Rachunek Prawdopodobieństwa Zestaw 2 Katarzyna Lubnauer

Rachunek Prawdopodobieństwa Zestaw 2

Katarzyna Lubnauer

Zmienna losowa dyskretna

1. Rzucamy dwa razy kostką do gry, niech zmienna losowa X to suma oczek w obu rzutach. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące

prawdopodobieństwa:

a)

P  0  X  10 

b)

P  X  5 

c)

P  X   5 , 8  / X  7 

Policz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X.

2. Rzucamy cztery razy monetą, niech zmienna losowa X to liczba wyrzuconych reszek. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące prawdopodobieństwa:

a)

P  0  X  10 

b) P X( 2,5)

c)

^{P X (  2,5 / X }   ^{1,3 )}

3. Policz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X z zadania 2.

4. Rzucamy kostką, jeśli wypadnie parzysta liczba oczek wygrywamy 5 zł, jeśli wypadnie liczba oczek podzielna przez 5 wygrywamy 10 zł, w pozostałych

przypadkach przegrywamy 7 zł. Znajdź rozkład wygranych. Znajdź jego wartość oczekiwaną i wariancję.

5. Rzucamy 2 razy kostką, jeśli wypadnie suma oczek większa niż 6 ale mniejsza niż 11 wygrywamy 5 zł, jeśli wypadnie suma oczek większa niż 10 wygrywamy 7 zł, w pozostałych przypadkach przegrywamy 6 zł. Znajdź rozkład wygranych. Znajdź jego wartość oczekiwaną i wariancję. Czy jest to gra uczciwa?

6. Na planszy szachowej w sposób losowy umieszczamy konia. Niech X ilość pól pod jego biciem. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące

prawdopodobieństwa:

a) P(X 3)

b)

P  X  a  , a  R

7. Strzelec strzela do tarczy i trafia z prawdopodobieństwem 4

 1

p . Niech zmienna X ilość strzałów poprzedzających trafienie. Znajdź rozkład zmiennej X.

Policz

EX , D

X

8. Rzucamy kostką do wyrzucenia 6. Niech zmienna X ilość wykonanych rzutów.

Znajdź rozkład zmiennej X. Policz

EX , D

X

9. W urnie znajduje się 10 kulek zielonych i 5 białych. Z urny losujemy 4 kule.

Zmienna losowa X oznacza ilość wylosowanych kul białych. Znajdź rozkład zmiennej X. Znajdź jego wartość oczekiwaną i wariancję.

10. W urnie znajduje się 7 kulek czarnych i 7 białych. Z urny losujemy 3 kule.

Zmienna losowa X oznacza ilość wylosowanych kul białych. Znajdź rozkład zmiennej X. Znajdź jego wartość oczekiwaną i wariancję.

11. Znajdź rozkład zmiennej

Y  X

X 1 0 1 2

P

4 1

4 1

4 1

4 1

Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych X ,Y.

12. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y 3X4 dla zmiennej X z poprzedniego zadania.

13. Wiemy, że

EX  1, D X

 1

14. Wiemy, że

EX   1, D X

 1

15. Niech , 0,1,2,...

3 ) 1

(  



 



c dla k k

P

k

, dla jakiego c jest to rozkład pewnej zmiennej.

16. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję w podstawowych rozkładach dyskretnych

a) 0-1(zero-jedynkowym) z parametrem p (P(1) p,P(0)1 p) b) Bernouliego ( ( )  , 0,1,2,...,  1



 



 p q ^ gdzie k n i p q k

k n

P ^{k n k} )

c) Geometrycznym

P   k  q

p ^, k  ^{0 , 1 , 2 ,...,} p  q  ¹

  ^{, 0 , 1 , 2 ,...}

! 

 e

k k k

P

k 



17. Rzucamy monetą do momentu wyrzucenia orła, niech X zmienna, który przyjmuje wartość równą

 

k 2 k

 , gdzie k 1,2,... liczba rzutów. Czy zmienna ta ma wartość oczekiwaną?

18. Gracz rzuca jeden raz symetryczną kostką i wygrywa 6 złoty jeśli wypadnie 6 oraz przegrywa s złotych jeśli wypadnie coś innego. Dla jakiego s gra jest sprawiedliwa.

19. Gracz rzuca dwa raz monetą i wygrywa 14 złotych jeśli wypadną 2 orły oraz przegrywa s złotych jeśli wypadnie coś innego. Dla jakiego s gra jest sprawiedliwa.

