1 dla równania Helmholtza własnych zagadnienia brzegowego Dirichleta O pewnym zagadnieniu dotyczącym krotności wartości

Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VI (1961)

E. Ś liw iński (Kraków)

O pewnym zagadnieniu dotyczącym krotności wartości własnych zagadnienia brzegowego Dirichleta

dla równania Helmholtza

1. Pockels w swej książce [2] podaje za Biemannem [3] następu­

jącą własność zbioru wartości własnych membrany kwadratowej: „jedno­

krotnymi wartościami własnymi są tylko to, dla których m = w” . Weźmy pod uwagę zagadnienie na wartości i funkcje własne dla równania Helmholtza

( 1 ) AuĄ-hi = 0 ,

A param etr rzeczywisty, w kwadracie

1 ⁰ ^ x ^ тс, 0 < < тс z warunkiem Dirichleta

(3) u — 0 na F( K) .

Jak można sprawdzić bezpośrednio, wartości własne zagadnienia (1), (2), (3) tworzą ciąg podwójny

(4) Amn = m 2 + w2, w = 1 ,2 , . . . , » = 1 ,2 , ..., a funkcje własne ciąg

(5) Umn(X, У) — sinm xsinny,

przy czym ciąg (5) tworzy układ zupełny w kwadracie К [1], a ciąg (4) zawiera wszystkie wartości własne i tylko wartości własne zagadnienia (1), (2), (3).

Według Biemanna warunek m = n (przekątniowości) jest konieczny na to, by wartości własne Xmn były pojedyncze.

Celem niniejszej pracy jest 1° wykazać, że podany przez Biemanna

warunek przekątniowości nie jest wystarczający na to, aby wartości

własne były pojedyncze; należy go uzupełnić dalszymi warunkami, które

zostaną podane w pracy, 2 ° uogólnienie rezultatu Biemanna na przypadek

przestrzeni więcej wymiarowych. Ponadto praca zawiera twierdzenia

odnoszące się do maksymalnej ilości obszarów węzłowych.

32 E. Ś l i w i ń s k i

2. Podamy teraz przykład wartości własnych przekątniowych wielo­

krotnych. Np.

Я 55 = 5 2 + 5 2 = l 2 + 7 2 = 7 2 + l 2 = 50

jest wielokrotną wartością własną. Odpowiednimi funkcjami własnymi liniowo niezależnymi należącymi do wartości własnej AS 5 są funkcje

У) — sin5a?sin5y,

(7) У) = sina?sin7y,

u

( x, y) = sin7a?siny.

Węzły (zbiory miejsc zerowych) funkcji n

(x, y) rozcinają kwadrat К na 25 obszarów węzłowych (w których funkcja jest różna od zera i na brzegu których równa się zero), które są kwadratami przystającymi.

Węzły funkcji Щгт(х,у) oraz щл (х, y) rozcinają Z na 7 prostokątów.

Na tym przykładzie widać, że maksymalną ilość obszarów węzłowych ma funkcja własna przekątniowa u

(x,y). Wykażemy, że ten efekt ma charakter ogólny. Ponadto podamy nieskończony ciąg wartości wła­

snych, które nie są jednokrotne.

Wykażemy także, że spośród funkcji własnych należących do tej samej wartości własnej przekątniowej największą ilość obszarów węzło­

wych ma funkcja własna przekątniowa (należąca do wartości własnej przekątniowej). Twierdzenie to jest słuszne w przypadku dowolnej ilości wymiarów.

3. Wykażemy także, że istnieją ciągi nieskończone wartości włas­

nych przekątniowych pojedynczych.

T w ier dzenie 1. Istnieje nieskończony ciąg wartości własnych co naj­

mniej trzykrotnych.

