Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 364 · 2018
Krzysztof Dmytrów Uniwersytet Szczeciński
Wydział Nauk Ekonomicznych i Zarządzania Instytut Ekonometrii i Statystyki
krzysztof.dmytrow@usz.edu.pl
ZASTOSOWANIE UOGÓLNIONEJ MIARY ODLEGŁOŚCI DO PODEJMOWANIA DECYZJI
WIELOKRYTERIALNYCH
Streszczenie: W praktyce podejmowania wielokryterialych decyzji często spotykamy się z sytuacją, w której kryteria podejmowania decyzji są niemierzalne. Uogólniona miara odległości (Generalised Distance Measure – GDM) umożliwia uporządkowanie warian- tów decyzyjnych, także biorąc pod uwagę cechy niemierzalne (zarówno na skali porząd- kowej, jak i nominalnej), dlatego może być wykorzystana jako narzędzie wspomagające proces podejmowania decyzji w takich przypadkach. W artykule zostanie podjęta próba wyboru wariantu decyzyjnego za pomocą uogólnionej miary odległości dla różnych kombinacji wag. Wyniki zostaną porównane do tych uzyskanych za pomocą metody TOPSIS dla odległości euklidesowych.
Słowa kluczowe: uogólniona miara odległości, TOPSIS, podejmowanie decyzji wielokry- terialnych.
JEL Classification: C38, C44.
Wprowadzenie
W praktyce procesu podejmowania decyzji często mamy do czynienia z sy- tuacją, kiedy należy wybrać jeden z wielu wariantów decyzyjnych, opisanych za pomocą wielu kryteriów. Istnieje wiele metod wspomagających podejmowanie decyzji wielokryterialnych, takich jak AHP, ANP, ELECTRE, PROMETHEE [Trzaskalik, 2015], SAW, COPRAS [Podvezko, 2011], podejście wykorzystujące funkcję straty [Vommi, Kakollu, 2017] czy TOPSIS. Wspomniane metody po- magają uporządkować warianty decyzyjne od najlepszego do najgorszego. Nie- które wymagają, żeby kryteria decyzyjne były przedstawione na skali przynajm-
niej przedziałowej (SAW, COPRAS), w innych zaś (AHP czy ANP) skala może być nominalna, a decydent ustala subiektywne preferencje, porównując kryteria parami.
Bardzo popularną i prostą metodą wspomagania podejmowania decyzji wielokryterialnych jest metoda TOPSIS [Hwang, Yoon, 1981]. Opiera się ona na ważonej odległości każdego obiektu od wzorca, oznaczającego hipotetyczny wariant decyzyjny posiadający najlepsze wartości kryteriów, oraz od antywzorca, który posiada najgorsze ich wartości. Najlepszym wariantem decyzyjnym będzie ten, który posiada największą odległość od antywzorca. Należy zauważyć, że metodę TOPSIS najczęściej stosuje się dla skali porządkowej lub ilorazowej i w związku z tym najczęściej liczy się odległości euklidesowe. Można jednak ją stosować także dla słabszej skali (porządkowej) i odległości od wzorca i anty- wzorca liczyć za pomocą np. uogólnionej miary odległości [Wachowicz, 2011].
Mimo że metoda TOPSIS jest znana i bardzo chętnie stosowana, można spróbować wykorzystać inne metody, które pierwotnie nie były zaprojektowane jako narzędzia wspomagające podejmowanie decyzji. Jedną z takich metod jest syntetyczny miernik rozwoju (albo taksonomiczny miernik rozwoju – SMR bądź TMR) [Hellwig, 1968]. Pierwotnie został on wykorzystany do uporządkowania regionów według zmiennych opisujących rozwój społeczno-ekonomiczny, jed- nak został także wykorzystany jako narzędzie wspomagające proces podejmo- wania decyzji. Jego modyfikacją jest taksonomiczna miara atrakcyjności inwe- stycji (TMAI), zaproponowana przez Tarczyńskiego [2001], która została zastosowana do uporządkowania spółek według wartości wskaźników standing finansowy firmy, co pozwoli wspomóc proces podejmowania decyzji w zakresie inwestycji w akcje przedsiębiorstw.