20. *Dwaj gracze grają w następującą grę:

 Pierwszy losuje z urny zawierającej 5 kul białych i 5 czarnych do momentu wylosowania kuli białej i zdobywa tyle punktów ile razy losował

 Drugi rzuca monetą do momentu wyrzucenia orła, ale niezależnie od wyniku kończy po maksymalnie 6 rzutach. Zdobywa on tyle punktów ile wykonał rzutów monetą.

Wygrywa ten z graczy, który zdobędzie więcej punktów. Którym graczem chcesz zostać?

21. Rzucamy kostką do momentu wyrzucenia 1 po raz drugi. Znajdź wartość oczekiwaną ilości wykonanych rzutów kostką.

22. Rzucamy monetą do momentu wyrzucenia orła po raz trzeci. Znajdź wartość oczekiwaną ilości wykonanych rzutów.

23. W urnie jest n kul, spośród, których jedna jest biała. Losujemy z urny po 1 kuli do momentu wylosowania kuli białej. Niech X ilość losowań. Znajdź rozkład X jeśli:

a) losujemy ze zwrotem, b) losujemy bez zwracania.

Zmienna losowa ciągła

1. Z odcinka

  ^{3 , 5} 

a) wybraną liczbą,

b) odległością wybranej liczby od 5, c) odległością wybranej liczby od 0, d) kwadratem wybranej liczby, e) całością z wybranej liczby.

W każdym z powyższych przypadków znajdź rozkład zmiennej X oraz gęstość rozkładu( o ile istnieje).

2. Z odcinka

  ^{2 , 1} 

a) wybraną liczbą,

b) odległością wybranej liczby od 0,

c) kwadratem wybranej liczby pomniejszonym o 2, d) maksimum z wybranej liczby i liczby 1,

e) minimum z wybranej liczby i liczby 1.

W każdym z powyższych przypadków znajdź rozkład zmiennej X oraz gęstość rozkładu( o ile istnieje).

3. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:

 



























x pozostaych dla

x dla ax

x dla

x f

0

1 0

1 2 2

1

2

gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X.

Znajdź jej wartość oczekiwaną i wariancję.

4. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:

 

1 1 0

3

0 1

0

dla x

f x ax dla x

dla pozostaych x

    

 

   

 



gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X.

Znajdź jej wartość oczekiwaną i wariancję.

5. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:

    







0 0

0 x dla

x dla x e

f

x



gdzie pewna





 

   : X w  2   2 P    : X   w  4 

P  

6. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:

    







0 0

0 2

x dla

x dla x e

f

ax

gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X oraz

X

D EX ,

7. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:

f   x  ae

a

 X   ¹ 

P

8. Zmienna losowa ma rozkład jednostajny nad odcinkiem

  0 , b

 

   : X w  2   2 P    : X   w  4 

P  

wartość oczekiwaną i wariancję.

9. Zmienna losowa ma rozkład jednostajny nad

  2 , 5 ; 0    1 ; 4 , 5 

oraz 

 



  1 2 X 1

P .Policz dystrybuantę, wartość oczekiwaną i wariancję.

10. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję (o ile istnieją) w podstawowych rozkładach ciągłych:

a) jednostajnym nad odcinkiem

  a, b

c) Gaussa

d) wykładniczego

11. Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem

  ^{2 , 2} 

12. Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem

  2 , 2 

Y  X

13. Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem

  ^{0 , 2}

14. Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem

  2 , 2 

Y  X

15. Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem

  ^{1 , 2} 

16. Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem

  1 , 2 

Y  X

17. Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem

  ^{1 , 2} 

Y  max  0 , X 

18. Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem



Y  X

19. Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem



20. *Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem



21. *Niech X ma rozkład Cauchiego. Znajdź rozkład zmiennej

Y X 1



23. Niech X ma rozkład Gaussa z parametrami





24. Niech X ma rozkład Gaussa z parametrami



P  0  X  2 

25. Niech X ma rozkład Gaussa z parametrami



^P  ^{  1 X  1} 

Zmienne losowe mieszane

1. Dwie osoby mają się spotkać między godziną 18 a 19 w pubie. Osoba która przyjdzie pierwsza czeka na drugą, ale nie dłużej niż 15 minut. Zmienna losowa X to czas oczekiwania osoby, która przyszła pierwsza. Znajdź dystrybuantę tego rozkładu. Zbadaj czy istnieje gęstość.

