BADANIE ZJAWISKA REZONANSU W OBWODZIE RLC

BADANIE ZJAWISKA REZONANSU W OBWODZIE RLC

I.

Cel ćwiczenia:

zapoznanie ze zjawiskiem rezonansu, z metodą pomiaru natężenia prą- du i różnicy faz oscyloskopem, wyznaczenie parametrów szeregowego obwodu RLC.

II.

Przyrządy: uzwojenie o nieznanej indukcyjności, kondensator o nieznanej pojem- ności, opornik dekadowy, generator o małej impedancji wyjściowej, oscyloskop z możliwością pracy XY.

III.

Literatura:

[

1] Ch. Kitel, Mechanika, rozdział 7, zad. 8, 9, 10, 14, 16 (oscylator harmoniczny, oscylator harmoniczny tłumiony)

[2] E.M. Purcell, Elektryczność i magnetyzm, rozdział 8.1, 8.2

[3] R. P. Feynman, wykłady z fizyki, tom I cz.1 rozdz.22-25 (rezonans w fizyce, metoda wielkości zespolonych, równania różniczkowe, układ liniowy).

IV. Wprowadzenie

Ze zjawiskiem rezonansu najłatwiej jest zapoznać się doświadczalnie w szeregowym obwo- dzie RLC, zasilając go z generatora o regulowanej w odpowiednim zakresie częstości, a badając za pomocą oscyloskopu umożliwiającego pracę w trybie XY (patrz rys.1).

Rys.1 Schemat układu do badania zjawiska rezonansu w szeregowym obwodzie RLC.

Za pomocą układu pomiarowego przedstawionego powyżej można wyznaczyć zależności:

1. modułu impedancji obwodu RLC od częstości,

2. amplitudy natężenia prądu od częstości (krzywa rezonansowa prądu), 3. różnicy faz natężenia prądu i napięcia w obwodzie RLC od częstości.

oraz wartości: częstości rezonansowej obwodu fo, współczynnika dobroci Q, parametrów R, L i C.

~

We Y „=”

L

C

We X „=”

R

V. Model matematyczny zjawiska rezonansu

Zgodnie z II prawem Kirchhoffa suma napięć chwilowych na poszczególnych elementach obwodu musi być równa sile elektromotorycznej (SEM) włączonej w obwód. Załóżmy, iż do układu przyłożono SEM o amplitudzie Eo, zmienną w czasie E(t) = Eo sin(ωt), gdzie ω jest często- ścią kątową. Oznaczając napięcia na elementach R, L, C odpowiednio przez U_R(t), U_L(t), U_C(t) otrzymamy równanie

E_o sin(ωt) = U_R(t) + U_L(t) + U_C(t) = RI + L

C Q

dtdI + (1)

gdzie I jest natężeniem prądu, a Q ładunkiem na kondensatorze. Po zróżniczkowaniu tego równa- nia względem czasu i uwzględnieniu związku I = dQ/dt uzyskujemy równanie różniczkowe rzędu drugiego

ωEocos(ωt) = I

C 1 dt RdI dt

I Ld ₂

2

+

+ (2)

którego rozwiązaniami są funkcje I(t) = Iosin(ωt+φ) i I(t) = Iocos(ωt+φ). Amplituda natężenia prą- du Io dana jest wzorem (Z − moduł impedancji)

Io =

2 2

o o

ωC) (ω 1

R E Z

E

− +

=

L

2 C L 2

o

) X (X R

E

−

= + (3)

a różnica faz φ prądu i SEM zależnością

tg(φ) =

R ωC ωL − 1

− (4)

gdzie ω = 2πf jest częstością kątową (pulsacją), f − częstością (częstotliwością), X_L − reaktancją cewki (induktancją), X_C − reaktancją kondensatora (kapacytancją)

Dla pewnej częstości kątowej ωo = 2πfo reaktancja cewki XL = ωL równa się reaktancji kondensatora XC = 1/ωC

ωoL = C ω

1

o

ωo = LC

1 (5)

fo =

LC 2π

1 (5a)

i moduł impedancji Z = Eo/Io osiąga minimum stając się równym oporowi rzeczywistemu R układu, a amplituda natężenia prądu przyjmuje wartość maksymalną równą Iomax = Eo/R, obwód znajduje się w stanie rezonansu.

Ważnym parametrem obwodu rezonansowego jest bezwymiarowy współczynnik dobroci Q, definiowany jako

Q = ωo

P E_z

(6)

gdzie E_z jest energią zmagazynowaną w obwodzie, a P średnią energią traconą w czasie jednego okresu. Korzystając z tej definicji i analizując szczegółowo obwód można wyprowadzić następu- jące wzory na dobroć obwodu RLC

Q = C

L R

1 (7)

Q =

1 2

o o

o

f f

f

∆f f

∆ω ω

= −

= (8)

Częstości f₁ i f₂ są takimi częstościami, dla których amplituda natężenia prądu przyjmuje wartość Iomax

/

². Różnicę f2 – f1 nazywamy zwykle pasmem przenoszenia obwodu. Wzór (8) jest szcze- gólnie wygodny, jeżeli chcemy wyznaczyć wartość dobroci układu o znanej krzywej rezonanso- wej.