Innym przykładem zastosowania syntetycznego miernika rozwoju jako na- rzędzia wspomagającego podejmowanie decyzji wielokryterialnych jest takso- nomiczna miara atrakcyjności lokalizacji (TMAL) [Dmytrów, 2015]. Została ona wykorzystana do wyboru lokalizacji, które ma odwiedzić magazynier pod- czas kompletacji zamówień w przypadku przechowywania współdzielonego.
W roku 2000 została zaprezentowana przez Walesiaka [2003] uogólniona miara odległości (Generalised Distance Measure – GDM), która może być zasto- sowana do porządkowania obiektów. W przeciwieństwie do niektórych wspo- mnianych wcześniej metod, takich jak SAW, COPRAS, czy metod opartych na syntetycznym mierniku rozwoju TMAI bądź TMAL, uogólniona miara odległo- ści GDM dopuszcza zmienne opisane na skali nominalnej czy porządkowej (GDM2), czy też przedziałowej oraz ilorazowej (GDM1). Dlatego wydaje się, że
może być ciekawą alternatywą dla wspomnianych wcześniej metod. Należy jednak zauważyć, że uogólniona miara odległości (GDM2) nie jest jedyną (ani nawet nie jest najlepszą) możliwością badania relacji pomiędzy wariantami de- cyzyjnymi, w których kryteria są mierzone na słabszych skalach. Uogólniona miara odległości zakłada jedynie klasyczne sytuacje w zakresie porównywalno- ści wariantów decyzyjnych (równoważność oraz preferencje w obie strony), przez co w wielu sytuacjach decyzyjnych daje mniejsze możliwości niż np. me- toda ELECTRE, która zakłada równoważność, słabą preferencję, silną preferen- cję oraz nieporównywalność [Nowak, 2004, s. 38].
Celem artykułu jest zastosowanie miary GDM do uporządkowania warian- tów decyzyjnych i porównanie otrzymanych wyników z wynikami uzyskanymi za pomocą metody TOPSIS dla odległości euklidesowych. Mimo że uogólniona miara odległości została zaprojektowana na potrzeby wielowymiarowej analizy statystycznej, gdzie mamy do czynienia z obiektami i opisującymi je zmienny- mi, które mogą być stymulantami, destymulantami bądź nominantami, w niniej- szej pracy została ona wykorzystana na potrzeby wielokryterialnego podejmo- wania decyzji. Dlatego w dalszej części artykułu zamiast obiektów i zmiennych będziemy mieć do czynienia z wariantami decyzyjnymi i kryteriami, które mogą być kryteriami typu „zysk” albo „strata”. Ponieważ w literaturze dotyczącej wielokryterialnego podejmowania decyzji nie spotyka się kryteriów, które od- powiadają nominantom spotykanym w wielowymiarowej analizie statystycznej, to opisując kryteria będące nominantami, zachowano tę nazwę.
1. Oznaczenia i metodyka
Uogólniona miara odległości GDM oparta jest o uogólniony współczynnik korelacji, obejmujący współczynnik korelacji Pearsona i współczynnik korelacji τ Kendalla. Jest ona liczona według następującego wzoru [Walesiak, 2011, s. 47]:
=1
2−∑ + ∑ ∑ , ,
2 ∑ ∑ ⋅ ∑ ∑ (1)
gdzie:
dik − miara odległości;
i, k, l = 1, 2, …, n − numer wariantu decyzyjnego;
j = 1, 2, …, m − numer kryterium;
wj − waga, spełniająca warunki: wj ∈ (0, m), ∑ = .
Dla kryteriów mierzonych na skali ilorazowej i (lub) przedziałowej wystę- pujące we wzorze (1) wielkości a i b liczy się następująco [Walesiak, 2011, s. 39]:
aipj = xij − xpj dla p = k, l
bkrj = xkj − xrj dla r = i, l (2) gdzie xij (xkj, xij) − wartość j-tego kryterium w i-tym (k-tym, l-tym) wariancie decyzyjnym.
