7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH 7.1. ZJAWISKO REZONANSU

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH 7.1. ZJAWISKO REZONANSU

Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazy- wane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi.

Rozpatrując bezźródłowy obwód elektryczny, przedstawiony schema- tycznie na rys.7.1. jako dwójnik.

Rys. 7.1. Rozpatrywany dwójnik

jX R I Z

U = = +

jB G Z

Y = /1 = +

Zjawisko rezonansu przedstawia taki stan pracy obwodu elektrycz- nego, przy którym reaktancja wypadkowa X lub susceptancja wy- padkowa B obwodu jest równa zeru

Warunkiem rezonansu jest

( )

= Z

X (7.1)

lub B =Im

( )

Częstotliwość (pulsacja), przy której reaktancja wypadkowa lub su- sceptancja wypadkowa obwodu jest równa zeru nazywana jest częstotliwo- ścią (pulsacją) rezonansową.

Obwód elektryczny osiąga stan rezonansu, jeśli częstotliwość dopro- wadzonego sygnału sinusoidalnego jest równa częstotliwości rezonanso- wej obwodu.

Ponieważ kąt ϕ przesunięcia fazowego między napięciem U i prądem I jest równy

• argumentowi impedancji Z, przy czym

( )

arctg X Z =

= arg

ϕ (7.3)

• argumentowi admitancji Y wziętemu ze znakiem przeciwnym, przy lub czym

( )

arctg B Y = −

−

= arg

ϕ ; (7.4)

stąd

ϕ = 0 dla X = 0 lub B = 0 Oznacza to, że

zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan pracy obwodu elektrycz- nego, przy którym prąd i napięcie na jego zaciskach są ze sobą w fa- zie (a argument impedancji lub admitancji obwodu jest równy zeru)

Impedancja Z obwodu w stanie rezonansu równa się rezystancji ob- wodu

( )

Z = Re = , (7.5)

a jego admitancja Y , jest równa konduktancji G

( )

Y = Re = . (7.6)

Rezonans występujący w obwodzie, w którym elementy R, L, C połą- czone są szeregowo, nazywamy rezonansem napięć lub rezonansem sze- regowym.

Rezonans występujący w obwodzie, w którym połączone są równole- gle gałęzie R, L oraz R, C lub gałęzie R, L, C nazywamy rezonansem prą- dów lub rezonansem równoległym.

7.2. REZONANS NAPIĘĆ

PODSTAWOWE ZALEŻNOŚCI

Rozważając obwód składający się z elementów R, L i C połączonych szeregowo (rys.7.2) - zakłada się, że przyłożone napięcie jest sinusoidalnie zmienne o symbolicznej wartości skutecznej U i o pulsacji ω = 2πf.

R L C

Rys. 7.2

Dla rozpatrywanego obwodu słuszne są zależności

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−

=

=

=

I jX U

I jX U

I R U

C C

L L

R

(7.7)

( )

[

]

(

)

U U

U

U = _R + _L + _C = + _L − _C = + = (7.8)

Impedancja obwodu wynosi

( )

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

=

− +

= +

= R jX R j X X R j L C

Z _{L C}

ω ω¹ . (7.9)

Warunkiem rezonansu (7.1) jest to, aby X=0, czyli XL=XC lub L C

ω = ω¹ . (7.10)

Pulsację rezonansową ωr obwodu szeregowego RLC znajduje się z powyższego równania, otrzymując

r LC

= 1

ω _{, (7.11)}

stąd częstotliwość rezonansowa f wynosi f = 1 . (7.12)

Jeżeli częstotliwość źródła napięcia zasilającego jest równa częstotli- wości rezonansowej obwodu (f = fr) to obwód jest w stanie rezonansu sze- regowego i wówczas:

• impedancja obwodu jest równa rezystancji (impedancja osiąga wartość minimalną)

R

Z = ; (7.13)

• napięcie na rezystancji obwodu jest równe napięciu przyłożone- mu do obwodu

U

U_R = ; (7.14)

• suma geometryczna napięć na indukcyjności i pojemności obwo- du jest równa zeru

= 0 + _C

L U

U ; (7.15)

• napięcie na indukcyjności jest co do modułu równe napięciu na pojemności

C

L U

U = ; (7.16)

• wobec X=0, prąd w obwodzie osiąga wartość maksymalną R

I =U ; (7.17)

• kąt przesunięcia fazowego między przyłożonym napięciem a prądem jest równy zeru

=0

ϕ . (7.18)

Wykres wskazowy prądu i napięć dla obwodu szeregowego RLC w stanie rezonansu - rys.7.3.