Rys. 2 Krzywa rezonansowa układu RLC z zaznaczonymi częstotliwościami f₁ i f₂, dla których wartość amplitudy prądu jest równa Io max

////

2.

Amplitudy napięć na kondensatorze UoC i napięcie na indukcyjności UoL są, określone wzorami UoC = XCIo =

ωC

1 Io (9)

UoL = XLIo = ωLIo (10)

i osiągają wartości maksymalne U_oCmax i U_oLmax odpowiednio dla częstości f_oC i f_oL równych

foC =

2 Q 2 1 f

2 o

−

(11) foL = _o

2 1 f 2

−

(12)

6

f [Hz]

4

2

0

300 350 400 450 500 550 600 650

1 3 5

f1 f2

Io [mA]

2 I_{o max}

C = 0,1µF

L = 1H R = 200Ω

Częstości te spełniają relację f_oC < f_o < f_oL i są tym bliższe częstości rezonansowej f_o, im Q po- siada wyższą wartość.

Rys.3 Zależność modułu Z, oporu pojemnościowego XC i oporu indukcyjnego XL od częstości f.

Można wykazać (czego tutaj nie robimy), że w przybliżeniu zachodzi UoLmax = UoCmax ≈ QEo,

a zatem w stanie rezonansu amplitudy napięcia na kondensatorze i uzwojeniu mogą być wielo- krotnie większe od amplitudy siły elektromotorycznej E_o, co stanowi najistotniejszą cechę rezo- nansu. Poniżej (rys. 4, 5, 6) przedstawiono kilka zależności, które pozwolą lepiej zrozumieć istotę zjawiska rezonansu.

Rys.4 Zależność amplitudy natężenia prądu od częstości dla dwóch obwodów RLC różniących się f(Hz)

1000 2000 3000 4000 5000 6000

300 0

350 400 450 500 550 600 650

X_C

X_L

Z

|Z| [Ω]

700

4

2 5 6

3

1

Io [mA]

300 0

f [Hz]

400 450 500

350 550 600 650

R =1000Ω R = 200Ω C = 0,1µF

L = 1H

Rys.5 Zależność amplitudy napięcia UoL na indukcyjności (L), UoC na kondensatorze (C) i UoR na oporniku (R) od częstości w obwodzie zasilanym SEM o amplitudzie E_o = 1V

Rys.6 Zależności amplitudy napięcia UoR, U_oC, U_oL od częstości w obwodzie o dużej wartości oporu rzeczywistego i małej wartości współczynnika dobroci Q.

16

8

6

4

2

0 12

10 14

300 350 400 450 500 550 600 650 f [Hz]

Amplituda UoR, UoC, UoL [V]

C L

R = 200Ω C = 0,1µF

C L

L = 1H

R

2

1,5

1

0,5 0 2,5

300 350 400 450 500 550 600 650

3 3,5

f [Hz]

Amplituda UoR, UoC, UoR [V]

C C

L = 1H

L

L C = 0,1µF

R R = 1000Ω

VI. Metoda pomiarów

Proponowana tu metoda nosi również nazwę metody figur Lissajous. Schemat podstawowego układu pomiarowego przedstawiony jest na rys.1. Napięcie przyłożone do układu RLC URLC = UoRLCsin(ωt) mierzone jest za pomocą wejścia Y oscyloskopu pracującego w trybie XY, napięcie na oporniku U_R(t) = RI_osin(ωt + φ) mierzymy za pomocą wejścia X. Na ekranie oscyloskopu po- wstaje obraz elipsy, którego parametry określamy stosując schemat przedstawiony na rys.7.

Rys.7 Parametry obrazu elipsy obserwowanego na ekranie oscyloskopu dla 0 < ϕ < π////2.

Wartość bezwzględną różnicy faz natężenia prądu i napięcia w obwodzie RLC obliczamy ze wzoru

sin |φ| = H

h (13)

Wysokość H i szerokość D obrazu elipsy są wprost proporcjonalne odpowiednio do podwo- jonych amplitud napięcia układu RLC i natężenia prądu w obwodzie. Amplitudę natężenia prądu Io i moduł impedancji Z układu RLC znajdujemy z zależności:

Io =

2R R

U_oR Ds_x

= (14)

Z = R

s s 2I

U 2 I

U

x y o

oRLC o

oRLC

D

= H

= (15)

gdzie sx i sy są odpowiednio współczynnikami odchylania toru X i Y. Wstanie rezonansu obraz elipsy redukuje się do odcinka linii prostej, a szerokości obrazu D dla stałej wartości współczyn- nika odchylenia s_x osiąga wartość maksymalną. Dzieje się tak dlatego, że w stanie rezonansu zni- ka różnica faz φ prądu i napięcia (napięcie i prąd mają zgodne fazy), moduł impedancji przyjmuje wartość minimalną, a natężenie prądu wartość maksymalną.