2. Niech zmienna X przyjmuje wartość 1 z prawdopodobieństwem 2

1, oraz przyjmuje wszystkie wartości z

  ^{2 , 3}

3. Tomek umówił się z Anią do kina między 17.00 a 18.00 i postanowił, że nie czeka dłużej niż pół godziny. Znajdź rozkład zmiennej będącej czasem oczekiwania Tomka, jeśli wiemy, że Tomek przyszedł przed Anią. Policz wartość oczekiwaną czasu oczekiwania.

4. Losujemy punkt z koła jednostkowego, X przyjmuje wartość równą odległości od środka koła dla punków odległych o ponad

2

1od środka koła i wartość 2 1dla pozostałych punków. Znajdź rozkład X, zbadaj jego rodzaj. Znajdź EX .

Rozkłady dwuwymiarowe, niezależność zmiennych

1. Wektor losowy

 X , Y 

 X , Y 

wartości





y

 0 , y

 1 , y

 2

 

 





 

 







6 1 4 0 1

3 0 1 4 1

P

Znajdź dystrybuantę wektora losowego, zbadaj niezależność zmiennych X,Y.

2. Rzucamy 2 razy kostką do gry. Niech X liczba oczek w pierwszym rzucie, a Y suma liczby oczek w obu rzutach. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y.

3. Rzucamy 2 razy kostką do gry. Niech X liczba oczek w pierwszym rzucie, a Y suma liczby oczek w obu rzutach. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y.

4. Rzucamy 2 razy kostką do gry. Niech X minimum wyników z obu rzutów, a Y maksimum wyników z obu rzutów. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź

rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y.

5. Dobierz stałą c tak aby funkcja:

       

 

   

 dla pozostaych x y y i x

dla y

y x y c

x f

, 0

2 , 0 1

, 0 , ,

2 ,

była gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową.

6. Dobierz stałą c tak aby funkcja:

 

 

  



y x pozostaych dla

y i x dla y ce

x f

y x Y

X

0 ,

0 0

, ,

, była

gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową.

7. Dobierz stałą c tak aby funkcja:

   





   



y x pozostaych dla

y yi x dla y cy

x f_XY

, 0

1 , 1 0

0 , ,

, była

gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową.

8. Znajdź macierz kowariancji dla wektorów losowych z zadań 1,2,3,4,5,6.

9. Niech funkcja:

   





 



y x pozostaych dla

D y x y dla

x f_XY

, 0

, 2,

1

, , gdzie

   ^{, }

^{:   1   1} 

 x y y x i y x

D

Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Policz, że E(XY)=E(X)∙E(Y).

Prawa Wielkich Liczb

1. Samolot ma 120 miejsc, prawdopodobieństwo, że losowy pasażer nie pojawi się wynosi 0,1. Sprzedano 125 biletów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

a. każdy przybyły pasażer będzie miał miejsce b. samolot odleci bez pustych miejsc

2. Średnio 1 osoba na 1000 ma pewną rzadką grupę krwi.

a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowej grupie 10000 osób, żadna nie będzie miała tej grupy krwi?

b. Ile osób trzeba przebadać, aby z prawdopodobieństwem niemniejszym niż 2

1, co najmniej jedna osoba miała tę grupę krwi.

3. Średnio w jednej na 500 torebek kaszy znajduje się kamyczek z pola. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zużywając 5000 torebek kaszy w restauracji, nie trafimy na żaden kamyk?

4. Książka składa się z 500 stron i zawiera 50 błędów. Oszacować

prawdopodobieństwo, że losowo wybrana strona będzie zawierać co najmniej 3 błędy.

5. Kwadrat podzielono na 100x100 mniejszych, identycznych kwadracików.

Jeden z kwadracików malujemy na czerwono, następnie 1000 razy losuję jeden punkt z kwadratu. Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo, że co najmniej 3 razy trafimy na czerwony kwadrat?

6. Dwóch korektorów przeczytało książkę. Pierwszy znalazł 91 błędów, drugi 53, przy czym błędów zauważonych przez obu było 39. Następnie obaj korektorzy zostali zwolnieni. Dlaczego?

7. W Warszawie na Ursynowie ginie średnio 7 samochodów tygodniowo. Jaka jest szansa, że jutro będzie „ Dzień bez skradzionego samochodu” na Ursynowie, przy założeniu, że działania złodziei mają charakter stały.

8. Co miesiąc w dużym mieście wybucha ok. 60 pożarów, regularnie przez cały rok. Jak jest szansa, że w dniu dzisiejszym straż pożarna nie będzie musiała interweniować ani razu?