11. CZWÓRNIKI – KLASYFIKACJA, RÓWNANIA 11.1.

11. CZWÓRNIKI – KLASYFIKACJA, RÓWNANIA 11.1.

WIELOBIEGUNNIK A WIELOWROTNIK I CZWÓRNIK

Definicja1.

Jeśli: wielobiegunnik posiada parzystą liczbę zacisków (tzn. m=2n) zgru- powanych w n par

i dla każdej pary zacisków zachodzi związek (warunek regularności)

k

k I

I _' = − (11.1)

to: - każdą tak określoną parę zacisków nazywamy "bramą", "wrotami";

- napięcie na bramie określone jest odpowiednią różnicą napięć zaci- skowych tworzących tę bramę;

- wielobiegunnik nazywamy wówczas WIELOWROTNIKIEM bądź WIELOBRAMNIKIEM.

Definicja 2.

Czwórnikiem (dwubramnikiem, dwuwrotnikiem) nazywamy wielowrotnik, dla którego 2n=4, czyli n=2.

m= n2

1

n

I ₁ I _1’

I _n’

I _n

U ₁₀ U _1’0

U _n’0 U _n0

1’

n’

0 U ₁

2n I ₁

I _1’

I _n I _n’

U ₁

U _n

I ₁

I_1’

U ₁

I ₂

I _2’

n=2 _U

...

2

...

U _n

1

1’

2

n 2’

n’

1

1’

Wyodrębnienie z klasy wielobiegunników wielowrotników a z ich zbioru czwórników

Każdy wielowrotnik a zatem i czwórnik można opisać wektorem napięć i prądów związanych z jego wrotami i tak:

dla wielowrotnika

[

^I₁^,I₂^,....,I_n

]

^T

=

I , ^{U =}

[

^U₁^,U₂^,....,U_n

]

^{T (11.2)}

dla czwórnika

[

^I₁^,I₂

]

^T

=

I , ^{U =}

[

^U₁^,U₂

]

^{T (11.3)}

Przyjęte założenia pozwalają przedstawić czwórnik następująco

1

1’

2

2’

I ₁ U ₁

I₂

SLS

_U

2

2’

Para zacisków 1-1’ – wrota pierwotne 2-2’ – wrota wtórne

Granicznymi stanami pracy każdej z bram są:

• stan jałowy – gdy prąd danej bramy jest równy zeru (I₁=0 lub I₂=0)

• stan zwarcia – gdy napięcie danej bramy jest równe zeru (U₁=0 lub U₂=0)

11.2.

PODSTAWOWE RÓWNANIA (ZACISKOWE) CZWÓRNIKA Równaniami czwórnika nazywamy zależności wiążące ze sobą WIELKOŚCI ZACISKOWE, a więc prąd i napięcie wejściowe (I1, U1) oraz prąd i napięcie wyjściowe (I2, U2).

Spośród czterech wielkości zaciskowych tylko dwie mogą być przyję- te jako niezależne, a dwie pozostałe jako zależne. Para wielkości niezależ- nych może być wybrana na sześć różnych sposobów, czwórnik można zatem opisać jednym z sześciu rodzajów równań zaciskowych.

Para wielkości zaciskowych

ZALEŻNYCH NIEZALEŻNYCH RODZAJ RÓWNAŃ 1. I1, I2

U

₁

, U

₂ ADMITANCYJNE

2. U₁, U₂

I

1

, I

2 IMPEDANCYJNE 3. U1, I2

I

₁

, U

₂ ^HYBRYDOWE

4. I1, U2

U

₁

, I

₂ HYBRYDOWE ODWROTNE 5. U1, I1

U

2

, I

2 ŁAŃCUCHOWE

6. U2, I12

U

1

, I

1 ŁAŃCUCHOWE ODWROTNE

1. RÓWNANIA ADMITANCYJNE CZWÓRNIKA

Przyjmujemy, że wielkościami niezależnymi są napięcia: pierwotne U1 oraz wtórne U2. Odpowiada to następującemu sposobowi pobudzenia czwórnika