Różnica między obwodem idealnym, przedstawionym we wprowadzeniu matematycznym, a obwodem rzeczywistym sprowadza się głównie do tego, iż rzeczywiste źródło SEM w postaci generatora i uzwojenie o indukcyjności L posiadają opory rzeczywiste o wartościach odpowiednio R_g i R_u. Oznacza to, że moduł impedancji całego obwodu dany jest wyrażeniem:

2 2

u

g ωC

ωL 1 R

R (R

Z = + + ) +( − ) (16)

gdzie R jest oporem opornika. Całkowity opór rzeczywisty obwodu R = R + R + R wyznaczyć Y

X

D

h H

R_c =

omax o

I

E (17)

mierząc wcześniej amplitudę Eo SEM generatora odłączonego od układu RLC i amplitudę Iomax

natężenia prądu w stanie rezonansu.

Współczynnik dobroci Q obwodu rzeczywistego wynosi więc (porównaj ze wzorem (7))

Q = C

L R

1

c

(18)

VII. Pomiary

1. Zbudować układ pomiarowy wg schematu zamieszczonego poniżej. Oscyloskop ustawić na pracę w trybie XY.

Uwaga! Jeżeli generator nie jest wyposażony w układ cyfrowego pomiaru częstości, to stosu- jemy zewnętrzny częstościomierz cyfrowy, podłączając go równolegle do generatora (jak na ry- sunku powyżej − litera f w środku okręgu ) albo mierzymy częstości oscyloskopem.

2. Dostroić generator do częstości rezonansowej. Pokrętłem regulacji napięcia generatora ustawić odpowiednią wartość amplitudy Eo SEM (w granicach około 8V − odczyt w kanale Y oscylo- skopu). W kanale X jest wówczas maksymalna amplituda napięcia U_oR. Dobrać takie współ- czynniki odchylania sx i sy dla obu torów X i Y, aby wykorzystać cały ekran oscyloskopu 3. Zmierzyć parametry obrazu (H, D) oraz częstość rezonansową f^o, gdy elipsa przechodzi w linię

prostą.

4. W zakresie częstości 200 ÷ 700 Hz wykonać kilkanaście pomiarów (np. co 50 Hz) parametrów obrazu elipsy (nie zapominając o notowaniu wartości współczynników odchylania). W prze- dziale częstości, w którym krzywa rezonansowa szybko zmienia się z częstością, dokonać do- datkowych pomiarów (np. co 10 Hz) w celu dokładnego określenia jej przebiegu. Wyniki po- miarów zapisać w Tabeli 1

Tabela 1 f

[Hz]

H

[cm]

D

[cm]

h

[cm]

sy

[V/cm]

sx

[V/cm]

Io=

R 2 Dsx

Z=

x y

Ds

Hs R sin |φ|=

H h

|φ|

5. Powtórnie dostroić generator do częstości rezonansowej, odłączyć układ RLC od generatora

~

We Y „=”

L C

We X „=”

R

oscyloskop generator

f

6. Nie wyłączając generatora ani nie zmieniając amplitudy napięcia wyjściowego Eo podłączyć generator do układu zbudowanego wg schematu z rys. 8a – dla pojemności lub wg schematu z rys. 8b – dla indukcyjności.

Rys. 8 Schemat układu do wyznaczania krzywej rezonansowej: a) na kondensatorze C, b) na indukcyjności L.

7. Dostroić generator do częstości rezonansowej. Zmierzyć częstość rezonansową foC i amplitudę UoCmax lub foL i amplitudę UoLmax w zależności od wybranej wersji układu .

8. W przedziale częstości 200 ÷ 700 Hz dokonać kilkunastu pomiarów amplitudy napięcia UoC na kondensatorze lub amplitudy U_oL na indukcyjności, tak jak w punkcie 4 (wykonanie tych po- miarów uzgodnić z prowadzącym zajęcia). Wyniki zebrać w Tabeli 2

Tabela 2 f

[Hz]

D [cm]

s_x [V/cm]

UoC = D⋅sx

[V]

UoL = D⋅sx

[V]

9. Odłączyć układ RLC od generatora bez wyłączenia go z sieci i zmierzyć amplitudę E_o napię- cia na wyjściu generatora − punkt ten wykonać tylko wtedy, gdy w punkcie 6 -tym zmienione zostało napięcie wyjściowe Eo.