D ow ód. Weźmy pod uwagę ciągi

(5 fc)2-f (5 fc )2 = fc2+ (7 k

= (7 fc)2+ &2 {k = 1 , 2 , . . . ) . Odpowiednimi funkcjami własnymi są wówczas funkcje

%fc,5fc0», у ) = sin5b?sin5fcy, ( 8 ) u K

c(x, y) = s i n s i n 7% ,

У) — sin7b?sin&y liniowo niezależne;

Można liczby o powyższej własności skonstruować także na pod­

stawie relacji:

Jeżeli

a 2 -}-

bz

( 9 )

wówczas

( 10 ⁾ (a + b)

+ ( a - b

= 2 c

= c 2 + c 2.

Wynika stąd, że jeżeli a , b , c tworzą ciąg nieskończony liczb pitagorej- skich, wówczas odpowiednie ciągi

(a-f- b), (a— b), c

tworzą ciągi wartości własnych co najmniej trzykrotnych. Przez liczby pitagorojskie [4] rozumiemy trójki liczb naturalnych ос, у , z spełniają­

cych warunek a ?2 + y 2 = z2.

Wykażemy teraz

T w ierdzenie 2. Istnieje ciąg nieskończony wartości własnych prze­

kątniowych pojedynczych.

D ow ód. Weźmy pod uwagę ciąg

2

'

2n = 2 2n -f-

2n = ( 2 n)2-f ( 2 ™)2.

Wykażemy, że rozkład liczb postaci 2-22n na sumę dwóch kwadra­

tów liczb naturalnych jest jednoznaczny, a mianowicie dany wzorem

2

‘

2n = ( 2n)2 + ( 2 n)2.

Istotnie, przypuśćmy, że

( 11 ) 2*2 2n = a

+ b2.

Bozróżnimy dwa przypadki: 1 ° a ,b parzyste, 2 ° a ,b nieparzyste.

2 ° Gdy a, b nieparzyste, wówczas

a

Ą-b

— 4 m + 2 (m liczba naturalna)

i wobec tego otrzymujemy sprzeczność, gdyż liczba podzielna przez 4 po podzieleniu przez 4 daje resztę 2.

W przypadku 1° niech

a —

k, b —

. Wówczas

22n~l = fc2 + Z2 -

Na podstawie 2° к, l muszą być parzyste. Niech к =

klf l —

lx.

Wówczas

2

2n~* = k\ + ll.

Postępując analogicznie dochodzimy do równości 8 = k%n~\-lmt

Roczniki PTM - Prace Matematyczne VI 3

34 E. Ś l i w i ń s k i

skąd wynika, że

skąd wynika ostatecznie, że

km — lm — 2 , Te — l = 2 \

U w aga. №e jest to jedyny ciąg wartości własnych przekątniowych jednokrotnych, gdyż istnieją inne ciągi wartości własnych przekątnio­

wych jednokrotnych, których wyznaczaniem nie będziemy się w tej pracy zajmowali.

Wykażemy

T w ierdzenie 3. Maksymalna ilość obszarów węzłowych dla funkcji własnych należących do wartości własnej przekątniowej wielokrotnej jest maksymalna dla funkcji własnej

unn(x , y ) = m inx ninny i wynosi n2.

D ow ód. Dowód sprowadza się do wyznaczenia maksimum iloczynu к -I przy warunku ubocznym

kz-\-12 = %nz . Otóż maksimum zachodzi dla к = l = n.

4. Omówimy teraz przypadek trójwymiarowy dla kostki 0 ^ x ^ 7Г,

K* 0 <5 у ^ 7t, 0 ^ Z ^ 7Г.

Wartości własne tworzą ciąg potrójny

{K m = p 2 + ff 2 + m 2}, m , p , q = 1 , 2 , a funkcje własne ciąg potrójny

{umpq(x, y, z) = sinm«sinp2/sin<ż«}.

Na przykładzie

52+ l 2+ l 2 = 3 - 3 2 = 27

widać, że 27 jest wartością własną przekątniową wielokrotną, przy czym odpowiednie funkcje własne są

sin 3 a?sin 32 /sin 30 lub

sin 5a? sin 2 / sin я,

sin x sin by sin я, sin x sin у sin 5я.