Jeżeli kryteria są wyrażone na skali porządkowej, wówczas stosuje się pod- stawienie [Walesiak, 2011, s. 41]:
=
1 dla > >
0 dla = =
−1 dla < <
, dla p = k, l, r = i, l (3)
Uogólniona miara odległości stosowana jest w badaniach z zakresu staty- stycznej analizy wielowymiarowej do [Walesiak, 2003, s. 135]:
– wyznaczenia macierzy odległości w procesie klasyfikacji obiektów,
– konstrukcji syntetycznego miernika rozwoju w metodach porządkowania liniowego.
Uogólniona miara odległości nie była stosowana jako narzędzie wspomaga- jące proces podejmowania decyzji, jednak wykorzystanie jej jako syntetycznego miernika rozwoju może stanowić próbę zbudowania takiego narzędzia.
Etapy budowy GDM to [Walesiak, 2003, s. 137]:
1. Punktem wyjścia jest macierz danych [xij], gdzie xij oznacza wartość j-tego kryterium w i-tym wariancie decyzyjnym.
2. Jeżeli wśród kryteriów występują nominanty, należy je przekształcić na kry- teria typu „zysk” za pomocą wzoru (dla kryteriów na skali ilorazowej):
= min ;
max ;
gdzie − wartość j-tej nominanty w i-tym wariancie decyzyjnym, nomj− nominalny poziom j-tego kryterium.
3. Dla każdego kryterium należy znaleźć jego wartość maksymalną (w przy- padku kryteriów typu „zysk”), minimalną (dla kryteriów typu „strata”) oraz nominalną (dla nominant) − wartości te utworzą wzorzec albo idealny wa- riant decyzyjny.
4. Normalizacja wartości kryteriów. W badaniu zastosowano przekształcenie ilorazowe:
= ( )
gdzie Sj(x) – odchylenie standardowe j-tego kryterium. Powodem zastosowa- nia tej formuły była chęć zachowania różnic w średnim poziomie kryterium.
5. Za pomocą GDM wyznacza się odległości wszystkich wariantów decyzyj- nych od wariantu idealnego.
6. Warianty porządkuje się według rosnącej odległości od wariantu idealnego.
Zastosowanie wspomnianych w punktach odpowiednio (2) i (4) formuł za- miany nominant na kryteria typu „zysk” oraz przekształcenia ilorazowego jest możliwe jedynie dla kryteriów mierzonych na skali ilorazowej. W badaniu empi- rycznym wszystkie kryteria były mierzone na takiej skali, dlatego do obliczenia odpowiednich wielkości we wzorze (1) stosowano formuły ze wzoru (2). Jeżeli chodzi o metodę TOPSIS, to etapy jej budowy przedstawił m.in. Bąk [2016, s. 26-27].
Czasami dla decydenta istotna jest nie tyle dokładna różnica pomiędzy po- ziomami wartości kryteriów, co jedynie informacja o tym, czy dana wartość jest większa, mniejsza czy równa. Dlatego dodatkowo postanowiono sprawdzić, jak wyglądałby ranking wariantów decyzyjnych po osłabieniu skali pomiarowej wartości kryteriów z obecnej, czyli ilorazowej, do skali porządkowej. W tym celu etap czwarty budowy uogólnionej miary odległości (normalizacja wartości kryteriów) został pominięty, a po zamianie kryteriów nominant na kryteria typu
„zysk”, odpowiednie elementy wzoru (1) wyznaczono za pomocą podstawienia opisanego wzorem (3). W związku z powyższym dla każdej kombinacji wag (które zostaną opisane w kolejnym rozdziale) zbudowano trzy rankingi warian- tów decyzyjnych: za pomocą metody TOPSIS, zakładającej odległości euklide- sowe, za pomocą uogólnionej miary odległości dla kryteriów mierzonych na skali ilorazowej oraz za pomocą uogólnionej miary odległości, w której skalę ilorazową osłabiono do skali porządkowej.
