FALE AKUSTYCZNE W WARSTWOWYM OŚRODKU NIEJEDNORODNYM NOWA METODA PERTURBACJI II RZĘDU

(1)

FALE AKUSTYCZNE W WARSTWOWYM OŚRODKU NIEJEDNORODNYM

NOWA METODA PERTURBACJI II RZĘDU

J

ERZY

S

KRZYPCZYK

, A

GNIESZKA

W

INKLER

-S

KALNA

Zakład Mechaniki Teoretycznej, Politechnika Śląska, Gliwice email: jerzy.skrzypczyk@polsl.pl,

Streszczenie. Analizowany jest warstwowy ośrodek o skończonej wysokości (grubości), w którym parametry warstw zaleŜą od połoŜenia. Rozpatrywane są warunki brzegowe typu Dirichleta (brzeg sztywny) lub typu mieszanego (brzeg odbijający). Zastosowano metodę perturbacji II rzędu, która wykorzystuje pojęcie liczb perturbacyjnych II rzędu. Otrzymano perturbacyjne wielkości wartości własnych i wektorów własnych równania opisującego połoŜenie w obu rozpatrywanych przypadkach, tj. brzegu sztywnego i odbijającego. Poprawki perturbacyjne dla wartości własnych i wektorów własnych zostały wyliczone numerycznie z równań perturbacyjnych dla rozpatrywanych przypadków.

1. WSTĘP

Badania nad propagacją fal akustycznych w ośrodku niejednorodnym zyskały w ostatnim okresie na znaczeniu. Jest to spowodowane koniecznością dokładniejszego zrozumienia detekcji sygnałów w akustyce i sejsmologii. Reprezentacja spektralna równania falowego została osiągnięta przy załoŜeniu symetrii cylindrycznej i przy zastosowaniu metody rozdzielenia zmiennych, co spowodowało rozdzielenie równania falowego na dwa oddzielne równania.

Zastosowanie jednorodnego modelu propagacji fali prowadzi w wyniku do prostego zadania dla wartości własnych i rozwiązanie otrzymuje się jako nieskończony szereg wartości własnych i rodzinę funkcji własnych. Z drugiej strony wiadomo, Ŝe prędkość dźwięku moŜe się zmieniać w zaleŜności od innych warunków, takich jak np.: temperatura, wilgotność, zasolenie, połoŜenie itp. Temat został zainspirowany artykułem [18], w którym zastosowano klasyczną teorię perturbacji, por. [1-2], [4], [6-7], [9], a który jest w znacznym stopniu błędny.

W niniejszej pracy wykorzystano odmienną technikę wykorzystującą specjalne liczby, zwane liczbami perturbacyjnymi II rzędu. [10-15]

Równanie Helmholtza we współrzędnych cylindrycznych jest spełnione przez ciśnienie akustyczne p^(j) dla kaŜdej j-ej warstwy, przy załoŜeniu symetrii radialnej, [5]. W naszych badaniach załoŜono, dla uproszczenia, Ŝe dolna część obszaru cylindrycznego jest sztywna (warunki Dirichleta - I przypadek). W praktycznych zastosowaniach jednak często zdarza się, Ŝe brzeg nie jest sztywny, ale posiada własności absorbujące lub impedancyjne (warunki brzegowe mieszane - II przypadek). Z fizykalnego punktu widzenia oznacza to, Ŝe część pola akustycznego jest odbijana, natomiast część pochłaniana, por. [3].

Naturalnie rozpatrywany model matematyczny moŜe być łatwo uogólniony na większą liczbę warstw. Zastosowana metodologia moŜe być stosowana do dowolnych problemów brzegowych opisanych róŜnymi warunkami brzegowymi. Rozpatrywana była zaleŜność

(2)

gęstości ośrodka od wysokości połoŜenie w warstwie oraz jej wpływ na wartości własne i funkcje własne zagadnienia, które wynikają z równania Helmholtza dla ciśnienia akustycznego w ośrodku warstwowym o skończonej grubości. Dla uzupełnienia rozwaŜań, oprócz warunków brzegowych typu Dirichleta, które odpowiadają brzegowi sztywnemu, rozpatrywano warunki brzegowe typu bardziej ogólnego - mieszane, które odpowiadają brzegowi o charakterze odbijającym [3], [5]. Pokazano, Ŝe wartości własne i funkcje własne zagadnienia moŜna otrzymać, dla obu przypadków, z hierarchicznego układu równań róŜniczkowych.