Inny przykład:

3.92 = 6 2 + 7 a+ l 32 = 243.

Wykażemy teraz

T w ierdzenie 4. Istnieje ciąg nieskończony wartości własnych prze­

kątniowych wielokrotnych.

D ow ód. Weźmy pod uwagę wartości własne przekątniowe wielo­

krotne w przypadku dwuwymiarowym. Na podstawie twierdzenia 1 istnieje ciąg nieskończony takich liczb. Weźmy pod uwagę ich rozkłady przekątniowe

m2-f m2.

Dodając m 2 otrzymujemy żądany ciąg potrójny.

Udowodnimy z kolei

T w ierdzenie 5. Istnieje ciąg nieskończony wartości własnych poje­

dynczych.

D ow ód. Ciągiem takim jest ciąg

3 • (2 й)2 = (2 W)2 -f- (2

+ (2n)2.

Wykażemy, że liczby 3 • 22n rozkładają się na sumę trzech kwadratów w sposób jednoznaczny, tzn. że jeżeli

(12) 3 • 22n = a

-f- 62 + c2, wówczas

a — b = c = 2 2\

Dla dowodu rozróżnimy dwa przypadki: 1° a ,b nieparzyste, c p a­

rzyste, 2 ° a , b , c parzyste.

W przypadku 1° niech

a — 2 r + l , b — 2 s - f l j c =

t.

Wówczas

3 *22n = 4Q + 2,

przy czym lewa strona jest podzielna, a prawa niepodzielna przez 4.

W przypadku 2 ° niech

a —

rx, b =

sx, c =

tx.

Wówczas po podstawieniu do (12) na podstawie przypadku 1° otrzy­

mujemy

^*1 === 2 r 2 j == 2 sa, tx —

t2.

Postępując w ten sposób kolejno otrzymujemy

== ~ t skąd wynika, że

'm = ¹ .

36 E. Ś l i w i ń s k i

Wykażemy teraz

T w ierdzenie 6. Ilość obszarów węzłowych dla funkcji własnych nale­

żących do wartości własnych przekątniowych jest maksymalna dla funkcji własnej

u^r( cg , у , z) = sinrcosinr y sinrz.

D ow ód. Dowód sprowadza się do wyznaczenia maksimum ilo­

czynu m-p-q przy warunku ubocznym w 2 -j-p 2 + g 2 = 3r2.

Otóż ekstremum zachodzi dla

m = p = ą = r .

5. Omówimy teraz przypadek czterowymiarowy dla kostki

K ,

0

CGX

77

0 ^ x z ^ те, 0

0 GZ

77

0 ^ a ?4 =^77.

Wykażemy teraz

T w ierdzenie 7. Istnieje ciąg nieskończony wartości własnych wielo­

krotnych przekątniowych.

D ow ód. Celem uzyskania takiego ciągu, wystarczy do tego typu ciągu trójwymiarowego dodać odpowiedni kwadrat wskaźnika prze­

kątniowego.

Wykażemy z kolei

T w ierdzenie 8. Istnieje ciąg nieskończenie wielu wartości własnych jednokrotnych.

D ow ód. Takim ciągiem liczbowym jest ciąg 4-22n = ( 2 n)2-f (

nf + (

nf + ( 2 n)2.

Wykażemy w tym celu, że rozkład

4 • 22n — a

+ b

+ c 2 + d

— u

jest jednoznaczny. Dla dowodu rozróżnimy przypadki: 1° a , b , c , d są wszystkie nieparzysto; 2 ° dwie z tych liczb są parzyste i dwie pozostałe nieparzyste; 3° wszystkie cztery liczby są parzyste.

W przypadku 1° a, b, c, d mogą być postaci 4 p + l lub 4p-f 3. Jeżeli

wszystkie są postaci 4 p -f l, to u jest postaci 8 P - f 4, a więc przy dzieleniu

przez 8 daje resztę 4.

Analogicznie jest dla przypadku, gdy wszystkie te liczby są postaci 4p -f- 3.