Rys. 7.3.

Ze względu na równość modułów na- pięć na elementach reaktancyjnych i fakt, że mogą być one wielokrotnie większe od modułu napięcia przyło- żonego - rezonans w rozpatrywanym obwodzie nazywamy rezonansem napięć.

Parametrem, który wskazuje ile razy napięcie na indukcyjności lub pojemności jest większe od napięcia na zaciskach obwodu w stanie rezo- nansu jest dobroć Q.

W rozpatrywanym obwodzie szeregowym, w stanie rezonansu dobroć definiuje się jako stosunek modułu napięcia na elemencie reaktancyjnym (kondensatorze lub cewce) do modułu napięcia na rezystancji, czyli

RC R

L U

U U

Q U

r r

R C R

L

ω ω = 1

=

=

= . (7.19)

Uwzględniając wzór na pulsację rezonansową (7.11), dobroć przedstawia się jako

R R

C L Q _{= =} ρ

, (7.20)

gdzie ρ jest reaktancją charakterystyczną obwodu (reaktancją induk- cyjną lub pojemnościową obwodu przy częstotliwości rezonansowej)

C L L C

r

r = =

=ω ω

ρ ¹ . (7.21)

Moduły napięć na elementach reaktancyjnych obwodu w stanie rezo- nansu można opisać następującą zależnością

U Q R U

R U C

L R

U U C

R LU U

r C

r

L = = = = = ρ =

ω ω¹ , (7.22)

Z powyższego równania wynika, iż dobroć jest miarą przepięcia występu- jącego w obwodzie w stanie rezonansu (napięcie na indukcyjności lub po- jemności jest Q razy większe od napięcia na zaciskach obwodu).

STROJENIE SZEREGOWEGO OBWODU RLC DO REZONANSU Na podstawie równania (7.10) można stwierdzić, że rezonans w szere- gowym obwodzie RLC uzyskuje się przez:

• regulację pulsacji ω (częstotliwości) źródła napięcia zasilającego (generatora)

• regulację indukcyjności L bądź pojemności C.

W pierwszym przypadku mówi się o strojeniu generatorem. Dotyczy on sytuacji, w której zmienia się wartość częstotliwości f napięcia zasilają- cego, tak aby zrównała się ona z daną częstotliwością rezonansową obwo- du f_r - określoną przez wartości parametrów obwodu (L oraz C) zgodnie z zależnością (7.12).

W przypadku drugim, nazywanym strojeniem obwodu, zmienia się wartość częstotliwości rezonansowej obwodu fr tak aby zrównała się z da- ną częstotliwością f napięcia zasilającego. Zmianę częstotliwości rezonan- sowej obwodu dokonuje się poprzez zmianę wartości indukcyjności L, a stan rezonansu uzyskuje wówczas dla

2

4 2

1 f L C

= π (7.23)

lub pojemności C - stan rezonansu uzyska się gdy

2

4 2

1 f C L

= π . (7.24)

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE I KRZYWE REZONANSOWE SZEREGOWEGO OBWODU RLC

Charakterystyki częstotliwościowe określają zależność parame- trów wtórnych obwodów (impedancji, reaktancji itd.) od częstotliwości (lub pulsacji).

Wykresy zależności wartości skutecznych napięć i prądów obwo- dów rezonansowych od częstotliwości (lub pulsacji) noszą nazwę krzy- wych rezonansowych.