Wyznaczono części główne wartości własnych i funkcji własnych zagadnienia oraz ich części perturbacyjne, zarówno I jak i II rzędu.

Zastosowana została metoda perturbacyjna bazująca na nowym systemie algebraicznym, który wykorzystuje specjalnie zdefiniowane liczby perturbacyjne II-rzędu (por. Skrzypczyk,

„Metody perturbacyjne II rzędu w mechanice”, niniejszy numer „ MI”).

2. MODEL MATEMATYCZNY

Rozpatrujemy model ośrodka składający się z dwóch warstw podobnie jak w pracach [3], [18]. Geometria rozpatrywanego modelu ośrodka jest przedstawiona na rys. 1.

Analizowany jest ośrodek o wysokości h składający się z dwóch warstw o stałej grubości, dolna warstwa ma wysokość d, skąd wynika, Ŝe górna ma wysokość h-d. Warunki brzegowe są sformułowane w połoŜeniach z=0, z=d oraz z=h. Ciśnienie akustyczne pj, gęstość ρj, prędkość cj,- oraz liczba falowa kj oznaczają odpowiednie wielkości dla j-ej warstwy, j=1,2.

Rys.1. Geometria problemu Rys.2. Cylindryczny układ współrzędnych

Rozpatrzmy równanie Helmholtza we współrzędnych cylindrycznych (rys.2) opisujące ciśnienie akustyczne p^(j) w j-tej warstwie:

2 , 1 i c , k 0 p z k

p r

p r 1 r p

i i )

i ( 2 2 i

) i ( 2 ) i ( 2

) i ( 2

=

∂ + +∂

∂ + ∂

∂

∂ ω

(1) Zastosujmy metodę rozdzielenia zmiennych, t.j. załóŜmy, Ŝe p⁽ⁱ⁾(r,z)=R(r)ϕ⁽ⁱ⁾(z). Otrzymamy

(

^k

)

⁽^z⁾ ⁰^, ⁱ ¹^,²

dz

d ₂ ₍_i₎

2 i ) i ( 2

=

−

+ λϕ

ϕ (2)

2 , 1 i , 0 dr R

dR r 1 dr

R d

2 2

=

= +

+ λ (3)

JeŜeli załoŜymy symetrię radialną rozwiązania, moŜemy analizować dalej tylko pierwszą grupę równań (2), por. [5,9].

d h

warstwa 1 warstwa 2 c2, k2,ρρρρ1,ωωω ω

c1, k1,ρρρρ1,ωωωω

d

h z

r

ϕϕϕϕ

(3)

W naszych dalszych rozwaŜaniach konsekwentnie zakładamy, Ŝe podstawa obszaru cylindrycznego jest swobodna oraz ze górna część cylindra jest sztywna (warunki Dirichleta - I przypadek) lub odbijająca (warunki mieszane - II przypadek), tak Ŝe równanie zaleŜne od wysokości ma prostą postać.

2.1 Sztywna górna część obszaru cylindrycznego

Zakładamy, Ŝe podstawa cylindra jest swobodna, skąd wynika, Ŝe dla powierzchni z=0 mamy

ϕ⁽¹⁾(0) = 0. (4)

Z ciągłości ciśnienia akustycznego na powierzchni interfejsu z=d wynika

ϕ⁽¹⁾(d) = ϕ⁽²⁾(d) (5)

natomiast z ciągłości gradientu ciśnienia akustycznego na powierzchni interfejsu wynika

dz ) d ( d 1 dz

) d ( d

1 ⁽²⁾

2 )

1 (

1

ϕ ρ ϕ

ρ ⁼ ^, ⁽⁶⁾

natomiast warunki dla powierzchni sztywnej z=h dają warunek dz 0

) h ( d ⁽²⁾

ϕ =

(7) Dla wygody przyjmijmy dalej następujące oznaczenia

γi2

= ki2

- λ, i=1,2. (8)

wówczas równanie (2) przyjmie postać

2 , 1 i , 0 ) z dz (

d ₂ ₍_i₎

2 i ) i ( 2

=

= +γ ϕ

ϕ (9)

