Sheet 5. Derivatives. L'Hospital's Rule - some answers

Faculty of Management  Mathematics  Exercises

Sheet 5. Derivatives. L'Hospital's Rule - some answers

Exercise 5.1.

1) 0 2) 6x + _x¹² + 4x³+ 1

2√ x

3) 6x²− 2x 4) 13

(2x − 3)²

5) 4x

(x²+ 1)² 6) − 6 x²

x⁶− 2x³+ 1 7) (2x²+ 1) 1

√x²+ 1 8) −¹₂(x + 1) x 1 x⁵²

9) 2xe 10) e^x(x + 3x⁵+ x⁶− 2)

x³

11) 10^xln 10 12) 1

4^x − xln 4 4^x 13) x − 3√

x

x³² 14) ln x + 1

15) 2x²ln x − x²− 1

(x²+ 1)²x 16) 1

x ln 3

17) cos x − sin x 18) x³cos x + 3x²sin x 19) ¹²cos x − x sin x

√x 20) − 4x³sin x − x⁴cos x − 4 cos x (2x + x²+ 2)²(x²− 2x + 2)²

21) 2

sin 2x + 1 22) 0

23) arcsin x + x

√1 − x² 24) 1

x² + 1 + 1

25) − 1

(2x + x²+ 1) q 1

x+1(1 − x)

26) e^x+ 2e^x√ e^x+ 1 2e^x+ 2e^x√

e^x+ 1 + 2

27) 2xe^x2−3x−4− 3e^x2−3x−4 28) − sin

√x−1

√x+1

2x +√ x + x³²

29) 30x²(2x³− 1)⁴ 30) 5 (x²+ 1)⁴(2x + x²− 1) (x + 1)⁶

31) 3 − 3 cos x

2 cos x + cos²x + 1 32) −3 sin 4x − 3 sin 12x 33) −4√

2 − 6x²√ 2 3x⁵√

2x²+ 1 34) 4 × 2^2x+ 4 (ln 2) 2^2x(2x + 1) 35) tan√

x + ₂^√1_x(√⁴

x + 1) (tan²√

x + 1) 36) cos 2x + cos 4x

37) 1

2 q

1 −¹₄x²

38) 2 x² + 1

Exercise 5.2. a) ln x + 1,

1 x,

Last update: November 15, 2010 1

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−_x¹2

b) cos x − sin x + 2x cos x − x sin x − x²sin x, cos x − 2 sin x − x cos x − 4x sin x − x²cos x, x sin x − 5 sin x − 6x cos x − 3 cos x + x²sin x

c) x

√x²+ 1,

√ 1

x²+ 1 − x²

√x² + 1 + x²√

x²+ 1, x²

(x² + 1)³

 x

√x²+ 1 + 2x√

x²+ 1 + x³

√x²+ 1



− 3 x

√x²+ 1 + x²√ x²+ 1 Exercise 5.3.

Exercise 5.4.

a) ³₂ b) 0 c) 1

d) ¹₂ e) 1 f) ln e − 1 e − e g) ¹₂ h) 1 i) 1

j) ∞ k) 0 l) 0

m) ¹₂ n) 1

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