Dla szeregowego obwodu rezonansowego RLC można określić nastę- pujące charakterystyki częstotliwościowe:

• charakterystykę reaktancji indukcyjnej obwodu

( )

X_L ω =ω ; (7.25)

• charakterystykę reaktancji pojemnościowej obwodu

( )

X_C

ω = ω¹ ; (7.26)

• charakterystykę reaktancji wypadkowej obwodu

( )

X ω =ω −ω¹ ; (7.27)

• charakterystykę impedancji (modułu impedancji) obwodu

( )

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

= R L C

Z ω ω ω ; (7.28)

• charakterystykę kąta przesunięcia fazowego (argumentu impedancji) obwodu

( )

L C arctgω ω ω

ϕ

− 1

= . (7.29)

Na rysunku 7.4 przedstawiono przykładowe przebiegi wymienionych wyżej charakte- rystyk. Wynika z niego, że

R

ω_r X( )ω

X ( )_L ω X ( )C ω

ω

0 ω_r ω

π/2

-π/2

Z( )ω

ϕ

a)

b)

Rys. 7.4.

Dla pulsacji mniejszych od pulsacji rezonansowej, re- aktancja wypadkowa i kąt przesunięcia fazowego ob-

wodu są mniejsza od zera

W miarę zbliżania się do pulsacji rezonansowej, mo-

duł impedancji obwodu maleje do wartości mini- malnej (do wartości rezy-

stancji R obwodu),

Dla pulsacji większych od pulsacji rezonansowej, re- aktancja wypadkowa i kąt przesunięcia fazowego ob-

wodu są większe od zera

– obwód ma charakter pojemnościowy.

natomiast argument impe- dancji (kąt przesunięcia fazowego) obwodu zbliża

się do zera.

– obwód ma charakter indukcyjny.

W przypadku obwodu szeregowego RLC rozważa się na ogół następu- jące krzywe rezonansowe:

• krzywą rezonansową prądu

( )

2 1

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

=

L C R

I U

ω ω

ω ; (7.30)

• krzywe rezonansowe napięć na elementach obwodu, jako:

( ) ( )

2

2 1

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

=

=

L C R

U I R

R U_R

ω ω ω

ω , (7.31)

( ) ( )

2

2 1

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

=

=

L C R

U I L

L U_L

ω ω ω ω

ω

ω , (7.32)

( ) ( )

2

2 1

1

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

=

=

L C R

C I U

U_C C

ω ω ω

ω ω

ω . (7.33)

U

ω_r ω

U ( )R ω ω _Cmax

QU U_Lmax=U_Cmax

U ( )_C ω U ( )L ω

ω _Lmax

Rys. 7.5.

Wartość skuteczna napięcia na indukcyjności osiąga maksimum po rezonansie, zaś napięcie na pojemności osiąga maksimum przed rezonan- sem (rys.7.5).

Napięcie na indukcyjności osiąga wartość maksymalną przy pulsacji ω_Lmax równej

r r

L

Q

ω ω

ω >

−

=

2 max

2 1 1

1 , (7.34)

natomiast napięcie na pojemności dla pulsacji ωCmax wynoszącej

r r

C ω Q ω

ω _max = − ₂ <

2

1 1 . (7.35)

Obie wartości maksymalne napięć są sobie równe QU U

Q U Q

U_{L C} >

−

=

=

2 max

max

4 1 1

(7.36)

i są większe od wartości QU w stanie rezonansu.

PASMO PRZEPUSTOWE SZEREGOWEGO OBWODU REZONANSOWEGO

W przypadku obwodów rezonansowych za pasmo przepustowe (pa- smo przenoszenia) przyjmuje się z reguły tzw. trzydecybelowe (3-dB) pa- smo przepustowe.

Pasmem przepustowym 3-dB szeregowego obwodu rezonansowego nazywa się przedział pulsacji, dla których wartość skuteczna I prądu w obwodzie (przy założonej stałej wartości skutecznej napięcia przyłożonego do obwodu) maleje nie więcej niż 2-krotnie w stosunku do wartości sku- tecznej Ir prądu w rezonansie, tzn. dla których spełniona jest nierówność

( )

2

≥ 1 Ir

I ω

. (7.37) Dla pulsacji granicznych (dolnej ωd i górnej ωg) spełniona jest równość

( )

( )

I I

ω

ω ^{. (7.38)}

Bardzo ważnym parametrem obwodu rezonansowego charakteryzują- cym jego właściwości selektywne jest szerokość pasma przepustowego, zdefiniowana jako

d g

S₍₃dB₎ =ω −ω . (7.39)

Parametr ten zależy od pulsacji rezonansowej i dobroci obwodu w na- stępujący sposób

S _{dB =} ωQ^r

) 3

( , (7.40)

podobnie zależność pasma przepustowego wyrażonego w hercach Q

S_p(3dB) = f^r . (7.41)

Wpływ dobroci na kształt krzywej rezonansowej prądu ilustrują wy- kresy przedstawione na rysunku 7.6. Wykreślono je przyjmując, że dobroć obwodu jest zmieniana tylko przez dobór indukcyjności L i pojemności C przy zachowaniu stałej pulsacji rezonansowej ωr.

