Sheet 5. Derivatives. L'Hospital's Rule

Faculty of Management  Mathematics  Exercises

Sheet 5. Derivatives. L'Hospital's Rule

Exercise 5.1. Dierentiate the following functions:

1) f(x) = 3 2) f(x) = x⁴ + 3x²− ¹_x +√

x 3) f(x) = 2x³− x² 4) f(x) = 5x − 1

3 − 2x 5) f(x) = x²− 1

x² + 1 6) f(x) = 2

x³− 1 7) f(x) = x√

1 + x² 8) f(x) = (√

x + 1)( 1

√x − 1) 9) f(x) = x²e 10) f(x) =

µ

x³+ 1 x²

¶

e^x 11) f(x) = 10^x 12) f(x) = x

4^x 13) f(x) = 2√

x − 3 ln x + 1 14) f(x) = x ln x 15) f(x) = ln x 1 + x² 16) f(x) = log₃x 17) f(x) = sin x + cos x 18) f(x) = x³sin x 19) f(x) =√

x cos x 20) f(x) = sin x

x⁴+ 4 21) f(x) = sin x − cos x sin x + cos x 22) f(x) = arcsin x + arccos x 23) f(x) = x arcsin x 24) f(x) = x + arctg x 25) f(x) =q

1−x

1+x 26) f(x) = ln(e^x+√

1 + e^x) 27) f(x) = e^{(x2−3x−4)} 28) f(x) = cos1 −√

x 1 +√

x 29) f(x) = (2x³− 1)⁵ 30) f(x) =

µ1 + x² 1 + x

¶₅

31) f(x) =

µ sin x 1 + cos x

¶₃

32) f(x) = cos³4x 33) f(x) =

√4x²+ 2 3x⁴ 34) f(x) = (2x + 1) 2^2x+1 35) f(x) = (1 +√⁴

x) tg (√

x) 36) f(x) = sin 2x cos²x 37) f(x) = arcsin^x₂ 38) f(x) = arctg 2x

1 − x² Exercise 5.2. For the given functions f nd f⁰, f⁰⁰, f⁰⁰⁰:

a) f(x) = x ln x b) f(x) = (x²+ x + 1) cos x c) f(x) = √ x²+ 1 Exercise 5.3. Verify if the given function fulls the condition:

a) y = e^xsin x, y⁰⁰− 2y⁰+ 2y = 0 b) y = ln²x − 2 ln x, y⁰⁰+ 1

xy⁰− 2 x² = 0

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5 Derivatives. L'Hospital's Rule

Exercise 5.4. Using L'Hospital's Rule nd the limits:

a) lim

x→1

x³− 1

x²− 1 b) lim

x→0⁺x ln x c) lim

x→−∞x

³ e^x1 − 1

´

d) lim

x→0

e^x− x − 1

x² e) lim

x→0

ln (1 + x)

x f) lim

x→e

ln x − 1 x − e g) lim

x→0

1 − cos x

x² h) lim

x→0

sin x

x i) lim

x→0

sin x x cos x j) lim

x→+∞

e^x

x k) lim

x→+∞

ln x

x l) lim

x→+∞

ln x√ x m) lim

x→1⁺

µ x

x − 1 − 1 ln x

¶

n) lim

x→0⁺x^{sin x}

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