m l







A C

B

Zakładamy B=A - elipsoida bezwładności jest elipsoidą obrotową, wówczas 2 2

2 2 2

2

A m C n A ( l m ) C n

l A

I           

Z wzoru jedynkowego mamy

l

²

 m

²

 1  n

²

 1  cos

²



A wzór MacCulagha ma postać

Stąd

I  A  ( 1  n

²

)  C  n

²

 A  ( C  A )  cos

²





 



 















2 cos 1 2 ) 3 (

) cos 3 1 ( ) 2 (

2 3



A

r C G r GM

A r C G r V GM

(5)

Porównamy wzór MacCullagha i wzór z harmoniką J₂



 



 







2 cos 1 2 ) 3

(

²

3 C A



r G r V GM

 

 



 





 2

cos 1 2

3

2

3 2

2

J 

r GMa r

V GM

Z porównania wynika ważny związek

3 2

 

2

 1 . 082626  10

^

Ma A J C

Ruch orbitalny Ziemi – pory roku

Oś ruchu wirowego Ziemi tworzy stały kąt z płaszczyzną ruchu orbitalnego..

Przyczyną występowania pór roku jest stałość tego kąta, nie eliptyczność orbity Ziemi.

Pory roku miałyby również miejsce w przypadku kołowej orbity Ziemi.

Ruch precesyjny ziemskiej bryły

Oś ruchu wirowego Ziemi tworzy stały kąt z płaszczyzną ruchu orbitalnego, (ekliptyką), jednak porusza się w przestrzeni wokół bieguna ekliptyki B_E . Ruch ten nazywamy precesją ziemskiej osi obrotu.

Punkt równonocy ϒ przemieszcza się po ekliptyce o 50.38’’ rocznie.

Pełnego obiegu ekliptyki dokona w ciągu ~26 tysięcy lat.

Ruch bieguna świata po sferze niebieskiej

Precesja Luni -Solarna osi obrotu Ziemi

Konsekwencją niezerowej różnicy sił F_A, F_B jest moment skręcający M_A, M_B indukowany działaniem

grawitacyjnym Słońca (Księżyca) na wybrzuszenia Ziemi, który usiłuje ustawić jej oś wirowania prostopadle do płaszczyzny ziemskiej orbity (ekliptyki).

Precesja ziemskiej osi obrotu

Tempo precesji ziemskiej osi obrotu zależy momentu bezwładności Ziemi.

Dane jest ono za pomocą wyrażenia:

 

 



  

 



 







 

 



 



  

 



 





 





K Z K

K K

S Z S

S K

S

C A C e

a

i GM

C A C e

a GM







 



_ _ _

cos )

1 (

) sin 5 . 1 1 ( 2 3

cos )

1 2 ( 3

2 / 2 3 3

2 2 / 2 3 3

ωγ = 50.38 ‘’/rok – tempo precesji, ω_Z – prędkość kątowa ruchu wirowego Ziemi, ε - nachylenie ziemskiego równika do ekliptyki, i_K - nachylenie orbity Księżyca do ekliptyki, a_K, e_K – elementy orbity Księżca, a_S, e_S – elementy orbity Ziemi, M_S, M_K – masy Słońca i Księżyca.

Podstawiając wartości podanych parametrów możemy uzyskać wyrażenie na stosunek C-A/C zwany eliptycznością dynamiczną figury Ziemi.

Profil gęstości Ziemi

3 2 2

3

10 082626 . 1

10 27379 . 3





 





 

 a M

A J C

C A H C

z

Mając do dyspozycji

Znajdujemy profil gęstości Ziemi

33 .

2

0

2

 

 M a

C R M P I

z z z

z g

Skoro P_g< 0.4, oznacza to, że wewnątrz Ziemi mamy koncentrację masy ku centrum.

Wewnątrz Ziemi należy spodziewać się gęstego jądra.

(6)

Ruch ziemskich biegunów

Czynniki wewnętrzne – elastyczność ziemskiej bryły, zmienność rozkładu mas we wnętrzu Ziemi … indukują dodatkowe zmiany położenia osi obrotu Ziemi względem jej powierzchni.

Zjawisko to nosi miano ruchu ziemskich biegunów.

Precesyjny ruch biegunów to zjawisko wywołane wpływem czynników zewnętrznych na wirującą spłaszczoną Ziemię.

