Tom 24 2008 Zeszyt 4/4
MARIUSZ KRZAK*
Mo¿liwoœci wykorzystania wektorowej zasady optymalnoœci Bellmana w gospodarce z³o¿em
Wprowadzenie
Gospodarka z³o¿em oznacza dzia³alnoœæ zmierzaj¹c¹ do prawid³owego i pe³nego wyko- rzystania zasobów z³o¿a wraz z towarzysz¹cymi mu innymi kopalinami i wi¹¿e siê z szerszym pojêciem ochrony z³ó¿ (Nieæ 2006). Jednym z najstarszych postulatów idei ochrony z³ó¿ by³ postulat Van Hisego (1922) (fide Nieæ 2008) dotycz¹cy racjonalnej gospodarki z³o¿em polegaj¹cy na ograniczeniu strat górniczych i przeróbczych. Realizacja tego, jak i innych dezyderatów ochrony z³ó¿ wymaga sprawnego zarz¹dzania poprzez zastosowanie pewnych dzia³añ obejmuj¹cych m.in. planowanie i podejmowanie decyzji.
W³aœciwe decyzje mog¹ zmniejszyæ straty zasobów, poprawiæ efekty ekonomiczne dzia³al- noœci geologiczno-górniczej, a w konsekwencji przyczyniæ siê do ochrony zasobów prze- d³u¿aj¹c ¿ywotnoœæ kopalni. Zarz¹dzaj¹c takim obiektem jak z³o¿e mo¿na korzystaæ z dorobku badañ operacyjnych, tj. zbiorów matematycznych i statystycznych instrumentów, umo¿liwiaj¹cych techniczne wsparcie w wyznaczaniu metod i optymalnych rozwi¹zañ okreœlonych zadañ. Optymalizacja dzia³añ w aktywnoœci geologiczno-górniczej by³a i jest przedmiotem zainteresowañ wielu autorów, jednak¿e nie wyczerpuje szerokiej gamy mo¿- liwoœci. Istot¹ optymalizacji na etapie dzia³alnoœci operacyjnej, choæ niekiedy trudnej do realizacji, jest konstrukcja takiego modelu, który ³¹czy cechy geologiczne z³o¿a i górnicze warunki eksploatacji z parametrami ekonomicznymi. Z licznych prac aplikacyjnych do górnictwa wymieniæ nale¿y m. in. prace: Glapy (1976), Kozdroja i Przyby³y (1986), Przy- by³y (1987), Kowalika (1997, 2004, 2007), Jasiewicza (1999), Vagenasa i Nuzialego (2001), Krzaka (2002, 2004, 2006), £uckiego (2003), Jasiewicza i G³odzika (2004), £uckiego i in.
* Dr in¿., Wydzia³ Geologii, Geofizyki i Ochrony Œrodowiska AGH, Kraków.
(2005), Krzaka i Panajewa (2006, 2007, 2008), Brzychczej (2007a, 2007b), Asada (2007), Jasiewicza i in. (2007),
1. Zarys klasycznej teorii podejmowania decyzji
Podejmowanie decyzji jest nieodzowne we wszystkich dziedzinach dzia³alnoœci cz³o- wieka. Szczególnego znaczenia nabiera w dzia³alnoœci gospodarczej, na ró¿nych jej etapach.
W klasycznej teorii decyzji, podejmowanie decyzji jest grup¹ logicznie powi¹zanych ze sob¹ operacji myœlowych lub obliczeniowych, prowadz¹cych do rozwi¹zania problemu decy- zyjnego. Rozwi¹zaniem problemu jest œwiadomy, nielosowy wybór jednego z mo¿liwych wariantów przysz³ego dzia³ania czyli decyzja (KoŸmiñski, Piotrowski 2007).
Ka¿dy w³aœciwie zdefiniowany proces decyzyjny opisuj¹ cztery zasadnicze elementy (Grzegorzewski 2006). Pierwszy element to koniecznoœæ funkcjonowania podmiotu decy- zyjnego (decydenta). Mo¿e nim byæ dowolna pojedyncza osoba fizyczna lub podmiot prawny, albo te¿ grupa decydentów. Dalej, w ka¿dym procesie decyzyjnym konieczne jest okreœlenie wszystkich mo¿liwych decyzji. Decyzje te musza siê ponadto nawzajem wykluczaæ i musi ich byæ co najmniej dwie, tak by jakiekolwiek dalsze rozwa¿ania by³y celowe. Kolejno, podejmowanie decyzji odbywa siê zazwyczaj w pewnych warunkach natury (pewnoœci, ryzyka, niepewnosci, konfliktu), które okreœlaj¹ stan czynników wp³ywa- j¹cych na decyzje, a s¹ niezale¿ne od decydenta. Zbiór stanów mo¿e byæ przeliczalny albo nieprzeliczalny, a dwa ró¿ne stany nie mog¹ wystêpowaæ jednoczeœnie. Jako ostatnie, s³u¿¹ce ocenie czy decyzja jest (by³a) optymalna, istotne jest okreœlenie odpowiedniego kryterium. Funkcja wyp³at (korzyœci, celu), przyporz¹dkowuj¹ca ka¿dej decyzji (a) podjêtej w stanie natury n pewn¹ iloœciow¹ lub jakoœciow¹ ocenê, umo¿liwia porównanie efektów tej czy innej decyzji (Sadowski 1976). Przyk³adowo mo¿e to byæ: minimalizacja kosztów, czasu, trasy, wysi³ku albo maksymalizacja u¿ytecznoœci, wyp³aty i in.
Matematycznie problem decyzyjny to trójka uporz¹dkowana (A, Q, W), gdzie A oznacza zbiór mo¿liwych decyzji,Q zbiór stanów natury, W zaœ jest funkcj¹ wyp³at. Dla uproszczenia wyboru decyzji oraz samej analizy problemu decyzyjnego konieczne jest zdefiniowanie rodzajów decyzji: dominuj¹cej, œciœle dominuj¹cej oraz równowa¿nej.
Decyzja dominuj¹ca to taka decyzja ai Î A nie gorsza od decyzji ak Î A, je¿eli:
W(ai,qj)³ W(ak,qj) dla ka¿degoq Î Q (1) Decyzja œciœle dominuj¹ca to taka decyzja ai Î A lepsza od decyzji akÎ A, je¿eli:
W(ai,qj)³ W(ak,qj) dla ka¿degoq Î Q oraz
W(ai,qj) > W(ak,qj) dla ka¿degoq Î Q (2)
Decyzja aiÎ A jest równowa¿na akÎ A gdy:
W(ai,qj) = W(ak,qj) dla ka¿degoq Î Q (3) Ze wzglêdu na mo¿liwoœæ realizacji wyró¿nia siê decyzje dopuszczalne i niedopusz- czalne. Decyzj¹ dopuszczaln¹ ai Î A jest taka decyzja, gdy nie istnieje decyzja œciœle j¹ dominuj¹ca. W przypadku istnienia decyzji œciœle dominuj¹cej decyzjê ai Î A uznaje siê za niedopuszczaln¹. St¹d decyzja niedopuszczalna nigdy nie bêdzie optymaln¹, nie jest konieczne uwzglêdnianie jej w dalszej analizie, a liczba mo¿liwych decyzji problemu ulega zmniejszeniu.