2. Przykład numeryczny
Problemem decyzyjnym był zakup komputera (laptopa). Dane do analizy pochodzą ze strony internetowej [www 1]. Oprócz specyfikacji komputerów z powyższej strony pochodziły także wyniki testów wydajności i czasu pracy na
jednym naładowaniu akumulatora – dało to gwarancję, że wszystkie testy były przeprowadzane w tych samych warunkach i były porównywalne. Z opisywa- nych na stronie komputerów kilka pominięto. Powodem takiego podejścia była chęć pozostawienia sprzętów pracujących pod kontrolą systemu operacyjnego Windows 10 – wyniki testów wydajności pomiędzy różnymi platformami mogą być nieporównywalne. Komputery (warianty decyzyjne) były opisane za pomo- cą jedenastu kryteriów:
a) cena w USD (kryterium typu „strata”) − x1,
b) ilość pamięci RAM w GB (kryterium typu „zysk”) − x2, c) pojemność dysku SSD w GB (kryterium typu „zysk”) − x3,
d) przekątna ekranu w calach (nominanta o wartości nominalnej 14 cali) − x4, e) rozdzielczość ekranu zamieniona na liczbę pikseli (kryterium typu „zysk”) − x5, f) waga w kg (kryterium typu „strata”) − x6,
g) czas pracy na akumulatorze w minutach (kryterium typu „zysk”) − x7, h) wyniki testów wydajności:
– PCMark 8 Work Conventional w punktach (kryterium typu „zysk”) − x8, – CineBench w punktach (kryterium typu „zysk”) − x9,
– Photoshop w sekundach (kryterium typu „strata”) − x10,
– 3DMark Cloud Gate w punktach (kryterium typu „zysk”) − x11.
Jeżeli chodzi o kryterium x4 – przekątną ekranu, to nominalna wartość, wy- nosząca 14 cali, została przez autora przyjęta subiektywnie – chodziło o kompu- ter zarówno nie za duży, jak i nie za mały. Oczywiście, do pewnych celów (gry, programowanie czy projektowanie) lepiej nadają się komputery z dużym ekra- nem, a do innych celów (praca w terenie, konieczność częstego przenoszenia komputera) najlepsze są komputery z małymi ekranami.
Powyższe kryteria zostały pogrupowane w kilka grup:
a) cena − kryterium cena;
b) wydajność, kryteria:
– PCMark 8 Work Conventional, – CineBench,
– Photoshop,
– 3DMark Cloud Gate;
c) mobilność, kryteria:
– przekątna ekranu, – waga,
– czas pracy na akumulatorze;
d) wyposażenie, kryteria:
– ilość pamięci RAM w GB, – pojemność dysku SSD w GB,
– rozdzielczość ekranu zamieniona na liczbę pikseli.
Powodem wyodrębnienia powyższych grup jest fakt, że osoba decydująca się na zakup komputera może kierować się różnymi preferencjami. Dla jednych kupujących najistotniejsza jest jak najniższa cena. Osoby chcące używać kom- putera do gier, czy do zaawansowanych prac, takich jak różnorodne pakiety typu CAD, wymagających dużej mocy obliczeniowej sprzętu, w pierwszej kolejności będą zwracały uwagę na wydajność i wyposażenie (w szczególności na dużą wydajność procesora i podzespołu graficznego oraz dużą ilość pamięci). Z kolei osoby, które dużo podróżują, potrzebują komputera niedużego, lekkiego, o dłu- gim czasie pracy na jednym naładowaniu akumulatora. Dlatego dla takich osób najważniejsza jest mobilność sprzętu. W związku z powyższym, ażeby odzwier- ciedlić różne preferencje potencjalnych nabywców, przyjęto różne kombinacje wag. W jednej największe znaczenie miała cena, w kolejnych wydajność, wypo- sażenie i mobilność. Takie podejście pozwoli wybrać najlepszy komputer dla różnych typów preferencji potencjalnych nabywców.
Analizowane komputery i opisujące je kryteria decyzyjne przedstawia tabela 1.