Rozwiązanie ogólne równania (9) ma postać

ϕ⁽¹⁾(z) = Asin(γ1z) + Dcos(γ1z) , 0≤z≤d (10) ϕ⁽²⁾(z) = Bsin(γ₂z) + Ccos(γ₂z) , d≤z≤h (11) Wykorzystując warunki brzegowe (4)-(7), otrzymamy

D = 0 (12)

Asin(γ₁d) = Bsin(γ₂d) + Ccos(γ₂d) (13) ρ₂ Aγ₁ cos(γ₁d) = ρ₁ (Bγ₂cos(γ₂d) - Cγ₂sin(γ₂d)) (14) Bγ₂cos(γ₂h) - Cγ₂sin(γ₂h) = 0 (15) Równania (12)-(15) są jednorodnym układem liniowych równań algebraicznych ze względu na niewiadome A, B, C, D. Taki układ równań posiada rozwiązanie nietrywialne wtedy i tylko wtedy, gdy [5]

0 ) h sin(

) h cos(

0

) d sin(

) d cos(

) d sin(

det

2 2

2 2 1 2 2 1 1

1 2

2 2

1

=















−

γ γ

γ γ ρ γ

γ ρ γ

γ ρ

γ γ

γ

(16)

a po rozwinięciu wyznacznika (16)

( )

(

(h d)

)

cos( d)cos

(

(h d)

)

0 sin

) d sin(

) h sin(

) d sin(

) d cos(

) h cos(

) d cos(

) h cos(

) d sin(

) h sin(

) d cos(

) d sin(

2 1

1 2 2

1 2 1

2 2

1 1 2

2 2

1 2 1

=

−

=

= +

−

γ γ

γ ρ γ

γ γ ρ

γ γ

γ γ ρ

γ γ

γ γ ρ

(17)

Pamiętając, Ŝe γ_i²=k_i²-λ, i=1,2 z równania charakterystycznego (17) otrzymamy całą rodzinę wartości własnych λ_m, m=1,2,3,….. Odpowiadające im funkcje własne przyjmują postać

ϕ_m⁽¹⁾(z) = Asin(γ1z), 0≤z≤d (18) ϕm(2)

(z)

( ) ( )

(

(h d)

)

cos

) z h ( d cos sin A

2 2

1 −

= −

γ

γ γ , d≤z≤h (19)

(4)

Dla uproszczenia wprowadzimy dalej normalizację wartości własnych. Warunek normalizacji przyjmuje standardową postać

1 dz ) z ( dz

) z ( dz

) z (

h

d )2 2 ( i d

0 )2 1 ( i h

0 2

i =

∫

+

∫

=

∫

^ϕ ^ϕ ^ϕ ⁽²⁰⁾

Odpowiednie całki dają się obliczyć w sposób jawny

( ) ( )

₂

) 1 ( i 1

1 1 d

0 )2 1 (

i G

d 1 sin d 2 cos

1 2 dz d ) z

( = − =

∫

^ϕ _γ ^γ ^γ ⁽²¹⁾

( ( ) ) ( ) ( )

₂

) 2 ( i 2

2 2 2

2 1 h 2

d )2 2 (

i G

) 1 d h ( cos ) d h ( 2 sin

1 2

d h ) d h ( cos

d dz sin

) z

( =

 



 − + − −

= −

∫

^ϕ _γ ^γ _γ ^γ ^γ ⁽²²⁾

ZałóŜmy dalej, Ŝe A=G_i, gdzie

)2 2 ( i )2 1 ( i 2

i G

1 G

1 = + (23)

2.2 Odbijająca górna powierzchnia obszaru cylindrycznego

RozwaŜmy dalej pewną modyfikację ośrodka składającego się z dwóch jednorodnych warstw ograniczonych przez powierzchnię swobodną na podstawie cylindra i powierzchnię odbijającą na powierzchni górnej. Równania róŜniczkowe opisujące ciśnienie akustyczne są takie same jak poprzednio (9). Podobnie bez zmian pozostają warunki brzegowe na powierzchniach z=0 oraz z=d, które są takie same jak w poprzednim przypadku, patrz równania (4)-(6). Natomiast warunek brzegowy na powierzchni odbijającej z=h przyjmuje postać