2. Teoria optymalizacji wielokryterialnej, wektorowa zasada optymalnoœci Bellmana
Celem analizy wszelakich problemów decyzyjnych jest poszukiwanie rozwi¹zania opty- malnego. Niezale¿nie od rodzaju optymalizacji (liniowej, nieliniowej, dyskretnej optyma- lizacji dynamicznej i in.) sprowadza siê ona do poszukiwania pewnego optimum. O ile matematyczna definicja optymalizacji jest prosta, to praktyczne wyznaczanie optimum ju¿
takim nie jest. W wielu problemach rzeczywistych model decyzyjny cechuje skomplikowana funkcja, dla której wyszukanie optimum globalnego lub w zadanym zakresie nie jest ³atwe.
Wyszukiwaniu temu s³u¿¹ liczne algorytmy optymalizacji wypracowane przez badania operacyjne.
Standardowe zagadnienie optymalizacji jednokryterialnej przyjmuje jako podstawê roz- wi¹zania pojedyncze kryterium, dla którego w przestrzeni decyzyjnej poszukiwane jest rozwi¹zanie (decyzja) dopuszczalne takie, w którym funkcja celu przyjmuje wartoœæ ekstre- maln¹ (minimaln¹ b¹dŸ maksymaln¹). W realnych problemach decyzyjnych zachodzi jed- nak¿e koniecznoœæ rozpatrzenia wiêkszej liczby (zbioru) kryteriów, inaczej ujmuj¹c d¹¿y siê do osi¹gniêcia wiêcej ni¿ jednego celu. Prowadzi to do formu³owania zadañ wielokry- terialnych (wielokryteriowych, polioptymalizacji). W problematyce gospodarki z³o¿ami i ochronie zasobów zagadnienie to podejmowali m.in.: Przyby³a (1985), Underwood i Tolwiñski (1998), Kasztelewicz (2005), Radwanek-B¹k (2007), Uberman i Ostrêga (2008).
Zadania wielokryteriowe s¹ czêsto zadaniami wielokryteriowego programowania linio- wego. W tego typu zadaniach nazywanych zadaniami wektorowej maksymalizacji okreœlane s¹ co najmniej dwie, liniowe funkcje celu, które maj¹ byæ maksymalizowane.
Ogólny zapis optymalizacji zadania wielokryteriowego ma postaæ:
f1= c11x1+ ... + c1nxnÞ max f2= c21x1+ ... + c2nxnÞ max fK= cK1x1+ ... + cKnxnÞ max
(4)
a11x1+ ... + a1nxn= b1
a21x1+ ... + a2nxn= b2
am1x1+ ... + amnxn= bm
(5)
x1³ 0, ... xn³ 0 (6)
gdzie:
x – zmienne decyzyjne, f – funkcje celu.
Zak³adaj¹c, ¿e zadanie jest niesprzeczne i posiada skoñczone rozwi¹zanie optymalne, dla ka¿dej z funkcji celu poszukiwana jest wartoœæ najwiêksza. Funkcje celu ujmowane s¹ jako jedna funkcja wektorowa F(x), co mo¿na zapisaæ:
F(x) =
f x c x
f x c x
T
K KT
1( ) 1
( )
=
= æ
è çç çç
ö
ø
÷÷
÷÷
M Þ max
(7)
Zadanie wielokryteriowe programowania liniowego mo¿e byæ rozpatrywane w dwu przestrzeniach: decyzyjnej (ze wzglêdu na zmienne decyzyjne: x1,..., xn) oraz kryterialnej (ze wzglêdu na kryteria f1, ..., fK). Zatem oprócz zbioru decyzji dopuszczalnych, bêd¹- cego podzbiorem przestrzeni decyzyjnej, zachodzi koniecznoœæ porównywania wektorów, których sk³adowymi s¹ wartoœci poszczególnych kryteriów. Wektory te s¹ elementami przestrzeni kryterialnej. Dla wektorowej maksymalizacji relacja dominacji okreœlana jest nastêpuj¹co (Trzaskalik 2006): wektor ocen y1dominuje wektor y2, je¿eli y1jest nie gorszy od y2oraz istnieje przynajmniej jedna sk³adowa wektora y1wiêksza od odpowiadaj¹cej jej sk³adowej wektora y2. Gdy obie sk³adowe s¹ sobie równe, wektory te s¹ równie dobre (równowa¿ne).
Sytuacja, w której wszystkie wektory ocen yis¹ dominuj¹ce nad pozosta³ymi wektorami ocen rozwi¹zañ dopuszczalnych, jest rzadka w realnych problemach decyzyjnych. Zaz- wyczaj stawiane do osi¹gniêcia cele w modelu wielokryterialnym s¹ ze sob¹ sprzeczne. Oz- nacza to, ¿e polepszenie wartoœci jednego kryterium nastêpuje kosztem obni¿enia wartoœci innego. Sytuacja, gdy istnieje rozwi¹zanie œciœle dominuj¹ce lub chocia¿ tylko dominuj¹ce, jest rzadkoœci¹. W przypadku zaistnienia tej relacji jest ono rozwi¹zaniem optymalnym wektorowo. W przypadku braku rozwi¹zania dominuj¹cego za rozwi¹zanie zadania uwa¿a siê rozwi¹zania niezdominowane, czyli takie, dla których nie istniej¹ rozwi¹zania lepsze, tak wiêc nie jest mo¿liwa poprawa wartoœci ¿adnego z kryterium bez koniecznoœci pogorszenia wartoœci innego (optimum w sensie Pareto). Rozwi¹zanie lub rozwi¹zania niezdominowane
s¹ zatem rozwi¹zaniami optymalnymi wektorowo w przestrzeni kryterialnej. W przestrzeni decyzyjnej odpowiadaj¹ce im rozwi¹zania okreœla siê mianem rozwi¹zañ sprawnych.
Rozwi¹zanie zadania wielokryterialnego, dla którego uzyskano wiele rozwi¹zañ spraw- nych, nie jest jednoznaczne. Nale¿y dokonaæ koñcowego wyboru, które z rozwi¹zañ jest najlepsze. Wybór rozwi¹zania zale¿eæ bêdzie od preferencji decydenta b¹dŸ te¿ znajomoœci pewnych faktów, które nie zawsze zapisane s¹ w sposób pe³ny w modelu. Subiektywny w ostatecznoœci wybór rozwi¹zania bêdzie decyzj¹ koñcow¹.