Gdyby dwie były postaci 4 p + l, pozostałe postaci 4^ + 3, wówczas znowu u jest postaci 8 P + 4.

Gdyby jedna była postaci 4 ^ + 1 , pozostałe trzy postaci 4^ + 3, wówczas u jest postaci 8 P + 4 .

Gdyby jedna była postaci 4^ + 3, pozostałe postaci 4 ^ + 1 , wówczas u jest postaci 8 P + 4.

W przypadku 2° dwie spośród liczb nieparzystych są postaci 4p-f-l, pozostałe parzyste, wówczas u jest postaci 4 P + 2 albo obie są postaci 4p + 3, pozostałe parzyste, wówczas u jest postaci 4 P + 2 . Jeżeli jedna z liczb nieparzystych jest postaci 4 ^ + 1 , druga 4^ + 3, wówczas u jest postaci 4 P + 2 .

W przypadku 3° niech

a —

aXf b — 2 bx, c = 2 cx, d — 2 dx.

Wówczas na podstawie wykluczenia poprzednich przypadków ax = 2 a2, bx =

b2, ег — 2 c2, dx =

d

i wreszcie

24 = < 4 + + Сш~\- d“ m, skąd

== ==: cm = dm =

.

T w ierdzenie 9. Ilość obszarów węzłowych dla funkcji własnych nale­

żących do wartości własnej przekątniowej wielokrotnej jest maksymalna dla funkcji własnej

upppp (ocx, a?2, a?3, oc4) — sin^a?! sin^>a ?2 sinpa^ sinpa?4.

D o w ó d jak w twierdzeniu 3.

6 . Najciekawsze są przypadki, gdy ilość wymiarów jest 5 lub większa od 5. Wykażemy, że wówczas poza pierwszą wartością własną, która jest zawsze jednokrotna, wszystkie pozostałe są wielokrotne.

Wykażemy

T w ierdzenie 10. Wszystkie wartości własne przekątniowe z wyjątkiem pierwszej są wielokrotne.

Dowód. Jeżeli

5 p 2 _ p liczba parzysta,

to istnieje drugi rozkład, a mianowicie 5р г = ( 2 p )a+ ^ - +

4 p 2

T

38

E. Ś l i w i ń s k i

Jeżeli p jest liczbą nieparzystą, to

эр2 = 8 P + 5 = (8P + 3 ) + l 2+ l 2.

Jak wiadomo [4], na podstawie tw. Gaussa każdą z liczb postaci 8 P + 3 można rozłożyć na sumę kwadratów trzech liczb nieparzystych.

T w ierdzenie 11. Ilość obszarów węzłowych dla funkcji własnych należących do wartości własnej przekątniowej jest maksymalna dla funkcji własnej przekątniowej

. . .p x ( ® i = ń n P i • * • s i n p i •

D ow ód jak w twierdzeniu 3.

Na zakończenie podamy interpretację geometryczną uzyskanych wyników.

Zgodnie z twierdzeniem 2 ciąg okręgów o środku w początku układu o promieniach rn = 2 V 2 ma tę własność, że na luku każdego z nich n . należącym do pierwszej ćwiartki występuje tylko jeden punkt kratowy o współrzędnych ( 2 й, 2 й).

Ponadto istnieje nieskończony ciąg okręgów o środku w początku układu takich, że na ich lukach należących do ćwiartki pierwszej leżą co najmniej dwa różne punkty kratowe.

Analogiczna interpretacja dotyczy przypadku 3 i 4-wymiarowego, przy czym okręgi zastępujemy sferami lub hipersferami.

Efekt ten nie występuje w przestrzeni 5- i więcej wymiarowej. Np.

w przestrzeni 5-wymiarowej, z wyjątkiem hipersfery o środku w początku układu i promieniu V5, nie istnieją hipersfery o środkach w początku układu, których kwadrat promienia jest sumą kwadratów 5-ciu liczb naturalnych, na częściach których, leżących w części przestrzeni

t&i > 0 , os i > 0 , a ?3 > 0 , #4 > 0 , x b > 0 leży jeden tylko punkt kratowy.