I ₁ U ₁

I ₂ CZWÓRNIK U ₂

1

1’

2

2’

I ₁₁ U ₁

I ₂₁ CZWÓRNIK

1

1’

CZWÓRNIK U ₂

2

2’

I₁₂ I ₂₂

=

+

⎭⎬

⎫ +

= +

=

22 21

2

12 11

1

I I

I

I I

I

gdzie: I₁₁ = y₁₁U₁ I₁₂ = y₁₂U₂

21 1

21 y U

I = I₂₂ = y₂₂U₂

Zatem równania admitancyjne czwórnika otrzymuje się jako:

⎪⎭

⎪⎬

⎫ +

=

+

=

22 2 21 1

2

12 2 11 1

1

U y U y I

U y U y

I (11.4)

⎪⎭

⎪⎬

⎫ +

=

+

=

22 2 21 1

2

12 2 11 1

1

U y U y I

U y U y

I (11.4)

lub w postaci macierzowej

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

2 1 2

1 22

21

12 11

2 1

U U U

U y

y

y y

I

I Y (11.5)

Elementy macierzy admitancyjnej Y nazywamy parametrami ad- mitancyjnymi czwórnika - można je wyznaczyć z układu równań 11.4 (jako stosunki prądów zaciskowych do napięć zaciskowych przy zwarciu jednej z par zacisków):

1 0 1 11

2=

= U U

y I

admitancja dwójnika 1-1’ (od P)

2 0 1 12

1=

= U U

y I

admitancja wzajemna od W do P

1 0 2 21

2=

= U U

y I

admitancja wzajemna od P do W

2 0 2 22

1=

= U U

y I

admitancja dwójnika 2-2’ (od W) I ₁

U ₁

I₂ CZWÓRNIK

1

1’

2

2’

I ₁

U₂ I ₂

CZWÓRNIK

1

1’

2

2’

Model obwodowy (schemat zastępczy) czwórnika dla równań (11.4/5)

I ₁

U ₁

I ₂

U₂ y₁₁

y₁₂U₂ y₂₂

y₂₁U₁

2. RÓWNANIA IMPEDANCYJNE CZWÓRNIKA

Przyjmujemy, że wielkościami niezależnymi są prądy I1 oraz I2. Od- powiada to następującemu sposobowi pobudzenia czwórnika

I ₁ U ₁ CZWÓRNIK U ₂ I ₂

1

1’

2

2’

CZWÓRNIK

1

1’

CZWÓRNIK

2

2’

=

+

I ₁ U ₁₁ U ₂₁ U₁₂ U ₂₂ I₂

⎭⎬

⎫ +

=

+

=

22 21

2

12 11

1

U U

U

U U

U

gdzie: U₁₁ = z₁₁I₁ U₁₂ = z₁₂I₂

1 21

21 z I

U = U₂₂ = z₂₂I₂

Zatem równania impedancyjne czwórnika otrzymuje się jako:

⎭⎬

⎫ +

=

+

=

2 22 1

21 2

2 12 1

1 11

I z I z U

I z I z

U (11.6)

lub w postaci macierzowej

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

2 1 2

1 22

21

12 11

2 1

I I I

I z

z

z z

U

U Z (11.7)

gdzie Z nazywamy macierzą impedancyjną czwórnika.

Elementami macierzy impedancyjnej (parametrami impedancyjny- mi) są w ogólnym przypadku liczby zespolone mające wymiar impedancji [Ω]. Można je wyznaczyć z równań 11.6 jako stosunki napięć zacisko- wych do prądów zaciskowych przy rozwarciu jednej z par zacisków:

o I

I Z

z U ₁

1 0 11 1

2

=

=

=

impedancja dwójnika 1-1’ (od P) impedancja wejściowa pierwotna

rozwarciowa

2 0 12 1

1=

= I I

z U

impedancja wzajemna od W do P

1 0 21 2

2=

= I I

z U

impedancja wzajemna od P do W

o I

I Z

z U ₂

2 0 22 2

1

=

=

=

impedancja dwójnika 2-2’ (od W) impedancja wejściowa wtórna roz-

warciowa I ₁

U ₁

I ₂

=0

CZWÓRNIK

1

1’