Regu³a Bellmana stosowana jest w rozwi¹zywaniu zadañ optymalizacji dyskretnej pro- gramowania dynamicznego. Rozwik³anie zadania dyskretnego rozpoczyna ustalenie liczby etapów procesu decyzyjnego, a nastêpnie zdefiniowanie zmiennych stanu i decyzyjnych, wyznaczenie funkcji przejœcia, identyfikacja zbioru stanów pocz¹tkowych i koñcowych.
Zasadniczym etapem jest konstrukcja równañ optymalnoœci i ich rozwi¹zanie z wyko- rzystaniem regu³y Bellmana. Klasyczna zasada Bellmana dla zadania o jednym kryterium decyzyjnym g³osi, ¿e strategia optymalna (ci¹g decyzji) ma tê w³aœciwoœæ, ¿e niezale¿nie od stanu pocz¹tkowego i decyzji pocz¹tkowej, pozosta³e decyzje musz¹ stanowiæ politykê optymaln¹ ze wzglêdu na stan wynikaj¹cy z pierwszej decyzji (Bellman 1965; Bellman, Dreyfuss 1967; Angel, Bellman 1972).
Strategia jest funkcj¹, która ka¿demu stanowi dopuszczalnemu, w jakim mo¿e znaleŸæ siê proces, przypisuje pewn¹ decyzjê dopuszczaln¹, mo¿liw¹ do realizacji. Ta spoœród strategii, która ka¿demu stanowi dopuszczalnemu przyporz¹dkowuje decyzjê optymaln¹, jest nazy- wana strategi¹ optymaln¹. Przyk³adowe zastosowania programowania dynamicznego w rolnictwie, leœnictwie, gospodarce przestrzennej, rybo³ówstwie opisuje Kennedy (1986).
Adaptacjê regu³y Bellmana do jednokryterialnego zagadnienia programowania udostêp- nienia z³o¿a przedstawiono w artykule Krzaka i Panajewa (2008).
Wektorowa zasada optymalnoœci Bellmana stanowi, ¿e strategia sprawna ma tê w³asnoœæ,
¿e niezale¿nie od stanu pocz¹tkowego i decyzji pocz¹tkowej, pozosta³e decyzje musz¹ stanowiæ ci¹g decyzji sprawnych ze wzglêdu na stan wynikaj¹cy z pierwszej decyzji (Trzas- kalik 2008). Jak widaæ ró¿nica w definicji w odniesieniu do klasycznej regu³y odnosi siê do rozwi¹zañ sprawnych generowanych na podstawie analizy rozwi¹zañ w przestrzeni kryterialnej. Regu³a Bellmana w ujêciu wielokryterialnym mo¿e byæ stosowana do poszu- kiwania zbioru realizacji niezdominowanych w przestrzeni kryterialnej i zbioru realizacji sprawnych w przestrzeni decyzyjnej.
3. Wykorzystanie wektorowej zasady Bellmana w gospodarce z³o¿em
Zamierzeniem jednej z kopalñ polskiego koncernu miedziowego jest optymalizacja rozdzia³u posiadanych pewnych nak³adów na inwestycje bie¿¹ce w szeœciu oddzia³ach wydobywczych (tab. 1). Program inwestycyjny obejmie czêœciow¹ wymianê i dostosowanie parku maszynowego do warunków geologiczno-górniczych z³o¿a oraz ³¹czy siê z postulatem poprawy wydajnoœci produkcji oraz efektywnoœci wykorzystania zasobów. Posiadana przez
kopalniê pula œrodków jest nie wystarczaj¹ca dla modernizacji wszystkich oddzia³ów.
Problemem decyzyjnym jest wiêc taka alokacja œrodków pieniê¿nych, by zmaksymalizowaæ wielkoœæ produkcji oraz przychody z produkcji rudy przy jednoczesnym d¹¿eniu do jak najni¿szego poziomu strat eksploatacyjnych.
Problemem decyzyjnym jest wiêc trzykryterialne zagadnienie alokacji. Rozwi¹zanie zadania zostanie pokazane w etapach w rozbiciu zadania na dwukryterialne problemy decyzyjne. Ponadto w przytaczanym przyk³adzie zbiory stanów i decyzji s¹ skoñczone, istnieje zatem mo¿liwoœæ jawnego przeœledzenia i wypisania poszczególnych stanów. Za- danie statyczne przekszta³camy w problem dynamiczny przyjmuj¹c umowny podzia³ na etapy. Liczba etapów odpowiada liczbie oddzia³ów, mamy zatem do czynienia z 6-etapowym dyskretnym, dynamicznym problemem decyzyjnym.
Etap I – maksymalizacja wielkoœci produkcji oraz minimalizacja strat
Zadanie w powy¿szej postaci nie jest zagadnieniem wektorowej maksymalizacji, gdy¿
jedna z funkcji jest minimalizowana. Dokonano wiêc przekszta³cenia wyliczaj¹c efek- tywnoœæ wykorzystania zasobów w zale¿noœci od wysokoœci strat eksploatacyjnych:
E=100-S 100
(8)
gdzie S to straty eksploatacyjne (tab. 2). W tabeli 2 oprócz efektywnoœci wydobycia zesta- wiono szacowane wielkoœci produkcji stosownie do przydzielonych œrodków pieniê¿nych.