Tabela 1. Analizowane komputery i opisujące je kryteria decyzyjne
Komputery Kryteria
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11
Lenovo Yoga 910 1199,99 8 256 13,9 2,074 1,365 1288 3197 349 215 6815 Razer Blade Pro 2099,99 32 512 17,3 8,294 3,502 228 2838 681 183 25439 New Razer Blade Stealth 999,99 16 256 12,5 3,686 1,315 560 3032 354 221 6401 Asus ZenBook 3 (UX390UA) 959,00 16 512 12,5 2,074 0,894 727 3228 332 288 6132 Dell Inspiron 15 7000 Gaming 799,99 8 256 15,6 2,074 2,649 661 3258 502 212 15976 Dell XPS 13 Touch 1184,11 8 256 13,3 5,760 1,356 642 2769 342 222 6761 Lenovo ThinkPad X260 949,99 8 256 12,5 2,074 1,374 645 2995 313 275 5452 Microsoft Surface Book 1999,99 16 1024 13,5 6,000 1,647 1156 2735 326 243 8980 Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych ze strony: [www 1].
Już wstępna analiza danych pozwala wyodrębnić pewne grupy kompute- rów. Widać na przykład, że komputery Razer Blade Pro, Dell Inspiron 15 7000 Gaming czy Microsoft Surface są komputerami o dużej wydajności; Lenovo Yoga 910, Asus ZenBook 3 czy Dell XPS 13 Touch to komputery niewielkie, lekkie, mobilne.
Następnie zostały ustalone kombinacje wag. Najpierw założono, że wszyst- kie kryteria są tak samo ważne. Wówczas dla metody TOPSIS waga przypisana każdej zmiennej wyniosła 1/11, a w metodzie opartej na GDM – 1. Następnie
założono, że najważniejsze są kolejno poszczególne grupy. I tak, jeżeli najważ- niejsza była cena, to waga przypisana kryterium „cena” była większa około 3 razy od wag pozostałych kryteriów. Analogicznie postąpiono dla pozostałych grup – wagi kryteriów, dla których dana grupa była najważniejsza, były około trzy razy wyższe od wag pozostałych kryteriów. Wagi zostały ustalone dla meto- dy TOPSIS tak, żeby ich suma dała 1, a wagi dla GDM były wagami z metody TOPSIS przemnożonymi przez 11.
Analizowane kombinacje wag dla poszczególnych grup przedstawia tabela 2.
Tabela 2. Analizowane kombinacje wag
Kryteria x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11
TOPSIS
Wagi równe 0,0909 0,0909 0,0909 0,0909 0,0909 0,0909 0,0909 0,0909 0,0909 0,0909 0,0909 Cena 0,2350 0,0765 0,0765 0,0765 0,0765 0,0765 0,0765 0,0765 0,0765 0,0765 0,0765 Wydajność 0,0520 0,0520 0,0520 0,0520 0,0520 0,0520 0,0520 0,1590 0,1590 0,1590 0,1590 Mobilność 0,0590 0,0590 0,0590 0,1760 0,0590 0,1760 0,1760 0,0590 0,0590 0,0590 0,0590 Wyposażenie 0,0590 0,1760 0,1760 0,0590 0,1760 0,0590 0,0590 0,0590 0,0590 0,0590 0,0590
GDM
Wagi równe 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Cena 2,5850 0,8415 0,8415 0,8415 0,8415 0,8415 0,8415 0,8415 0,8415 0,8415 0,8415 Wydajność 0,5720 0,5720 0,5720 0,5720 0,5720 0,5720 0,5720 1,7490 1,7490 1,7490 1,7490 Mobilność 0,6490 0,6490 0,6490 1,9360 0,6490 1,9360 1,9360 0,6490 0,6490 0,6490 0,6490 Wyposażenie 0,6490 1,9360 1,9360 0,6490 1,9360 0,6490 0,6490 0,6490 0,6490 0,6490 0,6490 Źródło: Opracowanie własne.
Poza powyższymi kombinacjami wag, za pomocą metody AHP, autor wy- znaczył własne, subiektywne wagi przypisane poszczególnym grupom:
– Cena 0,3275;
– Wydajność 0,1451;
– Mobilność 0,4299;
– Wyposażenie 0,0976.
Następnie wagi dla każdego kryterium zostały nadane w taki sposób, żeby suma wag wszystkich kryteriów, tworzących grupy, była równa powyższym wartościom w metodzie TOPSIS, a w metodzie opartej na GDM wagi z metody TOPSIS zostały przemnożone przez 11. Subiektywne wagi autora przedstawia tabela 3.