0 ) h dz (

) h (

d ⁽²⁾ ₍₂₎

= +αϕ

ϕ (24)

ZauwaŜmy dalej, Ŝe jeŜeli α=0, wówczas warunek odbicia staje się warunkiem “sztywnym”, por. (7). Wykorzystując warunki brzegowe (4)-(6) oraz (24), otrzymamy

D = 0 (25)

Asin(γ1d) = Bsin(γ2d) + Ccos(γ2d) (26) ρ2 Aγ₁ cos(γ₁d) = ρ₁ (Bγ₂cos(γ₂d) - Cγ₂sin(γ₂d)) (27) Bγ₂cos(γ₂h) - Cγ₂sin(γ₂h) + αBsin(γ₂h) + αCcos(γ₂h)= 0 (28) Równania (25)-(28) są jednorodnym układem równań algebraicznych z niewiadomymi A, B, C, D, [5]. Układ równań ma rozwiązanie nietrywialne wtedy i tylko wtedy, gdy

0 ) h cos(

) h sin(

) h cos(

0

) d sin(

) d cos(

) d sin(

det

2 2

2 2 1 2

2 1 1

1 2

2 2

1

=

















+

− +

−

γ α γ γ γ

α γ

γ

γ γ ρ γ

γ ρ γ

γ ρ

γ γ

γ

(29)

a po rozwinięciu wyznacznika (29)

( ) ( )

(

(h d)

)

cos( d)sin

(

(h d)

)

0 cos

) d sin(

) d h ( cos ) d cos(

) d h ( sin ) d sin(

2 1

1 2 2

1 2 1

2 1

2 1 2 2

1 2 2 1

=

−

− +

−

+

−

γ γ

γ αρ γ

γ γ αρ

γ γ

γ γ ρ γ

γ γ γ

ρ (30)

Pamiętając, Ŝe γ_i²=k_i²-λ, i=1,2 z równania charakterystycznego (30) otrzymujemy całą rodzinę wartości własnych λ_m, m=1,2,3,….. Odpowiadające im funkcje własne przyjmują postać

ϕm(1)

(z) = Asin(γ1z), 0≤z≤d (31) ϕm(2)

(z) =

( ) ( ) ( )

(

(h d)

)

sin

(

(h d)

)

cos

) z h ( sin )

z h ( d cos

sin A

2 2

2

2 2

2

1 − + −

− +

−

γ α γ

γ

γ α γ

γ γ , d≤z≤h (32)

(5)

Dla uproszczenia dokonamy dalej normalizacji wartości własnych, podobnie jak w poprzednim przypadku. Warunek normalizacji przyjmuje postać (20). Odpowiednie całki przyjmują postać

)2 1 ( i d

0 )2 1 (

i G

dz 1 ) z

( =

∫

^ϕ ^, (2)²

i h

d )2 2 (

i G

dz 1 ) z

( =

∫

^ϕ ⁽³³⁾

ZałóŜmy dalej, Ŝe A=Gi, por. (23).

3. NIEJEDNORODNE PERTURBOWANE WARUNKI BRZEGOWE

Weźmy pod uwagę niejednorodny ośrodek warstwowy, w którym zarówno dolna, jak i górna warstwa ośrodka mogą mieć zmienne parametry fizyczne, zaleŜne od połoŜenia. Wynika stąd zmienność współczynnika odbicia, która skutkuje zaleŜnością prędkości falowej od wysokości w obszarze cylindra. Zastosujemy technikę perturbacyjną zaproponowaną przez Skrzypczyka, por. [10]-[15], w celu określenia wartości własnych i odpowiadających im wektorów własnych, dla przedstawionych wcześniej zagadnień brzegowych.