Przewidziana na inwestycje bie¿¹ce suma œrodków wynosi yt= 5 mln USD. Stanem ytna pocz¹tku etapu t jest kwota, któr¹ mo¿emy dysponowaæ w tym etapie, pozosta³a po odjêciu od ca³oœci kwot przydzielonych w poprzednich etapach. W etapie t konieczne jest okreœlenie jak¹ czeœæ funduszy xtprzydzielamy na inwestycje w konkretnym oddziale. Wartoœæ funkcji ft(1)(yt, xt) okreœla produkcjê z oddzia³ów, natomiast wartoœæ funkcji ft(2)(yt, xt) opisuje
TABELA 1 Podstawowa charakterystyka oddzia³ów
TABLE 1 Basic parameters of exploitation divisions
Oddzia³ Zawartoœæ Cu [%] Zawartoœæ Ag [g/t] Wydobycie [Mg/dobê] Straty eksploatacyjne (S) [%]
A 3,39 33 3 400 9,5
B 3,47 27 3 400 7,8
C 2,79 35 2 500 8,6
D 3,13 38 3 200 8,0
E 2,84 56 3 000 6,4
F 2,68 55 2 800 9,7
efektywnoœæ wykorzystania zasobów rudy stosownie do przydzielonych œrodków. Wartoœci tych funkcji zale¿¹ od iloœci œrodków przydzielonych konkretnemu oddzia³owi, nie zale¿¹ natomiast od iloœci œrodków dostêpnych na pocz¹tku etapu. Przyk³adowe wartoœci funkcji ft(1)( yt, xt) i ft(2)( yt, xt) dla oddzia³ów A i D wynosz¹:
f1(1)(5, 0) = 3 400, f1(2)(5, 0) = 0,905;
f1(1)(5, 1) = 3 450, f1(2)(5, 0) = 0,906;
f1(1)(5, 2) = 3 550, f1(2)(5, 0) = 0,913;
f1(1)(5, 3) = 3 600, f1(2)(5, 0) = 0,914;
f1(1)(5, 4) = 3 800, f1(2)(5, 0) = 0,921;
f1(1)(5, 5) = 3 900, f1(2)(5, 0) = 0,923;
f6(1)(y6, 0) = 3 200, f6(2)(y6, 0) = 0,920;
f6(1)(y6, 1) = 3 200, f6(2)(y6, 1) = 0,920;
f6(1)(y6, 2) = 3 300, f6(2)(y6, 2) = 0,925;
f6(1)(y6, 3) = 3 400, f6(2)(y6, 3) = 0,926;
f6(1)(y6, 4) = 3 450, f6(2)(y6, 4) = 0,928;
f6(1)(y6, 5) = 3 500, f6(2)(y6, 5) = 0,933.
Ogólnie ujmuj¹c funkcja f(1)(y1, x1, y2, x2, y3, x3, y4, x4, y5, x5, y6, x6) oznacza ³¹czn¹ produkcjê z oddzia³ów, zaœ funkcja f(2)(y1, x1, y2, x2, y3, x3, y4, x4, y5, x5, y6, x6) efektywnoœæ eksploatacji z³o¿a w oddzia³ach. Zatem funkcjê produkcji rudy i efektywnoœci wyko- rzystania z³o¿a mo¿na zapisaæ odpowiednio jako nastêpuj¹c¹ sumê i iloczyn:
f( )1(y1, x1, y2, x2, y3, x3, y4, x4, y5, x5, y6, x6) = f( )1(y1, x1) + f( )1 (y2, x2) + + f( )1(y3, x3) + f( )1 (y4, x4) + f( )1 (y5, x5) + f( )1(y6, x6)
(9)
TABELA 2 Wydobycie rudy (P) oraz efektywnoœæ wykorzystania zasobów (E) w oddzia³ach
przy wdra¿aniu programu inwestycyjnego
TABLE 2 Ore output (P) end exploitation efficiency of reserve base (E) in mine divisions during
the investment program implementation
Przydzielona kwota
Oddzia³ A Oddzia³ B Oddzia³ C Oddzia³ D Oddzia³ E Oddzia³ F
P E P P P E P E E E P E
0 3 400 0,905 3 400 0,922 2 500 0,914 3 200 0,920 3 000 0,936 2 800 0,903 1 3 450 0,906 3 400 0,922 2 650 0,916 3 200 0,920 3 200 0,945 3 000 0,908 2 3 550 0,913 3 500 0,930 2 750 0,919 3 300 0,925 3 300 0,946 3 150 0,914 3 3 600 0,914 3 500 0,930 2 800 0,922 3 400 0,926 3 350 0,947 3 150 0,914 4 3 800 0,921 3 650 0,935 2 900 0,926 3 450 0,928 3 350 0,947 3 250 0,919 5 3 900 0,923 3 750 0,938 3 000 0,929 3 500 0,933 3 400 0,948 3 400 0,929
oraz
f( )2 (y1, x1, y2, x2, y3, x3, y4, x4, y5, x5, y6, x6) = f( )2 (y1, x1)× f( )2 (y2, x2)×
× f( )2 (y3, x3)× f( )2 (y4, x4)× f( )2 (y5, x5)× f( )2 (y6, x6)
(10)
Wieloetapowa wektorowa funkcja kryterium jest zatem postaci:
F=[f( )1 ,f( )2 ]Þmax (11) Funkcja Ft(yt, xt) jest wektorem, w którym pierwsza sk³adowa okreœla produkcjê rudy w oddziale t, druga zaœ efektywnoœæ wykorzystania z³o¿a, czyli:
F y xt( t, t) [= ft( )1 (y xt, t),ft( )2 (y xt, t)]Þmax (12) Aby oceniæ w sposób ³¹czny funkcjonowanie oddzia³ów w modelu, konieczne jest zdefiniowanie pewnego dzia³ania „o” w sposób nastêpuj¹cy: o = (+, ×). Dzia³anie „o”
obejmuje dodawanie oraz mno¿enie. Przyk³adowa ³¹czn¹ ocenê dzia³ania modelu dla od- dzia³ów E i F opisuj¹ wektory:
F5(y5, x5)o F6(y6, x6) = [f5(1)(y5, x5) + f6(1)(y6, x6), f5(2)(y5, x5)× f6(2)(y6, x6)] (13) Dzia³anie „o = (+, ×)” bêdzie wykorzystywane tak¿e w krokach nastêpnych. Ocena funkcjonowania oddzia³u D wraz z ³¹czn¹ ocen¹ funkcjonowania oddzia³ów E i F wyra¿ona jest funkcj¹:
F4(y4, x4)o {F5(y5, x5)o F6(y6, x6)} = [f4(1)(y4, x4) + f5(1)(y5, x5) + f6(1)(y6, x6), F4(2)(y4, x4)× f5(2)(y5, x5)× f6(2)(y6, x6)]
(14)
Ten tok postêpowania nale¿y przeprowadziæ a¿ do etapu pocz¹tkowego, czyli oceny funk- cjonowania oddzia³u A z ³¹czn¹ ocen¹ funkcjonowania oddzia³ów pozosta³ych. W ka¿dym etapie rozwi¹zanie problemu polegaæ bêdzie na poszukiwaniu niezdominowanych wektorów ocen w przestrzeni kryterialnej i odpowiadaj¹cych im rozwi¹zañ w przestrzeni decyzyjnej.