T w ierdzenie 12. Istnieją wartości własne o dowolnej krotności w przy­

padku 2 , 3 , 4 i n-wymiarowym.

D o wód. Wiadomo [4], że istnieją liczby naturalne rozkładalne na z góry daną ilość N różnych rozkładów na sumę dwóch kwadratów liczb naturalnych. To samo twierdzenie przenosi się również na dowolną ilość w-ymiarów. Istotnie, dodając do liczby naturalnej, rozkładalnej na N różnych rozkładów na sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych, kwadrat dowolnej liczby naturalnej, otrzymujemy liczbę naturalną, która roz­

kłada się na sumę kwadratów trzech liczb naturalnych, na co najmniej N różnych sposobów.

Analogicznie postępujemy w przypadku więcej wymiarowym.

Prace cytowane

[1] M. K r z y ż a ń s k i, Równania różniczkowe cząstkowe, cz. I I (w druku).

[2] F. P o c k e ls , tJber die Partielle Differentialgleichung Au-\-k2u — 0, Leipzig 1891.

[3] В. R ie m a n n , Partielle Differentialgleichungen, Braunschweig 1882.

[4] W. S ie r p iń s k i, Teoria liczb, cz. I , wyd. 3, Warszawa - Wrocław 1950, Teoria liczb, cz. I I , Warszawa 1959.

E. Сливински (Краков)

О НЕКОТОРОЙ ЗАДАЧЕ КАСАЮЩЕЙСЯ КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Р Е З ЮМЕ

Автор исследует собственные значения и собственные функции уравнения (1) Au-j-Zu — О, Я — действительный параметр,

в квадрате

(

О < у < те при условии Дирихле

(3) и = 0 на -^(.Ж^-

Применяя некоторые теоремы теории чисел, автор доказывает следующие теоремы:

ТЕОРЕМЫ 1 и 4 .

Существует, бесконечная последовательность собственных зна­

чений по крайней мере трехкратных и при каждом натуралыюм п такаяже после­

довательность собственных значений п-кратных.

ТЕОРЕМА 2 .

Существует бесконечная последовательность собственных значений диагональных однократных.

Т

3 . Максимальное количество узловых областей в квадрате К для соб­

ственных функций принадлежащих к собственным диагональным значениям дости­

гаешься собственной функцей

Нтт(я,у) = sin тх sin ту и равно т2.

Во второй части работы автор доказывает теоремы касающиеся простран­

ства 3 и 4-мерного.

В пространстве пяти*и более измерений справедлива

ТЕОРЕМА 1 0 .

Все диагональные собственные значения, кроме первой, много­

кратные.

40 E. Śliwiński

E. Ś

(Kraków)

ON A PROBLEM CONCERNING THE MULTIPLICITY OF THE EIGENVALUES OF DIRICHLET’S BOUNDARY PROBLEM FOR HELMHOLTZ’S EQUATION

S U M M A R Y

The author investigates the problem of the eigenvalues and the eigenfunctions for the equation

(1) ^1ад+Аад = 0 (A a real parameter) in the square

1 ⁰

0 < у < n with Dirichlet’s condition

(3) ад = 0 on ^ ( K ) .

Making use of the theory of numbers, the author proves the following theo­

rems:

Th e o r e m s 1 a n d 4 .

There exists an infinite sequence of at least triple eigenvalues and a similar sequence of multiple eigenvalues.

Th e o r e m 2 .

There exists an infinite sequence of diagonal single eigenvalues.

Th e o r e m 3 .

The maximal number of the knot domains for the eigenfucntions belonging to a diagonal eigenvalue is the greatest for the eigenfunction

« ш (x, y) = sin mx sin my and amounts m2.

In the second part of the paper the author proves some analogical theorems for the 3 and 4 dimensional space.

In the 5 and more-dimensional spaces holds the following

T

10. A ll the diagonal eigenvalues but the first are multiple.