Q ₁

ω Q_{1 2 3}< < Q Q I_r

I

ωr

Q ₂ Q 3

Rys. 7.6.

Dobroć Q jest pod- stawowym parame- trem obwodu rezo- nansowego decydu- jącym o jego jakości jako obwodu selek- tywnego.

7.3. REZONANS PRĄDÓW

PODSTAWOWE ZALEŻNOŚCI

Rozważając obwód składający się z elementów R, L i C połączonych równolegle (rys.7.7) - zakłada się, że przyłożone napięcie jest sinusoidal- nie zmienne o symbolicznej wartości skutecznej U i o pulsacji ω = 2πf.

R L C

Rys. 7.7

Dla rozpatrywanego obwodu słuszne są zależności

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

−

=

=

U jB I

U jB I

U G I

C C L L R

(7.42)

( )

[

]

(

)

I I I

I = _R + _L + _C = + _C − _L = + = (7.43)

Admitancja obwodu wynosi

( )

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

=

− +

= +

= G jB G j B B G j C L

Y _{C L}

ω ω¹ . (7.44)

Warunkiem rezonansu (9.1) jest to, aby B=0, czyli BC=BL lub C L

ω = ω¹ . (7.45)

Pulsację rezonansową ωr obwodu równoległego RLC znajduje się z powyższego równania, otrzymując

r LC

= 1

ω , (7.46/7.11)

stąd częstotliwość rezonansowa fr wynosi

f_r LC π 2

= 1 . (7.47/7.12)

Jeżeli częstotliwość źródła napięcia zasilającego jest równa częstotli- wości rezonansowej obwodu (f = fr) to obwód jest w stanie rezonansu równoległego i wówczas:

• admitancja obwodu jest równa konduktancji (admitancja osiąga wartość minimalną)

G

Y = ; (7.48)

• prąd w gałęzi rezystancyjnej jest równy prądowi obwodu I

I_R = ; (7.49)

• suma geometryczna prądów w gałęzi indukcyjności i pojemno- ściowejobwodu jest równa zeru

= 0 + _C

L I

I ; (7.50)

• prąd w gałęzi indukcyjnej jest co do modułu równy prądowi w gałęzi pojemnościowej

C

L I

I = ; (7.51)

• wobec B=0, prąd w obwodzie osiąga wartość minimalną G

U

I = ; (7.52)

• kąt przesunięcia fazowego między przyłożonym napięciem a prądem jest równy zeru

=0

ϕ . (7.53)

Wykres wskazowy napięcia i prądów dla obwodu równoległego RLC w stanie rezonansu - rys.7.8.

Ze względu na równość modułów prądów w gałęziach reaktancyjnych i fakt, że mogą być one wielokrotnie większe od modułu prądu dopływa- jącego do obwodu - rezonans w roz- patrywanym obwodzie nazywamy rezonansem prądów

Parametrem, który wskazuje ile prąd w gałęzi z indukcyjnością lub pojemnością jest większy od prądu dopływającego do obwodu w stanie rezonansujest dobroć Q.

W rozpatrywanym obwodzie równoległym, w stanie rezonansu dobroć definiuje się jako stosunek modułów prądu w elemencie reaktancyjnym (kondensatorze lub cewce) do prądu w gałęzi z rezystorem, czyli

G C LG

I I I

Q I ^r

r R

C R

L ω

ω ⁼

=

=

= ¹ . (7.54)

Uwzględniając wzór na pulsację rezonansową (7.46), dobroć przedstawia się jako

ρ R C

L

Q = R = , (7.55)

gdzie ρ jest reaktancją charakterystyczną obwodu równoległego (reak- tancją indukcyjną lub pojemnościową obwodu przy częstotliwości rezo- nansowej), zdefiniowaną identycznie jak dla obwodu szeregowego (7.21).