Powracaj¹c do konkretnych wartoœci liczbowych problemu decyzyjnego oraz pamiêtaj¹c,
¿e regu³a Bellmana wymaga rozwi¹zania programu od etapu koñcowego przyjmijmy, ¿e na pocz¹tku etapu 6 dysponujemy y6jednostek pieniê¿nych, y6Î Y6. Znajdujemy zatem zbiory:
G6*(y6) = max {F6(y6, x6): x6Î X6(y6)} (15) Zbiór G6*(y6) zawiera niezdominowane wektory ocen dla oddzia³u F, w którym sk³a- dowe ka¿dego wektora oznaczaj¹ wielkoœæ produkcji, jak¹ mo¿na uzyskaæ z eksploatacji w tym oddziale oraz efektywnoœæ wykorzystania zasobów, je¿eli na dzia³alnoœæ tego od-
dzia³u przeznaczymy pewn¹ kwotê œrodków y6. Wielkoœci te wynosz¹ w przestrzeni kry- terialnej i decyzyjnej kolejno:
G6*(0) = F6(0, 0) = {[2800; 0,903]}, x6*(0) = {0}, G6*(1) = F6(1, 1) = {[3000; 0,908]}, x6*(1) = {1}, G6*(2) = F6(2, 2) = {[3150; 0,914]}, x6*(2) = {2}, G6*(3) = F6(3, 3) = {[3150; 0,914]}, x6*(3) = {3}, G6*(4) = F6(4, 4) = {[3250; 0,919]}, x6*(4) = {4}, G6*(5) = F6(5, 5) = {[3400; 0,929]}, x6*(5) = {5}.
Na pocz¹tku etapu 5. pozosta³a do dyspozycji iloœæ œrodków pieniê¿nych wynosi y5, y5Î Y5. Jak¹ zatem ich czêœæ przydzieliæ oddzia³owi E, tak by znaleziony ci¹g decyzji by³ sprawny? Wyliczamy elementy zbioru zawieraj¹cego niezdominowane wektory ocen dla oddzia³u E i F, przy za³o¿eniu, ¿e na dzia³anie oddzia³u E mo¿emy przydzieliæ y5
jednostek pieniê¿nych:
G5*(y5) = max {F5(y5, x5)o G6*(y5– x5): x5Î X5(y5)}. (16)
Dla poszczególnych stanów dopuszczalnych wynosz¹ one:
G5*(0) = max
{
[3000 0 936; , ] [o 2800 0 903; , ]} {
= [5800 0 84521; , ]}
x5*(0) = {0}
G5*(1) = max [ ; , ] [ ; , ]
[ ; , ] [ ; , ]
3000 0 936 3000 0 908 3200 0 945 2800 0 903
o o ìí
î
üý
þ = ì
íî
üý þ=
max [ ; , ]
[6000 0 84989; , ] [
6000 0 85334
{
6000; ,0 85334]}
x5*(1) = {1},
G5*(2) = max
[ ; , ] [ ; , ]
[ ; , ] [ ; , ]
3000 0 936 3150 0 914 3200 0 945 3000 0 908
o o
[ ; , ] [ ; , ]
max
[ ; ,
3300 0 946 2800 0 903
6150 0 855 o
ì íï îï
ü ýï þï
=
50 6200 0 85806 6100 0 85424
6200 0 ]
[ ; , ]
[ ; , ]
[ ; , ì
íï îï
ü ýï þï
=
{
85806]}
x5*(2) = {1},
G5*(3) = max
[ ; , ] [ ; , ]
[ ; , ] [ ; , ]
3000 0 936 3150 0 914 3200 0 945 3150 0 914
o o
[ ; , ] [ ; , ]
[ ; , ] [ ; , ]
3300 0 946 3000 0 908 3350 0 947 2800 0 903
o o ì
íïï î ïï
ü ýïï þ ïï
= max
[ ; , ]
[ ; , ]
[
6150 0 85550 6350 0 86373 6300 0 85897 6150 0 85514
6350 0 863
; , ]
[ ; , ]
[ ; , ì
íïï î ïï
ü ýïï þ ïï
=
{
73]}
x5*(3) = {1},
G5*(4) = max
[ ; , ] [ ; , ]
[ ; , ] [ ; , ]
3000 0 936 3250 0 919 3200 0 945 3150 0 914
o o
[ ; , ] [ ; , ]
[ ; , ] [ ; , ]
3300 0 946 3150 0 914 3350 0 947 3000 0 908
o o
[ ; , ] [ ; , ]
max [
3350 0 947 2800 0 903
62
o ì
í ïïï
î ïï ï
ü
ý ïïï
þ ïï ï
=
50 0 86018 6350 0 86373 6450 0 86464 6350 0 859
; , ]
[ ; , ]
[ ; , ]
[ ; ,
{ }
88 6150 0 85514
6450 0 86464 ]
[ ; , ]
[ ; , ]
ì
í ïïï
î ïï ï
ü
ý ïïï
þ ïï ï
=
x5*(4) = {2}
G5*(5) = max
[ ; , ] [ ; , ]
[ ; , ] [ ; , ]
3000 0 936 3400 0 929 3200 0 945 3250 0 919
o o
[ ; , ] [ ; , ]
[ ; , ] [ ; , ]
3300 0 946 3150 0 914 3350 0 947 3150 0 914
o o
[ ; , ] [ ; , ]
[ ; , ] [ ; , ]
3350 0 947 3000 0 908 3400 0 948 2800 0 903
o o ì
í ïï ï
î ïï ï
ü
ý ïï ï
þ ïï ï
= max
[ ; , ]
[ ; , ]
6400 0 86954 6450 0 86846
[ ; , ]
[ ; , ]
[ ; , ]
[ ; , 6450 0 86464 6500 0 86556 6350 0 85988 6200 0 85604
6400 0 86954 6450 0 868
]
[ ; , ]
[ ; , ì
í ïï ï
î ïï ï
ü
ý ïï ï
þ ïï ï
= 46
6500 0 86556 ]
[ ; , ]
ì íï îï
ü ýï þï
x5*(5) = {0, 1, 3}.
W etapie 4. pozosta³a do dyspozycji iloœæ œrodków pieniê¿nych wynosi y4, y4Î Y4. Nale¿y dokonaæ takiego przydzia³u œrodków oddzia³owi D, tak by znaleziony ci¹g decyzji by³ nadal sprawny. Tok dalszego postêpowania jest analogiczny jak dla wczeœniejszych wyliczeñ, przy czym wielkoœci wydobycia oraz efektywnoœci dla oddzia³u D s¹ porów- nywane z maksymalnymi wektorami ocen dla oddzia³ów E i F ³¹cznie, przy za³o¿eniu, ¿e na poprawê efektów dzia³alnoœci oddzia³u D mo¿emy przydzieliæ y4jednostek pieniê¿nych:
G4*(y4) = max {F4(y4, x4)o G5*(y4– x4): x4Î X4(y4)} (17) Dla przejrzystoœci wywodu dalsze obliczenia prezentowane s¹ w formie tabelarycznej.
Wartoœci maksymalne zaznaczono pogrubion¹ czcionk¹. Zbiór G4*(y4) zawiera niezdo- mionowane wektory ocen dla oddzia³u D, E i F (tab. 3).