Tabela 3. Subiektywne wagi autora
Zmienne x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11
TOPSIS
Wagi AHP 0,3275 0,0325 0,0325 0,1433 0,0325 0,1433 0,1433 0,0363 0,0363 0,0363 0,0363 GDM
Wagi AHP 3,6021 0,3578 0,3578 1,5764 0,3578 1,5764 1,5764 0,3989 0,3989 0,3989 0,3989 Źródło: Opracowanie własne.
Mając wszystkie kombinacje wag, dokonano rangowania wariantów decy- zyjnych. Dla każdej kombinacji uzyskano trzy rankingi: dla metody TOPSIS, dla GDM w przypadku formuł dla kryteriów przedstawionych na skali ilorazowej (GDM-I) oraz dla GDM dla kryteriów przedstawionych na skali porządkowej (GDM-P). Wyniki rangowania przedstawia tabela 4.
Tabela 4. Wyniki rangowania wariantów decyzyjnych
Komputery Równe wagi Cena Wydajność TOPSIS GDM-I GDM-P TOPSIS GDM-I GDM-P TOPSIS GDM-I GDM-P
Lenovo Yoga 910 1 2 2 4 2 4 3 3 3
Razer Blade Pro 3 3 6 7 7 7 1 1 2
New Razer Blade Stealth 6 5 5 3 3 3 4 4 4 Asus ZenBook 3
(UX390UA)
5 6 3 2 4 2 5 7 5 Dell Inspiron 15 7000
Gaming
4 4 1 1 1 1 2 2 1
Dell XPS 13 Touch 7 7 7 6 6 6 6 6 7
Lenovo ThinkPad X260 8 8 8 5 8 8 8 8 8
Microsoft Surface Book 2 1 4 8 5 5 7 5 6
Komputery Mobilność Wyposażenie Wagi AHP
TOPSIS GDM-I GDM-P TOPSIS GDM-I GDM-P TOPSIS GDM-I GDM-P
Lenovo Yoga 910 1 1 1 6 6 6 1 1 3
Razer Blade Pro 8 8 7 1 2 2 8 8 8
New Razer Blade Stealth 5 5 6 5 4 4 5 4 4 Asus ZenBook 3
(UX390UA)
4 4 2 3 3 3 2 2 2 Dell Inspiron 15 7000
Gaming
7 6 4 7 7 5 4 5 1
Dell XPS 13 Touch 3 3 5 4 5 7 6 3 6
Lenovo ThinkPad X260 6 7 8 8 8 8 3 6 5
Microsoft Surface Book 2 2 3 2 1 1 7 7 7
Legenda:
GDM-I – rangowanie za pomocą GDM, gdy zmienne były przedstawione na skali ilorazowej;
GDM-P – rangowanie za pomocą GDM, gdy zmienne były przedstawione na skali porządkowej.
Źródło: Opracowanie własne.
Z powyższej tabeli widać, że jeżeli założymy równe wagi dla każdego kryte- rium, to według metody TOPSIS oraz GDM, zakładającej ilorazową skalę kryte- riów (GDM-I), najlepszymi komputerami były Lenovo Yoga 910 oraz Microsoft Surface Book (ale pierwsze i drugie miejsca były zamienione), a najgorsze – Dell XPS 13 Touch i Lenovo ThinkPad X260. Jeżeli porównamy wyniki dla GDM przy założeniu, że kryteria decyzyjne są na skali porządkowej (GDM-P), to najlepszy- mi komputerami były Dell Inspiron 15 7000 Gaming i Lenovo Yoga 910, a naj- gorsze – takie same, jak przy zastosowaniu metody TOPSIS oraz GDM-I.
Jeżeli najważniejsza jest cena, to pierwsze miejsca według każdej metody zajmował komputer Dell Inspiron 15 7000 Gaming, metoda TOPSIS oraz GDM-P
jako drugi według atrakcyjności wskazały na Asus ZenBook 3 (metoda GDM-I wskazała na Lenovo Yoga 910), przedostatnim komputerem według wszystkich metod był Razer Blade Pro, a najgorszym – Lenovo ThinkPad X260 według GDM-I i GDM-P oraz Microsoft Surface Book (według metody TOPSIS).