Kształt Ziemi możemy przybliżać elipsoidą obrotową – elipsoidą figury.

Jej osie niemal pokrywają się z kierunkami osi odpowiadających elipsoidzie momentu bezwładności Ziemi - (A,B,C)

C – największy moment bezwładności.

Bryły bardzo chętnie wirują wokół osi zgodnych

z kierunkami osi maksymalnego momentu bezwładności.

Jednak oś ruchu wirowego Ziemi nie pokrywa się ściśle z kierunkiem osi C, kierunku jej największego momentu bezwładności.

Ta drobna w rzeczywistości niezgodność, o kąt α powoduje przemieszczenia rotacyjnego bieguna po powierzchni Ziemi.

Energia rotacyjna jest nieco większa niż byłoby to konieczne w przypadku rotacji Ziemi wokół kierunku osi C.

Nadwyżka energii jest proporcjonalna do kąta α Wynikająca stąd para sił – moment skręcający usiłuje obrócić oś rotacji Ziemi tak by pokryła się z osią C.

W efekcie mamy złożony ruch bieguna rotacyjnego wokół bieguna figury Ziemi.

α

Ruch ziemskich biegunów

Jest to ruch nieregularny, o niewielkiej zmiennej amplitudzie ~0.5’’ (15 metrów) .

Jego główną składową jest składowa Chandlerowska o okresie

~14 miesięcy.

Konsekwencją tego zjawiska są Zmiany współrzędnych geograficznych Punktów na powierzchni Ziemi.

Układ Ziemia Księżyc

T.J.Jopek, Fizyka i chemia Ziemi

Ruch orbitalny Księżyca

Obserwowane tarcze Księżyca

2015-01-28 36

(7)

„Powiększenie” kątowego rozmiaru tarczy Księżyca

Tego efektu nie da się wyjaśnić zmianami odległości Księżyca od Ziemi.

A może Wikipedia pomoże?

UWAGA !

http://en.wikipedia.org/wiki/Moon_illusion

Ruch orbitalny Księżyca

Fazy Ksieżyca (okres 29.5 doby)

Miesiąc gwiazdowy (syderyczny) Miesiąc synodyczny

Orbita Księżyca

Orbita Ziemi

Synchronizacja obrotowego i orbitalnego ruchu Księżyca

Synchronizacja ruchów sprawia, że z powierzchni Ziemi, widzimy 50% powierzchni Księżyca.

Dzięki zjawisku libracji („wahaniom”) Księżyca dodatkowo widzimy ok. 9% jego powierzchni.

Zaćmienia Słońca i Księżyca

2015-01-28 T.J.Jopek, Fizyka i chemia Ziemi

Zaćmienie Księżyca (schemat)

Półcień

Przekrój obszaru półcienia Ziemi

Cień

Księżyc na orbicie przed zaćmieniem

Uwaga! Nierzeczywista skala rysunku

Do Słońca ₄₂

(8)

Schematyczna ilustracja zaćmienia Słońca

Pas całkowitego zaćmienia

Kierunek od Słońca

Księżyc Obszar częściowego zaćmienia

Uwaga! Nierzeczywista skala rysunku.

43 2015-01-28 T.J.Jopek, Fizyka i chemia Ziemi 44

Perły Bailego

Zdjęcia z zaćmienia Słońca w Meksyku, 1991 r.

Fotografie z zaćmienia Księżyca

Faza całkowitego zaćmienia Słońca, widok korony słonecznej.

Szczegóły korony słonecznej.

Rezultat złożenia 22 fotografii zaćmienia Słońca. 2015-01-28 T.J.Jopek, Fizyka i chemia Ziemi 48

Obrączkowe zaćmienie Słońca

(9)

Rodzaje zaćmień Słońca

Całkowite

Obrączkowe

Częściowe

52

Warunki występowania zaćmień

Orbita Księżyca Orbita Księżyca

w kolejnym nowiu

Orbita Ziemi (ekliptyka)

Ruch orbitalny Ziemi i Księżyca

Ruch Ziemi i Księżyca względem barycentrum (B)

Ruch Księżyca względem środka masy Ziemi

Płaszczyzna barycentrycznego

ruchu Ziemi i Księżyca Płaszczyzna ruchu barycentrum układu Z-K względem Słońca

Barycentrum układu Ziemia Księżyc

G

Z K

M

m

R=ZG, r=KG

M, m – masy Ziemi i Księżyca

Warunek barycentrum:

r m R M   

Pływy oceaniczne

Ziemia wiruje w okresowo zmiennym polu grawitacyjnym Słońca i Księżyca co w konsekwencji doprowadza do:

 pływów morskich,

 pływowych deformacji ziemskiej bryły.