PoniewaŜ rozpatrujemy ośrodek składający się z dwóch warstw, dla uproszczenia notacji przyjmiemy





≤

<

≤

= ≤

Φ d z h

d z 0

) 2 (

) 1 (

ϕ

ϕ (34)

ZałóŜmy, Ŝe warstwy ośrodka są niejednorodne, stąd wynika, Ŝe równanie (2) staje się równaniem perturbacyjnym II rzędu postaci

(

¹ ^s ⁽^z⁾ ^s ⁽^z⁾

)

^,

dz k d

1 2 0

2 2 2

Φ

= +

+ Φ+

λ ε

ε (35)

gdzie s(z)=εs0(z)+ε²s1(z) jest miarą niejednorodności zaleŜną od połoŜenia we współrzędnych cylindrycznych. JeŜeli s(z)=0, problem redukuje się do zagadnienia ośrodka jednorodnego analizowanego wcześniej. Rozumując jak w [3,8,18], załóŜmy, Ŝe zagadnienie własne (35) będzie rozpatrywane w sensie uogólnionym w Rε2. ZauwaŜmy dalej, Ŝe Φ=Φ0+εΦ1+ε²Φ2, λ=λ0+ελ1+ε²λ2, gdzie Φ0, Φ1, Φ2, λ0, λ1, λ2∈R. Wówczas równanie (35) przyjmie postać

( ) ( )

(

₀ ₁ ₁ ₀

)

²

(

₀ ₂ ₁ ₁ ₂ ₀

)

0 0

2 0 1

1 2 2 2 1

0 1 2 0 2 2

2 2 2 2

1 2 2

0 2

) z ( s ) z ( s k

) z ( s k

dz k d dz

d dz

d

Φ + Φ + Φ +

Φ + Φ + Φ

=

= Φ

+ Φ

+ Φ +

Φ + Φ + Φ Φ +

Φ + Φ +

λ λ λ

ε λ

λ ε λ

ε ε

ε

ε (36)

JeŜeli porównamy współczynniki przy odpowiednich potęgach parametru ε, otrzymamy równania nieperturbacyjne

0 0 0 2 2

0 2

dz k

d Φ + Φ = Φ

λ (37)

(

₁ ₀ ₁

) (

₀ ₁ ₁ ₀

)

2 2

1 2

) z ( s dz k

d Φ + Φ +Φ = λ Φ +λΦ (38)

(

₂ ₁ ₁ ₀ ₂

)

₀ ₂ ₁ ₁ ₂ ₀

2 2

) z ( s ) z ( s dz k

d Φ + Φ +Φ +Φ = Φ + Φ + Φ

λ λ

λ (39)

Dalej będziemy pisać γ0=k²-λ0 i wówczas równanie (37) przyjmie postać dz 0

d

0 2 2

0 2

= Φ

Φ +γ (40)

PoniewaŜ problem własny (40) dotyczy operatora typu Sturma-Liouvile’a, posiada on nieskończoną liczbę wartości własnych {γ01, γ02, γ03, ..., γ0n, ....}, gdzie γ0m=k²-λ0m. Odpowiadające im funkcje własne oznaczymy {Φ01, Φ02, Φ03, .., Φ0n, ...}. Dalej będzie

(6)

stosowana następująca notacja Φp=Φ0p+εΦ1p+ε²Φ2p, λp=λ0p+ελ1p+ε²λ2p,

∑

^∞

=

Φ

= Φ

1 k

k 0 pk p

1 α ,

∑

^∞

=

Φ

= Φ

1 k

k 0 pk p

2 β , zakładamy dalej, Ŝe 〈Φ0n,Φ0n〉=1 dla dowolnego n, 〈Φ0n,Φ0m〉=0 dla n≠m.

MoŜna udowodnić, Ŝe

p 0 p 0 1 2 p

1 =k s (z)Φ ,Φ

λ for p=1,2,3,... (41)

p 0 p 0 2 2 p 0 p 1 1 2 p

2 =k s (z)Φ ,Φ +k s (z)Φ ,Φ

λ for p=1,2,3,.... (42)

gdzie

∑

≠

− Φ +

Φ

= Φ

p i

i 0 p 0 i 0

pi p

0 pp p

1 λ λ

α χ (43)

∑

≠

− Φ +

Φ

= Φ

p i

i 0 p 0 i 0

pi p

0 pp p

2 λ λ

β η (44)

Współczynniki χ_pi oraz η_pi są wyznaczone z rozkładu Fouriera znanych funkcji.

4. PRZYKŁAD NUMERYCZNY

ZałóŜmy, Ŝe h=1300 [m], d=750 [m], c₁=1500 [m/s], c₂=1495 [m/s], ω=376.991 [rad/s], ρ₁=1.0*10³ [kg/m³], ρ₂=1.0*10³ [kg/m³].