W etapie 3. do dyspozycji pozostaje y3 œrodków pieniê¿nych, y3 Î Y3. Cel zadania pozostaje analogiczny, a zbiór niezdominowanych wektorów ocen ma postaæ:
G3*(y3) = max {F3(y3, x3)o G4*(y3– x3): x3Î X3(y3)} (18) Wyniki obliczeñ zestawia tabela 4.
W etapie 2. do dyspozycji pozostaje y2 œrodków pieniê¿nych, y2 Î Y2. Cel zadania pozostaje analogiczny, a zbiór niezdominowanych wektorów ocen ma postaæ:
G2*(y2) = max {F2(y2, x2)o G3*(y2– x2): x2Î X2(y2)} (19) Wyniki obliczeñ zestawia tabela 5.
TABELA 3 Niezdominowane wektory ocen dla oddzia³ów D, E i F (etap I)
TABLE 3 Not-dominated vectors of assessment for divisions D, E and F (stage I)
yt F4(y4, x4) G5*(y4– x4) G4*(y4)
0
3 200 0,920 5 800 0,84521 9 000 0,77759
x4*(0) = {0}
1
3 200 0,920 6 000 0,84989 9 200 0,78190
3 200 0,920 6 000 0,85334 9 200 0,78507
3 200 0,920 5 800 0,84521 9 000 0,77759
x4*(1) = {0}
2
3 200 0,920 6 200 0,85806 9 400 0,78942
3 200 0,920 6 000 0,85334 9 200 0,78507
3 300 0,925 5 800 0,84521 9 100 0,78182
x4*(2) = {0}
3
3 200 0,920 6 350 0,86373 9 550 0,79463
3 200 0,920 6 200 0,85806 9 400 0,78942
3 300 0,925 6 000 0,85334 9 300 0,78933
3 400 0,926 5 800 0,84521 9 200 0,78266
x4*(3) = {0}
4
3 200 0,920 6 450 0,86464 9 650 0,79547
3 200 0,920 6 350 0,86373 9 550 0,79463
3 300 0,925 6 200 0,85806 9 500 0,79371
3 400 0,926 6 000 0,85334 9 400 0,79019
3 450 0,928 5 800 0,84521 9 250 0,78435
x4*(4) = {0}
5
3 200 0,920 6 400 0,86954 9 600 0,79998
3 200 0,920 6 450 0,86846 9 650 0,79898
3 200 0,920 6 500 0,86556 9 700 0,79631
3 200 0,920 6 450 0,86464 9 650 0,79547
3 300 0,925 6 350 0,86373 9 650 0,79895
3 400 0,926 6 200 0,85806 9 600 0,79456
3 450 0,928 6 000 0,85334 9 450 0,79189
3 500 0,933 5 800 0,84521 9 300 0,78858
x4*(5) = {0}
TABELA 4 Niezdominowane wektory ocen dla oddzia³ów C, D, E i F (etap I)
TABLE 4 Not-dominated vectors of assessment for divisions C, D, E and F (stage I)
yt F3(y3, x3) G4*(y3– x3) G3*(y3)
0
2 500 0,914 9 000 0,77759 11 500 0,71072
x3*(0) = {0}
1
2 500 0,914 9 200 0,78507 11 700 0,71755
2 650 0,916 9 000 0,77759 11 650 0,71227
x3*(1) = {0}
2
2 500 0,914 9 400 0,78942 11 900 0,72153
2 650 0,916 9 200 0,78507 11 850 0,71912
2 750 0,919 9 000 0,77759 11 750 0,71461
x3*(2) = {0}
3
2 500 0,914 9 550 0,79463 12 050 0,72629
2 650 0,916 9 400 0,78942 12 050 0,72310
2 750 0,919 9 200 0,78507 11 950 0,72148
2 800 0,922 9 000 0,77759 11 800 0,71694
x3*(3) = {0}
4
2 500 0,914 9 650 0,79547 12 150 0,72706
2 650 0,916 9 550 0,79463 12 200 0,72788
2 750 0,919 9 400 0,78942 12 150 0,72547
2 800 0,922 9 200 0,78507 12 000 0,72383
2 900 0,926 9 000 0,77759 11 900 0,72005
x3*(4) = {1}
5
2 500 0,914 9 600 0,79998 12 100 0,73118
2 500 0,914 9 650 0,79898 12 150 0,73027
2 500 0,914 9 700 0,79631 12 200 0,72783
2 650 0,916 9 650 0,79547 12 300 0,72865
2 750 0,919 9 550 0,79463 12 300 0,73027
2 800 0,922 9 400 0,78942 12 200 0,72784
2 900 0,926 9 200 0,78507 12 100 0,72697
3 000 0,929 9 000 0,77759 12 000 0,72238
x3*(5) = {0, 2}
TABELA 5 Niezdominowane wektory ocen dla oddzia³ów B, C, D, E i F (etap I)
TABLE 5 Not-dominated vectors of assessment for divisions B, C, D, E and F (stage I)
yt F2(y2, x2) G3*(y2– x2) G2*(y2)
0
3 400 0,922 11 500 0,71072 14 900 0,65528
x2*(0) = {0}
1
3 400 0,922 11 700 0,71755 15 100 0,66158
3 400 0,922 11 500 0,71072 14 900 0,65528
x2*(1) = {0}
2
3 400 0,922 11 900 0,72153 15 300 0,66525
3 400 0,922 11 700 0,71755 15 100 0,66158
3 500 0,930 11 500 0,71072 15 000 0,66097
x2*(2) = {0}
3
3 400 0,922 12 050 0,72629 15 450 0,66964
3 400 0,922 11 900 0,72153 15 300 0,66525
3 500 0,930 11 700 0,71755 15 200 0,66732
3 500 0,930 11 500 0,71072 15 000 0,66097
x2*(3) = {0}
4
3 400 0,922 12 200 0,72788 15 600 0,67111
3 400 0,922 12 050 0,72629 15 450 0,66964
3 500 0,930 11 900 0,72153 15 400 0,67102
3 500 0,930 11 700 0,71755 15 200 0,66732
3 650 0,935 11 500 0,71072 15 150 0,66452
x2*(4) = {0}
5
3 400 0,922 12 100 0,73118 15 500 0,67415
3 400 0,922 12 300 0,73027 15 700 0,67331
3 400 0,922 12 200 0,72788 15 600 0,67111
3 500 0,930 12 050 0,72629 15 550 0,67545
3 500 0,930 11 900 0,72153 15 400 0,67102
3 650 0,935 11 700 0,71755 15 350 0,67091
3 750 0,938 11 500 0,71072 15 250 0,66665
x2*(5) = {0, 2}
Na pocz¹tku etapu 1. w dyspozycji decydenta jest y1= 5 mln USD. Poszukujemy zbioru:
G1*(5) = max {F1(y1, x1) ? G2*(y1– x1): x1Î X1(y1)} (20) którego wartoœci przedstawia tabela 6.