Pływy maja charakter dysypatywny – rozpraszają energię ruchu wirowego Ziemi.

Oddziaływanie pływowe Ziemskie na Księżyc doprowadziło do unieruchomienia jego ruchu wirowego względem Ziemi.

Oddziaływania Księżyca spowalniają ruch wirowy Ziemi (rzędu milisekund na stulecie).

Jednocześnie, orbita Księżyca zwiększa swoje rozmiary w tempie 3.8 cm/rok (transfer momentu pędu).

(10)

Pływy oceaniczne

Układ Ziemia Księżyc orbituje wokół wspólnego barycentrum.

Punkt P na pow. Ziemi wiruje w tempie ω_L – szybkość kątowa ruchu Ziemi wokół barycentrum.

m – masa Księżyca,

R’ – odległość punktu P od środka masy Księżyca,

r – promień kołowej orbity punktu P wokół barycentrum Ziemi i Księżyca c G

2 2

2 1

' r

R W   Gm  

_L

Potencjał w P jest wypadkową potencjału grawitacyjnego od Księżyca oraz siły dośrodkowej ruchu orbitalnego w jakim P uczestniczy.

Earth (M)

Pływy oceaniczne

Układ Ziemia Księżyc orbituje wokół wspólnego barycentrum.

c 2 G

2

2 1

' r

R W   Gm  

_L

Earth (M)

Potencjał W pożytecznie jest wyrazić w innej postaci, w której wystąpią wielkości:

R – odległość środka Księżyca od środka Ziemi,

a – promień Ziemi,

θ i ψ - kąty opisujące położenie punktu P.

W tym celu trzeba rozwinąć R’ w szereg, skorzystać ze wzorów trygonometrycznych, z III prawa Keplera, definicji środka masy.

Pływy oceaniczne





 ² ² ²

2 3

2

2 sin 1 2 cos 1 2 3 2

1 1

'

a

R Gma m M

m R

W Gm  _L



 



 





 





 





Podajemy gotową postać potencjału W:

I II III

I – to składowa pot. Grawitacyjnego w środku Ziemi od Księżyca + mała poprawka ma stałą wartość, niezależną od wyboru punktu P. Nic nie wnosi do zjawiska pływów.

III - to potencjał rotacyjny w P w wyniku ruchu obrotowego Ziemi z szybkością ωL . II – jest potencjałem pływowym (W₂), jest zakłóceniem w P do potencjału pochodzącego od ziemskiej masy M (W0).

a W GM

R W Gma







 



 





0

2 3

2

2 cos 1 2

3



Potencjał pływowy W2

Pływy oceaniczne



 



 



 2

cos 1 2

3 2

2 

R W Gma Uśredniona wartość potencjału W₂ średnia po kącie ψ ma postać:

3 2

2

4R

W

_K

  Gma

Stosunek W_2K i W₀

8 3

0

2

  5 . 6  10

^



 



 

 R

a M

m W W

_K

Dla Słońca ten stosunek jest około 0.45 razy mniejszy.

Ale wpływy Księżyca i Słońca nakładają się.

Pływy oceaniczne

Uwaga! W celu uproszczenia rozważań dokonano szereg założeń: kołowa orbita Księżyca, brak 24 godzinnego wirowania Ziemi, brak bezwładności mas oceanicznych …

Pływy syzygijne (największe)

Pływy kwadraturowe (najmniejsze)

Ruch obrotowy Ziemi

Stałe nachylenie osi obrotu do płaszczyzny orbity Ziemi

Okres obrotu Ziemi = T2 = 23^h56^m 4.^s098903691 Identyczne kierunki

w przestrzeni

(11)

Zmiany szybkości ruchu obrotowego Ziemi

W ciągu milionów lat tempo wirowania Ziemi uległo znaczącemu spowolnieniu.

Spowolnienie powoduje tarcie pływowe. Ale szereg innych czynników natury Geodezyjnej (np. trzęsienia ziemi) również mogą zmienić szybkość rotacji Ziemi.

Od roku 2000 tempo spowalniania ruchu wirowego Ziemi zmniejszyło się.

Koniec