Rys. 3. Lewa strona równania (17). Rys. 4. 1., 80., 90. - funkcje własne ϕ⁽¹⁾(x) Dla łatwego porównania wyników załoŜono takie same wartości parametrów jak w pracy [18].

ZałóŜmy, Ŝe w rozpatrywanym przykładzie występuje liniowe zaburzenie współczynnika refrakcji dane wzorami

0 ) z ( s h, z d z d

d z 0 ) 0

z (

s₁ ₂ =





≤

<

−

≤

= ≤ .

JeŜeli rozwiąŜemy na drodze numerycznej równanie (40), otrzymamy całą rodzinę wartości własnych λm, m=1,2,3,….. W rozpatrywanym przykładzie istnieje 100 rozwiązań. Odpowied- nie funkcje własne otrzymamy z odpowiadających im równań (18)-(19) (rys.4). Wartości wielkości perturbacyjnych pierwszego rzędu λ₁ oraz drugiego rzędu λ₂ dla wartości własnych, w przypadku „sztywnych” warunków brzegowych otrzymujemy z równań (41)-(42) po podstawieniu odpowiednich funkcji własnych danych równaniami (18)-(19).

5. WNIOSKI

Przeanalizowano efekty zaleŜności wartości własnych i funkcji własnych zagadnienia opisującego fale akustyczne od współczynników równania, które są znanymi funkcjami

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0.4 0.2 0 0.2 0.250910.4

0.24919

− ri

0.06311

0 λi

0 150 300 450 600 750

0.05 0.025 0 0.025 0.05

A1 φ11 z⋅ ( ) A80 φ180 z⋅ ( ) A90 φ190 z⋅ ( )

z

(7)

połoŜenia (wysokości). Ciśnienie akustyczne w rozpatrywanym ośrodku warstwowym o skończonej wysokości (grubości) opisane jest równaniem Helmholtza o zmiennych, perturbowanych współczynnikach. Przeanalizowano podstawowy przypadek, gdy brzeg obszaru jest sztywny oraz bardziej ogólny, w którym załoŜono, Ŝe na brzegu moŜe wystąpić odbicie fali. Pokazano, Ŝe wartości własne i funkcje własne w zadaniu z brzegiem sztywnym są szczególnym przypadkiem rozwiązania dla bardziej ogólnych warunków brzegowych.

Rys. 5. Perturbacje I rzędu λ₁ wartości własnych 6. WNIOSKI

Badano efekty zaleŜności wartości własnych i funkcji własnych zagadnienia opisującego fale akustyczne od współczynników równania, które są znanymi funkcjami połoŜenia (wysokości).

Ciśnienie akustyczne w rozpatrywanym ośrodku warstwowym o skończonej wysokości (grubości) opisane jest równaniem Helmholtza o zmiennych współczynnikach z perturbacjami.

Przeanalizowano podstawowy przypadek, gdy brzeg obszaru jest sztywny oraz bardziej ogólny, w którym załoŜono, Ŝe na brzegu moŜe wystąpić odbicie fali.

Zastosowana została nowa specjalna metodologia metod perturbacyjnych dla otrzymania wartości własnych i funkcji własnych niejednorodnego modelu warstwowego. ZałoŜono, Ŝe gęstość ośrodka zaleŜy od połoŜenia, co powoduje taką samą zaleŜność liczby falowej. W rozpatrywanym przykładzie załoŜono perturbacje liczby falowej, które są liniową funkcją połoŜenia. Na rys. 4. pokazano przykładowe trzy funkcje własne. Na rys. 5. pokazane są perturbacje pierwszego rzędu wartości własnych, spowodowane liniową perturbacją liczby falowej.

Obliczenia z wykorzystaniem nowych liczb perturbacyjnych prowadzą do zastosowań, które są z matematycznego punktu widzenia równowaŜne klasycznym metodom perturbacyjnym II rzędu. Zalety nowego systemu algebraicznego są następujące:

• moŜna pominąć wszystkie złoŜone obliczenia analityczne, które są typowe dla przedstawienia wielkości aproksymowanych w postaci szeregów nieskończonych. Dotyczy to zarówno przedstawienia wielkości nieznanych - rozwiązań, jak i współczynników problemu obciąŜonych perturbacjami;

• otrzymujemy duŜe uproszczenia wszystkich operacji arytmetycznych, które występują w analitycznym formułowaniu i analizie problemów perturbacyjnych;

• większość znanych algorytmów numerycznych moŜe być w prosty sposób adaptowana do nowego systemu algebraicznego bez specjalnych trudności.