10. Wykonanie tego punktu polecamy studentom bardziej zaawansowanym (nie z powodu szcze- gólnych trudności lecz bardziej z braku czasu).

Powyższa metoda (patrz punkt VI) nie pozwala ocenić w sposób bezpośredni zmiany znaku

We Y „=”

We X „=”

oscyloskop

R

C L

a)

~

f

generator

We Y „=”

We X „=”

oscyloskop

R C

L

b)

~

f

generator

rezonansowej należy przełączyć oscyloskop z pracy XY na pracę dwukanałową z liniową podstawą czasu. Obserwując przesuwanie się sinusoidy reprezentującej napięcie U względem sinusoidy reprezentującej prąd I, określić znak kata ϕ dla częstości mniejszych i większych od f_o.

VIII. Opracowanie wyników pomiarów.

1. Wykreślić zależność modułu impedancji Z, amplitudy natężenia prądu I_o i modułu różnicy faz ϕ prądu i napięcia od częstości f.

Jeśli wykonywano punkt VII.8 wykreślić zależność amplitudy napięcia U_oC na pojemności lub UoL na indukcyjności w funkcji częstości;

2. Obliczyć wartość indukcyjności L, pojemności C, całkowitego oporu rzeczywistego Rc i współczynnika dobroci Q obwodu metodą graficzną i/lub metodą analityczną.

Metoda graficzna

a) Całkowity opór rzeczywisty R_c obwodu obliczamy ze wzoru R_c =

max o

o

I E

b) Odczytujemy z wykresu zależności amplitudy natężenia prądu od częstości wartości f1, f2

(patrz rys.2) i obliczamy wartość współczynnika dobroci Q =

1 2

o

f f

f

− c) Rozwiązując układ równań Q =

C L R_c

1 , f_o =

LC 2π

1 znajdujemy wartości L i C.

d) Porównujemy wartość współczynnika dobroci, uzyskaną w pkt.2b z wartością Q =

o max oC

E

U lub

o oL

E Q= U ^max .

Metoda analityczna

a) Całkowity opór rzeczywisty obwodu obliczamy tak, jak poprzednio tj. w metodzie graficznej.

b) W celu znalezienia wartości indukcji L i pojemności C przekształcamy odpowiednio wzór wyrażający zależność modułu impedancji Z układu RLC od częstości kątowej ω:

Z = ² )²

ωC ωL 1 (

R + − ,

Z² = R² + ω²L² - _{2 2} C ω 2L + 1

C ,

Z²ω² = R²ω² + L² ω⁴ − ² ₂ C ω 1

2L +

C .

Następnie wprowadzamy nowe zmienne fizyczne y = Z²ω², x = ω², otrzymując wielomian stopnia drugiego:

y = L²x² + (R² − ₂ C x 1 2L)

C + , czyli w postaci y = ax² + bx + c, gdzie a = L², b =

C L

R² −2 , c = ₂ C

1 , którego współczynniki wyznaczamy metodą najmniej-

szych kwadratów. Wartości parametrów L i C otrzymamy ze wzorów L =

c C 1

a, = . Ob-

„Kreatora wykresów”. Można też użyć innego narzędzia posiadającego opcję dopasowywania funkcji teoretycznej do danych doświadczalnych np. ORIGIN.

c) Znając wartości R_c, L, C obliczamy współczynnik dobroci Q (wzór (18)), a otrzymaną war- tość Q porównujemy z wartością otrzymaną ze wzoru

Q =

o max oC

E

U lub Q =

o max oL

E U .

IX. Ocena dokładności

Na dokładność wyznaczenia modułu impedancji mają wpływ trzy czynniki:

1. Dokładność odczytu długości odpowiedniego odcinka na ekranie oscyloskopu − jest ona rzę- du ∆H = ∆h = ∆D = ∆lx = ±2mm,

2. Dokładność skalowania oscyloskopu w postaci maksymalnej niepewności względnej współ-

czynnika odchylania 003

s s s

s s

s

t t x

x y

y =∆ = ∆ = ,

∆ ,

3. Dokładność skalowania opornika wzorcowego R w postaci maksymalnej niepewności względnej jego oporu elektrycznego

R

∆R .

Ostatecznie maksymalna niepewność względna wartości modułu impedancji Z dana jest przez

R

R s

s D

D s

s H

H Z

Z

x x y

y +∆ +∆ +∆

+ ∆

= ∆

∆

Maksymalna niepewność względna różnicy faz ϕ wynosi

2

2 2

H 1 h H

H h

H 1 h H

h



 



− + ∆



 



−

= ∆ ϕ

ϕ

∆ .