Zrealizowane obliczenia wskazuj¹, ¿e istniej¹ dwa niezdominowane wektory ocen, którym odpowiadaj¹ dwa rozwi¹zania sprawne (tab. 7).
Koñcowe, niezdominowane wektory ocen odpowiadaj¹ odpowiednim wartoœciom funkcji celu. Optymalna alokacja œrodków finansowych na poprawê funkcjonowania oddzia³ów w zakresie wzrostu produkcji oraz efektywnoœci wykorzystania zasobów z³o-
¿a mo¿e zostaæ przeprowadzona dwojako. Doinwestowane zostan¹ oddzia³y C, E i F w wysokoœci odpowiednio 2, 1 i 2 mln USD albo oddzia³y A, E i F w identycznych jak
TABELA 6 Niezdominowane wektory ocen dla oddzia³ów A, B, C, D, E i F (etap I)
TABLE 6 Not-dominated vectors of assessment for divisions A, B, C, D, E and F (stage I)
yt F1(y1, x1) G2*(y1– x1) G1*(y1)
5
3 400 0,905 15 700 0,67331 19 100 0,60934
3 400 0,905 15 550 0,67545 18 950 0,61128
3 450 0,906 15 600 0,67111 19 050 0,60802
3 550 0,913 15 450 0,66964 19 000 0,61138
3 600 0,914 15 300 0,66525 18 900 0,60804
3 800 0,921 15 100 0,66158 18 900 0,60932
3 900 0,923 14 900 0,65528 18 800 0,60483
x1*(5) = {0, 2}
TABELA 7 Niezdominowane wektory ocen oraz rozwi¹zania sprawne etapu I
TABLE 7 Not-dominated vectors of assessment and efficient solutions for stage I
Niezdominowane wektory ocen Rozwi¹zanie sprawne
[19100; 0,60934] x1= 0, x2= 0, x3= 2, x4= 0, x5= 1, x6= 2 [19000; 0,61138] x1= 2, x2= 0, x3= 0, x4= 0, x5= 1, x6= 2
wy¿ej wysokoœciach. Koñcowy wybór decyzji ze zbioru rozwi¹zañ sprawnych zale¿y od decydenta i mo¿e zostaæ dokonany po analizie innych istotnych faktów nie zawartych w modelu, b¹dŸ mo¿e byæ decyzj¹ nie opart¹ o ¿adne dodatkowe przes³anki. Zwiêkszenie, co oczywiste, efektywnoœci wykorzystania zasobów z³o¿a skutkuje mniejszymi wiel- koœciami produkcji.
Etap II – maksymalizacja przychodu oraz minimalizacja strat
W etapie II dokonana zostanie maksymalizacja przychodu ze sprzeda¿y rudy oraz minimalizacja strat. Przychód wyliczono korzystaj¹c z formu³y Net Smelter Return (NSR) (Wills 1992; Strzelska-Smakowska 2003):
NSR (1 Mg rudy) = [a P× -(TC RC DC+ + )- + × ×K B] e a b
(21)
gdzie:
a – p³atna iloœæ metalu w koncentracie, P – cena gie³dowa metalu,
TC – op³ata za wytop 1t koncentratu, RC – op³ata za rafinacjê 1t metalu,
DCРkoszt jednostkowy transportu koncentratu do huty, K Рkara za obecnoϾ w koncentracie domieszek szkodliwych
ponad ustalony poziom,
B – premia za obecnoœæ w koncentracie domieszek u¿ytecznych ponad ustalony poziom,
e – uzysk przeróbczy,
a РzawartoϾ metalu w rudzie, b РzawartoϾ metalu w koncentracie,
W przypadku koncentratów polimetalicznych cena NSR wyliczana jest jako suma cen za poszczególne metale. W analizowanym przypadku s¹ to miedŸ i srebro. Do obliczeñ przyjêto œrednie ceny miedzi i srebra dla okresu styczeñ-sierpieñ 2008, stosownie do notowañ metali na LME i LBMA, tj. odpowiednio: 8094,25 USD/t dla Cu oraz 0,5517 USc/g dla Ag, œrednie wysokoœci op³at hutniczych i rafinacyjnych w wymiarze 47,2 USD/t koncentratu i 104,05 USD/t miedzi. Jakoœæ koncentratu oszacowano na 27% Cu i 460 g/t Ag przy uzyskach metali na poziome 89%. W obliczeniach przyjêto standardowe wielkoœci potr¹ceñ:
1% Cu i 30 g/t Ag. Pominiêto koszty transportu oraz nie uwzglêdniano kar za domieszki szkodliwe oraz premii za domieszki po¿yteczne przyjmuj¹c, ¿e w obu przypadkach nie przekraczaj¹ ustalonych poziomów. Ceny rudy w poszczególnych oddzia³ach przeliczono w stosunku do ceny najni¿szej (oddzia³ C) i zestawiono w tabeli 8.
W kolejnym kroku wyliczono wielkoœci przychodów wynikaj¹ce ze zdolnoœci pro- dukcyjnych oddzia³ów przemna¿aj¹c proporcjê cenow¹ przez wielkoœæ wydobycia. Wiel-
koœci te wykorzystano w dalszych operacjach rachunkowych w poszukiwaniu niezdo- minowanych wektorów ocen w przestrzeni kryterialnej i odpowiadaj¹cych im rozwi¹zañ w przestrzeni decyzyjnej. Zarówno straty, dzia³ania na sk³adowych wektorów, jak i wszystkie za³o¿enia przyjmowano analogicznie jak w etapie I. W tabelach 9–14 ze- stawiono wyniki obliczeñ oraz zaznaczono maksymalne wektory ocen dla poszczególnych stanów.
Przeprowadzone obliczenia postuluj¹ istnienie trzech niezdominowanych wektorów ocen, którym odpowiadaj¹ trzy rozwi¹zania sprawne (tab. 15).