Dość oczywiste wyniki uzyskano przy założeniu, że najważniejszym kryte- rium wyboru komputera jest wydajność – według każdej metody pierwsze dwa miejsca zajmowały Razer Blade Pro oraz Dell Inspiron 15 7000 Gaming. Ostat- nie miejsce przypadło Lenovo ThinkPad X260.
Także nie było dużego zaskoczenia w odniesieniu do kryterium mobilności komputerów. Tutaj każda metoda wskazała, że najlepszym wyborem jest Lenovo Yoga 910, a najgorszym – Razer Blade Pro (dla TOPSIS oraz GDM-I) albo Le- novo ThinkPad X260 (dla metody GDM-P).
Jeśli chodzi o wyposażenie, to tutaj wyniki były także dla każdej metody dość oczywiste – najlepsze były Razer Blade Pro oraz Microsoft Surface Book, a najgorszym komputerem według tego kryterium był Lenovo ThinkPad X260.
Z punktu widzenia piszącego ten tekst, najciekawsze wyniki dało zastoso- wanie subiektywnych wag autora uzyskanych za pomocą metody AHP. Tutaj według metody TOPSIS oraz GDM-I najlepszym komputerem był Lenovo Yoga 910, a według metody GDM-P – Dell Inspiron 15 7000 Gaming, zaś najgorszym – Razer Blade Pro (co jest zrozumiałe, bo był najdroższy i najmniej mobilny, a te kryteria były dla autora najważniejsze).
Na zakończenie zbadano zgodność rangowania wariantów decyzyjnych za pomocą współczynnika korelacji liniowej Pearsona. Wyniki przedstawia tabela 5.
Tabela 5. Zgodność rangowania wariantów decyzyjnych
Porównanie metod Równe wagi Cena Wydajność Mobilność Wyposażenie Wagi AHP TOPSIS a GDM-I 0,9524 0,6905 0,9048 0,9762 0,9524 0,7619 TOPSIS a GDM-P 0,6667 0,7857 0,9524 0,7143 0,8095 0,7857 GDM-I a GDM-P 0,5714 0,9048 0,9048 0,8095 0,9048 0,6429 Źródło: Opracowanie własne.
Z powyższej tabeli widać, że na ogół zgodność rangowania była wysoka.
Co ciekawe, dla ceny, wydajności oraz dla wag AHP wyższa była zgodność ran- gowania dla metod TOPSIS i GDM-P (a więc przy założeniu, że uogólniona miara odległości była wyznaczana przy założeniu, że kryteria decyzyjne były na skali porządkowej) niż dla TOPSIS i GDM-I (czyli w przypadku, gdy obie me- tody były stosowane dla kryteriów mierzonych na takiej samej skali – ilorazo- wej).
Największą zgodność uzyskano dla metod TOPSIS i GDM-I przy założeniu równych wag, mobilności i wyposażenia oraz TOPSIS i GDM-P dla wydajności (współczynnik korelacji liniowej Pearsona był większy niż 0,95). Najsłabsza zgodność była pomiędzy GDM-I a GDM-P dla równych wag i wag AHP, dla metod TOPSIS i GDM-P dla równych wag oraz dla TOPSIS i GDM-I w przy- padku, gdy najważniejszym kryterium była cena.
Ogólnie największą zgodność rangowania uzyskano dla wydajności i wy- posażenia, a najmniejszą dla równych wag i wag AHP.
Podsumowanie
W artykule zaprezentowano zastosowanie uogólnionej miary odległości do rangowania wariantów decyzyjnych i porównano wyniki uzyskane za pomocą tej miary do wyników otrzymanych za pomocą znanej metody TOPSIS. Otrzyma- ne wyniki pokazują, że GDM nadaje się do uporządkowania wariantów decyzyj- nych. Wyniki uzyskane dla GDM były w dużym stopniu zgodne z tymi uzyska- nymi dla metody TOPSIS. Dodatkowym atutem uogólnionej miary odległości jest to, że może być stosowana także w przypadku, gdy kryteria decyzyjne są na skali porządkowej czy nominalnej. Mimo że uogólniona miara odległości jest dość skomplikowana pod względem obliczeniowym, to obecnie stosowanie jej nie przysparza większych problemów, gdyż została oprogramowana w pakiecie R [Walesiak, 2011].