2

2’

U₂

I ₁

=0

U ₁

I ₂

1

1’

2

2’

U₂ CZWÓRNIK

Model obwodowy (schemat zastępczy) czwórnika dla równań (11.6/7)

⎭⎬

⎫ +

= +

=

2 22 1

21 2

2 12 1

11 1

I z I z U I

z I z U

I ₁

U ₁

I ₂

U₂ z₁₁

z₁₂I₂

z₂₂ z₂₁I₁

3. RÓWNANIA HYBRYDOWE (szeregowo-równoległe)

Jeśli przyjmiemy, że wielkościami niezależnymi jest prąd pierwotny I1 oraz napięcie wtórne U2 - otrzymamy równania hybrydowe (miesza- ne) czwórnika:

⎭⎬

⎫ +

=

+

=

2 1 22

2 21

2 1 12

11 1

U h I h I

U h I h

U (11.8)

lub w postaci macierzowej

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

2 1 2

1 22

21

12 11

2 1

U I U

I h

h

h h

I

U H (11.9)

gdzie H nazywamy macierzą hybrydową czwórnika.

Model obwodowy czwórnika dla równań (11.8) I ₁

U ₁

h₁₁ h₁₂U₂

I ₂

U₂ h₂₂

h₂₁I₁

1 0 11 1

2=

= I U

h U [Ω]

2 0 12 1

1=

= U I

h U [-]

1 0 21 2

2=

= I U

h I [-]

2 0 22 2

1=

= U I

h I [S]

4. RÓWNANIA HYBRYDOWE ODWROTNE (równoległo-szeregowe)

Jeśli przyjmiemy, że wielkościami niezależnymi jest napięcie pier- wotne U1 oraz prąd wtórny I2 - otrzymamy równania hybrydowe od- wrotne (mieszane odwrotne) czwórnika:

⎪⎭

⎪⎬

⎫ +

=

+

=

22 2 21 1

2

12 2 11 1

1

I g U g U

I g U g

I (11.10)

lub w postaci macierzowej

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

2 1 2

1 22

21

12 11

2 1

I U I

U g

g

g g

U

I G (11.11)

gdzie G nazywamy macierzą hybrydową odwrotną czwórnika.

Schemat zastępczy czwórnika I ₁

U ₁ g₁₁

g₁₂I₂

I ₂

U₂ g₂₂

g₂₁U₁

1 0 1 11

2=

= U I

g I [S]

2 0 1 12

1=

= I U

g I [-]

1 0 2 21

2=

= U I

g U [-]

2 0 2 22

1=

= I U

g U [Ω]

5. RÓWNANIA ŁAŃCUCHOWE CZWÓRNIKA

Równaniami łańcuchowymi opisujemy czwórnik wówczas, gdy zna- na jest para wielkości elektrycznych związanych z bramą wtórną [U₂, I₂] a poszukujemy wielkości elektrycznych związanych z bramą pier- wotną [U₁, I₁].

I ₁ U ₁

(- I ₂

)

1

1’

2

2’

U ₂

kierunek transmisji

( )

(

−

)

_⎭^⎬⎫

+

=

− +

=

2 22 2

21 1

2 12 2

11 1

I a

U a I

I a

U a

U (11.12)

lub w postaci macierzowej

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⋅ −

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⋅ −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

2 2 2

2 22

21

12 11

1 1

I U I

U a

a

a a

I

U A (11.13)

gdzie A nazywamy macierzą łańcuchową czwórnika a jej elementy pa- rametrami łańcuchowymi czwórnika (są one stosunkami wielkości zaci- skowych pierwotnych do wtórnych, określonymi przy rozwarciu lub zwar- ciu zacisków wtórnych)