TABELA 8 Ceny rudy w oddzia³ach
TABLE 8 Ore prices in mine divisions
Oddzia³ NSR (USD/t) Stosunek cen
A 240,92 1,195
B 243,72 1,209
C 201,62 1,000
D 225,65 1,119
E 213,90 1,061
F 202,77 1,006
TABELA 9 Niezdominowane wektory ocen dla oddzia³u F (etap II)
TABLE 9 Not-dominated vectors of assessment for divisions F (stage II)
yt F6(y6, x6) G6*(y6) xt
0 2 816,01 0,903 2 816,01 0,903 {0}
1 3 017,15 0,908 3 017,15 0,908 {1}
2 3 168,01 0,914 3 168,01 0,914 {2}
3 3 168,01 0,914 3 168,01 0,914 {3}
4 3 268,58 0,919 3 268,58 0,919 {4}
5 3 419,44 0,929 3 419,44 0,929 {5}
TABELA 10 Niezdominowane wektory ocen dla oddzia³ów E i F (etap II)
TABLE 10 Not-dominated vectors of assessment for divisions E and F (stage II)
yt F5(y5, x5) G6*(y5– x5) G5*(y5)
0
3 182,81 0,936 2 816,01 0,903 5 998,82 0,84521
x5*(0) = {0}
1
3 182,81 0,936 3 017,15 0,908 6 199,96 0,84989
3 395,00 0,945 2 816,01 0,903 6 211,01 0,85334
x5*(1) = {1}
2
3 182,81 0,936 3 168,01 0,914 6 350,82 0,85550
3 395,00 0,945 3 017,15 0,908 6 412,15 0,85806
3 501,09 0,946 2 816,01 0,903 6 317,10 0,85424
x5*(2) = {1}
3
3 182,81 0,936 3 168,01 0,914 6 350,82 0,85550
3 395,00 0,945 3 168,01 0,914 6 563,01 0,86373
3 501,09 0,946 3 017,15 0,908 6 518,24 0,85897
3 554,14 0,947 2 816,01 0,903 6 370,15 0,85514
x5*(3) = {1}
4
3 182,81 0,936 3 268,58 0,919 6 451,39 0,86018
3 395,00 0,945 3 168,01 0,914 6 563,01 0,86373
3 501,09 0,946 3 168,01 0,914 6 669,10 0,86464
3 554,14 0,947 3 017,15 0,908 6 571,29 0,85988
3 554,14 0,947 2 816,01 0,903 6 370,15 0,85514
x5*(4) = {2}
5
3182,81 0,936 3 419,44 0,929 6 602,25 0,86954
3 395,00 0,945 3 268,58 0,919 6 663,58 0,86846
3 501,09 0,946 3 168,01 0,914 6 669,10 0,86464
3 554,14 0,947 3 168,01 0,914 6 722,15 0,86556
3 554,14 0,947 3 017,15 0,908 6 571,29 0,85988
3 607,19 0,948 2 816,01 0,903 6 423,19 0,85604
x5*(5) = {0, 1, 3}
TABELA 11 Niezdominowane wektory ocen dla oddzia³ów D, E i F (etap II)
TABLE 11 Not-dominated vectors of assessment for divisions D, E and F (stage II)
yt F4(y4, x4) G5*(y4– x4) G4*(y4)
0
3 581,42 0,920 5 998,82 0,84521 9 580,23 0,77759
x4*(0) = {0}
1
3 581,42 0,920 6 211,01 0,85334 9 792,42 0,78507
3 581,42 0,920 5 998,82 0,84521 9 580,23 0,77759
x4*(1) = {0}
2
3 581,42 0,920 6 412,15 0,85806 9 993,56 0,78942
3 581,42 0,920 6 211,01 0,85334 9 792,42 0,78507
3 693,33 0,925 5 998,82 0,84521 9 692,15 0,78182
x4*(2) = {0}
3
3 581,42 0,920 6 563,01 0,86373 10 144,42 0,79463
3 581,42 0,920 6 412,15 0,85806 9 993,56 0,78942
3 693,33 0,925 6 211,01 0,85334 9 904,34 0,78933
3 805,25 0,926 5 998,82 0,84521 9 804,07 0,78266
x4*(3) = {0}
4
3 581,42 0,920 6 669,10 0,86464 10 250,52 0,79547
3 581,42 0,920 6 563,01 0,86373 10 144,42 0,79463
3 693,33 0,925 6 412,15 0,85806 10 105,48 0,79371
3 805,25 0,926 6 211,01 0,85334 10 016,26 0,79019
3 861,21 0,928 5 998,82 0,84521 9 860,03 0,78435
x4*(4) = {0}
5
3 581,42 0,920 6 602,25 0,86954 10 183,66 0,79998
3 581,42 0,920 6 663,58 0,86846 10 244,99 0,79898
3 581,42 0,920 6 722,15 0,86556 10 303,56 0,79631
3 581,42 0,920 6 669,10 0,86464 10 250,52 0,79547
3 693,33 0,925 6 563,01 0,86373 10 256,34 0,79895
3 805,25 0,926 6 412,15 0,85806 10 217,40 0,79456
3 861,21 0,928 6 211,01 0,85334 10 072,22 0,79189
3 917,17 0,933 5 998,82 0,84521 9 915,99 0,78858
x4*(0) = {0, 2}
TABELA 12 Niezdominowane wektory ocen dla oddzia³ów C, D, E i F (etap II)
TABLE 12 Not-dominated vectors of assessment for divisions C, D, E and F (stage II)
yt F3(y3, x3) G4*(y3– x3) G3*(y3)
0
2 500 0,914 9 580,23 0,77759 12 080,23 0,71072
x3*(0) = {0}
1
2 500 0,914 9 792,42 0,78507 12 292,42 0,71755
2 650 0,916 9 580,23 0,77759 12 230,23 0,71227
x3*(1) = {0}
2
2 500 0,914 9 993,56 0,78942 12 493,56 0,72153
2 650 0,916 9 792,42 0,78507 12 442,42 0,71912
2 750 0,919 9 580,23 0,77759 12 330,23 0,71461
x3*(2) = {0}
3
2 500 0,914 10 144,42 0,79463 12 644,42 0,72629
2 650 0,916 9 993,56 0,78942 12 643,56 0,72310
2 750 0,919 9 792,42 0,78507 12 542,42 0,72148
2 800 0,922 9 580,23 0,77759 12 380,23 0,71694
x3*(3) = {0}
4
2 500 0,914 10 250,52 0,79547 12 750,52 0,72706
2 650 0,916 10 144,42 0,79463 12 794,42 0,72788
2 750 0,919 9 993,56 0,78942 12 743,56 0,72547
2 800 0,922 9 792,42 0,78507 12 592,42 0,72383
2 900 0,926 9 580,23 0,77759 12 480,23 0,72005
x3*(4) = {1}
5
2 500 0,914 10 183,66 0,79998 12 683,66 0,73118
2 500 0,914 10 244,99 0,79898 12 744,99 0,73027
2 500 0,914 10 303,56 0,79631 12 803,56 0,72783
2 500 0,914 10 256,34 0,79895 12 756,34 0,73024
2 650 0,916 10 250,52 0,79547 12 900,52 0,72865
2 750 0,919 10 144,42 0,79463 12 894,42 0,73027
2 800 0,922 9 993,56 0,78942 12 793,56 0,72784
2 900 0,926 9 792,42 0,78507 12 692,42 0,72697
3 000 0,929 9 580,23 0,77759 12 580,23 0,72238
x3*(5) = {0, 1, 2}