Model matematyczny, który był rozpatrywany, moŜe być w prosty sposób uogólniony na przypadek większej liczby warstw. Nowa metodologia moŜe być równieŜ zastosowana do

1 34 67 100

0 2 4 6 8 8

0 λ1_i

100

1 i

(8)

bardziej skomplikowanych problemów brzegowych oraz zróŜnicowanych warunków brzegowych.

(9)

BIBLIOGRAFIA

1. Awrejcewicz J., Krysko V.A.: Wprowadzenie do współczesnych metod asymptotycz- nych. Warszawa : WNT, 2004.

2. Bellman R.:Introduction to matrix analysis. New York,Toronto, London : Mc-GrawHill Book Comp.1976.

3. Buchanan J. et. al.: Marine acoustics – direct and inverse problems. SIAM, 2004.

4. Kato T.:Perturbation theory for linear operators. Berlin, Heidelberg, New York : Springer-Verlag, 1966.

5. Korn G.A., Korn T.M.: Matematyka dla pracowników naukowych i inŜynierów. Cz.I.

Warszawa : PWN, 1983.

6. Liao S.: Beyond perturbation - introduction to the homotopy analysis method. Boca Raton : Chapman&Hall/CRC Press LLC, 2004.

7. Nayfeh A. H.: Perturbation methods. New York, London, Sydney : J. Wiley & Sons, 1976.

8. Ed. Woźniak C., Świtka R., Kuczma M.: Selected topice in the mechanics of inhomogeneous media. Zielona Góra : Uniw. Zielonogórski, 2006.

9. Shivamoggi B.K.: Perturbation methods for differential equations. Boston, Basel, Berlin: Birkhäuser 2002.

10. Skrzypczyk J.: Perturbation methods - new arithmetic. Zesz. Nauk.Pol. Śl., ser.

Budownictwo. Gliwice 2003, s. 391-398.

11. Skrzypczyk J.: Metody perturbacyjne - nowa arytmetyka. Zesz. Nauk. Kat. Mech. Stos.

Pol.Śl. 2004, nr 23, s. 363-368.

12. Skrzypczyk J.: Perturbation methods - new algebraic methodology with applications in mechanics. Zesz. Nauk. Kat. Mech. Stos. Pol. Śl. 2005. s. 413 – 418.

13. Skrzypczyk J.: Perturbation methods - new algebraic methodology. W: Proc. of CMM- 2005 – Computer Methods in Mechanics. Częstochowa 2005.

14. Skrzypczyk J.: Multi-scale perturbation methods in mechanics. Slovak Journal of Civil Engineering 2006, 3, s. 10-14.

15. Skrzypczyk J.: II-order perturbation methods in mechanics. Materiały XLVI Sympozjonu “Modelowanie w Mechanice”, Wisła, luty 2007, Gliwice, 2007.

16. Skrzypczyk J., Winkler-Skalna A.: Sound wave propagation problems new perturbation methodology. “Arch. of Acoustic” 2006, 31(N.4) Supl., s. 115-122.

17. Skrzypczyk J., Winkler-Skalna A.: Sound wave propagation problems new perturbation methodology. Proc. of Int. Conf. New Trends in Statics and Dynamics of Buildings.

Bratislava 2006, Faculty of Civil Eng. SUT, s. 97-100.

18. Zaman F.D., Al-Muhiameed Z.I.A.:coustic waves in a layered inhomogeneous ocean.

“Applied Acoustics” 2000, 61, s. 427-440.

ACOUSTIC WAVES IN LAYERED NONHOMOGENEOUS MEDIUM:

A NEW II-ORDER PERTURBATION APPROACH

Summary. We consider a layered medium of finite height in which the layers are assumed to have position dependent properties. The boundary conditions are considered to be either rigid (Dirichlet-type) or of a reflecting type (mixed-type). The perturbation method based on II-order perturbation numbers is used to obtain the eigenvalues and the eigenfunctions of the height equation in the case of both the rigid and reflecting boundaries. The corrections to the eigenvalues and eigenfunctions are numerically computed from the perturbation formulae in both cases of interest.