2 0 11 1

2=

= U I

a U [-]

2 0 12 1

2=

= − I U

a U [Ω]

2 0 21 1

2=

= U I

a I [S]

2 0 22 1

2=

= − I U

a I [-]

6. RÓWNANIA ŁAŃCUCHOWE ODWROTNE

Jeśli znane są wielkości związane z bramą pierwotną [U₁, I₁] a po- szukujemy związanych z bramą wtórną [U₂, I₂], to równania typu (11.12) przyjmują postać

(- I ₁

)

U ₁

I ₂

1

1’

2

2’

U ₂

kierunek transmisji

( )

(

⁻

)

_⎭^⎬⎫

+

=

− +

=

22 1 1

2 21

1 12 1

11 2

I b

U b I

I b

U b

U (11.14)

lub w zapisie macierzowym

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⋅ −

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⋅ −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

1 1 1

1 22

21

12 11

2 2

I U I

U b

b

b b

I

U B (11.15)

gdzie B nazywamy macierzą łańcuchową odwrotną czwórnika a jej elementy parametrami łańcuchowymi odwrotnymi czwórnika (są one stosunkami wielkości zaciskowych wtórnych do pierwotnych, określonymi przy rozwarciu lub zwarciu zacisków pierwotnych)

1 0 11 2

1=

= U I

b U [-]

1 0 12 2

1=

= − I U

b U [Ω]

1 0 21 2

1=

= U I

b I [S]

1 0 22 2

1=

= − I U

b I [-]

PRZYKŁAD 11.1 Wyznaczyć parametry łańcuchowe czwórnika.

Z

₁

U

₁

Z

₃

Z

₂

U

₂

I

₁

I

₂ Dane:

Z1=j10Ω, Z₂=5Ω, Z3=j10Ω.

Równania łańcuchowe (11.12):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− +

=

− +

=

) (

) (

2 22

2 21 1

2 12

2 11 1

I a

U a I

I a

U a U

Wprowadzamy I^|₂ = −I₂

•

^|₂ 0

2

11 = 1 gdy I = U

a U

Z

₁

U

₁

Z

₂

U

₂

2 1 1

2 2 U

Z Z U Z

= +

[ ]

⁻

+

= +

+ =

= +

= 1 1 2

2 1 2

2 1 2 1

1 2

11 1 j

Z Z Z

Z Z Z U

Z Z a U

•

_{| 2} ⁰

2

12 = 1 gdyU = I

a U

Z

₁

U

₁

Z

₃

Z

₂

I

₁

I

₂^|

z dzielnika prądu:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= + ⇒

=

2

| 3 2 2

3

| 2 1 2 3 1

2

| 2

2 1

Z I Z

Z Z I Z

I Z I

Z I Z

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= +

=

2 1 3

|2

| 3 1 2 1

| 3

1 2 1

Z Z Z

I Z I Z I Z I U

(

20 20

) [ ]

Ω 1

2 3 3 1

| 1 2

2 1 3

|2

| 3 2

12 j

Z Z Z Z

I Z

Z Z Z

I Z I

a ⎟⎟ = + + = − +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

=

•

^|₂ ⁰

2

21 = 1 gdy I = U

a I

[ ]

^S

Z Z

I

a I 1 0,2

2 2

1

21 = 1 = =

Z

₁

U

₁

Z

₂

U

₂

I

₁

2 1

2 I Z

U =

•

_{| 2} 0

2

22 = 1 gdyU = I

a I

[ ]

⁻

+

= +

= +

= 1 1 2

2 3 2 1

22 1 j

Z Z Z I

Z Z a I

11.3.

KLASYFIKACJA CZWÓRNIKÓW

Czwórnik pasywny i aktywny

Czwórnik nazywamy pasywnym, jeżeli przy początkowej energii zgromadzonej w układzie równej zeru, całkowita energia dostarczona do niego jest nieujemna:

∫

^{t u i +u i d ≥}

0

2 2 1

1( ) ( ) ( ) ( )] 0

[ τ τ τ τ τ (11.16)

Niespełnienie tego warunku oznacza aktywność czwórnika.