W toku dalszych badań GDM zostanie zastosowana do kryteriów decyzyj- nych opisanych na skali nominalnej oraz w przypadku, gdy część kryteriów decyzyjnych będzie na skali ilorazowej i (lub) przedziałowej, część będzie na skali porządkowej, a część na skali nominalnej.
Literatura
Bąk A. (2016), Porządkowanie liniowe obiektów metodą Hellwiga i TOPSIS – analiza porównawcza, „Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu”, nr 426(26), s. 22-31, http://dx.doi.org/10.15611/pn.2016.426.02.
Dmytrów K. (2015), Taksonomiczne wspomaganie wyboru lokalizacji w procesie kom- pletacji produktów, „Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Eko- nomicznego w Katowicach”, nr 248, s. 17-30.
Hellwig Z. (1968), Zastosowanie metody taksonomicznej do typologicznego podziału krajów ze względu na poziom rozwoju oraz zasoby i strukturę wykwalifikowanych kadr, „Przegląd Statystyczny”, nr 15(4), s. 307-326.
Hwang C.L., Yoon K. (1981), Multiple Attribute Decision Making: Methods and Appli- cations, Springer-Verlag, New York.
Nowak M. (2004), Metody ELECTRE w deterministycznych i stochastycznych proble- mach decyzyjnych, „Decyzje”, nr 2, s. 35-65.
Podvezko V. (2011), The Comparative Analysis of MCDA Methods SAW and COPRAS,
“Inzinerine Ekonomika-Engineering Economics”, Vol. 22(2), s. 134-146.
Tarczyński W. (2001), Rynki kapitałowe. Cz. I. Metody ilościowe, Agencja Wydawnicza Placet, Warszawa.
Trzaskalik T. (2015), Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, PWE, War- szawa.
Vommi V.B., Kakollu S.R. (2017), A Simple Approach to Multiple Attribute Decision Making Using Loss Functions, “Journal of Industrial Engineering International”, Vol. 13, s. 107-116, http://dx.doi.org/10.1007/s40092-016-0174-6.
Wachowicz T. (2011), Application of TOPSIS Methodology to the Scoring of Negotia- tion Issues Measured on the Ordinal Scale, “Multiple Criteria Decision Making”, Vol. 6, s. 238-260.
Walesiak M. (2000), Propozycja uogólnionej miary odległości w statystycznej analizie wielowymiarowej, Referat wygłoszony na konferencji naukowej „Statystyka regio- nalna w służbie samorządu lokalnego i biznesu”, 5-7 czerwca, Kiekrz k. Poznania.
Walesiak M. (2003), Uogólniona Miara Odległości GDM jako syntetyczny miernik roz- woju w metodach porządkowania liniowego, „Prace Naukowe Akademii Ekono- micznej we Wrocławiu”, nr 988, „Taksonomia”, nr 10, Klasyfikacja i analiza da- nych – teoria i zastosowania, Wrocław, s. 134-144.
Walesiak M. (2011), Uogólniona Miara Odległości GDM w statystycznej analizie wie- lowymiarowej z wykorzystaniem programu R, Wydawnictwo Uniwersytetu Eko- nomicznego we Wrocławiu, Wrocław.
[www 1] http://www.pcmag.com/article2/0,2817,2369981,00.asp (dostęp: 10.03.2017).
APPLICATION OF THE GENERALISED DISTANCE MEASURE FOR MULTIPLE-CRITERIA DECISION MAKING
Summary: In the practice of multiple-criteria decision making, we face very often the situation, in which decision making criteria are non-measurable. The Generalised Dis- tance Measure (GDM) enables ordering of objects also considering the non-measurable variables (on both ordinal and nominal scale), so it can also be used as a tool of decision support in such cases. In the article, the author will try to select the decision variant by means of the Generalised Distance Measure for various combination of weights. Ob-
tained results will be compared to these obtained by means of the TOPSIS method for Euclidean distances.
Keywords: Generalised Distance Measure, TOPSIS, multiple-criteria decision making.