Moduły prądów w elementach reaktancyjnych w stanie rezonansuopi- sać następującą zależnością

I Q R I

I C

L R R

I C L I

R

I I _{C r}

r

L = = = = = =

ω ρ

ω ^{, (7.56)}

Z powyższego równania wynika, iż dobroć jest miarą przetężenia występu- jącego w obwodzie w stanie rezonansu (prąd w gałęzi indukcyjnej lub po- jemnościowej jest Q razy większy od prądu dopływającego do obwodu).

STROJENIE OBWODU RÓWNOLEGŁEGO DO REZONANSU Na podstawie równania (7.46) - identycznie jak to miało miejsce w przypadku obwodu szeregowego - można stwierdzić, że w celu uzyskania rezonansu w obwodzie równoległym RLC należy dokonać strojenia gene- ratora (zmiana f) bądź strojenia obwodu (zmiana L lub C).

Przy strojeniu (zarówno obwodu szeregowego jak i równoległego) znamienne jest to, iż częstotliwość rezonansowa jest odwrotnie proporcjo- nalna do pierwiastka kwadratowego z indukcyjności lub pojemności:

L

f_r = k¹ (7.57)

lub C

f_r = k² (7.58)

gdzie k1 i k2 są wielkościami stałymi.

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE I KRZYWE REZONANSOWE RÓWNOLEGŁEGO OBWODU RLC

Charakterystyki częstotliwościowe:

• charakterystykę susceptancjiindukcyjnej obwodu

( )

B_L

ω = ω¹ ; (7.59)

• charakterystykę susceptancjipojemnościowej obwodu

( )

B_C ω =ω ; (7.60)

• charakterystykę susceptancjiwypadkowej obwodu

( )

B ω =ω −ω¹ ; (7.61)

• charakterystykę admitancji (modułu admitancji) obwodu

( )

Y ω ω ; (7.62)

• charakterystykę kąta przesunięcia fazowego (argumentu admitancji wziętego ze znakiem przeciwnym) obwodu

( )

C L arctgω ω ω

ϕ

− 1

−

= . (9.63)

Na rysunku 7.10 przedstawiono przykładowe przebiegi wymienionych wyżej charakterystyk. Wynika z niego, że

G

ω_r B( )ω

B ( )_L ω B ( )C ω

ω

0 ωr ω

π/2

-π/2

Y( )ω

ϕ

a)

b)

Rys. 7.10.

Dla pulsacji mniejszych od pulsacji rezonansowej: su- sceptancja wypadkowa jest

mniejsza od zera a kąt przesunięcia fazowego ob-

wodu jest większy od zera

w miarę zbliżania się do pulsacji rezonansowej, mo- duł admitancji obwodu ma- leje do wartości minimalnej

(do wartości konduktancji G obwodu),

Dla pulsacji większych od pulsacji rezonansowej, re-

aktancja wypadkowa jest większa od zera a kąt prze- sunięcia fazowego obwodu

jest mniejszy od zera – obwód ma charakter

indukcyjny.

natomiast kąt przesunięcia fazowego obwodu zbliża

się do zera.

– obwód ma charakter pojemnościowy.

W przypadku obwodu równoległego RLC, krzywe rezonansowe przedstawiają wartości skuteczne prądów występujących w obwodzie w funkcji pulsacji (lub częstotliwości). Jest to zatem

• zależność prądu obwodu od pulsacji

( ) ( )

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

=

=UY U G C L

I ω ω ω ω ; (7.64)

• zależność prądu w gałęzi indukcyjnej od pulsacji

( )

I_L U

ω = ω , (7.65)

• zależność prądu w gałęzi pojemnościowej od pulsacji

( )

I_C ω =ω . (7.66)

ωr ω

I =GU_R

I ( )C ω

I ( )_L ω I( )ω QI =QGU_R

Rys. 7.11.

Przy rezonansie prąd I dopływający do obwodu osiąga wartość mini- malną (rys.7.11), równą wartości prądu występującego w gałęzi rezystan- cyjnej (I = IR = GU). Oznacza to, że w przypadku bardzo małej konduk- tancji jest prawie równy zeru. Natomiast prądy w gałęziach reaktancyjnych są sobie równe i Q-krotnie większe od prądu dopływającego do obwodu.