W stanie ustalonym przy wymuszeniach harmonicznych:

• czwórnik jest PASYWNY jeśli moc czynna pobierana przez wrota czwórnika jest nieujemna dla każdej pary napięć i prądów zacisko- wych

( ) (

^Re

)

⁰

Re U₁I₁^* + U₂ I^*₂ ≥ (11.17)

• czwórnik jest AKTYWNY, jeśli istnieją takie wartości napięć i prą- dów zaciskowych, dla których pobierana przez wrota moc czynna jest ujemna

( ) (

^Re

)

⁰

Re U₁I₁^* + U₂ I^*₂ < (11.18) Czwórnik prawidłowy i nieprawidłowy

Czwórnik klasy SLS nazywamy czwórnikiem prawidłowym, jeśli po- siada wszystkie macierze charakterystyczne.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym prawidłowości czwórnika jest aby dowolna z jego macierzy charakterystycznych była nieosobliwa, a wszystkie jej elementy były różne od zera. Macierze Y , Z oraz H , G są parami macierzami odwrotnymi:

Z·= Y

^-1

; G = H

^-1 (11.19)

Czwórnik nazywamy nieprawidłowym (zdegenerowanym), jeśli po- siada nie więcej niż pięć i nie mniej niż dwie macierze charakterystyczne.

Czwórnik, który posiada wyłącznie jedną macierz nazywamy zerowym.

Czwórnik bilateralny, unilateralny i nielateralny

Ze względu na zdolność do przesyłania sygnałów w obu lub jednym kierunku, czwórnik nazywamy:

¾ BILATERALNYM – jeśli posiada obydwie macierze łańcucho- we ( A i B ) - co oznacza możliwość przesy- łania sygnałów w obie strony.

¾ UNILATERALNYM – jeśli posiada tylko jedną macierz łańcu- chową ( A lub B ):

• gdy istnieje tylko macierz A – to czwórnik ma zdolność przesyłania sy- gnałów od zacisków pierwotnych do wtórnych;

• gdy istnieje tylko macierz B – to czwórnik ma zdolność przesyłania sy- gnałów od zacisków wtórnych do pier- wotnych.

¾ NIELATERALNYM – jeśli nie posiada żadnej macierzy łańcu- chowej - co oznacza niezdolność do przesy- łania sygnałów.

Czwórnik odwracalny i nieodwracalny

Czwórnik, który spełnia zasadę wzajemności nazywamy czwórnikiem ODWRACALNYM lub inaczej ENERGETYCZNIE SYMETRYCZNYM.

Zgodnie z zasadą wzajemności warunki odwracalności czwórnika można wyrazić za pomocą elementów macierzy charakterystycznych:

Macierz Y Z A B H G

Czwórnik

odwracalny y12= y21 z12= z21 detA=1 detB=1 h12= - h21 g12= - g21

Czwórnik, który nie spełnia zasady wzajemności jest czwórnikiem nieodwracalnym.

Czwórnik symetryczny i niesymetryczny Czwórnik, który spełnia zasadę wzajemności a ponadto

zamiana miejscami wrót wejściowych z wyjściowymi tego czwórnika nie powoduje żadnych zmian wielkości elek- trycznych zaciskowych,

nazywamy

CZWÓRNIKIEM SYMETRYCZNYM lub inaczej

IMPEDANCYJNIE SYMETRYCZNYM.

Konsekwencją symetryczności czwórnika są szczególne własności je- gomacierzy charakterystycznych:

Macierz Y Z A B H G

y12= y21 z12= z21 detA=1 detB=1 h12= - h21 g12= - g21

Czwórnik symetryczny

y11= y22 z11= z22 a11= a22 b11= b22 detH=1 detG=1 UWAGA: nie każdy czwórnik odwracalny jest symetryczny - warunkiem koniecznym

symetryczności czwórnika jest jego odwracalność.